admin

ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು?

By admin 10/04/2017 15/04/2017 ಗಣಿತ

ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ (Mathematics) ಅಥವಾ ಗಣಿತವನ್ನು ಒಂದನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Algebra) ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಲಿಯುವ ಬಗೆಯನ್ನು ಏಳನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ, ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆದು ಹತ್ತನೇ ತರಗತಿಯವರೆಗೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗಣಿತದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಶಾಲೆಯ ಕಲಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆಯಾಯ್ತು, ಇನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ (Fields of science) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು ?

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂಬುವುದು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಲ್ಲಿ (Equation) ಬರಿಗೆಗಳು (Letters) ಮತ್ತು ಹಲವು ಗುರುತುಗಳನ್ನು (Symbols) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಕೆ ಮತ್ತು ಬೆಲೆಯನ್ನು (numbers and quantities/values) ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದು.

ಇನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ,

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂಬುವುದು ಬರಿಗೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು.

ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬರಿಗೆಗಳನ್ನು (Letters/ ಅಕ್ಷರ) ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ x,y,z,a,b,c,d,α,β, ಅ, ಆ, ಕ. ಇಲ್ಲಿ ಗುರುತುಗಳೆಂದರೆ ಕೂಡು (+), ಕಳೆ (-), ಭಾಗಿಸು (/,÷), ಗುಣಿಸು (*, x), ಸರಿ (=) ಹಾಗು ಇತರೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳು. ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಬರಿಗೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುವುದನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು ಎಂಬುವುದನ್ನು ಮೊದಲು ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂಬುವುದು ದಿನದ ಬದುಕಿನ ಹಲವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ನೆರವಾಗುತ್ತದೆ:

ನಾವುಗಳು ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲಾ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾ ಇರುತ್ತೇವೆ, ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿಸಿದರೆ ನಮಗೆ ಒಂದಿಷ್ಟು ತಲೆಬಿಸಿ ತಪ್ಪುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲವೇ? 🙂 ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿಕೆಳಗಿನ ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ನೀವು ಒಂದು ವಾರದಲ್ಲಿ ಶನಿವಾರ 2 ಲೀಟರ್ ಹಾಲು ಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಭಾನುವಾರ 3 ಲೀಟರ್ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಐದು ದಿನವೂ 1 ಲೀಟರ್ ಹಾಲು ಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಒಂದು ಲೀಟರ್ ಹಾಲಿನ ಬೆಲೆ 30 ರೂಪಾಯಿಗಳು ಆಗಿರಲಿ, ಹಾಗಾದರೆ ಒಂಬತ್ತು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲಿನ ಮೊತ್ತವೆಷ್ಟು?.

ಮೊದಲನೇ ವಾರದಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲು = ಶನಿವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಭಾನುವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಉಳಿದ ಐದು ದಿನಗಳು ಕೊಂಡ ಹಾಲು = 2 + 3 + 5 x 1 = 2 + 3 + 5 = 10 ಲೀಟರ್ ಗಳು.

ಎರಡು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲು = ಎರಡು ಶನಿವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಎರಡು ಭಾನುವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಐದು ದಿನಗಳಂತೆ ಎರಡು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲು = 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 5 x 1 = 4 +6 + 10 = 20 ಲೀಟರ್ ಗಳು.

ಹೀಗೆ ಹಲವು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಒಟ್ಟು ಹಾಲು = 2n+3n + 5n x 1 = 10n ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬ ಬರಿಗೆಯು (Letter/Alphabet) ಮಾರ್ಪುಕವಾಗಿದೆ (Variable), ಅಂದರೆ ಅದು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯಾಗಿರದೇ, ಮಾರ್ಪಾಟು ಹೊಂದುವಂತಹ ಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ. ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ವಾರಗಳನ್ನು n ಗೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ10 ಎಂಬುವುದು ಒಡಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ (Coefficient).

ಒಂಬತ್ತು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲನ್ನು n = 9 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, 10n = 10 x 9 = 90 ಲೀಟರ್ ಗಳು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

∴ ಒಂಬತ್ತು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಒಟ್ಟು ಹಾಲಿನ ಬೆಲೆ = 90 x 30 = 2700 ರೂಪಾಯಿಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ X ಬರಿಗೆಯನ್ನು (Letter) ತೋರಿಸಲು ನಮಗೆ 4 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.

ಅದೇ ರೀತಿ XXನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4 + 4 = 8 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು XXXನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4 + 4 + 4 = 12 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಹೀಗೆ ಒಂದಿಷ್ಟು X ಬರಿಗೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4 + 4 + 4 + 4 …..+ 4 = 4n ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ XXXXXXXರಲ್ಲಿ ಏಳು X ಬರಿಗೆಗಳಿವೆ, ಹೀಗಾಗಿ XXXXXXX ನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4n ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Algebraic Equation) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಮಗೆ 4 x 7 = 28 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

4n ರಲ್ಲಿ 4 ಎಂಬುದು ಒಂದು ಬರಿಗೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಬೇಕಾದ ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು, “n” ಬರಿಗೆ (Letter) ಎಂಬುದು ಎಷ್ಟು ಸಲ ನಾವು X ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು, 4n ಎಂಬುದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ X ಬರಿಗೆಗಳಿಗೆ ಬೇಕಾದ ಒಟ್ಟು ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು.

-> 4 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು -> 4n = 4 x 7 = 28 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು

ಸೂಚನೆ: 4n ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು(equation) ಒಂದೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿದೆ (Linear equation) ಮುಂದೆ ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅರಿಯಲು:

ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ತಿಳಿಯುವುದಕ್ಕೂ ಈ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಗೂ ಏನಪ್ಪಾ ನಂಟು ಅಂದ್ಕೊಂಡ್ಬಿಟ್ರಾ!?

ಬನ್ನಿ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ತಿಳಿಯೋಣ!

ಉದಾಹರಣೆ 3: ನೀವು 2 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರವಿದ್ದೀರಿ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ ಹಾಗು ನೀವು ಒಂದು ಕಲ್ಲನ್ನು 14 m/s ವೇಗದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯುತ್ತೀರ, ಆ ಕಲ್ಲು ನೆಲಕ್ಕೆ ಬೀಳಲು ಎಷ್ಟು ಹೊತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿದುಬರುವುದೇನೆಂದರೆ ನಮ್ಮ ನೆಲದ ರಾಶಿಸೆಳೆತವು g =9.8 m/s² ರಷ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎಸೆದ ವಸ್ತುವು ತಲುಪುವ ಎತ್ತರವನ್ನು h = h1 + ut –1/2(gt²) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದಾಗಿದೆ. ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ h1 = ನಿಮ್ಮ ಎತ್ತರ = 2 m, u = ಎಸೆದ ಮೊದಲ ವೇಗ (Initial velocity) = 14 m/s, ಕಲ್ಲು ನೆಲಕ್ಕೆ ಬೀಳುವಾಗ ಎತ್ತರ h = 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Equation) h = h1 + ut –1/2(gt²) ಯನ್ನು 0 = 2 + 14t –1/2(9.8 t² ) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು

2 + 14t -1/2(9.8 t² ) = 2 + 14t -4.9 t² = 0 ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ ನಮಗೆ t= 3.058 seconds ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಸೆದ ಕಲ್ಲು ನೆಲವನ್ನು ತಲುಪಲು 3.058 ಸೆಕೆಂಡ್‍ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು!

ಸೂಚನೆ: 2 + 14t -4.9 t² ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು(equation) ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿದೆ (Quadratic equation) ಮುಂದೆ ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಹಾಗು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ಬಗೆಯನ್ನು ಮುಂದಿನ ಬರಹಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಗಣಿತದ ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು (Higher Education) ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿಯಲು:

ನಾವು ಯಾವುದೇ ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಮೊದಲಹಂತದ ಅರಿವು ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲೇ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದರೆ ನಂತರದ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಕಲಿಕೆಯು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೆರೆಯರಿಮೆ (Geometry) ಮತ್ತು ಅಂಕೆಯರಿಮೆಯಲ್ಲಿ (Arithmetic) ಕೂಡ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ 1 ರಿಂದ n ವರೆಗೆ ಎಣಿಯನ್ನು(ಅಂಕೆ) ಸುಲಭವಾಗಿ ಕೂಡಲು S = (n²+n)/2 ಎಂಬ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು(Algebraic Equation) ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುವುದು ಮಾರ್ಪುಕವಾಗಿದೆ (Variable), ಅಂದರೆ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಅಂಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಾವು 1 ರಿಂದ 100 ರ ವರೆಗೆ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಕೂಡೋಣ, ಇಲ್ಲಿ S ಎಂಬುವುದು ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ

S = (n²+n)/2 = (100²+100)/2 = (10000+100)/2 = (10100)/2 = 5050 ಆಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಹಲವಾರು ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು:

ಯಾವುದೇ ಅರಿಮೆಯ ಅರಕೆಗಳು(ಸಂಶೋಧನೆಗಳು) ಹೊಸತನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತವೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳು ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಅರಕೆಯಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಭೂಮಿಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುತ್ತಿರುವ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲಿನ ಬಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹೀಗೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Algebraic Equation) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಲ (Force) F = GMm1/(R+h)²

M = ನೆಲದ ರಾಶಿ

m2 = ವಸ್ತುವಿನ ರಾಶಿ

G = ನೆಲೆಬೆಲೆ (Constant)

R = ನೆಲದ ದುಂಡಿ (Radius of Earth)

h = ನೆಲದ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಂದ ಅದರ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುತ್ತಿರುವ ವಸ್ತುವಿನ ನಡುವಿರುವ ದೂರ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಅಂಶಗಳು:

1. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು (Algebraic Expression):

ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(equation) 3x²– 2xy + 6 ನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಏರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಎಳೆ ಎಳೆಯಾಗಿ ತಿಳಿಯೋಣ.

ಮಾರ್ಪುಕ (Variables): ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಲ್ಲಿ (equation) ಮಾರ್ಪಡುವ ಅಥವಾ ಬದಲಾಗುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬರಿಗೆಗೆ (Letters) ಮಾರ್ಪುಕ ಎಂದು ಕರೆಯುವರು.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಗಳು ಮಾರ್ಪುಕಗಳಾಗಿವೆ. ಮಾರ್ಪುಕವೆನ್ನುವುದು ತಿಳಿಯದ ಬೆಲೆ (Unknown Value) ಅಥವಾ ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬೆಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದ್ದೇವಲ್ಲವೇ, ಅಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ 4n ಅಲ್ಲಿ n ಎಂಬುವುದು ಮಾರ್ಪುಕವಾಗಿದೆ.

ಒಡಬೆಲೆ (Coefficient): ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಪುಕಗಳ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಇರುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಒಡಬೆಲೆ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ x²ಮಾರ್ಪುಕದ ಒಡನೆ ಇರುವ ಬೆಲೆ 3 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು xy ಮಾರ್ಪುಕಗಳ ಒಡನೆ ಇರುವ ಬೆಲೆ 2 ಆಗಿದೆ. ಒಡಬೆಲೆಯು ಇಡಿಯಂಕೆ (whole number) ಅಥವಾ ಪಾಲುಗಳು (fractions) ಆಗಬಹುದು. ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ 1.5x²– (2/3)xy + 8 , ಇಲ್ಲಿ ಒಡಬೆಲೆಗಳು 1.5 ಮತ್ತು 2/3 ಆಗಿವೆ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ (Algebraic Term): ಯಾವುದೇ ಒಡಬೆಲೆ(Coefficient) ಮತ್ತು ಮಾರ್ಪುಕದ(Variables) ಜೊತೆಯನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ 3x² ಮತ್ತು 2xy ಎಂಬುದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳಾಗಿವೆ.

ನೆಲೆಬೆಲೆ (Constant) : ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಪುಕಗಳಿಲ್ಲದ (Without Variables) ಮತ್ತು ಬದಲಾಗದ ನೆಲೆಸಿರುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು (Constant Value) ನೆಲೆಬೆಲೆ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ 6 ಎಂಬುವುದು ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ. ನೆಲೆಬೆಲೆಯು ಇಡಿಯಂಕೆ (whole number) ಅಥವಾ ಪಾಲುಗಳು (fractions) ಆಗಬಹುದು. ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ 6x²– 3.33xy + 7.8 ಇಲ್ಲಿ ನೆಲೆಬೆಲೆ 7.8 ಆಗಿವೆ. ನೆಲೆಬೆಲೆಯನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ನೆಲೆಬೆಲೆಪದ (Algebraic Constant Term) ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು.

ಎಣಿಕೆಬಳಕ (Mathematical Operator): ಯಾವುದೇ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳನ್ನು (Algebraic Terms) ಕೂಡಲು, ಕಳೆಯಲು, ಪಾಲುಮಾಡಲು(ಭಾಗಿಸು), ಪೆಚ್ಚಿಸಲು(ಗುಣಿಸು) ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳಾದ (Mathematical Operators) –, +, x, ÷ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ, 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ – ಮತ್ತು + ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿರುವುದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

ಏರ್ಮಡಿ (Power/Exponent): ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಪುಕದ ತಲೆಯ ಬಲ ಬದಿಯ ಬೆಲೆಯು (Right top Value) ಏರ್ಮಡಿ ಆಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಏರ್ಮಡಿಯು ಮಾರ್ಪುಕವನ್ನು ಹಲಮಡಿಸುತ್ತದೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ (Algebraic Term) 3x² ದಲ್ಲಿರುವ ಮಾರ್ಪುಕದ ತಲೆಯೆಣಿ 2 ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ x² ನ್ನು (x) ಗುಣಿಸು (x) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Algebraic Expression):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ (equation) ಎಲ್ಲಾ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳು (Algebraic Terms), ನೆಲೆಬೆಲೆಗಳು (Constants) ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳನ್ನು (Operators) ಒಟ್ಟಾಗಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ ಅದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ 3x² ಮತ್ತು 2xy ಎಂಬುದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳಾಗಿವೆ, – ಮತ್ತು + ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳಾಗಿವೆ ಹಾಗು 6 ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ, ಇವೆಲ್ಲವನ್ನು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ ಎನ್ನಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ 3x²– 2xy + 6 ಎಂಬುದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಇನ್ನು ಸುಳುವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ,

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ = ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ1 (- ಅಥವಾ +)ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ2 (- ಅಥವಾ +) …… (- ಅಥವಾ +) ನೆಲೆಬೆಲೆಗಳು.

ಪಟ್ಟುಕ (Factors): ಒಂದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದದ ಪಟ್ಟನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟುಕ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಮಾರ್ಪುಕಗಳು (Variables) ಮತ್ತು ಒಡಬೆಲೆಗಳು(Coefficients) ಪಟ್ಟುಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ 3x² ನ ಪಟ್ಟುಕಗಳು 3, x, x ಮತ್ತು 2xy ನ ಪಟ್ಟುಕಗಳು 2,x,y ಆಗಿವೆ. ನೆಲೆಬೆಲೆಯನ್ನು ಕೂಡ ಪಟ್ಟುಕಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾದ 6 ನ್ನು 2, 3 ಎಂದು ಪಟ್ಟುಕಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ1: ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Algebraic Expression) 5x²+ 7xy – 10 ನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರೆದು ಅದರ ಅಡಕಗಳನ್ನು(ಅಂಶಗಳನ್ನು) ಗುರುತಿಸಿ.

5x²+ 7xy – 10 ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬಿಡಿಸಿ ಗುರುತಿಸೋಣ.

1. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಬಗೆಗಳು (Types of algebraic Expression)

ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಒಂಟಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Monomial Algebraic Expressions).

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವನ್ನು(Single Term) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಒಂಟಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 4y² ನ್ನುತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಮೇಲೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ (Algebraic Term) ಎಂದರೇನು ಅಂತ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, 4y² ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಅಥವಾ ಒಂಟಿ (Mononomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು ಒಂದು ಅಥವಾ ಒಂಟಿ (Mononomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿವೆ.

5m⁴n, 2ax/3y, k⁵, 10ab³

ಎರಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Binomial Algebraic Expressions):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಎರಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 5y²+ 2x ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, 5y²+ 2x ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು 5y² ಮತ್ತು 2x ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಎರಡು (Binomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಮೂರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Trinomial Algebraic Expressions):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಮೂರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 6y³ + 2xy + 1.5x ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, 6y³ + 2xy + 1.5x ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಮೂರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು 6y³ , 2xy ಮತ್ತು 1.5x ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಮೂರು (Trinomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Polynomial Algebraic Expressions):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಹಲವು ಎಂಬುವುದು ಒಂಟಿ (Monomial), ಎರಡು (Binomial), ಮೂರು (Trinomial) ಹಾಗು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 5x³+ 6xy + 3y + 4.5x ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, 5x³+ 6xy + 3y + 4.5x ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು 5x³, 6xy, 3y ಮತ್ತು 4.5x ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ(Polynomial Algebraic Equation).

ಉದಾಹರಣೆ2: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ (Algebraic Terms) ಪದಗಳು ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Algebraic Expressions).

4y² –> ಒಂಟಿ (Monomial) ಮತ್ತು ಹಲವು (Polynomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ ಕೂಡ.

5y²+ 2x –> ಎರಡು (Binomial) ಮತ್ತು ಹಲವು (Polynomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ ಕೂಡ.

6y³ + 2xy + 1.5x –> ಮೂರು (Trinomial) ಮತ್ತು ಹಲವು (Polynomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ ಕೂಡ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆಗಳು (Types of algebraic equations):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಗೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳನ್ನೆಲ್ಲಾ ಸೇರಿಸಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಮಟ್ಟ (Degree): ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಅದರ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿಯೊಂದಿಗೆ (Highest Exponent or Power) ಅಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಈ ಅಳವನ್ನು ಮಟ್ಟ ಅಥವಾ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಮಟ್ಟ (Degree of an equation) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಬಗೆಯನ್ನು ನೋಡಬಹದು.

ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಹಲವೇರ್ಮಡಿ(Polynomial) ಎಂದು ಕರೆಯಬೇಕಾದಲ್ಲಿ ಅದರ ಏರ್ಮಡಿಯ(Exponent) ಮಟ್ಟ 0, 1, 2,3 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಇಡಿಯಂಕೆ (whole number) ಆಗಿರಲೇಬೇಕು , ಏರ್ಮಡಿಯು ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಕಮ್ಮಿ ಇದ್ದರೆ (Negative Number) ಅದು ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಹಲವು ಬಗೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಈ ಕೆಳಕಂಡ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ತಿಳಿಯೋಣ.

1. ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Polynomial Equation):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations)	ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ	ಮಟ್ಟ (Degree)	ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು
1. ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Polynomial Equation)	P(x) = 0, ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು.	ಹಲಮಟ್ಟ (Any Degree)	ಇಲ್ಲಿ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಏರ್ಮಡಿಯನ್ನು (Exponent) ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ, ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.
1.1 ಒಂದೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Linear Equations)	ax + b = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0	1	2x + 3 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 1 ಆಗಿದೆ
1.2 ಎರಡೇರ್ಮಡಿ (Quadratic Equations)	ax² + bx + c = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0	2	x² + 3x – 6 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 2 ಆಗಿದೆ
1.3 ಮೂರೇರ್ಮಡಿ (Cubic Equations)	ax³ + bx² + cx + d = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0	3	4X³ + 5x² – 7x +8 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 3 ಆಗಿದೆ
1.4 ನಾಲ್ಕೇರ್ಮಡಿ (Quartic Equations)	ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0	4	7X⁴ – 3x³ + 4x²– 2x +9 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 4 ಆಗಿದೆ
1.5 ಸರಿ-ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Biquadratic Equations)	ax⁴ + bx² + c = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0, t = x² ಎಂದು ಹೊಂದಿಸಿ ಬರೆದಾಗ at² + bt + c ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಎರಡೇರ್ಮಡಿ(Quadratic Equations) ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ ಸಿಕ್ಕಿತು.	2	5x⁴ + 3x² +7 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಏರ್ಮಡಿಗಳು 4 ಮತ್ತು 2 ಆಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೆಸವೆಣಿಕೆ ಏರ್ಮಡಿ (Odd number exponent) ಕಂಡುಬರುವದಿಲ್ಲ, ಇದನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸಿ ಬರೆದಾಗ 5t² + 3t + 7 ನಲ್ಲಿ “t” ಯ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 2 ಆಗಿದೆ.

2. ಸುಳುವಾಗಿಸಬಲ್ಲ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Rational Polynomial Equation):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations)

ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ

ಮಟ್ಟ

(Degree)

ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು

2. ಸುಳುವಾಗಿಸಬಲ್ಲ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Rational Polynomial Equation)

P(x)/Q(x) = 0, ಇಲ್ಲಿ P(x) ಮತ್ತು Q(x) ಹಲವೇರ್ಮಡಿ
ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation)

ಹಲಮಟ್ಟ
(Any Degree)

6x³/(1+ x²) + 2x/(3+ X⁴) = 0 ಈ ರೀತಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಸುಳುವಾಗಿಸಿ ಬರೆಯಬಹುದಾಗಿದೆ,
ಸುಳುವಾಗಿಸಿದ ನಂತರ ಇವುಗಳು ಯಾವುದೇ ಏರ್ಮಡಿಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ 6x³/(1+ x²) ಮತ್ತು 2x/(3+ X⁴) ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation).

3. ಸುಳುವಲ್ಲದ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Irrational Polynomial Equation):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations)	ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ	ಮಟ್ಟ (Degree)	ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು
3. ಸುಳುವಲ್ಲದ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Irrational Polynomial Equation)	p(x)/ (Q(x))¹^/ⁿ = 0, ಇಲ್ಲಿ P(x) ಮತ್ತು Q(x) ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation), n ಎಂಬುದು ಹಲಮಡಿ ಬೇರಾಗಿದೆ(n^throot).	ಹಲಮಟ್ಟ (Any Degree)	8x³/(1+ x²) + √(2x/ (9+ X⁸)) = 0,ಈ ರೀತಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಅಷ್ಟು ಸುಳುವಾಗಿ ಬರೆಯಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ ಹಾಗು ಇವುಗಳು ಯಾವುದೇ ಏರ್ಮಡಿಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ 8x³/(1+ x²) ಮತ್ತು √(2x/ (9+ X⁸)) ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation).

4. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಮೀರಿದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು (Transcendental Equations):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations)	ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ	ಮಟ್ಟ (Degree)	ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು
4. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಮೀರಿದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು ( Transcendental Equations)	P(x) ಮತ್ತು Q(x) à ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation) 1.ಏರ್ಮಡಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(Equation of exponential algebraic expressions):P(x)^Q⁽^x2.ಇಳಿಮಡಿ(inverse exponentiation) ಅಥವಾ ಲಾಗರಿದಮಿಕ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(Equations of logarithmic Algebraic Expressions): log(P(x)) 3. ಮುಕ್ಕೋನದರಿಮೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(Equation of Trigonometric algebraic expressions):Cos(P(x)), Sin(P(x)), tan(P(x))	ಹಲಮಟ್ಟ (Any Degree)	1.ಏರ್ಮಡಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ: (2+x)⁽¹⁺^x⁾2.ಇಳಿಮಡಿ(inverse exponentiation)ಅಥವಾ ಲಾಗರಿದಮಿಕ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ: log(3+x) 3.ಮುಕ್ಕೋನದರಿಮೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ: Cos(1+x), Sin(3+x), tan(4+x) ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 1+x, 2+x, 3+x, 4+x ಗಳು ಒಂದೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ1: ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿರುವ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಬಳಕೆಯ ಬಗೆಗಳು:

ಕಲಿಕೆಯೇರ್ಪಾಡನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು.

1. ಮೊದಲ ಹಂತದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಸುಳುವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Elementary Algebra)

ಸುಮಾರು ಏಳನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಹತ್ತನೇ ತರಗತಿಯವರೆಗೆ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಕಲಿಸಬಹುದಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ.

2. ಸುಳುವಲ್ಲದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಮೇಲು ಹಂತದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Higher Level Algebra)

ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಯಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಹಲವು ಅರಿಮೆಗಳಲ್ಲಿ (Field of science) ಬಳಸಬಹುದಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ. ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಹಲವು ಕವಲುಗಳಾದ ಗೆರೆಯರಿಮೆ (Geometry), ಅಂಕೆಯರಿಮೆ(Arithmetic), ಮಾರ್ಪಡುವಿಕೆ (Differentiation), ಕೂಡಿಕೆ (Integration), ಒಗ್ಗೂಡಿಕೆಯರಿಮೆ (Combinatorics), ಹಿಡಿತದ ಕಟ್ಟಳೆ (Control theory) ಹಾಗು ಇನ್ನಿತರ ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳಾದ(Field of science) ಬಿಡಿ ಕಟ್ಟಲೆ (Quantum theory), ಬಿಡಿ ಕದಲರಿಮೆ(Quantum mechanics), ಕಾವರಿಮೆ (Thermodynamics), ಹೋಲು ಕಟ್ಟಲೆ (Relativity) ಹಾಗು ಇನ್ನಿತರ ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಬಳಕೆಯ ಮೇಲೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹಲವು ಬಗೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಕಂಡ ಬಗೆಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

1. ಸುಳುವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Elementary Algebra):

ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತವನ್ನು ತಿಳಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಸುಳುವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಆಯವಿಲ್ಲದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Abstract algebra):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗುಂಪರಿಮೆ (group theory), ಉಂಗುರ (Rings) , ನೆರಕೆ (Sets), ಅಣಿಮಣೆ(Matrix) ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ (Fields of mathematics) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3. ಒಮ್ಮಟ್ಟವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Linear Algebra):

ಈ ಬಗೆಯ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಒಂದೆರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Linear equation), ಅಣಿಮಣೆ (Matrix) ಮತ್ತು ತೂಗೆಡೆಗಳ (Vectors) ಕಲೆತವನ್ನು (Calculation) ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Computer Algebra):

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿಎಸಗುಬಗೆ (Algorithms) ಮತ್ತು ಹಮ್ಮುಗಾರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ (Programming) ಬಳಸುವ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಬಗೆಯನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹದು.

5) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಗೆರೆಯರಿಮೆ (Algebraic Geometry):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಗೆರೆಯರಿಮೆಯು ಹಲವು ಬಗೆಯ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅರಕೆಮಾಡಲು, ಗೆರೆಯರಿಮೆಯ ಸುಳುವಲ್ಲದ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು (Complex Geometric problems) ಬಗೆಹರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಬಗೆಯಾಗಿದೆ

6). ನಂಟಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Relational Algebra):

ನಂಟಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಂಟಿನ ನೆರೆತಿಳಿಹದ (Relational Database) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಬಗೆಯಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಕಟ್ಟಳೆ (Group theory), ನೆರಕೆ(Sets), ನಂಟರಿಮೆ(Relation), ಕೇಳ್ವಿ ಎಣ್ಣುಕನುಡಿ (Query Language) ಗಳನ್ನು ಈ ಬಗೆಯ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಹಳಮೆ:

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು (Babylonians) ಬರಿಗೆಯಣಿಕೆಯ ಕಲೆತವನ್ನು(Calculation) ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು, ಇದಕ್ಕೆ ಕುರುಹಾಗಿ 1800 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಬಳಕೆಮಾಡಿದ ಸ್ಟ್ರಾಸ್ಬರ್ಗ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್ (Strassburg tablet Inscription) ಮತ್ತು ಲಿಂಪ್ಟನ್322 (Plimpton 322) ಎಂಬ ಮಣ್ಣುಗಟ್ಟಿ ಬರಹ (Clay Tablet Inscription) ಸಿಕ್ಕಿರುತ್ತದೆ.

ಬರ್ಲಿನ್ ಪ್ಯಾಪಿರಸ್ 6619 (ಈಗಿನ ಹೆಸರು) ಎಂಬ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ನಡು ಅರಸೊತ್ತಿಗೆಯ(Middle Kingdom: 2055 B.C-1650 B.C) ಬರಹವು ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳ (Quadratic Equation) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
800 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಬೌದಾಯನನ ಸುಲಭ ಸೂತ್ರವು ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳ (Quadratic Equation) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
300 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಡಕದಲ್ಲಿ (Euclids Elemets) ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು (Quadratic Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
100 B.C ಜಿಯುಜಾಂಗ್ ಸುವಾನ್ಶು (Jiuzhang suanshu) ಎಂಬ ಚೀನಿಯರ ಬರಹವು ಒಂದೇರ್ಮಡಿ (Linear), ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳ(Quadratic Equation) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
100 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ(Mathematician) ಹೆರೋ(Hero/Heron) ಕಳೆತದೆಣಿಯ ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸೆಲೆಯ (Square root of negative number) ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆ ಮಾಡಿದ್ದನು.
200 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಡಯೋಪಾಂಟಸ್ (Diophantus) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Algebraic Equation) ಮತ್ತು ಎಣಿಕಟ್ಟಳೆ (Number Theory) ಬಗ್ಗೆ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ ಅರಿತ್ಮೆಟಿಕಾದಲ್ಲಿ (Arithmetica) ತಿಳಿಸಿದ್ದನು.
500 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಉಜ್ಜಯಿನಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನು ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು (Quadratic Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿದ್ದನು.
800 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪರ್ಶಿಯಾದ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಅಲ್- ಕ್ವಾರಿಜ್ಮಿ (Al-Khwarizmi) ಒಂದೇರ್ಮಡಿ (Linear), ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು (Quadratic Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಹಲವಾರು ಇಟ್ಟಳ/ರಚನೆ (Fundamental of algebraic structure) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತಾನೆ. ಅವನನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ತಂದೆ (Father of Algebra) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತೇ?, ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾ (Algebra) ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಅಲ್- ಕ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಪುಸ್ತಕ ಅಲ್-ಕಿತಾಬ್ ಅಲ್-ಜಬರ್ ವಾ-ಅಲ್- ಮುಕಾಬಲ (Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala)ದಿಂದ ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ!. ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾಕ್ಕೆ ಮೊದಲಿಗಿದ್ದ ಹೆಸರು ಅಲ್-ಜಾಬ್ರ್ (Al-Jabr), ನಂತರದಲ್ಲಿ ಯೂರೋಪಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರು ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಎಂದು ಕರೆದರು. ‘ತುಂಡಾದ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಮರು ಸೇರಿಸುವುದು’ ಎಂಬುವುದು ಅಲ್-ಜಾಬ್ರ್ ಪದದ ಹುರುಳು.
1000 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪರ್ಶಿಯಾದ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಅಬು ಸಹಲ್ ಅಲ್-ಕುಹಿ (Abū Sahl al-Qūhī) ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Polynomial Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ.
1200 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಕರ್ನಾಟಕದ ವಿಜಯಪುರದ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯನು ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸೆಲೆಯನ್ನು (Two types of square root) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ.
1200 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಇಟಲಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಪಿಬೊನಾಕಿ (Leonardo Fibonacci) ಹಲವಾರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು ತನ್ನದೇಯಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ.
1540-1603 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪ್ರಾನ್ಸಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಪ್ರಾನ್ಸಿಸ್ಕಸ್ ವಿಯೆಸ್ಟಾ (Franciscus Vieta) ಎರ್ಮಡಿಗಳನ್ನು (Exponent) ಗುರುತಿಸಲು ಹಲವಾರು ಗುರುತುಗಳನ್ನು (Symbols) ಬಳಸುತ್ತಾನೆ.
1596 -1650 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪ್ರಾನ್ಸಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ರೇನ್ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ (René Descartes) ಅರಿವುಮೀರಿದೆಣಿಯ (Imaginary Number i = √-1) ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲಬಾರಿಗೆ ದೊಡ್ಡಮಟ್ಟದ ಹಲವು ಅರಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾನೆ.
1777-1855 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಜರ್ಮನಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಕಾರ್ಲ್ ಪ್ರೀಡ್ರಿಚ್ ಗಾಸ್ (Carl Friedrich Gauss) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಅಡಿಪಾಯದ ಕಟ್ಟಳೆ (Fundamental theorem of algebra)ಯ ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆಮಾಡುತ್ತಾನೆ.
20 ನೂರರ ಹೊತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ಅರಕೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ನಡೆಯುತ್ತಲೇ ಇವೆ!.

(ಸೆಲೆಗಳು: study.com, tutorvista.com, vitutor.com, math-only-math.com, byjus.com, en.wikipedia.org, 8. 7th standard Mathematics text book, Karnataka state syllabus, tutorial.math.lamar.edu, math.stackexchange.com)

ಗೀಳು-ತುಡಿತದ ಬೇನೆ

By admin 03/04/2017 08/04/2018 ಮಯ್ಯರಿಮೆ (human anatomy)

ನಮ್ಮ ದಿನನಿತ್ಯದ ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ಸಲ ತಲ್ಲಣಕ್ಕೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಅನುಬವ ನಮ್ಮೆಲ್ಲರಿಗೂ ಆಗಿಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಆ ತಲ್ಲಣದ ಯೋಚನೆಗಳು ಎಲ್ಲೆ ಮೀರಿ ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಗೂಡುಕಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಆ ಯೋಚನೆಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೊತ್ತು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಇದ್ದು ಮೆಲ್ಲಗೆ ಕರಗಿ ಹೋಗದೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೊತ್ತು ಮನುಶ್ಯ ಅದೇ ಗುಂಗಿನಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ ಆ ತಲ್ಲಣ ಸಾದಾರಣವಾದುದಲ್ಲ ಎಂದು ಒಪ್ಪಲೇಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮನಸ್ಸಿನ ಪಾಡನ್ನು ಒಂದು ಬೇನೆ ಎಂದೇ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬೇನೆ ಹಲವು ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಇವೆಲ್ಲ ಬೇನೆಗಳನ್ನು ತಲ್ಲಣದ ನಂಟಿನ ಬೇನೆಗಳು (Anxiety disorders) ಎಂಬ ಗುರುತಿನಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪಿಸಬಹುದು.

ಈ ತಲ್ಲಣ ಅನ್ನುವಂತಹದ್ದು ನಮಗೆಲ್ಲರಿಗೂ ಆಗುವಂತಹದ್ದು. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಈ ತಲ್ಲಣ ಎಶ್ಟರಮಟ್ಟಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಬೇನೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಮೂಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ತಲ್ಲಣ ಇಲ್ಲವೇ ಬೇನೆಯ ಕುರುಹುಗಳಿರುವ ತಲ್ಲಣ ಎಂದು ನಿಕ್ಕಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ? ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಕಶ್ಟವೇ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ನಡವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಬೇನೆಯ ನಡುವೆ ತೆಳುವಾದ ಗೆರೆಯಿದೆ ಎನ್ನಬಹುದು. ಇಶ್ಟಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಡವಳಿಕೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಇಂತಹದ್ದೇ ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಬವಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಕೊಡಬಹುದು…

ಒಬ್ಬ ಹುಡುಗಿ ಮನೆ ಮುಂದೆ ರಂಗೋಲಿ ಹಾಕುತ್ತಿದ್ದಾಳೆ ಎಂದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ರಂಗೋಲಿಯಲ್ಲಿ ಏನೋ ಸಣ್ಣ ತಪ್ಪಾಗಿರುವುದನ್ನು ಆಕೆ ಅದನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದ ಮೇಲೆ ಗಮನಿಸುತ್ತಾಳೆ. ಆದರೆ ಆ ತಪ್ಪನ್ನು ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಹಚ್ಚಿಕೊಳ್ಳದೆ ಮುಂದಿನ ಸಲ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಬಿಡಿಸೋಣ ಬಿಡು ಎಂದು ಆ ಹುಡುಗಿ ಅಂದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಹುಡುಗಿಗೆ ಅಂತಹ ತಪ್ಪು ಎಸಗಿದೆನಲ್ಲಾ ಎಂದು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಕೊಂಚ ಹೊತ್ತು ಕಿರಿಕಿರಿಯಾಗಬಹುದು. ಮೂರನೆಯ ಹುಡುಗಿಗೆ ಆಗಿರುವ ತಪ್ಪನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲೇಬೇಕು ಎಂದೆನ್ನಿಸಿ ನೀರಿನಿಂದ ರಂಗೋಲಿಯನ್ನು ತೊಳೆದು, ಮತ್ತೆ ಬಿಡಿಸಲು ಮುಂದಾಗಬಹುದು. ಮತ್ತೊಬ್ಬ ಹುಡುಗಿಗೆ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಕಸಿವಿಸಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ರಂಗೋಲಿಯಲ್ಲಿನ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಸರಿಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಆ ಕೆಲಸದಲ್ಲೇ ಹೆಚ್ಚು ಹೊತ್ತು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಂತಾಗಬಹುದು. ಈಗ ಈ ಹುಡುಗಿಯರಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ನಡವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ತಪ್ಪಾದ ನಡವಳಿಕೆ ಎಂದು ಬೊಟ್ಟು ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ ?

ನಮ್ಮ ಅನಿಸಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ನಡವಳಿಕೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪು-ಸರಿ ಎಂದು ಗುಂಪಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಅವುಗಳಿಂದಾಗುವ ತೊಡಕಿನ ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಮಾನಸಿಕ ಬೇನೆಯರಿಮೆ ಒತ್ತು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯ ಹಾಗೆ ನಮ್ಮ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ತಲ್ಲಣ, ಕಸಿವಿಸಿ ಇವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ದಿನನಿತ್ಯದ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ತೊಂದರೆಯೆನಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ದಿನದಲ್ಲಿ ಕೆಲ ನಿಮಿಶ ಇಲ್ಲವೇ ಗಂಟೆಗಳ ಹೊತ್ತು ಅದೇ ವಿಶಯ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಸುಳಿದಾಡುತ್ತ ಒದ್ದಾಡುವಂತಾದರೆ ಅದನ್ನು ಬೇನೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಗೀಳು – ತುಡಿತದ ಬೇನೆ

ನಮ್ಮ ಮಯ್ಯಿ ಹಾಗೂ ಮನಸ್ಸುಗಳನ್ನು ಕಾಡುವ ಬೇನೆಗಳು ಹಲವಾರಿವೆ. ಮಯ್ಯ ಮೇಲಾಗುವ ಬೇನೆಗಳು ಕಣ್ಣಿಗೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಮನಸ್ಸು, ನಮ್ಮ ಬಗೆತಗಳಲ್ಲಿ ಆಗುವ ಒತ್ತಡ, ಹೊಯ್ದಾಟ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದುಂಟಾಗುವ ಬೇನೆಗಳು ಸುಲಬಕ್ಕೆ ನಮಗೆ ಕಾಣಸಿಗವು. ನಮ್ಮ ಮನಸ್ಸನ್ನು ಕಾಡುವ ಬೇನೆಗಳಲ್ಲಿ ತಲ್ಲಣದ ನಂಟಿನ ಬೇನೆಗಳಲ್ಲೊಂದಾದ ಗೀಳು-ತುಡಿತದ ಬೇನೆ (Obsessive-Compulsive Disorder) ಒಂದು ಮುಕ್ಯವಾದ ಬೇನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಏನಿದು ಗೀಳು-ತುಡಿತದ ಬೇನೆ ?

ಈ ಬೇನೆಯ ಹೆಸರಿನಲ್ಲೇ ಇದರ ವಿಶೇಶತೆ ಎದ್ದು ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಬೇನೆ ಇರುವವರನ್ನು ಎರಡು ಬಗೆಯ ತೊಂದರೆಗಳು ಗೋಳಾಡಿಸುತ್ತವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಗೀಳು – ಅಂದರೆ ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಎಡೆಬಿಡದೆ ಮರುಕಳಿಸುವ ಯೋಚನೆಗಳು, ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲೇ ಮೂಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ನೋಟಗಳು ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಕಳವಳ.

ಈ ಗೀಳಿನ ಬಾವನೆಗಳು ಹಲವು ಬಗೆಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1) ರೋಗಿಗೆ ಸುಮ್ಮನೆ ತಂತಾನೇ ಮಯ್ಯಿ ಕೊಳಕಾಗುತ್ತದೆ, ಸೋಂಕು ತಗಲುತ್ತದೆ ಅನ್ನುವ ದಿಗಿಲು ಉಂಟಾಗುವುದು. 2) ಹೆಣ್ಣು-ಗಂಡಿನ ಕೂಡುವಿಕೆ, ದರ್ಮ ಮುಂತಾದ ವಿಶಯಗಳಲ್ಲಿ ಬೇಕಿಲ್ಲದ ಮಡಿವಂತಿಕೆ ಅತವಾ ಇದರ ಕುರಿತಾಗಿ ತನ್ನ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ತಾನೇ ಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಟ್ಟುಪಾಡುಗಳು 3) ತನ್ನ ಇಲ್ಲವೇ ಬೇರೆಯವರ ಬಗ್ಗೆ ಸಿಟ್ಟಿನಿಂದ ಕೂಡಿದ ಆಲೋಚನೆಗಳು.

ಎರಡನೆಯದಾಗಿ ತುಡಿತ– ಅಂದರೆ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತಿರುವ ಗೀಳಿನ ಯೋಚನೆಗಳ ಕಾರಣದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ, ಏನನ್ನೋ ಮಾಡಲೇಬೇಕು ಎನ್ನುವ ತುಡಿತ. ಈ ತುಡಿತಗಳ ಬೇರು ಇರುವದು ಗೀಳಿನ ಆಲೋಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಂದಾಯಿತು. ಈ ತುಡಿತಗಳೂ ಹಲ ಬಗೆಯವು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1) ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಏನನ್ನಾದರೂ ಚೊಕ್ಕಗೊಳಿಸುವುದು, ಇಲ್ಲವೇ ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಕಯ್ತೊಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. 2) ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ತನಗೆ ಹಿಡಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಓರಣವಾಗಿಕೊಳ್ಳುವ ಹಂಬಲ ಮತ್ತು ಆ ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿಯೇ ಜೋಡಿಸಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು. 3) ಒಮ್ಮೆ ಮಾಡಿದ ಕೆಲಸ ಸರಿಯಾಗಿ ನಡೆದಿದೆಯೋ ಇಲ್ಲವೋ ಎಂದು ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಗಮನಿಸುವುದು, ಒರೆಹಚ್ಚುವುದು – ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಾಗಿಲ ಚಿಲಕ ಹಾಕಿದ್ದೇನೋ ಇಲ್ಲವೋ ಎಂದು ತಿರುಗಿ ತಿರುಗಿ ಕಾತರಿಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು.

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಯೋಚನೆಗಳು ನಮ್ಮೆಲ್ಲರಲ್ಲಿಯೂ ಇರುತ್ತವಾದರೂ, ಗೀಳು-ತುಡಿತದ ಬೇನೆ ಇರುವವರಲ್ಲಿ ಇದು ಎಲ್ಲೆ ಮೀರಿರುತ್ತದೆ. ತಮ್ಮಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಈ ಗೀಳು ಬಾವನೆಗಳನ್ನು, ಹಾಗೂ ಆ ಗೀಳಿನಿಂದ ಮೂಡುವ ನಡವಳಿಕೆಗಳನ್ನು ರೋಗಿಗಳು ತಮ್ಮ ಹಿಡಿತದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲಾರರು. ಈ ಗೀಳು ಅವರಲ್ಲಿ ತನ್ನಶ್ಟಕ್ಕೆ ತಾನೇ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತಿರುತ್ತದೆ. ದಿನಕ್ಕೆ ಒಂದಶ್ಟು ಹೊತ್ತು ಅವರು ಈ ಬೇನೆಯಿಂದ ತೊಂದರೆಪಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರಣಗಳು

ಸುಮಾರು 300 ವರ್ಶಗಳಿಂದ ಗೀಳು-ತುಡಿತದ ಬೇನೆಯ ಲಕ್ಶಣಗಳು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿವೆ. ಈ ಬೇನೆಯ ಒಂದು ಕುರುಹಾದ ದೇವರನ್ನು ಹೀಗಳೆಯುವ ಯೋಚನೆಗಳನ್ನು 17ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಯೂರೋಪಿನಲ್ಲಿ ಸೈತಾನನ ಕಾಟ ಎಂದು ನಂಬಿದ್ದರು. ಈ ಬೇನೆಯ ಮುಕ್ಯ ಲಕ್ಶಣಗಳಾದ ಅನುಮಾನ ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಿಶಯದಲ್ಲಿನ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಪ್ರೆಂಚ್ ಅರಿಗರು ಗುರುತಿಸಿದ್ದರು. ಅನುಮಾನದ ಹುಚ್ಚುತನ ಅಂತಲೇ ಅವರು ಇದನ್ನು ಕರೆದಿದ್ದರು.

ಆಸ್ಟ್ರಿಯನ್ ಅರಿಗ ಸಿಗ್ಮಂಡ್ ಪ್ರಾಯ್ಡ್ ನ ಮನಸ್ಸಿನ ಬಗೆಯರಿಕೆ ಚಳಕಗಳು (Psychoanalysis techniques) 20ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಮಂದಿಮೆಚ್ಚುಗೆ ಗಳಿಸಿದ್ದವು. ಪ್ರಾಯ್ಡ್ ನ ಮನಸ್ಸಿನ ಬಗೆಯರಿಕೆ ಸಿದ್ದಾಂತಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಮ್ಮ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿನ ಬಗೆಹರಿಯದ ಮಾನಸಿಕ ತೊಳಲಾಟಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಈ ಗೀಳು ಮತ್ತು ತುಡಿತಗಳು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ. ಈ ಸಿದ್ದಾಂತ ರೋಗಿಯ ಗೀಳಿನ ಬಗ್ಗೆ ಅರಿವು ಮೂಡಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಈ ಬೇನೆಯ ತಳಮಟ್ಟದ ಕಾರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬೆಳಕು ಚೆಲ್ಲುವುದಿಲ್ಲ. ಮನಸ್ಸಿನ ಬಗೆಯರಿಕೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಇಪ್ಪತ್ತನೆಯ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ತೂಕ ಕಳೆದುಕೊಂಡವು.

ಸೆರೋಟೋನಿನ್ ನಮ್ಮ ಮಿದುಳಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ನರಸೂಲುಗೂಡಿನಿಂದ ಮತ್ತೊಂದಕ್ಕೆ ಸನ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಾಗಿಸುವ ನರಸನ್ನೆಒಯ್ಯುಕ (Neurotransmitter). ನಮ್ಮ ಮಯ್ಯಲ್ಲಿ ನಿದ್ದೆ, ಹಸಿವು, ಮುಂತಾದವು ಸರಿಯಾಗಿ ನಡೆಯುವಲ್ಲಿ ಸೆರೋಟೋನಿನ್ ಪಾತ್ರ ಮುಕ್ಯವಾದುದು. ಮಿದುಳಿನಲ್ಲಿ ಸೆರೋಟೋನಿನ್ ಮಟ್ಟ ಏರುಪೇರಾಗುವುದಕ್ಕೂ ಗೀಳು-ತುಡಿತದ ಬೇನೆಗೂ ನಂಟಿರುವುದನ್ನು ಅರಿಗರು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅರಕೆಗಳು ನಡೆಯಬೇಕಿವೆ, ನಡೆಯುತ್ತಲಿವೆ. ಈ ಬೇನೆ ಒಂದು ತಲೆಮಾರಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ತಲೆಮಾರಿಗೆ ಪೀಳಿಗಳ ಮೂಲಕ ಹರಡುವ ಸಾದ್ಯತೆಗಳಿವೆ. hSERT ಎನ್ನುವ ಪೀಳಿಯ (Gene) ಮಾರ್ಪಾಟು ಈ ಬೇನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಲ್ಲುದಾಗಿದ್ದು, ಹುಟ್ಟುವ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಈ ಪೀಳಿ ಸಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಪರಿಸರ, ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಆಗುಹೋಗುಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಬವಗಳಿಂದ ನಾವು ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಅನಿಸಿಕೆಗಳು ಹಾಗೂ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಬಗೆ(Cognition) , ಪೀಳಿಯ ನಂಟಿನ ಕಾರಣಗಳು, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಗೀಳು-ತುಡಿತದ ಬೇನೆಯ ಹುಟ್ಟು ಮತ್ತು ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಲ್ಲವು.

ಚಿಕಿತ್ಸೆ

ಮಾನಸಿಕ ವೈದ್ಯರು (Psychiatrist) ನೀಡುವ ಮದ್ದಿನ ಜೊತೆಗೆ, ನುರಿತ ಮಾನಸಿಕ ತಜ್ನರು (Psychologist) ನೀಡುವ ಚಿಕಿತ್ಸೆಗಳೂ ಈ ಬೇನೆಯನ್ನು ಇಡಿಯಾಗಿ ಹೋಗಲಾಡಿಸದಿದ್ದರೂ ಒಂದು ಮಟ್ಟಿಗೆ ಹತೋಟಿಯಲ್ಲಿಡಲು ನೆರವಾಗುತ್ತವೆ.

ಅರಿವಣಿಗೊಳ್ಳಿಕೆ-ನಡೆವಳಿಕೆಯ ಚಿಕಿತ್ಸೆ (Cognitive behavioral therapy) ಮತ್ತು ಮಯ್ಯೊಡ್ಡಿಕೆ/ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ತಡೆಗಟ್ಟುವಿಕೆ (Exposure/ Response prevention) ಚಿಕಿತ್ಸೆಯ ವಿದಾನಗಳನ್ನು ಮಾನಸಿಕ ತಜ್ನರು ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಎರಡೂ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯ ವಿದಾನಗಳು ಬೇನೆಯನ್ನು ಹತೋಟಿಯಲ್ಲಿಡುವಲ್ಲಿ ತಜ್ನರ ನಂಬಿಕೆಯನ್ನು ಗಳಿಸಿವೆ. ಇವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮುಂದಿನ ಬರಹಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

(ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆ: https://www.quora.com)

(ಈ ಬರಹವನ್ನು ಹೊಸಬರಹದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ)

ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Quadrilaterals) ಭಾಗ-2

By admin 23/03/2017 08/04/2018 ಗಣಿತ

ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಬದಿಗಳು ಎಂದರೇನು, ಅವುಗಳ ಹಲವು ಬಗೆಗಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹಿರಿಮೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡೆವು. ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆದು ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter), ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು (Area), ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು(Angles) ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ ಹಾಗು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹಳಮೆಯನ್ನು (History of Quadrilaterals) ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ, ಮೂಲೆ, ಹರವುಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

1. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ (Perimeter of the Quadrilaterals):

ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಆದರ ಬದಿಗಳು AD, DC, CB ಮತ್ತು BA ಆಗಿವೆ ಹಾಗು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ P ಆಗಿರಲಿ.

ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = AD + DC + CB + BA

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಕೆಳಗಿನ ADCB ಗಾಳಿಪಟವನ್ನು (Kite) ತೆಗೆದ್ದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬದಿಗಳು AD = 2cm, DC = 4cm, CB = 4cm ಮತ್ತು BA = 2cm ಆಗಿವೆ ಹಾಗು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ P ಆಗಿರಲಿ.

ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = AD + DC + CB + BA = 2 + 4 + 4 + 2 = 12cm

∴ ಗಾಳಿಪಟ ADCB ಯ ಸುತ್ತಳತೆ P = 12cm

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಹರಳಾಕೃತಿ (Rombus) ADCB ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಅದರ ಒಂದು ಬದಿ AB = 3cm ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯೆಷ್ಟು?

ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ನಾವುಗಳು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಹರಳಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ,

∴ AD = DC = CB = BA = 3cm.

ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = AD + DC + CB + BA = 3 + 3 + 3 + 3 = 12cm.

∴ ಹರಳಾಕೃತಿ ADCB ಯ ಸುತ್ತಳತೆ P = 12cm.

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಕೆಳಗಿನ ಒಂದು ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿ (Tangential quadrilateral) ABCDಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬದಿಗಳು DA = 7cm, CD = 4.5cm, BC = 2.5cm ಆದಾಗ ಅದರ ಬದಿ AB ಯ ಉದ್ದವೆಷ್ಟು?

ಒಂದು ದುಂಡುಕದ (Circle) ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ತಗಲುಗೆರೆಗಳು (Tangent lines) ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಾಗ ಅದು ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಇನ್ನೊಂದು ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

∴ ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತ AD + BC = DC + AB.

ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿ (Tangential quadrilateral) ABCDಯ ಬದಿಗಳು DA = 7cm, CD = 4.5cm, BC = 2.5cm.

⇒ 7 + 2.5 = 4.5 +AB

⇒ 9.5 = 4.5 + AB

⇒AB = 9.5 – 4.5 = 5cm

∴ ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿ ABCD ಯಲ್ಲಿ AB ಬದಿಯ ಉದ್ದ 5cm ಆಗಿದೆ.

2. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ.

ಹೇಳಿಕೆ: “ಯಾವುದೇ ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ”.

ತೋರಿಸಿಕೆ (Proofs):

ABCD ಎಂಬ ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ AC ಎಂಬ ಒಂದು ನಡುಗೆರೆಯನ್ನು (Bisector Line) ಎಳೆಯೋಣ

ನಡುಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ .

∠1 + ∠2 = ∠A …… (i)

∠3 + ∠4 = ∠C …… (ii)

ನಡುಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆದಾಗ ನಮಗೆ ∆ABC ಮತ್ತು ∆ACD ಎಂಬ ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳು (Triangles) ಸಿಗುತ್ತದೆ.

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಯಾವುದೇ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಯ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

∴ ∆ABC ಯಲ್ಲಿ

∠2 + ∠4 + ∠B = 180°

∴ ∆ACD ಯಲ್ಲಿ

∠1 + ∠3 + ∠D = 180°

∆ABC ಮತ್ತು ∆ACD ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿದಾಗ ∠2 + ∠4 + ∠B + ∠1 + ∠3 + ∠D = 360° ಆಗುತ್ತದೆ.

⇒ (∠1 + ∠2) + ∠B + (∠3 + ∠4) + ∠D = 360°

⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° [(i) ಮತ್ತು (ii) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ]

∴ ಯಾವುದೇ ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯ (Simple Quadrilateral) ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಕೆಳಗಡೆ WZYX ಎಂಬ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Cyclic quadrilateral) ಮೂಲೆ ∠WXY = 106° ಮತ್ತು ಮೂಲೆ ∠XYZ = 87° ಆದಾಗ ಅದರ ಉಳಿದೆರಡು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ತುದಿಗಳು (Vertices) ದುಂಡುಕದ ಮಯ್ಯನ್ನು (Circumference) ತಗಲಿದಾಗ ಅದು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಹಾಗು ಯಾವುದೇ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

∴ ∠WXY + ∠YZW= ∠XYZ+ ∠ZWX= 180°

106° + ∠YZW = 87° + ∠ZWX = 180°

∴∠YZW = 180° – 106° = 74°

∴∠ZWX = 180° – 87° = 93°

∴ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಉಳಿದೆರಡು ಮೂಲೆಗಳು ∠YZW = 74° ಮತ್ತು ∠ZWX = 93° ಆಗಿವೆ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ∠WXY + ∠YZW + ∠XYZ+ ∠ZWX = 106° + 74° +87° +93° = 360°

ಅಲ್ಲಿಗೆ ನಾವು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದಂತಾಯ್ತು.

ಉದಾಹರಣೆ 2: BADC ಎಂಬ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ (Parallelogram) ಒಂದು ಮೂಲೆ ∠ABC = 120° ಆದಾಗ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಯಾವುದೇ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಮೂಲೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.

∴∠ABC = ∠CDA ಮತ್ತು ∠DAB = ∠BCD

ಇಲ್ಲಿ ∠ABC =120° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ∠CDA = ∠ABC =120° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವುಗಳು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

∴∠ABC + ∠CDA + ∠DAB + ∠BCD =360°

∴120° + 120° + ∠DAB + ∠BCD =360°

∠DAB + ∠BCD = 360° – 120° -120° = 120°

ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ∠DAB = ∠BCD ಆಗಿದೆ.

∴∠DAB+ ∠DAB = 120° = 2 x ∠DAB = 120°

∴ ∠DAB = 120°/2 = 60 ° ಮತ್ತು ∠BCD = ∠DAB = 60°

∴ BADC ಎಂಬ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳು ∠ABC = 120° , ∠CDA = 120° , ∠DAB = 60° , ∠BCD = 60° ಆಗಿವೆ.

3. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ (Area of Quadrilateral)

ನಾವು ಹಿಂದೆ ಚೌಕ ಎಂಬ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಚೌಕದ ಹರವಿನ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದೆವು, ಚೌಕದ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಹರವನ್ನು ಬದಿ x ಬದಿ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಆಯತದ ಹರವನ್ನು ಉದ್ದ x ಅಗಲ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬಗೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬದಿಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾಗ ಚೌಕ ಮತ್ತು ಆಯತದಂತೆ ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗದು. ಹಾಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸರಿಹೋಗುವಂತೆ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Equation) ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ನಾಲ್ಬದಿ (Quadrilateral): ABCD

ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು (Diagonals): p,q

ಬದಿಗಳು: AD = d, DC = c, CB = b, BA = a

ಅರೆಸುತ್ತಳತೆ (Semi-Perimeter) s = 1/2 x (a + b + c + d ).

ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಮೂಲೆ: θ

ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬಗೆಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳ ಬದಿಗಳು, ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಆಯಾ ನಾಲ್ಬದಿಗೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Equation) ಸರಳವಾಗಿಸಿ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಹಾಗು ಅವುಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಬಳಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ABCD ಸಾಟಿ ಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Trapezoid) ಸಾಟಿಬದಿಗಳು (Parallel sides) b1 = 10cm, b2 = 8cm ಆಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರ h = 5cm ಆದಾಗ ಅದರ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸಾಟಿ ಬದಿಗಳು (Parallel side) b1 = 10cm, b2 = 8cm , ಎತ್ತರ h = 5cm

ಸಾಟಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು A = 1/2 x ಎತ್ತರ x (ಸಾಟಿಬದಿ1 + ಸಾಟಿಬದಿ2) = 1/2 x h x (b1 + b2)

A = 1/2 x 5 x (10 + 8) = 1/2 x 5 x (18) = 90/2 = 45 cm²

∴ ABCD ಸಾಟಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು 45 cm²ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಟ್ಟಡವು ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿದೆ (Parallelogram), ಅದರ ಒಂದು ಗೋಡೆಯ (wall) ಸಾಟಿಬದಿಯ ಬುಡವು (Parallel base) 25m ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 15m ಆದಾಗ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಗೋಡೆಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಟ್ಟಡದ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುವ ಗೋಡೆಯನ್ನು ABCD ಎಂದು ಗುರುತಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ,

ಸಾಟಿಬದಿಯ ಬುಡ BC = AD = 25m, ಎತ್ತರ = 15m.

ಸಾಟಿಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು A = ಬುಡ x ಎತ್ತರ = b x h.

A = 25 x 15 = 375 m²

∴ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಟ್ಟಡದ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುವ ಗೋಡೆ ABCD ಯ ಹರವು 375 m²ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಗಾಳಿಪಟದ ಎದುರು ತುದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಉದ್ದಗಳು AC = 2 ft ಮತ್ತು BD = 1.5 ft ಆಗಿವೆ, ಬಾನಂಗಳದಲ್ಲಿ ಹಾರುತ್ತಿರುವ ಈ ಅಂದವಾದ ಬಣ್ಣ ಬಣ್ಣದ ಗಾಳಿಪಟದ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಗಾಳಿಪಟವನ್ನು ABCD ಎಂದು ಗುರುತಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಗಾಳಿಪಟದ ಎದುರು ತುದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಉದ್ದಗಳು AC = d1 =2 ft ಮತ್ತು BD = d2 =1.5 ft ಅದರ ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳಾಗಿವೆ (Diagonals).

ಗಾಳಿಪಟದ ಹರವು A = 1/2 x ಮೂಲೆಗೆರೆ1 x ಮೂಲೆಗೆರೆ2 = 1/2 x d1 x d2

A = 1/2 x d1 x d2 = 1/2 x 2 x 1.5 = 1.5 ft²

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಈ ಅಂದವಾದ ಬಣ್ಣ ಬಣ್ಣದ ಗಾಳಿಪಟ ABCD ಯ ಹರವು 1.5 ft²ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4: ABCD ಎಂಬ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ (Cyclic Quadrilateral) ಬದಿಗಳು AB = 3.5cm, BC = 3cm, CD = 2.5cm, DA = 1.5cm ಆಗಿವೆ, ಇದರ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ತುದಿಗಳು (Vertices) ದುಂಡುಕದ ಮಯ್ಯನ್ನು (Circumference) ತಗಲಿದಾಗ ಅದು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB = a = 3.5cm, BC = b = 3cm, CD = c = 2.5cm, DA = d = 1.5cm ಆಗಿವೆ.

ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು A = √(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)

ಇಲ್ಲಿ s ಎಂಬುದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಅರೆಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿದೆ (Semi-Perimeter), ಹಾಗು s = 1/2 x (a + b + c + d)

s = 1/2 x (3.5 + 3 + 2.5 + 1.5) = 10.5/2 = 5.25cm

A = √( s−a)(s−b)(s−c)(s−d) = √(5.25 – 3.5)(5.25 − 3)(5.25 – 2.5)(5.25 – 1.5) = √(1.75)(2.25)(2.75)(3.75)

A = √40.60546875 = 6.37225 cm ²

∴ ABCD ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು 6.37225 cm ²ಆಗಿದೆ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹಳಮೆ

ಸುಮಾರು 300 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕಿನ ಹೆಸರಾಂತ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ (Mathematician) ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಹೊತ್ತಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಡಕದಲ್ಲಿ (Euclid’s Elements) ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

(ಯೂಕ್ಲಿಡ್)

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು (Babylonians) ಹಲವು ಬಗೆಯ ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಹರವನ್ನು (Area of Quadrilatreal) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತಿದ್ದರು.
ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪೆರೋ (Pharaoh) ಅರಸರು ಸುಮಾರು 2700 BC ಇಂದ 500 BC ಗಳವರೆಗೆ ಪಿರಮಿಡ್ಡುಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟಲು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಬುಡವನ್ನು (Quadrilateral Base) ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು,
ಉಜ್ಜಯಿನಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನು (~500 A.D) ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವಿನ ( Area of Cyclic Quadrilateral) ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆಮಾಡಿದ್ದನು.

ಪೈತಾಗೋರಸ್ (500 B.C) ಒಬ್ಬ ಗ್ರೀಕಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ. ಅವನು ತನ್ನ ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ (Right Angle Triangle) ಕಟ್ಟಲೆಯನ್ನು ಒರೆಹಚ್ಚಲು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದ.

ಚಟುವಟಿಕೆ:

ನೀವು ದಿನಾಲೂ ಕಾಣುವ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕರಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಯಾವ ಬಗೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿರಿ. ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

(ಸೆಲೆಗಳು: socratic.org, thefamouspeople.com , cgm.cs.mcgill.ca , mathsisfun.com , wikipedia.org, geom.uiuc.edu , staff.argyll.epsb.ca )

ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Quadrilaterals) – ಭಾಗ 1

By admin 24/02/2017 16/09/2017 ಅರಿಮೆ (Science), ಗಣಿತ

ನಾವು ದಿನಾಲೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಆಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿರುತ್ತೇವೆ (Quadrilateral shaped objects), ಅವುಗಳೆಂದರೆ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಕಟ್ಟಡಗಳು, ಆಟದ ಸಾಮಾನುಗಳು, ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಮೇಜುಗಳು, ಕಪಾಟುಗಳು, ಗಾಳಿಪಟಗಳು, ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಗುರುತುಗಳು. ಮರೆತು ಬಿಡಬೇಡಿ, ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಚಾಕಲೇಟುಗಳೂ ಕೂಡ ಇವೆ!.

ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಬಗೆ ಬಗೆಯಾದ ನಾಲ್ಬದಿ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹಿರಿಮೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.

ನಾಲ್ಬದಿ ಎನ್ನುವುದು ಕೇವಲ ನಾಲ್ಕು ಗೆರೆಗಳಿಂದ ಏರ್ಪಟ್ಟ ಸಮತಟ್ಟಾದ (planar) ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (Closed Shape).
ನಾಲ್ಬದಿಯು ಅದರ ಬದಿಗಳು ಹಾಗು ಮೂಲೆಗಳ ಅಳತೆಗೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಅದರ ಆಕಾರ ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ನಾಲ್ಬದಿಯು ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳು (Sides), ನಾಲ್ಕು ತುದಿಗಳು (Vertices) ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು (Angles) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಗಳು.

ಬದಿ(Side): ನಾಲ್ಬದಿ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಬದಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ತುದಿ(Vertex): ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸೇರುವೆಡೆಯನ್ನು ತುದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ಮೂಲೆಗೆರೆ(Diagonal): ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಅದರ ಎದುರು ಮೂಲೆಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯೇ ಮೂಲೆಗೆರೆ.
ಸುತ್ತಳತೆ(Perimeter): ನಾಲ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವನ್ನು ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ಮೂಲೆ(Angle): ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಜೋಡಿ ಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸೇರಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಎಡೆಯನ್ನು ಮೂಲೆ ಇಲ್ಲವೇ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ನಡು(Centre or Centroid): ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಸೇರುವ ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ನಡು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ನಡುವಿನ ಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳು.

ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಬದಿ, ಮೂಲೆ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳ ಮಾರ್ಪಾಟುಗಳ ಮೇಲೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಲವು ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಒಳ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತಿಳಿಯೋಣ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಏರ್ಪಾಟುಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಗುರುತು	ಹುರುಳು
=	ಸರಿಯಾಗಿದೆ (Equal to )
≠	ಸರಿಯಾಗಿಲ್ಲ (Not equal to)
\|\|	ಸಾಟಿಯಾಗಿದೆ (Parallel to )
∦	ಸಾಟಿಯಾಗಿಲ್ಲ (Not parallel to)
∠	ಮೂಲೆ (Angle)
°	ಮೂಲೆಯಳತೆ (Angle measurement)

I. ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Simple Quadrilaterals)

ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಸುಳುವಾಗಿ (Simple) ಜೋಡಿಸಿದಂತೆ ಕಂಡುಬಂದರೆ ಅದು ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಟಿಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು (Parallelogram) ನೋಡಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಬದಿಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಅಡೆತಡೆ ಇಲ್ಲದೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಎರಡು ಬಗೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಉಬ್ಬು ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Convex Quadrilaterals) ಮತ್ತು ತಗ್ಗು ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Concave Quadrilaterals).

A. ಉಬ್ಬು ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Convex Quadrilaterals)

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಒಳ ಮೂಲೆಯೂ 180° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದು ಉಬ್ಬು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉಬ್ಬು ನಾಲ್ಬದಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅವುಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೂಲೆಯು 180° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ.

1. ಸಾಟಿಯಿರದ ನಾಲ್ಬದಿ (trapezium or Irregular quadrilateral)

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಾಟಿಯಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (Non-Parallel) ಅದನ್ನು ಸಾಟಿಯಿರದ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುವವರು ಹಾಗು ಇದರ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಶೇಷತೆ ಎಂದರೆ ಇದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯನ್ನು (Un-equal lengths) ಹೊಂದಿವೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AB ≠ BC ≠ CD ≠ DA, AD ∦ BC, AB ∦ CD

2. ಸಾಟಿ–ಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿ (trapezoid (US) or Trapezium(UK))

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಂದು ಜೊತೆ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಾಟಿಯಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಾಟಿ-ಇಬ್ಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುವವರು.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD || BC, AB ∦ CD

3. ಸರಿ–ಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿ (Isosceles trapezoid)

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಾಟಿಯಿದ್ದು ಮತ್ತು ಅದರ ಬುಡದ ಮೂಲೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಿ-ಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುವರು.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AB = DC, AD || BC, AB ∦ CD

ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು: AC = DB

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ∠BAD = ∠CDA, ∠AEB = ∠DEC, ∠AED = ∠BEC

4. ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿ (Parallelogram)

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಾಟಿಯಿದ್ದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುವರು.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD = BC, AB = DC, AD || BC, AB || DC

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ∠BAD = ∠BCD, ∠ABC= ∠ADC

5. ಹರಳಾಕೃತಿ (Rombus)

ಹರಳಾಕೃತಿ ಅಥವಾ ವಜ್ರಾಕೃತಿ ಎಂದರೆ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತವೆ (Diagonals are perpendicularly bisect each other).

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD = BC = AB = DC, AD || BC, AB || DC.

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ∠AOB = ∠BOC = ∠AOD = ∠DOC = 90°, ∠ABC= ∠ADC, ∠BAD = ∠BCD.

6. ಬದಿಬೇರ್ಮೆ ಹರಳಾಕೃತಿ (Rhomboid)

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಾಟಿಯಿದ್ದು ಮತ್ತು ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಹಾಗು ಅದರ ಮೂಲೆಗಳು ಸರಿಮೂಲೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ (Non-Right Angle) ಅದು ಬದಿಬೇರ್ಮೆ ಹರಳಾಕೃತಿಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD || BC, AB || DC , AB ≠ BC, CD ≠ DA, AD = BC, AB = DC

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ∠ABC ≠ 90°, ∠ADC ≠ 90°, ∠BAD ≠ 90°, ∠BCD ≠ 90°

7. ಆಯತ ಅಥವಾ ನೇರಡ್ಡಸಾಟಿ ನಾಲ್ಬದಿ (Rectangle)

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿ-ಸಾಟಿಯಿದ್ದು (Opposite sides are equal and parallel) ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲೆಗಳು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿದ್ದರೆ (Right Angle) ಅದು ಆಯತವಾಗುತ್ತದೆ. ಆಯತಕ್ಕೆ ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿ ನೇರಡ್ಡಸಾಟಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD || BC, AB || DC , AD = BC, AB = DC

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ∠ABC = ∠ADC = ∠BAD = ∠BCD = 90°

8. ಚೌಕ ಅಥವಾ ಸರಿ ನಾಲ್ಬದಿ (Square)

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಸಾಟಿಯಾಗಿದ್ದು (Sides are Equal and Parallel) ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲೆಗಳು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿದ್ದರೆ (Right Angle) ಅದು ಚೌಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಚೌಕಕ್ಕೆ ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿ ಸರಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD || BC, AB || DC, AD = BC = AB = DC

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ∠ABC = ∠ADC = ∠BAD = ∠BCD = 90°

(ಚೌಕದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿ ತಿಳಿಸುವ ಅರಿಮೆಯ ಬರಹ : https://arime.org/ಚೌಕ )

9. ಗಾಳಿಪಟ (Kite)

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಜೊತೆಯ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯನ್ನು (Pair of adjacent sides are equal to each other) ಹೊಂದಿದ್ದು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ (Diagonals are perpendicularly bisect each other) ಅದು ಗಾಳಿಪಟಾಕೃತಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣುವಂತೆ ಜೋಡಿ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾಗಿವೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AB = AD, BC = CD.

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°

10. ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿ (Tangential quadrilateral)

ಒಂದು ದುಂಡುಕದ (Circle) ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ತಗಲುಗೆರೆಗಳು (Tangent lines) ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಾಗ ಅದು ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಇನ್ನೊಂದು ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ತಗಲುಗೆರೆಗಳು: AB, BC, CD, DA

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD + BC = AB + DC.

ದುಂಡುಕ: ದುಂಡುಕದ ನಡುವು ನಾಲ್ಬದಿಗೆ ಒಳನಡು O (Incentre) ಆಗುತ್ತದೆ

11. ತಗಲು ಸಾಟಿ–ಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿ (Tangential trapezoid)

ಒಂದು ದುಂಡುಕದ (Circle) ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ತಗಲುಗೆರೆಗಳು (Tangent lines) ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟು ಮತ್ತು ಒಂದು ಜೊತೆ ಎದುರುಬದಿಗಳು ಸಾಟಿಯಾದಾಗ (Opposite sides are parallel to each other) ಅದು ತಗಲು ಸಾಟಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದೆನೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸಾಟಿಬದಿಗಳನ್ನು (Parallel Sides) ಬುಡ (Base) ಎಂದು ಮತ್ತು ಉಳಿದೆರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಕಾಲು (Leg) ಎಂದು ಕರೆಯುವರು

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ತಗಲುಗೆರೆಗಳು: AB, BC, CD, DA

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD + BC = AB + DC, AD || BC, ಬುಡ =AD, BC ಮತ್ತು ಕಾಲು = AB, DC

ದುಂಡುಕ: ದುಂಡುಕದ ನಡುವು ನಾಲ್ಬದಿಗೆ ಒಳನಡು (Incentre) ಆಗುತ್ತದೆ

12. ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ (Cyclic quadrilateral)

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ತುದಿಗಳು (Vertices) ದುಂಡುಕದ ಮಯ್ಯನ್ನು (Circumference) ತಗಲಿದಾಗ ಅದು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಹಾಗು ಯಾವುದೇ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ತುದಿಗಳು: A, B, C, D

ಬದಿಗಳು: AD, BC, AB, DC.

ದುಂಡುಕ: ದುಂಡುಕದ ನಡುವು ನಾಲ್ಬದಿಗೆ ಒಳನಡು O (Incentre) ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ∠BAD + ∠BCD = ∠ABC + ∠ADC = 180°

13. ನೇರಡ್ಡಬದಿ ಗಾಳಿಪಟ (Right Kite)

ನಾಲ್ಬದಿಯು ಸರಿಯಳತೆಯ ಜೋಡಿ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದ್ದಿದ್ದು ಹಾಗು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯ ಬದಿಗಳು ಕೂಡುವೆಡೆಗಳು ನೇರಡ್ಡಗಳಾಗಿದ್ದರೆ (Perpendicular) ಅದು ನೇರಡ್ಡಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಅಥವಾ ನೇರಡ್ಡಬದಿ ಗಾಳಿಪಟವಾಗುತ್ತದೆ. ನೇರಡ್ಡಬದಿ ಗಾಳಿಪಟವನ್ನು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ದುಂಡುಸುತ್ತು (Cyclic Quadrilaterals) ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಂದು ಬಗೆಯಾಗಿದೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AB = BC, AD = DC.

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ∠DAB = ∠BCD = 90° ಮತ್ತು ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90° , ∠ABC + ∠ADC = 180° ( ಇದು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ (Cyclic Quadrilaterals) ಕೂಡ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ)

14. ಎರಡುನಡು ನಾಲ್ಬದಿ (Bicentric quadrilateral)

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು (Sides) ಒಳದುಂಡುಕಕ್ಕೆ (incircle) ತಗಲಿದ್ದು ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ತುದಿಗಳು (Vertices) ಹೊರದುಂಡುಕಕ್ಕೆ (circumcircle) ತಗಲಿದ್ದು, ಒಳದುಂಡುಕದ ನಡುವು ಒಳದುಂಡುನಡು (incentre) ಮತ್ತು ಹೊರದುಂಡುಕದ ನಡುವು ಹೊರದುಂಡುನಡುವನ್ನು (circumcentre) ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಹಾಗು ಯಾವುದೇ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಂತಹ ನಾಲ್ಬದಿಗಳನ್ನು ಎರಡುನಡು ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ತುದಿಗಳು: A, B, C, D

ಬದಿಗಳು: AD, BC, AB,DC.

ದುಂಡುಕ: ಒಳದುಂಡುಕದ ನಡುವು ನಾಲ್ಬದಿಗೆ ಒಳದುಂಡುನಡು O1 (Incentre) ಆಗುತ್ತದೆ ಹಾಗು ಹೊರದುಂಡುಕದ ನಡುವು ನಾಲ್ಬದಿಗೆ ಹೊರದುಂಡುನಡು O2 (circumcentre) ಆಗುತ್ತದೆ,

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ∠BAD + ∠BCD = ∠ABC + ∠ADC = 180°

15. ನೇರಡ್ಡಮೂಲೆಗೆರೆ ನಾಲ್ಬದಿ (Orthodiagonal quadrilateral)

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ (Diagonals are orthogonal) ಅದು ನೇರಡ್ಡಮೂಲೆಗೆರೆ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹಿರಿಮೆ ಏನೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಎದುರುಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ (Sum of the squares of opposite sides) ಮೊತ್ತವು ಉಳಿದ ಎದುರುಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಬದಿಗಳ ಕೆಂಪುಬಣ್ಣದ ಒಟ್ಟು ಹರವು ನೀಲಿಬಣ್ಣದ ಒಟ್ಟು ಹರವಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗೆ dಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುವ ಚೌಕ (Square), ಗಾಳಿಪಟ (Kite) ಮತ್ತು ಹರಳಾಕೃತಿಗಳು (Rhombus) ನೇರಡ್ಡಮೂಲೆಗೆರೆ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರುತ್ತವೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD²+ BC²= DC²+ AB²

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°

16. ಸರಿಮೂಲೆಗೆರೆ ನಾಲ್ಬದಿ (Equidiagonal quadrilateral)

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು (Diagonals are in equal length) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಸರಿಮೂಲೆಗೆರೆ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳೊತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕ (Square), ಆಯತ (Rectangle) ಮತ್ತು ಸರಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿ (Isosceles trapezoid) ಸರಿಮೂಲೆಗೆರೆ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರುತ್ತವೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಗಳು: AD, BC, AB, DC.

ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು: AC = DB

17. ಹೊರತಗಲುಗೆರೆ ನಾಲ್ಬದಿ (Ex–tangential quadrilateral)

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳ ಮುಂಗೆರೆಗಳು (Extended Lines) ಒಂದು ಹೊರ ದುಂಡುಕದ (excircle) ಮೇಲ್ಮಯ್ಯನ್ನು ತಗಲಿದರೆ (Tangent) ಅದು ಹೊರತಗಲುಗೆರೆ (Ex-tangential) ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AB + BC = AD + DC ಹಾಗು AB + CD = BC + AD

ಹೊರತಗಲುಗೆರೆ: BF, DG, CF, CG

18. ಜೇಮ್ಸ್ಲೇವ್ ನಾಲ್ಬದಿ (Hjelmslev quadrilateral)

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯು ಎದುರುಬದರು ಸರಿಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಜೇಮ್ಸ್ಲೇವ್ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ನೇರಡ್ಡಬದಿ ಗಾಳಿಪಟ (Right Kite) ಕೂಡ ಒಂದು ಜೇಮ್ಸ್ಲೇವ್ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿದೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಗಳು: AD, BC, AB, DC.

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ∠BAD = ∠BCD = 90° ಮತ್ತು ∠ABC + ∠ADC = 180°

B. ತಗ್ಗು ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Concave Quadrilaterals)

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಒಳ ಮೂಲೆಯೂ 180° ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅದು ತಗ್ಗು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ತಗ್ಗು ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಈಟಿ ನಾಲ್ಬದಿ (Dart Quadrilateral)

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಜೋಡಿಗೆರೆಗಳು (Pair of adjacent sides are equal) ಒಂದೇ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿದ್ದು ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಮೂಲೆಯೂ 180° ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅದು ಈಟಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯು ಈಟಿ ತುದಿಯನ್ನು (Dart) ಹೋಲುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಈಟಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಒಂದು ಮೂಲೆಯೂ 210° ಆಗಿದೆ, ಇದು 180° ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ತಗ್ಗು ನಾಲ್ಬದಿಯ (Concave Quadrilateral) ಒಂದು ಬಗೆಯಾಗಿದೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AB = AD, BC = CD

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ∠ABC = ∠ADC, ∠BCD = 210° > 180°.

II. ಸುಳುವಲ್ಲದ ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Complex Quadrilaterals).

ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿಯುವ ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯ (Simple Quadrilateral) ಮಾರ್ಪಾಟಿಗಿಂತ ಬೇರೆಯದಾದ ಮಾರ್ಪಾಟನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಾಲ್ಬದಿಗಳನ್ನು ಸುಳುವಲ್ಲದ ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Complex Quadrilateral) ಎಂದು ಕರೆಯುವರು. ಇಂತಹ ಸುಳುವಲ್ಲದ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಯು (self-intersecting Quadrilaterals) ಒಂದು ಬಗೆಯಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ತಿರುಚಿದಾಗ (Crossed) ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಗಳನ್ನು ಚಿಟ್ಟೆ ನಾಲ್ಬದಿ (Butterfly Quadrilateral), ಬಿಲ್ಲು–ಗಂಟು ನಾಲ್ಬದಿ (Bow–Tie Quadrilateral) ಎಂದೂ ಕರೆಯುವವರು. ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಕೆಲವು ಈ ಸುಳುವಲ್ಲದ ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ತಿರುಚು ಆಯತ (Crossed Rectangle)

ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು (Rectangle) ಎರಡು ಸರಿಪಾಲನ್ನಾಗಿ ತಿರುಚಿ ಮತ್ತು ತಿರುಚಿದ ತುದಿಗಳು (Vertices) ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ತಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ತಿರುಚು ಆಯತ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಸರಿಸಾಟಿ ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಗಳು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿದೆ (Cyclic Quadrilaterals) ಕೂಡ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: ABCD ಆಯತದಲ್ಲಿ AB ಬದಿಯನ್ನು ತಿರುಚಿದಾಗ ಅದು BA ಆಗುತ್ತದೆ ಹಾಗು AB =CD ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು: BC, DA ಎಂಬ ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಏರ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಹಾಗು BC = DA ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ತಿರುಚು ನಡುವು X ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಹಾಗು AX = XD, CX =XB ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸುಳುವಲ್ಲದ ನಾಲ್ಬದಿಗಳಿಗೆ (Complex Quadrilaterals) ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ತಿರುಚು ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿ (Antiparallelogram) ಮತ್ತು ತಿರುಚು ಚೌಕ (Crossed Square).

ತಿರುಚು ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿ (Antiparallelogram)

ತಿರುಚು ಚೌಕ (Crossed Square)

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಗುಣಗಳು:

1. ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಗುಣಗಳು (Properties of simple quadrilaterals)

ಯಾವುದೇ ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಯ ಮೊತ್ತವು 360°ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳನ್ನು (Diagonals) ಎಳೆಯಬಹುದು.
ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದ ಹೆಚ್ಚುಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ (Proportion) ಅದರ ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದವು ಹೆಚ್ಚುಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ.
ಉಬ್ಬು ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Convex Quadrilateral) ಎಲ್ಲಾ ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು (Diagonals) ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಉಬ್ಬು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.
ತಗ್ಗು ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Concave Quadrilateral) ಒಂದು ಮೂಲೆಗೆರೆ (Diagonal) ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹೊರಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೇಲಿನ ಈಟಿ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು (Dart Quadrilateral) ನೋಡಬಹುದು.
ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅವುಗಳ ಬದಿ, ಮೂಲೆ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾರ್ಪಾಟು ಹೊಂದುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಬಗೆಯ ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ತಿಳಿಯಿರಿ.
ಯಾವುದೇ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ (Cyclic Quadrilaterals) ಎದುರು ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ (Sum of opposite angles) 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿ ತಿಳಿಯಲು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿರುವ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ನೋಡಿ.

2. ಸುಳುವಲ್ಲದ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಗುಣಗಳು (Properties of complex quadrilaterals).

ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಯು (Crossed Quadrilaterals) ಒಂದು ಸುಳುವಲ್ಲದ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿದೆ.
ಯಾವುದೇ ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಯು ಒಂದು ಜೊತೆ ಕಿರಿಮೂಲೆ (Acute Angle) ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಜೊತೆ ಮೀರುಮೂಲೆ (Reflex Angle) ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಯಾವುದೇ ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ 720° ಆಗಿರುತ್ತದೆ
ಯಾವುದೇ ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಯು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Cyclic Quadrilaterals), ಕೆಳಗಿನ ಓಡುಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

(ಸೆಲೆಗಳು: http://www.bbc.co.uk, https://www.mathsisfun.com, http://byjus.com/cbse, http://www.mbacrystalball, http://www.ask-math.com, http://www.lavcmath.com, Wikipedia)

ಪಾಲುಗಳು (fractions) – ಭಾಗ 3

By admin 25/01/2017 25/10/2022 ಗಣಿತ

ಪಾಲುಗಳ ಕುರಿತು ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳು.

ಒಂದು ವಸ್ತು ಅಥವಾ ವಸ್ತುಗಳ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ಸಮ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿಯಾದರು ಮಾಡಬಹುದು.

ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿ ತಿಳಿಯಲು ಮೊದಲನೆಯ ಬರಹದ ಮೊದಲ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಒಂದು ವಸ್ತು ಅಥವಾ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಬೇಕೆಂದರೆ ವಸ್ತು ಅಥವಾ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿಸಲೇಬೇಕು.

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಗಳು (Numerators) ಒಂದೇ ಇದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಳಗೆಣಿ (Denominator) ಚಿಕ್ಕದಿದ್ದಾಗ ಆ ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ (Value of a fraction) ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಹಾಗು ಕೆಳಗೆಣಿ ದೊಡ್ಡದಿದ್ದಾಗ ಆ ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:- 10/20 ಮತ್ತು 10/15 ಎಂಬ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ 10 ಆಗಿದೆ, ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು 20 ಮತ್ತು 15 ಆಗಿವೆ.
ನಾವುಗಳು ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು ಸರಿಬರುವಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಮೊದಲ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 20 ಕ್ಕೆ 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 60 ಆಯಿತು, ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 15 ಕ್ಕೆ 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 60 ಆಯಿತು, ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾದವು (Like Fraction).
ಕೆಳಗೆಣಿಗಳನ್ನು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿಗಳನ್ನಾಗಿಸುವಾಗ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆಯೋ ಆಯಾ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಆಯಾ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ ಬದಲಾಗಬಾರದು, ಇದರಂತೆ ಕೆಳಗೆ ಗುಣಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಮೊದಲ ಪಾಲು 10/20 = (10 x 3)/(20 x 3) = 30/60 ನ್ನು ಎರಡನೇ ಪಾಲು 10/15 = (10 x 4)/(15 x 4) = 40/60 ಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಎರಡನೇ ಪಾಲು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. i.e 10/15 > 10/20. ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 15 ಚಿಕ್ಕದು ಮತ್ತು ಆ ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಹಾಗು ಮೊದಲನೇ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 20 ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು ಆ ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ.

ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು (Denominators) ಒಂದೇ ಇದ್ದಾಗ ಹಾಗು ಅದರ ಮೇಲೆಣಿ (Numerator) ಚಿಕ್ಕದಿದ್ದಾಗ ಆ ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ (Value of a fraction) ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಹಾಗು ಅದರ ಮೇಲೆಣಿ ದೊಡ್ಡದಿದ್ದಾಗ ಆ ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:- 5/9 ಮತ್ತು 4/9 ಎಂಬ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 9 ಆಗಿದೆ, ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿಗಳು 5 ಮತ್ತು 4 ಆಗಿವೆ. ಮೊದಲ ಪಾಲು 5/9 ನ್ನು ಎರಡನೇ ಪಾಲು 4/9 ಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಮೊದಲನೇ ಪಾಲು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. i.e 5/9 > 4/9. ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೇ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ 5 ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು ಆ ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಹಾಗು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ 4 ಚಿಕ್ಕದು ಮತ್ತು ಆ ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ.

ಪಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಪಾಲು (Unit Fraction) ಎಂದರೆ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು (1) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:- 1/2, 1/4, 1/5, 1/23, 1/41.

ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ (Like Fraction) ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಆಗುವ ಅನುಕೂಲಗಳು.

ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕೂಡಬಹುದು (Addition).
ಉದಾಹರಣೆ:- 3/7 ಮತ್ತು 2/7 ಎಂಬ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 7 ಆಗಿದೆ, ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿಗಳು 3 ಮತ್ತು 2 ಆಗಿವೆ.
ಇವುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕೂಡಬಹುದು:
3/7 + 2/7 = (3 + 2)/7 = 5/7
ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಳೆಯಬಹುದು (Subtraction).
ಉದಾಹರಣೆ:- 5/8 ಮತ್ತು 1/8 ಎಂಬ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 7 ಆಗಿದೆ, ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿಗಳು 5 ಮತ್ತು 1 ಆಗಿವೆ.
ಇವುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಳೆಯಬಹುದು.
5/8 – 1/8 = (5-1)/8 = 4/8
ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದು (Division).
ಉದಾಹರಣೆ: 7/9 ಮತ್ತು 5/9 ಎಂಬ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 9 ಆಗಿದೆ, ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿಗಳು 7 ಮತ್ತು 5 ಆಗಿವೆ.
ಇವುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಳೆಯಬಹುದು.
(7/9) / (5/9 ) = 7/5
ಇಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು ತಮ್ಮ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು (Multiplication).
ಉದಾಹರಣೆ: 2/5 ಮತ್ತು 3/5 ಎಂಬ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 5 ಆಗಿದೆ, ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ಆಗಿವೆ.
(2/5) x (3/5) = (2×3)/(5 x 5 ) = (2×3)/(25 ) = 6/25.
ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದು ಚಿಕ್ಕದೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ:- 8/12 ಮತ್ತು 7/12 ಎಂಬ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 12 ಆಗಿದೆ, ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿಗಳು 8 ಮತ್ತು 7 ಆಗಿವೆ.
ಮೊದಲ ಪಾಲು 8/12 ನ್ನು ಎರಡನೇ ಪಾಲು 7/12 ಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಮೊದಲನೇ ಪಾಲು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ.
ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೇ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ 8 ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು ಆ ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಹಾಗು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ 7 ಚಿಕ್ಕದು ಮತ್ತು ಆ ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ.
∴ 8/12 > 7/12.

ಪಾಲಿನ ಹಳಮೆ

ಸುಮಾರು 1000 BC ಹೊತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರು ಬಿಡಿಪಾಲುಗಳನ್ನು (Unit Fractions) ಕೂಡುತ್ತಿದ್ದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು (1) ಆಗಿರುತ್ತಿತ್ತು ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಬಿಡಿ ಎಣಿಕೆ (Whole Number) ಆಗಿರುತ್ತಿತ್ತು. ಇದನ್ನು ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪಾಲೆಣಿಕೆ (Egyptian Fractions) ಎಂದು ಕರೆಯುವರು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ.
1/2 + 1/3 +1/16
ಸ್ಕಾಟ್ಲೆಂಡಿನ ಅರಕೆಗಾರ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಹೆನ್ರಿ ರಿಂಡ್ ಈಜಿಪ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಅರಕೆ ಮಾಡುವಾಗ ಸಿಕ್ಕ 1650 BC – 1550 BC ಹೊತ್ತಿನ ಜೊಂಡುಹುಲ್ಲಿನ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ (Papyrus) ಪಾಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಈಗ ಅದನ್ನು ರಿಂಡ್ ಮೆತಮೆಟಿಕಲ್ ಪ್ಯಾಪಿರಸ್ (Rhind Mathematical Papyrus) ಎಂದು ಕರೆಯುವರು.
ಎರಡು ಸಾವಿರ ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಗ್ರೀಕರು ಬಿಡಿಪಾಲುಗಳ (Unit Fractions) ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆ ನಡೆಸಿದ್ದರು, ಗ್ರೀಕಿನ ಪೈತಾಗೋರಸ್ (500 BC) ಕೂಡ ಪಾಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆ ಮಾಡಿದ್ದನು.
ಸುಮಾರು 100 B.C ಹೊತ್ತಿಗೆ ಸೇರಿದ ಜೈನರ ಸ್ತಾನಂಗ ಸೂತ್ರ (Sthananga Sutra) ಎಂಬ ಅರಕೆಯ ಹೊತ್ತಗೆಯಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ.
600 A.D ಹೊತ್ತಿಗೆ ಸೇರಿದ ಬಂಗಾಳದ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಭಾಸ್ಕರನು (Bhaskara I) ಪಾಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆ ಮಾಡಿದ್ದನು.
ಸುಮಾರು 1200 A.D ಗೆ ಸೇರಿದ ಮೊರೊಕ್ಕೋದ (Morocco) ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಅಲ್-ಹಸರ್ (Al-Hassar) ಪಾಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆ ಮಾಡಿದ್ದನು.
ಸುಮಾರು ಹದಿನೈದು ನೂರರ ನಂತರ ಯುರೋಪಿನಲ್ಲಿ ಹತ್ತರ ಪಾಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ (Decimal Fractions) ಹಲವಾರು ಅರಕೆಗಳು ನಡೆದವು.

ಚಟುವಟಿಕೆ:

ನೀವುಗಳು ದಿನಾಲು ನೋಡುವ ಒಂದಿಶ್ಟು ವಸ್ತುಗಳ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ತಕ್ಕು ಪಾಲುಗಳು , ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳು, ಸರಿ ಪಾಲುಗಳು, ಬೆರಕೆ ಪಾಲುಗಳು, ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ತಾಳೆಹಚ್ಚಿ ನೋಡಿ.
ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗೆ ಒಂದನೇ ಬರಹ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಬರಹಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

ಸೆಲೆಗಳು:

ಪಾಲುಗಳು (fractions) – ಭಾಗ 2

By admin 22/11/2016 25/10/2022 ಗಣಿತ

ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳೆಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂರು ಬಗೆಗಳಾದ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳು, ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳು ಹಾಗು ಬೆರಕೆ ಪಾಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡೆವು, ಇನ್ನೂ ಮುಂದುವೆರೆದು ಅದರ ಮತ್ತಿತರ ಬಗೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

4. ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳು (Equivalent fractions):

ಯಾವುದೇ ಒಂದಿಷ್ಟು ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳನ್ನು ಎರಡು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ, ನಾಲ್ಕು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಮತ್ತು ಎಂಟು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗು ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕದ ಅರ್ಧಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೋಡೋಣ.

(ಗಮನಿಸಿ: ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಾಗ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಅಥವಾ ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡಿದ್ದೇವೆ).

$fractions_2_1$

ಬಗೆ 1:
ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತೊಂದು ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ ಬಂದರೆ ಅವೆರೆಡು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗುತ್ತವೆ.

ಮೊದಲನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/2, ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 4 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (4×1)/(4×2) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 2/4, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 2 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (2×2)/(2×4) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 4/8, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 1 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (1×4)/(1×8) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಹಾಗಾಗಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳ ಬೆಲೆ 4/8 ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಿಯಾಯಿತು ಹಾಗು ಇಲ್ಲಿ ಎಂಟರಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಅಂದರೆ ಅರ್ಧಭಾಗ ಎಂದಾಯಿತು, ಹಾಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕದ ಅರ್ಧ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

ಬಗೆ 2:

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಒಂದನೇ ಪಾಲು, ಪಾಲು1 = ಮೇಲೆಣಿ1/ಕೆಳಗೆಣಿ1 ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲು , ಪಾಲು2 = ಮೇಲೆಣಿ2/ಕೆಳಗೆಣಿ2 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗಳನ್ನು ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿದಾಗ ಮೊತ್ತ1= ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೆಳಗೆಣಿ2 , ಮೊತ್ತ 2= ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೆಳಗೆಣಿ1, ಮೊತ್ತ1 = ಮೊತ್ತ2 ಆದಾಗ ಅವುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ದುಂಡುಕಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡೋಣ.

ಪಾಲು 1/2 ಮತ್ತು 2/4 ಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ

(ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೆಳಗೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೆಳಗೆಣಿ1) 1 x 4 =4 ಮತ್ತು 2 x 2 =4

ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 4 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 1/2 ಮತ್ತು 2/4 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಪಾಲು 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ (ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೆಳಗೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೆಳಗೆಣಿ1) 2 x 8 =16 ಮತ್ತು 4 x 4 =16

ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 16 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಪಾಲು 1/2 ಮತ್ತು 4/8 ಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ (ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೆಳಗೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೆಳಗೆಣಿ1) 1 x 8 =8 ಮತ್ತು 4 x 2 =8, ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 8 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 1/2 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.
ಹಾಗಾಗಿ 1/2 , 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ1:

ಒಂದೇ ಅಳತೆಯ ಮೂರು ಕಾಗದದ ತುಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿಬಣ್ಣವನ್ನು ಬಳಿಯಲಾಗಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾದ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

$fractions_2_2$

ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಮೊದಲ ಬಗೆ1 ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೊದಲನೇ ಕಾಗದದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/3, ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 4 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (4×1)/(4×3) = 4/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/6, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 2 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (2×1)/(2×6) = 2/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 3/12, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 1 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (1×3)/(1×12) = 3/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಗದದಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬೆಲೆಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬರುವುದರಿಂದ ಮೂರು ಕಾಗದದಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಹಾಗಾಗಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ಪಾಲುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲ.

ಚಟುವಟಿಕೆ2:

1/2, 2/3, 5/7, 6/18, 7/28, 9/4, 9/45, 7/2 ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತಕ್ಕು ಪಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿ.

ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ (Numerator) ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗಳಿಗೆ (Denominator) ಬಿಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (Whole number) ಗುಣಿಸಿ ಅದರ ಇನ್ನೊಂದು (Multiply) ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 5/7 = (2 x 5)/(2 x 7) = 10/14, ಆದ್ದರಿಂದ 5/7 ರ ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲು 10/14.

ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denminator) ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (Proper fraction).

ಪಾಲೆಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (Improper fraction).

$fractions_2_9$
5. ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು (Like fractions):
ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು (Denominator) ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೂರು ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಚೌಕದ ಎರಡನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

$fractions_2_3$

ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಿದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯೋಣ
• ಒಂದನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 1/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಎರಡನೇ ಚೌಕದ ಎರಡನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 2/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಮೂರನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 3/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಒಂದನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಚೌಕಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು 4 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

6. ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು (Unlike fractions):
ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು (Denominator) ಬೇರೆ ಬೇರೆಯದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೂರು ಆರ್ಬದಿಗಳ (Hexagonal) ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

$fractions_2_4$

• ಮೊದಲನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ಎರಡನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 1/2 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಎರಡನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ಮೂರನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 2/3 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಮೂರನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 3/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಆರ್ಬದಿಯ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು 1/2, 2/3, 3/4, ಇಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು 2, 3 ಮತ್ತು 4 ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ (Unlike Fractions).

ಚಟುವಟಿಕೆ: ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಎರಡು ದುಂಡುಕಗಳು (Circles) ಮತ್ತು ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಎರಡು ದುಂಡುಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ದುಂಡುಕ ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

$fractions_2_5$

• ಮೊದಲನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 3/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ಏಳು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 7/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 4/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 2/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳು 3/8, 7/8, 4/8, 2/4. ಮೊದಲ ಮೂರು ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 8 ಆಗಿದೆ, ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 4 ಆಗಿದ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹಸಿರು ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕವು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:
ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು(Unlike fractions) ಕೊಟ್ಟಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಹೇಗೆಂದರೆ ಪಾಲುಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳನ್ನು ಸರಿ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳಾಗಿರುವಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಗುಣಿಸುವಾಗ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯಾ ಪಾಲುಗಳ ಮೇಲೆಣಿಗೂ ಕೂಡ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಆದಾಗ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದಿದಿಯೋ ಅದು ದೊಡ್ಡಪಾಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ ಚಿಕ್ಕದಿದಿಯೋ ಅದು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು 5/6 ಮತ್ತು 4/5 ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಪಾಲು 5/6 = (5 x 5)/(6 x 5) = 25/30 ಮತ್ತು ಪಾಲು 4/5 = (4 x 6)/(5 x 6) = 24/30, ನಾವುಗಳು ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು ಸರಿಬರುವಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಮೊದಲ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 6 ಕ್ಕೆ 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 30 ಆಯಿತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 5 ಕ್ಕೆ 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 30 ಆಯಿತು, ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾದವು.

ಮೊದಲ ಪಾಲು 5/6 = 25/30 ನ್ನು ಎರಡನೇ ಪಾಲು 4/5 = 24/30 ಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಮೊದಲಿನ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ ದೊಡ್ಡದಿದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲು 5/6 = 25/30 ದೊಡ್ಡ ಪಾಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲು 4/5 = 24/30 ರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ ಎರಡನೇ ಪಾಲಿಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಿದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲು.

ಚಟುವಟಿಕೆ: ಕೆಳಗಿನ ಜೊತೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡ ಪಾಲು ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
ಪಾಲುಗಳು
$fractions_2_10$ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆದು ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು ಎಂದು ಹಿಡಿಯಬಹುದು

$fractions_2_11$

ಎಣಿಕೆಯ ಗೆರೆ ಎಳೆದು ಪಾಲುಗಳ ಹತ್ತಿರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:
• ಎರಡು ಪಾಲುಗಳ ಹತ್ತಿರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಗೆರೆ ಎಳೆದು ಅದರ ಮೇಲೆ ಪಾಲುಗಳ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
• ಎರಡು ಗೆರೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಡಬದಿಯಿಂದ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಪಾಲುಗಳ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.
• ಎರಡು ಗೆರೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಪಾಲು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

$fractions_2_6$

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದರ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/4, 1/2, 3/4 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದರ ಐದು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿ ಯಾವ ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

$fractions_2_7$

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿದಾಗ 1/4 ಮತ್ತು 1/5, 3/4 ಮತ್ತು 4/5 ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಒಂದರ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/4, 1/2, 3/4 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದರ ಐದು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿ ಯಾವ ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

$fractions_2_8$

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿದಾಗ 1/4 ಮತ್ತು 2/7, 1/2 ಮತ್ತು 4/7, 3/4 ಮತ್ತು 5/7 ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಮುಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳ ವಿಶೇಷತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕೂಡುವುದು, ಕಳೆಯುವುದು, ಗುಣಿಸುವುದು ಭಾಗಿಸುವುದರ ಬಗ್ಗೆ ಹಾಗು ಪಾಲಿನ ಹಳಮೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ

(ಮಾಹಿತಿ ಸೆಲೆಗಳು:
learnnext.com, ask-math.com, metal.brightcookie.com, study.com/academy/, basic-math-explained.com, math-only-math.com, images.tutorvista.com, ilmoamal.org, ಐದನೇ ತರಗತಿಯ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ)

ಪಾಲುಗಳು (fractions) – ಭಾಗ 1

By admin 17/10/2016 25/10/2022 ಗಣಿತ

ನಾವು ಅಂಗಡಿಗೆ ಹೋದಾಗ ಕಾಲು ಕೇಜಿ, ಅರ್ಧ ಕೇಜಿ, ಮುಕ್ಕಾಲು ಕೇಜಿ ತರಕಾರಿಗಳನ್ನು ಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಅಲ್ಲವೇ ಇವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಒಂದು ಕೇಜಿಯ ಪಾಲುಗಳು. ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಅರ್ಧ, ಕಾಲು ಎಂದು ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ ಅವುಗಳು ಹಣ್ಣಿನ ಅರ್ಧ ಭಾಗ, ಕಾಲು ಭಾಗಗಳಾಗುತ್ತವೆ ಇವೆಲ್ಲವೂ ಪಾಲುಗಳಿಗೆ (Fractions) ಸೇರುತ್ತವೆ. ನಾವುಗಳು ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ದಿನವೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿರುತ್ತೇವೆ!

ಪಾಲುಗಳು (Fractions) ಅಂದರೇನು? :

ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ ತುಂಡುಗಳನ್ನು ಸಮಪಾಲುಗಳು ಇಲ್ಲವೇ ಪಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಉದ್ದಿನ ವಡೆಯ ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ.

$fraction_vade$

ಮೊದಲ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಡೆ ಇಡಿಯಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಡೆಯನ್ನು ಸಮನಾದ ಎರಡು ತುಂಡುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮನಾದ ನಾಲ್ಕು ತುಂಡುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇವೇ ವಡೆಯ ಪಾಲುಗಳು.

ಇಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದುದೆಂದರೆ, ಗಣಿತದ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ’ಪಾಲುಗಳು’ ಇಲ್ಲವೇ ’ಪ್ರಾಕ್ಶನ್ಸ್’ (fractions) ಅಂದರೆ ’ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ’ ತುಂಡುಗಳು ಎಂದೇ ಅರ್ಥ. ತುಂಡುಗಳು ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೇ ಅವು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲ. (ಗಣಿತದ ಈ ವಿಷಯದ ಮಟ್ಟಿಗೆ)

ಇದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ತುಂಬಿದ ತುಂಡುಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿವೆ. ಇಂತಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುಂಡನ್ನು ಗಣಿತದ ಈ ವಿಷಯದ ಮಟ್ಟಿಗೆ ’ಪಾಲುಗಳು’ ಎನ್ನಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇ ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ತುಂಬಿದ ಎಲ್ಲ 3 ತುಂಡುಗಳೂ ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿವೆ ಹಾಗಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ’ಪಾಲುಗಳು’ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

$fraction_unequal$
ನಮ್ಮ ದಿನ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ’ಪಾಲುಗಳು’ ಎಂದರೆ ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ್ದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದೇನಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಗಣಿತದ ಈ ವಿಷಯದ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಅದು ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ್ದಾಗಿರಬೇಕು. ಇಂಗ್ಲೀಶಿನ ಬಳಕೆಯಲ್ಲೂ ಹೀಗೆಯೇ ಇದೆ. ಪ್ರಾಕ್ಶನ್ಸ್ (fractions) ಅನ್ನುವ ಪದ ದಿನ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ ಅಲ್ಲದೇ ಇರುವುದಕ್ಕೂ ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಗಣಿತದ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಬಂದಾಗ ಅದು ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ್ದಾಗಿರಲೇಬೇಕು.

ಗಮನಿಸಿ:
ಪಾಲುಗಳು ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ತುಣುಕುಗಳಲ್ಲದೇ, ಅಳತೆಗಳ ಕಿರು ಅಳತೆಗಳೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅರ್ಧ ಮೀಟರ್ ಅಳತೆಯ ಬಟ್ಟೆಯು ಒಂದು ಮೀಟರ್ ಅಳತೆ ಬಟ್ಟೆಯ ಪಾಲು ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಪಾಲನ್ನು a/b ಎಂದು ಗಣಿತದ ನಂಟು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ a ಎಂಬುದು ವಸ್ತುವಿನ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವಿನ ಅಳತೆಯ ಸಮನಾದ ಪಾಲು ಮತ್ತು b ಎಂಬುದು ವಸ್ತುವಿನ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವಿನ ಅಳತೆಯ ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳು (Total quantity). ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಮುಂದೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ತಿಳಿಯೋಣ.
a/b ಯಲ್ಲಿ a ಯು ಗೆರೆಯ ಮೇಲಿರುವುದರಿಂದ ಮೇಲೆಣಿ (Numerator) ಎಂದು b ಯು ಗೆರೆಯ ಕೆಳಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಕೆಳಗೆಣಿ(Denominator) ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.
ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಸಮ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆಯೋ ಅದೇ ಅದರ ಕೆಳಗೆಣಿ(Denominator).
ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸಮ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೋ ಅದೇ ಅದರ ಮೇಲೆಣಿ (Numerator).

ಕೆಳಗಿನ ನಾಲ್ಕು ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣಿನ ಹಲವು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಹೇಗೆ ತೋರಿಸಬಹುದೆಂದು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಈಗ ನೋಡೋಣ.

ಮೊದಲನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 1/1 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣು ಹಾಗೆ ಇದೆ, ಪಾಲು ಮಾಡಿಲ್ಲ.

ಎರಡನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ಒಟ್ಟು 2 ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈಗ ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪಾಲನ್ನು 1/2 ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಅದು ಏಕೆಂದರೆ, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ಒಟ್ಟು 2 ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿರುವುದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು ತೋರಿಸುವಾಗ ಅದರ ಕೆಳಗೆಣಿ 2 ಎಂದೂ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 1 ನ್ನೇ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಮೇಲೆಣಿ 1 ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಎರಡನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಪಾಲು 1/2. ದಿನಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಅರೆಪಾಲು ಇಲ್ಲವೇ ಅರ್ಧ ಪಾಲು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ಒಟ್ಟು 3 ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಪಾಲು ತೋರಿಸುವಾಗ ಅದರ ಕೆಳಗೆಣಿ 3 ಎಂದಾಯಿತು. ಹಾಗಾಗಿ ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುಣುಕನ್ನು 1/3 ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಇನ್ನು, ನಾಲ್ಕನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ಒಟ್ಟು 4 ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆಣಿ 4 ಅನ್ನುವುದು ತಟ್ಟನೇ ಹೇಳಿಬಿಡಬಹುದಲ್ಲವೇ? ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪಾಲನ್ನು 1/4 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ದಿನಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಕಾಲು ಇಲ್ಲವೇ ಕಾಲುಪಾಲು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಚಿತಗಳನ್ನೇ ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತಾ, 1 ತುಣುಕನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ 1/2 (ಚಿತ್ರ-2), 1/3 (ಚಿತ್ರ-3), 1/4 (ಚಿತ್ರ-4) ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದೆಂದು ಕಂಡೆವು. ಅದೇ 1 ತುಣುಕಿನ ಬದಲಾಗಿ 2 ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಸಾಲಾಗಿ 2/2, 2/3, 2/4 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇದೆ ನೋಡಿ. ಒಂದು ದೋಸೆಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಎಂಟು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಎಂಟು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 1 ಪಾಲನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅಂತಹ ಪಾಲನ್ನು 1/8 ಎಂದೂ, 2 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ 2/8 ಎಂದೂ ಮತ್ತು 3 ಪಾಲನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ 3/8 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚುಟುಕಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಪಾಲನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕಾದಾಗ

ವಸ್ತುವೊಂದರಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ (ಕೆಳಗೆಣಿ) ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ (ಮೇಲೆಣಿ) ತೋರಿಸಿದರೆ ಆಯಿತು.

ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಓದುವುದು ಹೇಗೆ? :
ಮೇಲೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಂತೆ ಪಾಲೊಂದರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆನೋ ಇರುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಓದುವುದು? 1/2 ಪಾಲಿಗೆ ಅರೆಪಾಲು, 1/4 ಪಾಲಿಗೆ ಕಾಲು ಎಂದು ಕೆಲವು ದಿನಬಳಕೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟರೆ ಉಳಿದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಓದಲು ಒಂದು ಬಗೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಓದಬಹುದು,

3/4 = 4 ರಲ್ಲಿ 3 ಇಲ್ಲವೇ 4 ನೇಯ 3 (ಈ ಪಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 4 ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 3 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ)
7/21 = 21 ರಲ್ಲಿ 7 ಇಲ್ಲವೇ 21 ನೇಯ 7 (ಈ ಪಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 21 ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 7 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ)

ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹಲವು ಬಗೆಗಳಿವೆ. ಈ ಬಗೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಈಗ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

1. ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳು (Proper fraction):

ಪಾಲೊಂದರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳು (Proper fraction) ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ1:

2/3, 8/11, 9/27 ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಇವುಗಳು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ2:
ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣದ ಗೆರೆ ಎಳೆದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಒಟ್ಟು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಮೊದಲ ಚಿತ್ರವಾದ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಮೂರು ಪಾಲುಗಳಿವೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣದ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಬಣ್ಣ ಎಳೆದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು 2/3 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ 2 ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 3 ಕೆಳಗೆಣಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ತಕ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆ.

ಎರಡನೆ ಚಿತ್ರವಾದ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ನಾಲ್ಕು ಪಾಲುಗಳಿವೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಮೂರು ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣದ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಬಣ್ಣ ಎಳೆದ ಪಾಲನ್ನು 3/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ 3 ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 4 ಕೆಳಗೆಣಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಯೂ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದೂ ಒಂದು ತಕ್ಕು ಪಾಲಾಗಿದೆ.

ಹಾಗೆನೇ ಮೂರನೆಯ ಚಿತ್ರ ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Quadrilateral) ಒಟ್ಟು ಎಂಟು ಪಾಲುಗಳಿವೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಏಳು ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣದ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಇದನ್ನು 7/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ 7 ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 8 ಕೆಳಗೆಣಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ತಕ್ಕು ಪಾಲಾಗಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ1: ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳೆಂದು ತೋರಿಸಿ.
ಅರ್ಧಪಾಲು, ಮೂರನೇ ಎರಡು, ಹತ್ತನೇ ಮೂರು , ಏಳನೇ ಐದು, ಹದಿನಾರನೇ ಐದು, ಹನ್ನೆರಡನೇ ಐದು, ಒಂಬತ್ತನೇ ಎಂಟು, ಒಂಬತ್ತನೇ ನಾಲ್ಕು, ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು, ಐದನೇ ಎರಡು.

ಕೊಟ್ಟ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ದುಂಡುಕದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಹಸಿರು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಮೂರನೇ ಎರಡು ಎಂದರೆ ಒಟ್ಟುಪಾಲುಗಳು ಮೂರು ಎಂದು ಮತ್ತು ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ಪಾಲುಗಳು ಎರಡು ಎಂದು, ಹಾಗಾಗಿ ಮೂರನೇ ಎರಡನ್ನು ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ 2/3 ಆಗುತ್ತದೆ,

ಗಮನಿಸಿ: ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳು ಒಂದು ತಕ್ಕುಪಾಲಾಗಿದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ2: ಕೆಳಗೆ ಅಂಚೆಕಾಗದಗಳನ್ನು ಐದು ಪಾಲನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಹಾಗು ಎಲ್ಲಾ ಐದು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ತಲಾ ಮೂರು ಅಂಚೆಕಾಗದಗಳು ಬರುವಂತೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಐದನೇ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಶ್ಟು ಅಂಚೆಕಾಗದಗಳು ಎಂದರೆ ಎಷ್ಟು ಅಂಚೆ ಕಾಗದಗಳಾಗುತ್ತವೆ?

ಕೆಳಗೆ ಅಂಚೆ ಚೀಟಿಗಳನ್ನು ಐದು ಪಾಲನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಹಾಗು ಎಲ್ಲಾ ಐದು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ತಲಾ ಮೂರು ಅಂಚೆಕಾಗದಗಳು ಬರುವಂತೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಐದನೇ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಶ್ಟು ಅಂಚೆ ಕಾಗದ ಅಂದರೆ ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳು ಐದು ಎಂದು ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಕೊಂಡ ಪಾಲುಗಳು ಎರಡು ಎಂದು, ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳು ತಲಾ ಮೂರು ಅಂಚೆ ಕಾಗದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಿಂದ ತಲಾ ಮೂರರಂತೆ ನಮಗೆ ಒಟ್ಟು ಆರು ಅಂಚೆ ಚೀಟಿಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ3: ಒಂದು ತರಕಾರಿಯ ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ 12 Kg ಗಳಶ್ಟು ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳಿರುತ್ತವೆ, ಮೊದಲನೇ ಕೊಳ್ಳುಗ ಸುಮಾರು 2 Kg ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯನ್ನು ಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ, ಎರಡನೇ ಕೊಳ್ಳುಗ ಸುಮಾರು 5 Kg ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯನ್ನು ಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ, ಮೂರನೇ ಕೊಳ್ಳುಗ ಸುಮಾರು 4 Kg ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯನ್ನು ಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯ ಪಾಲೆಷ್ಟು?.

ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ 12 Kg ಗಳಾಗಿವೆ.
ಒಂದನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕೊಳ್ಳುಗರು 2 Kg, 5 Kg, 4 Kg ಗಳಶ್ಟು ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳನ್ನು ಕೊಳ್ಳುವರು, ಈ ಮೂವರು ಸೇರಿ ಕೊಂಡುಕೊಂಡ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ 2 + 5 + 4 = 11 Kg ಗಳಾಗಿವೆ.
ಉಳಿದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ತೂಕ = ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ – ಕೊಂಡುಕೊಂಡ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ = 12 – 11 = 1 Kg ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯ ಪಾಲನ್ನು ಉಳಿದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ತೂಕ/ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ ಎನ್ನಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯ ಪಾಲು 1/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ4: 1) 8/5, 2) 9/2, 3) 11/17, 4) 13/4, 5) 19/23 ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೌದು ಅಥವಾ ಅಲ್ಲವೆಂದು ಗುರುತಿಸಿ.

ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (Proper fraction), ಹಾಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳು ಹೌದು ಅಥವಾ ಅಲ್ಲವೆಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

2. ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳು (Improper fractions):

ಪಾಲೊಂದರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಇಲ್ಲವೇ ಎರಡೂ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಪಾಲನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲು (Improper fractions) ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1: 3/2, 11/7, 15/10, 6/6 ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಇಲ್ಲವೇ ಸಮನಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಇವುಗಳು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉದ್ದಿನ ವಡೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ.

$improper_fraction_vade$

ಇಲ್ಲಿ 6 ವಡೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಪಾಲನ್ನು ತೋರಿಸುವಾಗ ಅದರ ಮೇಲೆಣಿಯನ್ನು 6 ಎಂದು ಬರೆಯಬೇಕು. ಅದೇ 1 ಇಡೀ ವಡೆಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 4 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಪಾಲನ್ನು ತೋರಿಸುವಾಗ ಅದರ ಕೆಳಗೆಣಿ 4 ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕು.

ಹಾಗಾಗಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದ ಒಟ್ಟಾರೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು 6/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬೇಕು. ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಈ ತರಹದ ಪಾಲನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲು ಅನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಮಾಡಿರುವ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಡೆಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಚಟುವಟಿಕೆ1: ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿರುವ 25 ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೆ 25 ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಮೊದಲಿದ್ದ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳನ್ನು ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಮೊದಲಿದ್ದ ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು 25
ಒಟ್ಟು ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು = ಮೊದಲಿದ್ದ ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು 25 + ನಂತರದ ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು 25 = 50 ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು
ಮೊದಲಿದ್ದ ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟು ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಪಾಲು = 50/25
ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಈ ಪಾಲು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ2: ಕೆಳಗಿನ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲು ಹೌದು ಅಥವಾ ಅಲ್ಲವೆಂದು ಗುರುತಿಸಿ.

ಚಟುವಟಿಕೆ3: ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಬಿಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (Whole Number) ಕೂಡ ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಬುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ನಾವು ಬಿಡಿ ಸಂಖ್ಯೆ 19 ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.19 ನ್ನು 19/1 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದರ ಮೇಲೆಣಿ = 19 ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿ = 1 ಆಗಿದೆ ಹಾಗು ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ದೂಡ್ಡದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ 1 ನ್ನು ಕಾಣದ ಕೆಳಗೆಣಿ (Invisible Denominator) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

3. ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳು (Mixed fractions):

ಒಂದು ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜತೆಗೆ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ’ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳು’ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಈ ಬಗೆಯ ಪಾಲನ್ನು c a/b ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ c ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ a/b ಎಂದಿನಂತೆ ಪಾಲನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (a-ಮೇಲೆಣಿ, b-ಕೆಳಗೆಣಿ), ಉದಾಹರಣೆಗೆ 5 1/2, 1 1/4, 2 3/4,

ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೇಲೆಣಿ/ಕೆಳಗೆಣಿ = ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆ + ಮೇಲೆಣಿ/ಕೆಳಗೆಣಿ = (ಕೆಳಗೆಣಿ x ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆ+ ಮೇಲೆಣಿ)/ಕೆಳಗೆಣಿ = (ca+b)/c

ಉದಾಹರಣೆ1: ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ.

$mixed_fraction_vade$

ಇಲ್ಲಿ 1 ಇಡೀ ವಡೆಯ ಜತೆಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ವಡೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಒಟ್ಟು 4 ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 3 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪಾಲನ್ನು 1 3/4 ಎಂಬಂತೆ ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ 1 ಇಡೀ ವಡೆ ಮತ್ತು 3/4 ಪಾಲು ವಡೆಗಳು.

ಗಮನಿಸಿ: ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳಂತೆ (improper fractions) ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳೂ (mixed fractions) ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇಡೀ ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಪಡೆದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹಾಗೇ ನೋಡಿದರೆ ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿಯೂ ಮತ್ತು ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ1: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಗಾಜಿನ ತುಂಡುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಬೆರಕೆ ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಮೊದಲನೇ ಬಣ್ಣದ ಗಾಜಿನ ತುಂಡನ್ನು ಒಂದು ಬಿಡಿ ತುಂಡನ್ನಾಗಿ (Whole part) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬೆಲೆ 1 ಆಗಿರಲಿ.
ಮೊದಲನೇ ಗಾಜಿನ ತುಂಡಿನಶ್ಟೇ ಉದ್ದವಿರುವ ಎರಡನೇ ಬಣ್ಣದ ಗಾಜಿನ ತುಂಡಿನಲ್ಲಿ ಐದನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ತುಂಡಿನಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲನ್ನು 2/5 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
ಎರಡು ಗಾಜಿನ ತುಂಡುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ
ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಮೊದಲ ಇಡೀ ಗಾಜಿನತುಂಡು+ ಐದನೇ ಎರಡರಶ್ಟು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಎರಡನೇ ಗಾಜಿನ ತುಂಡು = 1+2/5 = 1 2/5.

ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಬಗೆ:

ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿ ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಿನ ಬಗೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ,

1. ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿಯನ್ನು ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. (3 x 1 = 3)

2. ಗುಣಿಸಿ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೇಲೆಣಿಗೆ ಕೂಡಿಸಬೇಕು. (3 + 2 = 5)

3. ಹೀಗೆ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿ ಈಗ ಬರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಯನ್ನು ಮೊದಲು ಇರುವುದನ್ನೇ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ( 5/3)

ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲನ್ನು ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲನ್ನಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಬಗೆ:

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

1) 5 ನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ

2) ಹೀಗೆ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 1 ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆ ದೊರೆತು 2 ಉಳಿಯುತ್ತದೆ

3) ಆಗ ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲಿಗೆ, ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಯನ್ನು ಮೊದಲಿದ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೇ ಬರೆಯುವುದು.

ಅಂದರೆ, 1 2/3

ಚಟುವಟಿಕೆ1: 3 1/2 ಎಂಬ ಬೆರಕೆ ಪಾಲು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ (Improper Fraction) ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.
3 1/2 ಬೆರಕೆ ಪಾಲನ್ನು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ (2 x 3 + 1)/2 = 7/2 ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ.
ನಮಗೆ ಸಿಕ್ಕ 7/2 ಪಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ 7 (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿ 2 ಕ್ಕಿಂತ (Denominator) ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ (Improper fraction).

ಚಟುವಟಿಕೆ2: 1 2/3, 4 6/7, 10 3/11, 6 8/9, 5 2/5, 7 1/6 ಬೆರಕೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಇಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ (Improper fraction).

ಮುಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳ ಇನ್ನಷ್ಟು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಚುಟುಕು ಯಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಈ ಬಾರಿಯ ನೊಬೆಲ್

By admin 10/10/2016 11/10/2016 ಇತ್ತೀಚಿನ ಸುದ್ದಿ

ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಯಾರು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ ಹೇಳಿ? ಕಾರು, ಬಸ್ಸು, ವಿಮಾನದಂತಹ ಸಾಗಾಣಿಕೆಯ ಯಂತ್ರಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಗ್ರ್ಯಾಂಡರ್, ಪಂಪ್, ಹೊಲಿಗೆ ಯಂತ್ರ ಹೀಗೆ ದೈನಂದಿನ ಹಲವು ಕೆಲಸಗಳಲ್ಲಿ ನಾವಿಂದು ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಹಿಂದೊಮ್ಮೆ ಎಲ್ಲ ಕೆಲಸಗಳಿಗೆ ಮೈ ಕಸುವನ್ನೇ ನೆಚ್ಚಿಕೊಂಡಿದ್ದ ನಾವು, ಇಂದು ಯಂತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ನಮ್ಮೆಲ್ಲ ಹೊರೆಯನ್ನು ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗೊಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ, ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಯಂತ್ರ ಯಾವುದು? ಹಡಗು, ವಿಮಾನ, ರಾಕೆಟ್ ಹೀಗೆ ಹಲವು ಉತ್ತರಗಳು ಬರಬಹುದು. ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕ ಯಂತ್ರ ಯಾವುದು? ಮೊಬೈಲ್. ಅದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದು? ಕೈ ಗಡಿಯಾರ. ಹಾಗಾದರೆ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದು? ಇನ್ನೂ ಚಿಕ್ಕದು? ಹೀಗೆ ಕೇಳುತ್ತಾ ಹೊರಟರೆ ಕೊನೆ ಎಲ್ಲಿ? ಆದರೆ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳುತ್ತಲೇ, ಅಂತಹ ಕಿರಿದಾದ, ಚುಟುಕಾದ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಅಂತಾ ತೋರಿಸಿರುವ ಅರಿಗರ ತಂಡಕ್ಕೆ ಈ ವರುಶದ ನೊಬೆಲ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿ ದೊರೆತಿದೆ. ಅವರು ಮಾಡಿದ ಚುಟುಕು ಯಂತ್ರಗಳ ಹೆಸರು ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ಸ್ (Molecular Machines) ಅಂದರೆ ಅಣುಕೂಟಗಳ ಯಂತ್ರಗಳು. ಯಾವ ಯಂತ್ರಗಳಿವು? ಏನಿವುಗಳ ಉಪಯೋಗ? ಮುಂತಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.

ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ಸ್ (Molecular Machine) ಅಂದರೇನು?:

’ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್’ ಪದದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿ ಮೊದಲು ನೋಡೋಣ,

ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ವಸ್ತುಗಳು ಕಿರಿದಾದ ಘಟಕಗಳಾದ ಅಣುಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಅಣುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಕಲೆತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರಚನೆಯೊಂದನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ರಚನೆಗಳನ್ನು ’ಮೊಲಿಕ್ಯುಲ್’ (Molecule) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಮೊಲಿಕ್ಯುಲ್ (Molecule) ಎರಡು ಇಲ್ಲವೇ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಣುಗಳಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ. ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿ ಮೊಲಿಕ್ಯುಲ್‍ನ್ನು ಅಣುಕೂಟ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಎರಡು ವಿಷಯಗಳೆಂದರೆ, ಅಣುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ತುಂಬಾನೇ ಕಿರಿದಾದ ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಅನ್ನುವುದು ಒಂದು ಮತ್ತು ಜೀವಿಗಳು, ವಸ್ತುಗಳು ಹೀಗೆ ಎಲ್ಲದರಲ್ಲಿ ಅಡಕವಾಗಿರುವ ರಚನೆಯೊಂದರ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಅನ್ನುವುದು ಇನ್ನೊಂದು.

ಇನ್ನು, ಎರಡನೆಯ ಪದ ಮಶೀನ್ ಇಲ್ಲವೇ ಯಂತ್ರ. ಮೈ ಶಕ್ತಿ, ರಾಸಾಯನಿಕ ಶಕ್ತಿ, ಮಿಂಚಿನ, ಗಾಳಿಯ ಶಕ್ತಿ ಹೀಗೆ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಬಗೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಕೆಲಸ ಇಲ್ಲವೇ ಚಟುವಟಿಕೆಯೊಂದನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಲಕರಣೆಯನ್ನು ಯಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರು ಉರುವಲಿನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಗಾಣಿಕೆಯ ಚಟುವಟುಕೆಯೊಂದನ್ನು ಮಾಡಬಲ್ಲ ಯಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಹಾಗೆನೇ ಹೊಲಿಗೆ ಯಂತ್ರ ಕರೆಂಟ್ ಇಲ್ಲವೇ ಕಾಲಿನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೊಲಿಯುವ ಸೂಜಿಯನ್ನು ಮೇಲೆ ಕೆಳಗೆ ಆಡಿಸುವ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಯಂತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಈಗ ’ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶಿನ್’ ಎಂಬ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದಾಗ ಅದರ ಹುರುಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿನ ಕಿರು ರಚನೆಯಾದ ಅಣುಕೂಟಗಳನ್ನು ಒಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಿಕೊಂಡು, ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುವ ಯಂತ್ರಗಳೇ ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶಿನ್ಸ್ ಇಲ್ಲವೇ ಅಣುಕೂಟಗಳ ಯಂತ್ರಗಳು.

ಇನ್ನೂ ತಿಳಿಯಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ ಇಂಜಿನ್ನು, ಗಾಲಿ, ಅಡಿಗಟ್ಟು (chassis) ಮುಂತಾದ ರಚನೆಗಳನ್ನು, ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಿಕೊಂಡು, ನಮ್ಮ ಓಡಾಟಕ್ಕೆ ನೆರವಾಗುವ ’ಕಾರು’ ಎಂಬ ಯಂತ್ರ ಹೇಗಿದೆಯೋ ಹಾಗೆ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿನ ಕಿರಿದಾದ ಅಣುಕೂಟಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಂತ್ರವೊಂದನ್ನು ತಯಾರು ಮಾಡಿದರೆ ಅದೇ ’ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್’ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ನಮ್ಮ ಕೂದಲ ಎಳೆಯೊಂದರ ಸುಮಾರು 1000 ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕ ಅಳತೆಯದು!

ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ಸ್ (Molecular Machines) ಹೊಸದೇ?:
ಹಾಗೇ ನೋಡಿದರೆ ನಮ್ಮ ಮಯ್ಯಲ್ಲೇ ಸಾವಿರಾರು ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್‍ಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಲವು ಪ್ರೋಟಿನ್ ರಚನೆಗಳು ಒಗ್ಗೂಡಿ ನಮ್ಮ ಮಯ್ಯ ರಚನೆಯ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿರುವ ಜೀವಕೋಶಗಳಲ್ಲಿ ಅಡಕಗಳನ್ನು ಒಂದೆಡೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದೆಡೆ ಸಾಗಿಸುವ ಯಂತ್ರಗಳಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ರಚನೆಗಳು ರಕ್ತ, ಉಸಿರ್ಗಾಳಿ ಸಾಗಾಣಿಕೆಯ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ ಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಚುಟುಕು ಯಂತ್ರಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಕಾಣಸಿಗುತ್ತವೆ.

ಆದರೆ ಈ ಯಂತ್ರಗಳು ನಮಗೆ ಬೇಕಿರುವ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾರವು, ತಮಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಕೆಲಸವನ್ನಷ್ಟೇ ಅವು ಮಾಡಬಲ್ಲವು. ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ, ನಾವು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಕೆಲಸವನ್ನೇ ಮಾಡಬಲ್ಲ ಯಂತ್ರಗಳು ಬೇಕಿದ್ದರೆ, ನಾವೇ ಅಂತಹ ಚುಟುಕು ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಉಂಟು ಮಾಡುವುಂತೆ ಆಗಬೇಕು. ಇದೇ ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ ಕುರಿತಾಗಿ ನಮ್ಮ ಮುಂದಿರುವ ಸವಾಲು.

ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ಸ್ (Molecular Machine) ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ?:
ಈ ಮೇಲೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಂತೆ, ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ ತುಂಬಾನೇ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಕೈಯಿಂದಾಗಲಿ ಇಲ್ಲವೇ ನಾವು ಕಟ್ಟಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಯಂತ್ರದಿಂದಾಗಲಿ ತಯಾರಿ ಮಾಡಲು ಆಗದು. ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಚುಟುಕು ಅಣುಕೂಟ ಯಂತ್ರಗಳ ಕಟ್ಟಣೆಯ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ? ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಗೆಲುವು ಕಂಡವರೇ ಈ ಬಾರಿಯ ನೊಬೆಲ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿ ಪಡೆದ ಅರಿಗರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾದ ಫ್ರಾನ್ಸ್ ದೇಶದ ಜೀನ್-ಪಿರ್ ಸಾವೆಜ್ (Jean-Pierre Sauvage). 1983 ರಲ್ಲಿ ಇವರು ತಾಮ್ರದ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಣುಕೂಟದ ಸರಪಳಿಯೊಂದನ್ನು ಮಾಡಿ ತೋರಿಸಿದರು. ಈ ಕಟ್ಟಣೆಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಎರಡು ಅಣುಕೂಟಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಕೊಂಡಿಯಾಗಲು ತಾಮ್ರದ ಹುರುಪಿಯನ್ನು (copper ion) ಸಾವೆಜ್ ಬಳಸಿಕೊಂಡರು. ತಾಮ್ರದ ಹುರುಪಿಯೆಡೆಗೆ ಎರಡು ಅಣುಕೂಟಗಳನ್ನು ತಂದಾಗ, ಅವು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸೆಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟು ಉಂಗುರದ ಆಕಾರದಂತೆ ಕೊಂಡಿಯಾದವು. ಇಂತಹ ಹಲವು ಉಂಗುರುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಉಂಗುರದ ಸರಪಳಿಯೊಂದನ್ನು ಆಗ ಮಾಡಬಹುದಾಯಿತು. (ಕಾರಿನ ಕಟ್ಟಣೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಗಾಲಿಯಂತಹ ರಚನೆ ಈಗ ತಯಾರಾಯಿತು ಅನ್ನಬಹುದು)

1991 ನೇ ಇಸ್ವಿಯಲ್ಲಿ ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಮೈಲಿಗಲ್ಲು ಉಂಟಾಯಿತು. ಈ ಮೈಲಿಗಲ್ಲನ್ನು ನೆಟ್ಟವರೇ ಈ ಬಾರಿಯ ನೊಬೆಲ್ ಪಡೆದವರಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯವರಾದ ಸ್ಕಾಟ್‍ಲೆಂಡಿನ ಜೇಮ್ಸ್ ಪ್ರೇಸರ್ ಸ್ಟೊಡಾರ್ಟ್ (James Fraser Stoddart). ಅಣುಕೂಟಗಳ ಉಂಗುರಾಕಾರದ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಒಂದು ತಿರುಗೋಲಿನ (axle) ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಹಿಂದೆ ಮುಂದೆ ಸಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಸ್ಟೊಡಾರ್ಟ್ ಗೆಲುವು ಕಂಡರು.

ಕಾವು ನೀಡಿದಾಗ ಅಣುಕೂಟಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಡಿಕ್ಕಿ ಹೊಡೆಯುತ್ತವೆ. ಹೀಗೆ ಹೊಡೆಯುವ ಡಿಕ್ಕಿಯನ್ನು ಒಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉಂಟುಮಾಡುವಂತಾದರೆ ತಿರುಗೋಲಿನಲ್ಲಿ ಸಾಗಬಲ್ಲ ಅಣುಕೂಟಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದೆಂದು ಸ್ಟೊಡಾರ್ಟ್ ತೋರಿಸಿದರು. (ಕಾರಿನ ಕಟ್ಟಣೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಗಾಲಿಗಳು ತಿರುಗೋಲಿನಲ್ಲಿ ಸಾಗುವಂತಹ ರಚನೆ ಈಗ ತಯಾರಾಯಿತು ಅನ್ನಬಹುದು). ಇಂತಹ ರಚನೆಯೊಂದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಓಡುಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು.1999 ರಲ್ಲಿ ನೆದರ್ ಲ್ಯಾಂಡಿನ ಬರ್ನಾರ್ಡ್ ಎಲ್ ಫೆರಿಂಗಾ (Bernard L. Feringa) ಎಂಬುವವರು ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಮೈಲಿಗಲ್ಲುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಜಗತ್ತಿನ ಮೊಟ್ಟಮೊದಲ ಅಣುಕೂಟಗಳ ಕಿರುಕಾರೊಂದನ್ನು ಮಾಡಿ ತೋರಿಸಿದರು. ಈ ಸಾಧನೆಗಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಇಬ್ಬರು ಅರಿಗರ ಜತೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಬಾರಿಯ ನೊಬೆಲ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿ ಫೆರಿಂಗಾ ಅವರಿಗೆ ಸಂದಿದೆ. ಫೆರಿಂಗಾ ಅವರು ಮುಂದಿಟ್ಟ ಅಣುಕೂಟಗಳು ಕಲೆತುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಮಾಡುವ ಬಗೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು.

ಈ ಬಗೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವು ಅಣುಕೂಟಗಳನ್ನು ಕಲೆಯುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತಾ ಹೋದರೆ, ಅಣುಕೂಟಗಳ ಕಿರುಕಾರೊಂದನ್ನೇ ಮಾಡಬಹುದೆಂದು ಫೆರಿಂಗಾ ತೋರಿಸಿದರು. ಈ ಕಿರುಕಾರಿನ (nanocar) ತೋರುಚಿತ್ರವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೋಡಬಹುದು.

ಹೀಗೆ ಮೂವರು ಅರಿಗರು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಕಾಲಘಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅಣುಕೂಟಗಳ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಂದರೆ ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್‍ಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದಾದ ಬಗೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ 2016 ನೇ ಸಾಲಿನ ಕೆಮಿಸ್ಟ್ರಿ ಕವಲಿನ ನೊಬೆಲ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಮೂವರಿಗೂ ಒಟ್ಟಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಚುಟುಕು ಯಂತ್ರಗಳ ಉಪಯೋಗವೇನು?:

ಕಡುಕಿರಿದಾದ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಬಗೆಯನ್ನೇನೋ ಅರಿಗರು ಮುಂದಿಟ್ಟರು. ಆದರೆ ಈ ಯಂತ್ರಗಳ ಉಪಯೋಗವೇನು? ಅನ್ನುವುದು ಸಹಜವಾದ ಪ್ರಶ್ನೆ. ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಜಾರಿಗೆ ತರಬಲ್ಲ ಬಳಕೆಗಳಿವೆ ಅನ್ನುವ ಉತ್ತರ ಇಂದಿಗೆ ದೊರೆಯದಿದ್ದರೂ, ಮುಂದಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಇದರ ಬಳಕೆಯ ಹರವು ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚಲಿದೆ ಅನ್ನುವುದು ಬಲ್ಲವರ ಮಾತು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ಯಾನ್ಸರ್ ಹುಣ್ಣನ್ನು ಅದಿರುವಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿ ಕೊಲ್ಲಬಹುದಾದ ಇಲ್ಲವೇ ಅದನ್ನು ಅಲ್ಲಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿ ಹೊರತರಬಹುದಾದ ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ ಮಾಡುವಂತಾದರೆ ರೋಗಗಳನ್ನು ಗುಣಪಡಿಸುವ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಹೆಜ್ಜೆಯನ್ನು ಇಟ್ಟಂತಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆನೇ ಇಂದಿನ ಟ್ರಾನಿಸ್ಟರ್, ಕೆಪ್ಯಾಸಿಟರ್ ಮುಂತಾದ ಬಿಡಿಭಾಗಗಳ ಬದಲಾಗಿ ಅಣುಕೂಟಗಳ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನೇ ಬಳಸುವಂತಾದರೇ ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್ / ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗಳ ಕವಲಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನೇ ಉಂಟುಮಾಡಿದಂತಾಗುವುದು.

ಒಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಅಣುಕೂಟಗಳ ಚುಟುಕು ಯಂತ್ರಗಳು ಮುಂದಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಅರಿವಿನ ಹೆಬ್ಬಾಗಿಲನ್ನೇ ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ತೆರಿದಿಡಬಹುದು. ಈ ಹೆಬ್ಬಾಗಿಲನ್ನು ತೋರಿದ ಅರಿಗರಿಗೆ ಈ ವರುಷದ ನೊಬೆಲ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿ ದೊರೆತದ್ದು ನಲಿವಿನ ಸಂಗತಿ.

(ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು: Royal Swedish Academy of Science, Washington Post, Wikipedia)

’ಬೆನ್ನು’ ಬೆನ್ನತ್ತಿದ ನಾಸಾದ ಓಸಿರಿಸ್

By admin 03/10/2016 02/10/2016 ಇತ್ತೀಚಿನ ಸುದ್ದಿ

ಸುಮಾರು ಒಂದು ತಿಂಗಳ ಹಿಂದೆ, 08.09.2016 ರಂದು ಅಮೇರಿಕಾದ ನಾಸಾ ಕೂಟ 101955 ಬೆನ್ನು (Bennu) ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುವ ಆಸ್ಟಾರಾಯ್ಡ್ ನತ್ತ ಪಯಣ ಬೆಳೆಸಿತು. ಈ ಮೂಲಕ ಬಾನಂಗಳದಲ್ಲಿರುವ ಬೆರಗುಗೊಳಿಸುವ ಜಗತ್ತನ್ನು ಅರಿಯುವತ್ತ ಮಾನವರು ಇನ್ನೊಂದು ಮಹತ್ವದ ಹೆಜ್ಜೆಯನ್ನು ಇಟ್ಟಂತಾಯಿತು.

ಆಸ್ಟಾರಾಯ್ಡ್ (asteroid) ಅಂದರೇನು?

ಗ್ರಹಗಳಂತೆ ನಕ್ಷತ್ರವೊಂದರ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತಿರುವ ಬಾನಕಾಯಗಳಿವು. ಗ್ರಹಗಳಿಗೂ ಮತ್ತು ಆಸ್ಟಾರಾಯ್ಡ್ ಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೆಂದರೆ, ಇವು ಗ್ರಹಗಳಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಗ್ರಹಗಳಂತೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ದುಂಡನೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿ ಇವುಗಳನ್ನು ಬಾನಬಂಡೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಇವುಗಳ ಅಳತೆ 1-2 ಮೀಟರ್ ಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಸುಮಾರು 1000 ಕಿ.ಮೀ. ನಷ್ಟಾಗಿರಬಹುದು. (1 ಮೀಟರ್ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಳತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಬಾನಕಾಯಗಳನ್ನು ಮೀಟರಾಯ್ಡ್ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಬಾಲಚುಕ್ಕಿಗಳಿಗೂ (comets) ಮತ್ತು ಬಾನಬಂಡೆಗಳಿಗೂ (asteroids) ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ, ಬಾಲಚುಕ್ಕಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಧೂಳು ಮತ್ತು ಮಂಜಿನಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತವೆ. ಅದೇ ಬಾನಬಂಡೆಗಳು ಅದಿರು ಮತ್ತು ಕಲ್ಲಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಬಾನಬಂಡೆಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗುರು ಮತ್ತು ಮಂಗಳ ಗ್ರಹಗಳ ನಡುವೆ ದುಂಡನೆಯ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಹರಡಿಕೊಂಡಿವೆ. ಈ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಬಾನಬಂಡೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ (asteroid belt) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಾನಬಂಡೆಗಳು ಮಂಗಳ-ಗುರು ಗ್ರಹಗಳ ನಡುವಿನ ಈ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಲ್ಲದೇ ಬಾನಂಗಳದ ಇತರೆಡೆಯೂ ಹರಡಿಕೊಂಡಿವೆ. ಬಾನಬಂಡೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಚೆ ನೆಲಕ್ಕೆ ಸುಮಾರು 4.82 ಲಕ್ಷ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಗಳಷ್ಟು ಹತ್ತಿರ ಸಾಗಬಲ್ಲ ಇಂತಹ ಬಾನಬಂಡೆಗಳಲ್ಲೊಂದು 101955 ಬೆನ್ನು (Bennu).

ಈಜಿಪ್ತಿನ ಪುರಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಬರುವ ಬೆನ್ನು (Bennu) ಎಂಬ ಹಕ್ಕಿಯ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುವ, ಸುಮಾರು 500 ಮೀಟರ್ ದುಂಡಳತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಈ ಬಾನಬಂಡೆಯ ಇರುವಿಕೆಯು ಗೊತ್ತಾದದ್ದು 1999 ರಲ್ಲಿ. ಅಲ್ಲಿಂದೀಚೆಗೆ ಈ ಬಾನಬಂಡೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ಕುತೂಹಲದ ವಿಷಯಗಳು ಬೆಳಕಿಗೆ ಬಂದಿವೆ. ನೆಲಕ್ಕೆ ಕುತ್ತು ತರಬಲ್ಲ ಬಾನಬಂಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದೂ ಒಂದು ಅಂದರೆ ಅಚ್ಚರಿಯಾದೀತು. ಈಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಕಾರ ಸುಮಾರು 2175 ರಿಂದ 2196 ನೇ ಇಸ್ವಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಬಾನಬಂಡೆ ನೆಲಕ್ಕೆ ಅಪ್ಪಳಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಈ ಸಾಧ್ಯತೆಯು 0.037% ನಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಮಾಣದ್ದಾಗಿದ್ದರೂ, ಒಂದೊಮ್ಮೆ ಇದು ನಿಜವಾದರೆ ಸುಮಾರು 1200 ಮೆಗಾಟನ್ ನಷ್ಟು ಶಕ್ತಿಯ ಅಪ್ಪಳಿಕೆ ಇದಾಗಬಲ್ಲದು ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ನೆಲಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ಹಾನಿಯಾಗಬಲ್ಲದು.

ಬೆನ್ನು ಬಾನಬಂಡೆಯ ವಿವರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ,

ನಡುಗೆರೆಯಲ್ಲಿ ದುಂಡಳತೆ (Equatorial Diameter) : ~500 ಮೀಟರ್
ತುದಿಯಲ್ಲಿ ದುಂಡಳತೆ (Polar Diameter) : ~510 ಮೀಟರ್
ಸರಾಸರಿ ವೇಗ (Average Speed) : 63,000 ಮೈಲಿಗಳು ಪ್ರತಿ ಗಂಟೆಗೆ
ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಹೊತ್ತು (Rotation Period) : 4.3 ಗಂಟೆಗಳು
ಸುತ್ತುವಿಕೆಯ ಹೊತ್ತು (Orbital Period) : 1.2 ವರುಶಗಳು
ಸುತ್ತುವಿಕೆಯ ಬಾಗುತನ (Orbital Inclination) : 6 ಡಿಗ್ರಿಗಳು
ನೆಲಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರ ಬರುವ ಕಾಲ: ಪ್ರತಿ 6 ವರುಶಗಳಿಗೊಮ್ಮೆ

(ಗೊತ್ತಿರುವ ಕಟ್ಟಡಗಳ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬೆನ್ನುವಿನ ಹೋಲಿಕೆ)

ಬಾನಬಂಡೆಗಳ (asteroid) ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಮಾನವರು ಮುಂದಾಗುತ್ತಿರುವುದಕ್ಕೆ, ನೆಲಕ್ಕೆ ಅಪ್ಪಳಿಸಿ ಹಾನಿ ಉಂಟುಮಾಡಬಲ್ಲ ಇವುಗಳನ್ನು ತಡೆಯಲು ಸಜ್ಜಾಗಬೇಕು ಅನ್ನುವುದು ಒಂದು ಕಾರಣವಾದರೆ ಇದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಮುಖ್ಯವಾದ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಇವುಗಳ ರಚೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡರೆ ನಮ್ಮ ಸೂರ್ಯ ಏರ್ಪಾಟಿನ (Solar System) ಹುಟ್ಟಿನ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ನೆಲದಲ್ಲಿ ಜೀವಿಗಳ ಹುಟ್ಟಿನ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಬಾನಬಂಡೆಗಳು ’ಸೂರ್ಯ ಏರ್ಪಾಟು’ ಉಂಟಾಗುವ ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉಂಟಾದ ಬಾನಕಾಯಗಳು ಮತ್ತು ಇವು ಹಲವು ಬಿಲಿಯನ್ ವರುಶಗಳಿಂದ ಬದಲಾಗದೇ ಉಳಿದಿವೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಇವುಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡರೆ ಬಾನಂಗಳದ ಹಳಮೆಯನ್ನು ಅರಿಯಲು ಅನುಕೂಲವಾಗಬಲ್ಲದು. ಜೀವಿಗಳ ಬದುಕಿಗೆ ಅಡಿಪಾಯವಾದ ನೀರು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾದ ಇತರ ವಸ್ತುಗಳು ಬಾನಬಂಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಇವೆಯೇ? ಬಾನಬಂಡೆಗಳು ಮನುಷ್ಯರು ಬದಕಬಲ್ಲ ತಾಣಗಳಾಗಬಹುದೇ? ಅನ್ನುವುದನ್ನು ಅರಸುವುದೂ ನಾಸಾದ ಗುರಿಗಳಲ್ಲೊಂದು.

ನಾಸಾದ (NASA) ಯೋಜನೆ:

ಓಸಿರಿಸ್-ಆರ್ ಇ ಎಕ್ಸ್ (OSIRIS-REx) ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುವ, ಬೆನ್ನು (Bennu) ಬಾನಬಂಡೆಯ ಕುರಿತ ನಾಸಾದ ಯೋಜನೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮುಖ್ಯ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ,

1. ಬೆನ್ನು ಬಾನಬಂಡೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಡಕಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಒರೆಗೆಹಚ್ಚುವುದು ಮತ್ತು ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಅರಕೆಗಾಗಿ ನೆಲಕ್ಕೆ ತರುವುದು.

2. ಬೆನ್ನು ಬಾನಬಂಡೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುವುದು.

3. ಯರ್ಕೋವಸ್ಕಿ ಆಗುಹ (Yarkovsky effect) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ, ರಾಶಿಸೆಳೆತವಲ್ಲದ (non gravitational) ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಅಳತೆಮಾಡುವುದು. ಈ ಆಗುಹವು ಬಾನಕಾಯಗಳ ತಿರುಗುದಾರಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಬಲ್ಲದಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡರೆ ಬಾನಬಂಡೆಯ ಅಪ್ಪಳಿಕೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು, ಅದು ಸಾಗುವ ದಾರಿಯನ್ನು ಕರಾರುವಕ್ಕಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಓಸಿರಿಸ್ ಬಾನಬಂಡಿಯ ವಿವರಗಳು ಹೀಗಿವೆ,

ಉದ್ದ: 6.2 ಮೀಟರ್ ಗಳು
ಅಗಲ: 2.4 ಮೀಟರ್ ಗಳು
ಎತ್ತರ: 3.2 ಮೀಟರ್ ಗಳು
ರಾಶಿ – ಉರುವಲಿಲ್ಲದೆ (dry mass – Unfueled): 880 ಕೆ.ಜಿ.ಗಳು
ರಾಶಿ – ಉರುವಲಿನ ಜತೆಗೆ (wet mass – fueled): 2110 ಕೆ.ಜಿ.ಗಳು
ಕಸುವು (power): 2 ನೇಸರಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು (Solar panel) ಹೊಂದಿದ್ದು 1,226 ರಿಂದ 3,000 ವ್ಯಾಟ್ ನಷ್ಟು ಕಸುವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಲ್ಲವು.
ಸಲಕರಣೆಗಳು: ಮಾದರಿ ಮರಳಿ ತರುವ ಸಲಕರಣೆ (Sample Return Capsule – SRC), ಕ್ಯಾಮೆರಾಗಳು, ದೂರ, ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಕಾವು ಅಳೆಯುವ ಸಲಕರಣೆಗಳು.

ಇದೇ ಸಪ್ಟಂಬರ್, 8 ಕ್ಕೆ ಬಾನಿಗೆ ಹಾರಿದ ಓಸಿರಿಸ್ ಬಾನಬಂಡಿ (spacecraft) ಸುಮಾರು ಒಂದು ವರುಶದ ಕಾಲ ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತಿ ಅಲ್ಲಿಂದ ಬೆನ್ನುವಿನೆಡೆಗೆ ಸಾಗಲಿದೆ. ಅಗಸ್ಟ್ 2018 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ ಅದು ಬೆನ್ನು ಬಾನಬಂಡೆಯನ್ನು ತಲುಪಲಿದೆ. ಸುಮಾರು 505 ದಿನಗಳ ಕಾಲ ಅಲ್ಲಿರುವ ಓಸಿರಿಸ್ ಬಾನಬಂಡಿಯು, ಬೆನ್ನುವಿನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತ ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಕಲೆಹಾಕಲಿದೆ.

ಹಾಗೆನೇ ತನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಕೈಯಂತಿರುವ ಉದ್ದನೆಯ ಸಲಕರಣೆಯೊಂದನ್ನು ಚಾಚಿ ಬೆನ್ನುವಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲಿದೆ. ಮಾರ್ಚ್, 2021 ರಂದು ಬೆನ್ನುವಿನಿಂದ ಮರಳಿ ಹೊರಡಲಿರುವ ಓಸಿರಿಸ್ ಬಾನಬಂಡಿಯು 2023 ರಲ್ಲಿ ಬೆನ್ನುವಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊತ್ತುಕೊಂಡು ನೆಲ ತಲುಪಲಿದೆ.

(ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು: asteroidmission.org, wikipedia.org)

’ಸ್ಪೇಸ್ ಸೂಟ್’ ಅಂದರೇನು?

By admin 19/09/2016 05/10/2016 ನಿಮಗಿದು ಗೊತ್ತೆ?

ದೂರದ ಬಾನಂಗಳದಲ್ಲಿ ಪಯಣಿಸುತ್ತ ನೆಲದಾಚೆಗಿನ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ತಮ್ಮದಾಗಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಹವಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮನುಷ್ಯರು ಚಂದ್ರನಲ್ಲಿ ಇಳಿಯುವಲ್ಲಿ ಗೆಲುವು ಕಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಆಗಸವನ್ನು ಅರಸುವ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ನೆಲದಿಂದ ಸುಮಾರು 400 ಕಿ.ಮೀ. ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮದೊಂದು ಬಾನ್ನೆಲೆಯನ್ನೂ (space station) ಕಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ.

ತುಸು ಹೆಚ್ಚಿನ ಚಳಿ ಇಲ್ಲವೇ ಹೆಚ್ಚಿನ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಾಗುವಾಗ ಆಗುವ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು ತಾಳಿಕೊಳ್ಳಲು ಹೆಣಗಾಡುವ ಮನುಷ್ಯರ ಮೈ, ಬಾನಿನಲ್ಲಿ ಅಷ್ಟೊಂದು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಚಳಿ-ಬಿಸಿ ಎಲ್ಲೆ ಮೀರಿದ ಹೊಯ್ದಾಟದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿಯಿರಬಲ್ಲದು? ಗಾಳಿ-ಚಳಿ-ಬಿಸಿ-ಒತ್ತಡಗಳ ಏರುಪೇರುಗಳ ನಡುವೆ ಬಾನದೆರವಿನಲ್ಲಿ (space) ಬಾನಾಡಿಗರನ್ನು ಕಾಪಾಡುವುದೇ ಅವರು ತೊಡುವ ಉಡುಪು. ಬನ್ನಿ, ಬಾನುಡುಪುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ನೆಲದಿಂದ ಸುಮಾರು 15-19 ಕಿ.ಮೀ. ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ತಲುಪಿದಂತೆ ವಾತಾವರಣದಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಏರುಪೇರುಗಳು ಮನುಷ್ಯರ ಮೈ ತಾಳಿಕೊಳ್ಳಲಾಗದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತವೆ. ನೆಲದಿಂದ 19 ಕಿ.ಮೀ. ಎತ್ತರವನ್ನುಆರ‍್ಮಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಗೆರೆ (Armstrong line) ಇಲ್ಲವೇ ಆರ‍್ಮಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಎಲ್ಲೆ (Armstrong limit) ಅಂತಾ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಗಾಳಿಯೊತ್ತಡ ತುಂಬಾನೇ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿ 0.0618 bar ಒತ್ತಡ ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ನೆಲದ ಮೇಲ್ಮೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 1 bar ಇರುವ ಗಾಳಿಯೊತ್ತಡ ಆರ‍್ಮಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಎಲ್ಲೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಬರೀ 6% ಒತ್ತಡವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಈ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೈ ಕಾವಳತೆ ಅಂದರೆ ಸುಮಾರು 37°C ನಲ್ಲೂ ನೀರು ಕುದಿಯುವ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ.

[ಗಮನಕ್ಕೆ: 1 bar ನಷ್ಟು ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿ ನೀರಿನ ಕುದಿಯುವ ಮಟ್ಟ 100°C ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒತ್ತಡ ಹೆಚ್ಚಾಂದತೆ ಅದರ ಕುದಿಯುವ ಮಟ್ಟ ಏರುತ್ತಾ ಹೋದರೆ, ಒತ್ತಡ ಇಳಿದಂತೆ ಕುದಿಯುವ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಇಳಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ನಮ್ಮ ದಿನಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ನೀರು ಕುದಿಯುವಂತೆ ಮಾಡಲು 100°C ಕಾವಳತೆ (temperature) ಬೇಕಾದರೆ ಆ ನೀರನ್ನೇ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ, ಕಡಿಮೆ ಒತ್ತಡದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಒಯ್ದದಂತೆಲ್ಲಾ ಅದನ್ನು ಕುದಿಯುವಂತೆ ಮಾಡಲು ಕಡಿಮೆ ಕಾವಳತೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.]

ಇಷ್ಟೊಂದು ಕಡಿಮೆ ಗಾಳಿಯೊತ್ತಡಕ್ಕೆ ಒಡ್ಡಿದಾಗ ಮನುಷ್ಯರ ಮೈಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೊಂದರೆಗಳು ಉಂಟಾಗಬಲ್ಲವು,

1. ಮೈಯಲ್ಲಿ ನೀರ‍್ಬಗೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉಗುಳು, ಕಣ್ಣೀರು, ಗಾಳಿಗೂಡಿನಲ್ಲಿರುವ ನೀರಿನಂಶ ಕುದಿಯತೊಡಗುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ರಕ್ತನಾಳದಲ್ಲಿನ ಒತ್ತಡದಿಂದಾಗಿ ರಕ್ತ ಕುದಿಯದೇ ಎಂದಿನ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲೇ ಇರುತ್ತದೆ.

2. ಹೊರಗೆ ಕಡಿಮೆ ಒತ್ತಡ, ಮೈಯೊಳಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನೊತ್ತಡದಿಂದಾಗಿ ಮಾಂಸಖಂಡಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಳತೆಗಿಂತ ಸುಮಾರು ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಉಬ್ಬುತ್ತವೆ.

3. ಕಡಿಮೆ ಒತ್ತಡದಿಂದಾಗಿ ಉಸಿರುಚೀಲಗಳು ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತೊಂದರೆಗೆ ಈಡಾಗುತ್ತವೆ. ಕಡುಕಡಿಮೆ ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿ ಉಸಿರನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಧ್ಯವಾಗದೇ, ಉಸಿರು ಬಿಡುವಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಸಿಡಿಯುವಂತಹ ಒತ್ತಡದ ಇಳಿತದಿಂದಾಗಿ ಉಸಿರುಚೀಲಗಳು ಹಾನಿಗೊಳಗಾಗುತ್ತವೆ. ಕಡಿಮೆ ಗಾಳಿಯೊತ್ತಡದ ಇಂತಹ ಪಾಡನ್ನು ತಾಳಿಕೊಂಡು ಮನುಷ್ಯರು ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ 15 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಷ್ಟೇ ಬದುಕಬಲ್ಲರು.

ಆರ‍್ಮಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಎಲ್ಲೆಯಷ್ಟು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಏರಿದಾಗ ಕಡುಕಡಿಮೆ ಒತ್ತಡವಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ, ಬಿಸುಪಿನಲ್ಲಾಗುವ ಏರುಪೇರುಗಳು, ಬಾನಲ್ಲಿ ಸಿಡಿಲಿನಂತೆ ಅಪ್ಪಳಿಸುವ ಚೂರುಗಳು, ಅತಿ ನೇರಳೆ ಕೆಡುಕದಿರುಗಳು ಬಾನಾಡಿಗರಿಗೆ ತೊಂದರೆಯನ್ನು ಒಡ್ಡುತ್ತವೆ. ಇವೆಲ್ಲ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಬಾನಾಡಿಗರು ಬಾನಬಂಡಿಯಾಚೆ ತಮ್ಮ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುವಂತೆ ಬಾನುಡುಪುಗಳನ್ನು ಅಣಿಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾನಬಂಡಿಯಲ್ಲಿ (space craft) ಸರಿಯಾದ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಕಾಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಬಾನಾಡಿಗರು ಬಾನಬಂಡಿಯಾಚೆಗೆ ಬಂದಾಗಲಷ್ಟೇ ಬಾನುಡುಪು ತೊಡುವುದು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಾನುಡುಪು (space suit), ಒತ್ತಡದ ಉಡುಪು (pressure suit) ಇಲ್ಲವೇ ಬಂಡಿಯಾಚೆ ಬಳಸುವ ಉಡುಪು (Extravehicular Mobility Unit- EMU) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಬಾನಾಡಿಗರು ತೊಟ್ಟ ಉಡುಪು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ,

1. ಒತ್ತಡವನ್ನು ಕಾಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು:
ಬಾನಾಡಿಗರಿಗೆ ಉಸಿರಾಡಲು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನೀಗಲು ಬೇಕಾದ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಕಾಯ್ದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬಾನುಡುಪಿನಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು 0.32 bar ನಷ್ಟು ಗಾಳಿಯೊತ್ತಡವನ್ನು ಕಾಯ್ದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ನೆಲದ ಮೇಲ್ಮೆಯ ಸುಮಾರು 32% ನಷ್ಟು ಒತ್ತಡ. ನೆಲದ ಮೇಲ್ಮೆಯ ವಾತಾವರಣದಲ್ಲಿ ನೈಟ್ರೋಜನ್ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ ಗಾಳಿಯೊತ್ತಡ ಹೆಚ್ಚಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮನುಷ್ಯರು ಉಸಿರಾಡಲು ಉಸಿರ‍್ಗಾಳಿ (oxygen) ಇದ್ದರಷ್ಟೇ ಸಾಕು, ನೈಟ್ರೋಜನ್‍ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದುದರಿಂದ ಬಾನುಡುಪಿನಲ್ಲಿ ನೆಲದ 32% ನಷ್ಟು ಒತ್ತಡವಿದ್ದರೂ ಬಾನಾಡಿಗರು ಸರಿಯಾಗಿ ಉಸಿರಾಡಬಲ್ಲರು.

2. ಉಸಿರ‍್ಗಾಳಿಯ ಪೂರೈಕೆ:
ಬಾನದೆರವು (space), ಗಾಳಿಯಿಲ್ಲದ ಬರಿದು ನೆಲೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಬಾನಾಡಿಗರಿಗೆ ಬಾನಬಂಡಿಯಾಚೆ ಉಸಿರಾಡಲು ಬೇಕಾದ ಉಸಿರ‍್ಗಾಳಿಯನ್ನು ಬಾನುಡುಪುಗಳ ಮೂಲಕ ಒದಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾನಬಂಡಿಯೊಳಗೆ ಉಸಿರ‍್ಗಾಳಿಯನ್ನು ಕೂಡಿಡಲಾಗಿದ್ದು, ಬಾನುಡುಪಿನ ಹಿಂದಿನ ಭಾಗದಿಂದ ಕೊಳವೆಗಳ ಮೂಲಕ ಉಸಿರ‍್ಗಾಳಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾನಾಡಿಗರ ಉಸಿರಾಟದಿಂದ ಹೊರಡುವ ಕಾರ‍್ಬನ್ ಡೈಆಕ್ಸೈಡ್‍ನ್ನು ಕೊಳವೆಗಳ ಮೂಲಕ ಬಾನಬಂಡಿಯೊಳಗೆ ಸಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3. ಕದಲುವಿಕೆ (mobility):

ಬಾನಾಡಿಗರು ಸರಾಗವಾಗಿ ನಡೆದಾಡಲು ಬಾನುಡುಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಒತ್ತಡವು ತಡೆಯೊಡ್ಡಬಲ್ಲದು. ಈ ತಡೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವಂತೆ ಬಾನುಡುಪನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಾನುಡುಪಿನ ಕಟ್ಟಣೆಯಲ್ಲಿ ಕದಲುವಿಕೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗಮನದಲ್ಲಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾನಾಡಿಗರು ಬಾನುಡುಪನ್ನು ತೊಟ್ಟು ಒಂದು ನೆಲೆಯಿಂದ ಕದಲಿ ಮತ್ತೆ ಮರಳಿ ಅದೇ ನೆಲೆಗೆ ಬರಬೇಕಾದರೆ, ಅವರು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಕೆಲಸ ಆದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಿರಬೇಕು. ಇಲ್ಲವಾದರೆ ಅವರಿಗೆ ತುಂಬಾ ದಣಿವಾಗಬಲ್ಲದು. ಇದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಬಗೆಯಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು. ದಪ್ಪನೆಯ ಕೋಟೊಂದನ್ನು ಹಾಕಿಕೊಂಡು ಬಾಗುವುದು, ಏಳುವುದು ಎಶ್ಟೊಂದು ಕಷ್ಟವಲ್ಲವೇ? ಹಾಗೆನೇ ಬಾನುಡುಪು ಬಾನಾಡಿಗರಿಗೆ ಹೊರೆಯಾಗಬಲ್ಲದು.

ಬಾನುಡುಪನ್ನು ಕದಲಿಸಲು ಬೇಕಾದ ಕೆಲಸದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಗಣಿತದ ನಂಟಿನಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ, W = ಕೆಲಸ (Work), P = ಒತ್ತಡ (Pressure), V = ಆಳವಿ (Volume), Vi = ಮೊದಲಿದ್ದ ಆಳವಿ, Vf = ಬಳಿಕದ ಆಳವಿ, dV = ಆಳವಿಯಲ್ಲಾದ ಮಾರ‍್ಪಾಟು (Change in Volume)

ಮೇಲಿನ ಗಣಿತದ ನಂಟಿನಿಂದ ತಿಳಿದುಬರುವುದೇನೆಂದರೆ, ಕೆಲಸವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಬೇಕೆಂದರೆ ಉಡುಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು ಇಲ್ಲವೇ ಆಳವಿಯ ಮಾರ‍್ಪಾಟನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಒತ್ತಡವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ ಉಸಿರಾಟಕ್ಕೆ ತೊಂದರೆಯಾಗಬಲ್ಲದು ಹಾಗಾಗಿ ಇನ್ನು ಉಳಿದದ್ದು ಆಳವಿಯ ಮಾರ‍್ಪಾಟನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಾನುಡುಪಗಳು ’ಆಳವಿಯ ಮಾರ‍್ಪಾಟನ್ನು’ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದರ ಅಡಿಪಾಯದ ಮೇಲೆಯೇ ಅಣಿಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.
ಹಾಗಾದರೆ ಆಳವಿಯ ಮಾರ‍್ಪಾಟನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಬಾನುಡುಪುಗಳನ್ನು ಹಲವು ಪದರುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಣೆಯಲಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪದರುಗಳೊಳೆಗೆ ಅಲ್ಲಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿ ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಿಂಡಿಯಂತಹ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾನಾಡಿಗರು ಬಾಗಿದಾಗ ಅವರ ಇಡಿಯಾದ ಉಡುಪು ಬಾಗದೇ ಅದರೊಳಗಿನ ಪದರಗಳಷ್ಟೇ ಬಾಗುವುದರಿಂದ ಅವರಿಗಾಗುವ ದಣಿವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಕಾವಳತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿತದಲ್ಲಿಡುವುದು: ಬಾನಿನಲ್ಲಿ ಕಾವಳತೆ (temperature) ಎಲ್ಲೆ ಮೀರಿದ ಏರಿಳಿತವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಕಾವಳತೆಯಲ್ಲಿ −150°C ಇಂದ +120°C ನಷ್ಟು ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಬಹುದು. ಕಾವಳತೆಯ ಇಂತಹ ಏರಿಳಿತದಿಂದ ಬಾನಾಡಿಗರನ್ನು ಕಾಪಾಡಲು ಬಾನುಡುಪುಗಳನ್ನು ತಡೆವೆ (insulators) ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಮಾಡಿರುತ್ತಾರೆ ಜತೆಗೆ ತಂಪಾಗಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಗಾಳಿ ಹೊಯ್ದಾಟಕ್ಕೆ ಒಳಪದರವೊಂದನ್ನು ಮಾಡಿರುತ್ತಾರೆ. ಈ ಒಳಪದರದಲ್ಲಿ ನೀರಿನ ಕೊಳವೆಗಳ ಹಲವು ಸುತ್ತುಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಬಾನಾಡಿಗರ ಮೈಯಿಂದ ಹೊಮ್ಮುವ ಕಾವನ್ನು ಇವು ತಂಪಾಗಾಗಿಸುತ್ತವೆ.

5. ಕಾಪುವಿಕೆ: ಅತಿ ನೇರಳೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಕೆಡು ಕದಿರುಗಳಿಂದ ಬಾನಾಡಿಗರನ್ನು ಕಾಪಾಡಲು ಬಾನುಡುಪುಗಳ ಹೊರಪದರನ್ನು ಮ್ಯಾಲಾರ‍್(Mylar)ನಂತಹ ವಿಷೇಶ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಮಾಡಿರುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗೆನೇ ಬಾನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಲ ಎಲ್ಲಿಂದಲೋ ಚಿಮ್ಮಿ ಬರುವ ತುಣುಕುಗಳು ಬಾನಾಡಿಗರ ಮೈ ಸೋಕದಂತೆ, ಬಾನುಡುಪಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಹೊರಪದರನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗುಂಡುತಡೆ ಅಂಗಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಕೆವ್ಲಾರ್‍ (Kevlar)ನಂತಹ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಮಾಡಿರುತ್ತಾರೆ.

6. ಕೊಳೆತೆಗೆತ: ಬಾನಾಡಿಗರ ಮೈಯಿಂದ ಹೊರಬರುವ ಉಚ್ಚೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನಿತರ ಕೊಳೆಯನ್ನು ಬಾನುಡುಪು ತನ್ನಲ್ಲೇ ಹಿಡಿದುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಅಣಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

7. ಒಡನಾಟ: ಬಾನಾಡಿಗರು ಬಾನಬಂಡಿಯಾಚೆ ಇರುವಾಗ ಇತರರೊಡನೆ ಒಡನಾಡಲು ರೆಡಿಯೋ ಅಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ/ಕಳಿಸುವ ಸಲಕರಣೆ, ಮೈಕ್ರೋಪೋನ್ ಮುಂತಾದ ಸಲಕರಣೆಗಳನ್ನು ಬಾನುಡುಪಿನ ಬಾಗವಾಗಿ ಅಣಿಗೊಳಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗೆ ಹಲವು ಅಡೆತಡೆಗಳ ನಡುವೆಯೂ ಬಾನಾಡಿಗರನ್ನು ಕಾಪಾಡಲು ಬಾನುಡುಪುಗಳು ಸಜ್ಜಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂದ ಹಾಗೆ ಎಲ್ಲ ಸಲಕರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಒಂದು ಬಾನುಡುಪಿನ ಬೆಲೆ ಸುಮಾರು 12 ಮಿಲಿಯನ್ ಡಾಲರ್ (ಸುಮಾರು 72 ಕೋಟಿ ರೂಪಾಯಿಗಳು)

(ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಸೆಲೆಗಳು: wikipedia.org, science.howstuffworks,proxy.flss.edu.hk, styleguise.net)

Author: admin

ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು?

ಗೀಳು-ತುಡಿತದ ಬೇನೆ

ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Quadrilaterals) ಭಾಗ-2

ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Quadrilaterals) – ಭಾಗ 1

ಪಾಲುಗಳು (fractions) – ಭಾಗ 3

ಪಾಲುಗಳ ಕುರಿತು ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳು.

ಪಾಲಿನ ಹಳಮೆ

ಪಾಲುಗಳು (fractions) – ಭಾಗ 2

ಪಾಲುಗಳು (fractions) – ಭಾಗ 1

ಚುಟುಕು ಯಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಈ ಬಾರಿಯ ನೊಬೆಲ್

’ಬೆನ್ನು’ ಬೆನ್ನತ್ತಿದ ನಾಸಾದ ಓಸಿರಿಸ್

’ಸ್ಪೇಸ್ ಸೂಟ್’ ಅಂದರೇನು?

ಹಿಂಬಾಲಿಸಿ...

ಬರಹಗಳು

ಹಿಂದಿನವು