admin

ಪಾಲುಗಳು (fractions) – ಭಾಗ 2

By admin 22/11/2016 25/10/2022 ಗಣಿತ

ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳೆಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂರು ಬಗೆಗಳಾದ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳು, ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳು ಹಾಗು ಬೆರಕೆ ಪಾಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡೆವು, ಇನ್ನೂ ಮುಂದುವೆರೆದು ಅದರ ಮತ್ತಿತರ ಬಗೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

4. ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳು (Equivalent fractions):

ಯಾವುದೇ ಒಂದಿಷ್ಟು ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳನ್ನು ಎರಡು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ, ನಾಲ್ಕು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಮತ್ತು ಎಂಟು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗು ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕದ ಅರ್ಧಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೋಡೋಣ.

(ಗಮನಿಸಿ: ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಾಗ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಅಥವಾ ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡಿದ್ದೇವೆ).

$fractions_2_1$

ಬಗೆ 1:
ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತೊಂದು ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ ಬಂದರೆ ಅವೆರೆಡು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗುತ್ತವೆ.

ಮೊದಲನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/2, ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 4 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (4×1)/(4×2) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 2/4, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 2 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (2×2)/(2×4) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 4/8, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 1 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (1×4)/(1×8) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಹಾಗಾಗಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳ ಬೆಲೆ 4/8 ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಿಯಾಯಿತು ಹಾಗು ಇಲ್ಲಿ ಎಂಟರಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಅಂದರೆ ಅರ್ಧಭಾಗ ಎಂದಾಯಿತು, ಹಾಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕದ ಅರ್ಧ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

ಬಗೆ 2:

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಒಂದನೇ ಪಾಲು, ಪಾಲು1 = ಮೇಲೆಣಿ1/ಕೆಳಗೆಣಿ1 ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲು , ಪಾಲು2 = ಮೇಲೆಣಿ2/ಕೆಳಗೆಣಿ2 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗಳನ್ನು ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿದಾಗ ಮೊತ್ತ1= ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೆಳಗೆಣಿ2 , ಮೊತ್ತ 2= ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೆಳಗೆಣಿ1, ಮೊತ್ತ1 = ಮೊತ್ತ2 ಆದಾಗ ಅವುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ದುಂಡುಕಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡೋಣ.

ಪಾಲು 1/2 ಮತ್ತು 2/4 ಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ

(ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೆಳಗೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೆಳಗೆಣಿ1) 1 x 4 =4 ಮತ್ತು 2 x 2 =4

ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 4 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 1/2 ಮತ್ತು 2/4 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಪಾಲು 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ (ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೆಳಗೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೆಳಗೆಣಿ1) 2 x 8 =16 ಮತ್ತು 4 x 4 =16

ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 16 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಪಾಲು 1/2 ಮತ್ತು 4/8 ಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ (ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೆಳಗೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೆಳಗೆಣಿ1) 1 x 8 =8 ಮತ್ತು 4 x 2 =8, ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 8 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 1/2 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.
ಹಾಗಾಗಿ 1/2 , 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ1:

ಒಂದೇ ಅಳತೆಯ ಮೂರು ಕಾಗದದ ತುಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿಬಣ್ಣವನ್ನು ಬಳಿಯಲಾಗಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾದ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

$fractions_2_2$

ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಮೊದಲ ಬಗೆ1 ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೊದಲನೇ ಕಾಗದದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/3, ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 4 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (4×1)/(4×3) = 4/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/6, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 2 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (2×1)/(2×6) = 2/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 3/12, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 1 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (1×3)/(1×12) = 3/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಗದದಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬೆಲೆಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬರುವುದರಿಂದ ಮೂರು ಕಾಗದದಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಹಾಗಾಗಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ಪಾಲುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲ.

ಚಟುವಟಿಕೆ2:

1/2, 2/3, 5/7, 6/18, 7/28, 9/4, 9/45, 7/2 ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತಕ್ಕು ಪಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿ.

ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ (Numerator) ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗಳಿಗೆ (Denominator) ಬಿಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (Whole number) ಗುಣಿಸಿ ಅದರ ಇನ್ನೊಂದು (Multiply) ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 5/7 = (2 x 5)/(2 x 7) = 10/14, ಆದ್ದರಿಂದ 5/7 ರ ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲು 10/14.

ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denminator) ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (Proper fraction).

ಪಾಲೆಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (Improper fraction).

$fractions_2_9$
5. ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು (Like fractions):
ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು (Denominator) ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೂರು ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಚೌಕದ ಎರಡನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

$fractions_2_3$

ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಿದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯೋಣ
• ಒಂದನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 1/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಎರಡನೇ ಚೌಕದ ಎರಡನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 2/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಮೂರನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 3/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಒಂದನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಚೌಕಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು 4 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

6. ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು (Unlike fractions):
ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು (Denominator) ಬೇರೆ ಬೇರೆಯದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೂರು ಆರ್ಬದಿಗಳ (Hexagonal) ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

$fractions_2_4$

• ಮೊದಲನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ಎರಡನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 1/2 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಎರಡನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ಮೂರನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 2/3 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಮೂರನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 3/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಆರ್ಬದಿಯ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು 1/2, 2/3, 3/4, ಇಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು 2, 3 ಮತ್ತು 4 ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ (Unlike Fractions).

ಚಟುವಟಿಕೆ: ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಎರಡು ದುಂಡುಕಗಳು (Circles) ಮತ್ತು ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಎರಡು ದುಂಡುಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ದುಂಡುಕ ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

$fractions_2_5$

• ಮೊದಲನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 3/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ಏಳು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 7/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 4/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 2/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳು 3/8, 7/8, 4/8, 2/4. ಮೊದಲ ಮೂರು ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 8 ಆಗಿದೆ, ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 4 ಆಗಿದ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹಸಿರು ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕವು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:
ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು(Unlike fractions) ಕೊಟ್ಟಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಹೇಗೆಂದರೆ ಪಾಲುಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳನ್ನು ಸರಿ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳಾಗಿರುವಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಗುಣಿಸುವಾಗ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯಾ ಪಾಲುಗಳ ಮೇಲೆಣಿಗೂ ಕೂಡ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಆದಾಗ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದಿದಿಯೋ ಅದು ದೊಡ್ಡಪಾಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ ಚಿಕ್ಕದಿದಿಯೋ ಅದು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು 5/6 ಮತ್ತು 4/5 ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಪಾಲು 5/6 = (5 x 5)/(6 x 5) = 25/30 ಮತ್ತು ಪಾಲು 4/5 = (4 x 6)/(5 x 6) = 24/30, ನಾವುಗಳು ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು ಸರಿಬರುವಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಮೊದಲ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 6 ಕ್ಕೆ 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 30 ಆಯಿತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 5 ಕ್ಕೆ 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 30 ಆಯಿತು, ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾದವು.

ಮೊದಲ ಪಾಲು 5/6 = 25/30 ನ್ನು ಎರಡನೇ ಪಾಲು 4/5 = 24/30 ಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಮೊದಲಿನ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ ದೊಡ್ಡದಿದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲು 5/6 = 25/30 ದೊಡ್ಡ ಪಾಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲು 4/5 = 24/30 ರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ ಎರಡನೇ ಪಾಲಿಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಿದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲು.

ಚಟುವಟಿಕೆ: ಕೆಳಗಿನ ಜೊತೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡ ಪಾಲು ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
ಪಾಲುಗಳು
$fractions_2_10$ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆದು ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು ಎಂದು ಹಿಡಿಯಬಹುದು

$fractions_2_11$

ಎಣಿಕೆಯ ಗೆರೆ ಎಳೆದು ಪಾಲುಗಳ ಹತ್ತಿರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:
• ಎರಡು ಪಾಲುಗಳ ಹತ್ತಿರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಗೆರೆ ಎಳೆದು ಅದರ ಮೇಲೆ ಪಾಲುಗಳ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
• ಎರಡು ಗೆರೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಡಬದಿಯಿಂದ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಪಾಲುಗಳ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.
• ಎರಡು ಗೆರೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಪಾಲು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

$fractions_2_6$

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದರ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/4, 1/2, 3/4 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದರ ಐದು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿ ಯಾವ ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

$fractions_2_7$

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿದಾಗ 1/4 ಮತ್ತು 1/5, 3/4 ಮತ್ತು 4/5 ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಒಂದರ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/4, 1/2, 3/4 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದರ ಐದು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿ ಯಾವ ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

$fractions_2_8$

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿದಾಗ 1/4 ಮತ್ತು 2/7, 1/2 ಮತ್ತು 4/7, 3/4 ಮತ್ತು 5/7 ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಮುಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳ ವಿಶೇಷತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕೂಡುವುದು, ಕಳೆಯುವುದು, ಗುಣಿಸುವುದು ಭಾಗಿಸುವುದರ ಬಗ್ಗೆ ಹಾಗು ಪಾಲಿನ ಹಳಮೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ

(ಮಾಹಿತಿ ಸೆಲೆಗಳು:
learnnext.com, ask-math.com, metal.brightcookie.com, study.com/academy/, basic-math-explained.com, math-only-math.com, images.tutorvista.com, ilmoamal.org, ಐದನೇ ತರಗತಿಯ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ)

ಪಾಲುಗಳು (fractions) – ಭಾಗ 1

By admin 17/10/2016 25/10/2022 ಗಣಿತ

ನಾವು ಅಂಗಡಿಗೆ ಹೋದಾಗ ಕಾಲು ಕೇಜಿ, ಅರ್ಧ ಕೇಜಿ, ಮುಕ್ಕಾಲು ಕೇಜಿ ತರಕಾರಿಗಳನ್ನು ಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಅಲ್ಲವೇ ಇವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಒಂದು ಕೇಜಿಯ ಪಾಲುಗಳು. ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಅರ್ಧ, ಕಾಲು ಎಂದು ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ ಅವುಗಳು ಹಣ್ಣಿನ ಅರ್ಧ ಭಾಗ, ಕಾಲು ಭಾಗಗಳಾಗುತ್ತವೆ ಇವೆಲ್ಲವೂ ಪಾಲುಗಳಿಗೆ (Fractions) ಸೇರುತ್ತವೆ. ನಾವುಗಳು ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ದಿನವೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿರುತ್ತೇವೆ!

ಪಾಲುಗಳು (Fractions) ಅಂದರೇನು? :

ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ ತುಂಡುಗಳನ್ನು ಸಮಪಾಲುಗಳು ಇಲ್ಲವೇ ಪಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಉದ್ದಿನ ವಡೆಯ ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ.

$fraction_vade$

ಮೊದಲ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಡೆ ಇಡಿಯಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಡೆಯನ್ನು ಸಮನಾದ ಎರಡು ತುಂಡುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮನಾದ ನಾಲ್ಕು ತುಂಡುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇವೇ ವಡೆಯ ಪಾಲುಗಳು.

ಇಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದುದೆಂದರೆ, ಗಣಿತದ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ’ಪಾಲುಗಳು’ ಇಲ್ಲವೇ ’ಪ್ರಾಕ್ಶನ್ಸ್’ (fractions) ಅಂದರೆ ’ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ’ ತುಂಡುಗಳು ಎಂದೇ ಅರ್ಥ. ತುಂಡುಗಳು ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೇ ಅವು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲ. (ಗಣಿತದ ಈ ವಿಷಯದ ಮಟ್ಟಿಗೆ)

ಇದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ತುಂಬಿದ ತುಂಡುಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿವೆ. ಇಂತಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುಂಡನ್ನು ಗಣಿತದ ಈ ವಿಷಯದ ಮಟ್ಟಿಗೆ ’ಪಾಲುಗಳು’ ಎನ್ನಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇ ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ತುಂಬಿದ ಎಲ್ಲ 3 ತುಂಡುಗಳೂ ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿವೆ ಹಾಗಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ’ಪಾಲುಗಳು’ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

$fraction_unequal$
ನಮ್ಮ ದಿನ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ’ಪಾಲುಗಳು’ ಎಂದರೆ ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ್ದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದೇನಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಗಣಿತದ ಈ ವಿಷಯದ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಅದು ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ್ದಾಗಿರಬೇಕು. ಇಂಗ್ಲೀಶಿನ ಬಳಕೆಯಲ್ಲೂ ಹೀಗೆಯೇ ಇದೆ. ಪ್ರಾಕ್ಶನ್ಸ್ (fractions) ಅನ್ನುವ ಪದ ದಿನ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ ಅಲ್ಲದೇ ಇರುವುದಕ್ಕೂ ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಗಣಿತದ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಬಂದಾಗ ಅದು ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ್ದಾಗಿರಲೇಬೇಕು.

ಗಮನಿಸಿ:
ಪಾಲುಗಳು ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ತುಣುಕುಗಳಲ್ಲದೇ, ಅಳತೆಗಳ ಕಿರು ಅಳತೆಗಳೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅರ್ಧ ಮೀಟರ್ ಅಳತೆಯ ಬಟ್ಟೆಯು ಒಂದು ಮೀಟರ್ ಅಳತೆ ಬಟ್ಟೆಯ ಪಾಲು ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಪಾಲನ್ನು a/b ಎಂದು ಗಣಿತದ ನಂಟು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ a ಎಂಬುದು ವಸ್ತುವಿನ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವಿನ ಅಳತೆಯ ಸಮನಾದ ಪಾಲು ಮತ್ತು b ಎಂಬುದು ವಸ್ತುವಿನ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವಿನ ಅಳತೆಯ ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳು (Total quantity). ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಮುಂದೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ತಿಳಿಯೋಣ.
a/b ಯಲ್ಲಿ a ಯು ಗೆರೆಯ ಮೇಲಿರುವುದರಿಂದ ಮೇಲೆಣಿ (Numerator) ಎಂದು b ಯು ಗೆರೆಯ ಕೆಳಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಕೆಳಗೆಣಿ(Denominator) ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.
ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಸಮ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆಯೋ ಅದೇ ಅದರ ಕೆಳಗೆಣಿ(Denominator).
ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸಮ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೋ ಅದೇ ಅದರ ಮೇಲೆಣಿ (Numerator).

ಕೆಳಗಿನ ನಾಲ್ಕು ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣಿನ ಹಲವು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಹೇಗೆ ತೋರಿಸಬಹುದೆಂದು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಈಗ ನೋಡೋಣ.

ಮೊದಲನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 1/1 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣು ಹಾಗೆ ಇದೆ, ಪಾಲು ಮಾಡಿಲ್ಲ.

ಎರಡನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ಒಟ್ಟು 2 ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈಗ ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪಾಲನ್ನು 1/2 ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಅದು ಏಕೆಂದರೆ, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ಒಟ್ಟು 2 ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿರುವುದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು ತೋರಿಸುವಾಗ ಅದರ ಕೆಳಗೆಣಿ 2 ಎಂದೂ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 1 ನ್ನೇ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಮೇಲೆಣಿ 1 ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಎರಡನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಪಾಲು 1/2. ದಿನಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಅರೆಪಾಲು ಇಲ್ಲವೇ ಅರ್ಧ ಪಾಲು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ಒಟ್ಟು 3 ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಪಾಲು ತೋರಿಸುವಾಗ ಅದರ ಕೆಳಗೆಣಿ 3 ಎಂದಾಯಿತು. ಹಾಗಾಗಿ ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುಣುಕನ್ನು 1/3 ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಇನ್ನು, ನಾಲ್ಕನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ಒಟ್ಟು 4 ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆಣಿ 4 ಅನ್ನುವುದು ತಟ್ಟನೇ ಹೇಳಿಬಿಡಬಹುದಲ್ಲವೇ? ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪಾಲನ್ನು 1/4 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ದಿನಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಕಾಲು ಇಲ್ಲವೇ ಕಾಲುಪಾಲು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಚಿತಗಳನ್ನೇ ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತಾ, 1 ತುಣುಕನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ 1/2 (ಚಿತ್ರ-2), 1/3 (ಚಿತ್ರ-3), 1/4 (ಚಿತ್ರ-4) ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದೆಂದು ಕಂಡೆವು. ಅದೇ 1 ತುಣುಕಿನ ಬದಲಾಗಿ 2 ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಸಾಲಾಗಿ 2/2, 2/3, 2/4 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇದೆ ನೋಡಿ. ಒಂದು ದೋಸೆಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಎಂಟು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಎಂಟು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 1 ಪಾಲನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅಂತಹ ಪಾಲನ್ನು 1/8 ಎಂದೂ, 2 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ 2/8 ಎಂದೂ ಮತ್ತು 3 ಪಾಲನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ 3/8 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚುಟುಕಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಪಾಲನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕಾದಾಗ

ವಸ್ತುವೊಂದರಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ (ಕೆಳಗೆಣಿ) ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ (ಮೇಲೆಣಿ) ತೋರಿಸಿದರೆ ಆಯಿತು.

ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಓದುವುದು ಹೇಗೆ? :
ಮೇಲೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಂತೆ ಪಾಲೊಂದರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆನೋ ಇರುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಓದುವುದು? 1/2 ಪಾಲಿಗೆ ಅರೆಪಾಲು, 1/4 ಪಾಲಿಗೆ ಕಾಲು ಎಂದು ಕೆಲವು ದಿನಬಳಕೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟರೆ ಉಳಿದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಓದಲು ಒಂದು ಬಗೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಓದಬಹುದು,

3/4 = 4 ರಲ್ಲಿ 3 ಇಲ್ಲವೇ 4 ನೇಯ 3 (ಈ ಪಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 4 ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 3 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ)
7/21 = 21 ರಲ್ಲಿ 7 ಇಲ್ಲವೇ 21 ನೇಯ 7 (ಈ ಪಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 21 ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 7 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ)

ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹಲವು ಬಗೆಗಳಿವೆ. ಈ ಬಗೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಈಗ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

1. ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳು (Proper fraction):

ಪಾಲೊಂದರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳು (Proper fraction) ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ1:

2/3, 8/11, 9/27 ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಇವುಗಳು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ2:
ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣದ ಗೆರೆ ಎಳೆದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಒಟ್ಟು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಮೊದಲ ಚಿತ್ರವಾದ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಮೂರು ಪಾಲುಗಳಿವೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣದ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಬಣ್ಣ ಎಳೆದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು 2/3 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ 2 ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 3 ಕೆಳಗೆಣಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ತಕ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆ.

ಎರಡನೆ ಚಿತ್ರವಾದ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ನಾಲ್ಕು ಪಾಲುಗಳಿವೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಮೂರು ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣದ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಬಣ್ಣ ಎಳೆದ ಪಾಲನ್ನು 3/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ 3 ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 4 ಕೆಳಗೆಣಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಯೂ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದೂ ಒಂದು ತಕ್ಕು ಪಾಲಾಗಿದೆ.

ಹಾಗೆನೇ ಮೂರನೆಯ ಚಿತ್ರ ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Quadrilateral) ಒಟ್ಟು ಎಂಟು ಪಾಲುಗಳಿವೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಏಳು ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣದ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಇದನ್ನು 7/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ 7 ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 8 ಕೆಳಗೆಣಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ತಕ್ಕು ಪಾಲಾಗಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ1: ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳೆಂದು ತೋರಿಸಿ.
ಅರ್ಧಪಾಲು, ಮೂರನೇ ಎರಡು, ಹತ್ತನೇ ಮೂರು , ಏಳನೇ ಐದು, ಹದಿನಾರನೇ ಐದು, ಹನ್ನೆರಡನೇ ಐದು, ಒಂಬತ್ತನೇ ಎಂಟು, ಒಂಬತ್ತನೇ ನಾಲ್ಕು, ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು, ಐದನೇ ಎರಡು.

ಕೊಟ್ಟ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ದುಂಡುಕದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಹಸಿರು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಮೂರನೇ ಎರಡು ಎಂದರೆ ಒಟ್ಟುಪಾಲುಗಳು ಮೂರು ಎಂದು ಮತ್ತು ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ಪಾಲುಗಳು ಎರಡು ಎಂದು, ಹಾಗಾಗಿ ಮೂರನೇ ಎರಡನ್ನು ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ 2/3 ಆಗುತ್ತದೆ,

ಗಮನಿಸಿ: ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳು ಒಂದು ತಕ್ಕುಪಾಲಾಗಿದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ2: ಕೆಳಗೆ ಅಂಚೆಕಾಗದಗಳನ್ನು ಐದು ಪಾಲನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಹಾಗು ಎಲ್ಲಾ ಐದು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ತಲಾ ಮೂರು ಅಂಚೆಕಾಗದಗಳು ಬರುವಂತೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಐದನೇ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಶ್ಟು ಅಂಚೆಕಾಗದಗಳು ಎಂದರೆ ಎಷ್ಟು ಅಂಚೆ ಕಾಗದಗಳಾಗುತ್ತವೆ?

ಕೆಳಗೆ ಅಂಚೆ ಚೀಟಿಗಳನ್ನು ಐದು ಪಾಲನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಹಾಗು ಎಲ್ಲಾ ಐದು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ತಲಾ ಮೂರು ಅಂಚೆಕಾಗದಗಳು ಬರುವಂತೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಐದನೇ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಶ್ಟು ಅಂಚೆ ಕಾಗದ ಅಂದರೆ ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳು ಐದು ಎಂದು ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಕೊಂಡ ಪಾಲುಗಳು ಎರಡು ಎಂದು, ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳು ತಲಾ ಮೂರು ಅಂಚೆ ಕಾಗದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಿಂದ ತಲಾ ಮೂರರಂತೆ ನಮಗೆ ಒಟ್ಟು ಆರು ಅಂಚೆ ಚೀಟಿಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ3: ಒಂದು ತರಕಾರಿಯ ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ 12 Kg ಗಳಶ್ಟು ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳಿರುತ್ತವೆ, ಮೊದಲನೇ ಕೊಳ್ಳುಗ ಸುಮಾರು 2 Kg ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯನ್ನು ಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ, ಎರಡನೇ ಕೊಳ್ಳುಗ ಸುಮಾರು 5 Kg ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯನ್ನು ಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ, ಮೂರನೇ ಕೊಳ್ಳುಗ ಸುಮಾರು 4 Kg ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯನ್ನು ಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯ ಪಾಲೆಷ್ಟು?.

ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ 12 Kg ಗಳಾಗಿವೆ.
ಒಂದನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕೊಳ್ಳುಗರು 2 Kg, 5 Kg, 4 Kg ಗಳಶ್ಟು ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳನ್ನು ಕೊಳ್ಳುವರು, ಈ ಮೂವರು ಸೇರಿ ಕೊಂಡುಕೊಂಡ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ 2 + 5 + 4 = 11 Kg ಗಳಾಗಿವೆ.
ಉಳಿದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ತೂಕ = ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ – ಕೊಂಡುಕೊಂಡ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ = 12 – 11 = 1 Kg ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯ ಪಾಲನ್ನು ಉಳಿದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ತೂಕ/ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ ಎನ್ನಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯ ಪಾಲು 1/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ4: 1) 8/5, 2) 9/2, 3) 11/17, 4) 13/4, 5) 19/23 ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೌದು ಅಥವಾ ಅಲ್ಲವೆಂದು ಗುರುತಿಸಿ.

ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (Proper fraction), ಹಾಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳು ಹೌದು ಅಥವಾ ಅಲ್ಲವೆಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

2. ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳು (Improper fractions):

ಪಾಲೊಂದರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಇಲ್ಲವೇ ಎರಡೂ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಪಾಲನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲು (Improper fractions) ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1: 3/2, 11/7, 15/10, 6/6 ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಇಲ್ಲವೇ ಸಮನಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಇವುಗಳು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉದ್ದಿನ ವಡೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ.

$improper_fraction_vade$

ಇಲ್ಲಿ 6 ವಡೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಪಾಲನ್ನು ತೋರಿಸುವಾಗ ಅದರ ಮೇಲೆಣಿಯನ್ನು 6 ಎಂದು ಬರೆಯಬೇಕು. ಅದೇ 1 ಇಡೀ ವಡೆಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 4 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಪಾಲನ್ನು ತೋರಿಸುವಾಗ ಅದರ ಕೆಳಗೆಣಿ 4 ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕು.

ಹಾಗಾಗಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದ ಒಟ್ಟಾರೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು 6/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬೇಕು. ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಈ ತರಹದ ಪಾಲನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲು ಅನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಮಾಡಿರುವ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಡೆಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಚಟುವಟಿಕೆ1: ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿರುವ 25 ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೆ 25 ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಮೊದಲಿದ್ದ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳನ್ನು ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಮೊದಲಿದ್ದ ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು 25
ಒಟ್ಟು ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು = ಮೊದಲಿದ್ದ ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು 25 + ನಂತರದ ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು 25 = 50 ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು
ಮೊದಲಿದ್ದ ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟು ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಪಾಲು = 50/25
ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಈ ಪಾಲು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ2: ಕೆಳಗಿನ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲು ಹೌದು ಅಥವಾ ಅಲ್ಲವೆಂದು ಗುರುತಿಸಿ.

ಚಟುವಟಿಕೆ3: ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಬಿಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (Whole Number) ಕೂಡ ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಬುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ನಾವು ಬಿಡಿ ಸಂಖ್ಯೆ 19 ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.19 ನ್ನು 19/1 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದರ ಮೇಲೆಣಿ = 19 ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿ = 1 ಆಗಿದೆ ಹಾಗು ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ದೂಡ್ಡದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ 1 ನ್ನು ಕಾಣದ ಕೆಳಗೆಣಿ (Invisible Denominator) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

3. ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳು (Mixed fractions):

ಒಂದು ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜತೆಗೆ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ’ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳು’ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಈ ಬಗೆಯ ಪಾಲನ್ನು c a/b ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ c ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ a/b ಎಂದಿನಂತೆ ಪಾಲನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (a-ಮೇಲೆಣಿ, b-ಕೆಳಗೆಣಿ), ಉದಾಹರಣೆಗೆ 5 1/2, 1 1/4, 2 3/4,

ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೇಲೆಣಿ/ಕೆಳಗೆಣಿ = ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆ + ಮೇಲೆಣಿ/ಕೆಳಗೆಣಿ = (ಕೆಳಗೆಣಿ x ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆ+ ಮೇಲೆಣಿ)/ಕೆಳಗೆಣಿ = (ca+b)/c

ಉದಾಹರಣೆ1: ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ.

$mixed_fraction_vade$

ಇಲ್ಲಿ 1 ಇಡೀ ವಡೆಯ ಜತೆಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ವಡೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಒಟ್ಟು 4 ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 3 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪಾಲನ್ನು 1 3/4 ಎಂಬಂತೆ ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ 1 ಇಡೀ ವಡೆ ಮತ್ತು 3/4 ಪಾಲು ವಡೆಗಳು.

ಗಮನಿಸಿ: ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳಂತೆ (improper fractions) ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳೂ (mixed fractions) ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇಡೀ ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಪಡೆದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹಾಗೇ ನೋಡಿದರೆ ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿಯೂ ಮತ್ತು ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ1: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಗಾಜಿನ ತುಂಡುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಬೆರಕೆ ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಮೊದಲನೇ ಬಣ್ಣದ ಗಾಜಿನ ತುಂಡನ್ನು ಒಂದು ಬಿಡಿ ತುಂಡನ್ನಾಗಿ (Whole part) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬೆಲೆ 1 ಆಗಿರಲಿ.
ಮೊದಲನೇ ಗಾಜಿನ ತುಂಡಿನಶ್ಟೇ ಉದ್ದವಿರುವ ಎರಡನೇ ಬಣ್ಣದ ಗಾಜಿನ ತುಂಡಿನಲ್ಲಿ ಐದನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ತುಂಡಿನಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲನ್ನು 2/5 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
ಎರಡು ಗಾಜಿನ ತುಂಡುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ
ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಮೊದಲ ಇಡೀ ಗಾಜಿನತುಂಡು+ ಐದನೇ ಎರಡರಶ್ಟು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಎರಡನೇ ಗಾಜಿನ ತುಂಡು = 1+2/5 = 1 2/5.

ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಬಗೆ:

ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿ ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಿನ ಬಗೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ,

1. ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿಯನ್ನು ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. (3 x 1 = 3)

2. ಗುಣಿಸಿ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೇಲೆಣಿಗೆ ಕೂಡಿಸಬೇಕು. (3 + 2 = 5)

3. ಹೀಗೆ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿ ಈಗ ಬರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಯನ್ನು ಮೊದಲು ಇರುವುದನ್ನೇ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ( 5/3)

ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲನ್ನು ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲನ್ನಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಬಗೆ:

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

1) 5 ನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ

2) ಹೀಗೆ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 1 ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆ ದೊರೆತು 2 ಉಳಿಯುತ್ತದೆ

3) ಆಗ ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲಿಗೆ, ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಯನ್ನು ಮೊದಲಿದ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೇ ಬರೆಯುವುದು.

ಅಂದರೆ, 1 2/3

ಚಟುವಟಿಕೆ1: 3 1/2 ಎಂಬ ಬೆರಕೆ ಪಾಲು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ (Improper Fraction) ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.
3 1/2 ಬೆರಕೆ ಪಾಲನ್ನು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ (2 x 3 + 1)/2 = 7/2 ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ.
ನಮಗೆ ಸಿಕ್ಕ 7/2 ಪಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ 7 (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿ 2 ಕ್ಕಿಂತ (Denominator) ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ (Improper fraction).

ಚಟುವಟಿಕೆ2: 1 2/3, 4 6/7, 10 3/11, 6 8/9, 5 2/5, 7 1/6 ಬೆರಕೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಇಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ (Improper fraction).

ಮುಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳ ಇನ್ನಷ್ಟು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಚುಟುಕು ಯಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಈ ಬಾರಿಯ ನೊಬೆಲ್

By admin 10/10/2016 11/10/2016 ಇತ್ತೀಚಿನ ಸುದ್ದಿ

ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಯಾರು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ ಹೇಳಿ? ಕಾರು, ಬಸ್ಸು, ವಿಮಾನದಂತಹ ಸಾಗಾಣಿಕೆಯ ಯಂತ್ರಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಗ್ರ್ಯಾಂಡರ್, ಪಂಪ್, ಹೊಲಿಗೆ ಯಂತ್ರ ಹೀಗೆ ದೈನಂದಿನ ಹಲವು ಕೆಲಸಗಳಲ್ಲಿ ನಾವಿಂದು ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಹಿಂದೊಮ್ಮೆ ಎಲ್ಲ ಕೆಲಸಗಳಿಗೆ ಮೈ ಕಸುವನ್ನೇ ನೆಚ್ಚಿಕೊಂಡಿದ್ದ ನಾವು, ಇಂದು ಯಂತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ನಮ್ಮೆಲ್ಲ ಹೊರೆಯನ್ನು ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗೊಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ, ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಯಂತ್ರ ಯಾವುದು? ಹಡಗು, ವಿಮಾನ, ರಾಕೆಟ್ ಹೀಗೆ ಹಲವು ಉತ್ತರಗಳು ಬರಬಹುದು. ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕ ಯಂತ್ರ ಯಾವುದು? ಮೊಬೈಲ್. ಅದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದು? ಕೈ ಗಡಿಯಾರ. ಹಾಗಾದರೆ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದು? ಇನ್ನೂ ಚಿಕ್ಕದು? ಹೀಗೆ ಕೇಳುತ್ತಾ ಹೊರಟರೆ ಕೊನೆ ಎಲ್ಲಿ? ಆದರೆ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳುತ್ತಲೇ, ಅಂತಹ ಕಿರಿದಾದ, ಚುಟುಕಾದ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಅಂತಾ ತೋರಿಸಿರುವ ಅರಿಗರ ತಂಡಕ್ಕೆ ಈ ವರುಶದ ನೊಬೆಲ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿ ದೊರೆತಿದೆ. ಅವರು ಮಾಡಿದ ಚುಟುಕು ಯಂತ್ರಗಳ ಹೆಸರು ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ಸ್ (Molecular Machines) ಅಂದರೆ ಅಣುಕೂಟಗಳ ಯಂತ್ರಗಳು. ಯಾವ ಯಂತ್ರಗಳಿವು? ಏನಿವುಗಳ ಉಪಯೋಗ? ಮುಂತಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.

ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ಸ್ (Molecular Machine) ಅಂದರೇನು?:

’ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್’ ಪದದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿ ಮೊದಲು ನೋಡೋಣ,

ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ವಸ್ತುಗಳು ಕಿರಿದಾದ ಘಟಕಗಳಾದ ಅಣುಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಅಣುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಕಲೆತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರಚನೆಯೊಂದನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ರಚನೆಗಳನ್ನು ’ಮೊಲಿಕ್ಯುಲ್’ (Molecule) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಮೊಲಿಕ್ಯುಲ್ (Molecule) ಎರಡು ಇಲ್ಲವೇ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಣುಗಳಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ. ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿ ಮೊಲಿಕ್ಯುಲ್‍ನ್ನು ಅಣುಕೂಟ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಎರಡು ವಿಷಯಗಳೆಂದರೆ, ಅಣುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ತುಂಬಾನೇ ಕಿರಿದಾದ ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಅನ್ನುವುದು ಒಂದು ಮತ್ತು ಜೀವಿಗಳು, ವಸ್ತುಗಳು ಹೀಗೆ ಎಲ್ಲದರಲ್ಲಿ ಅಡಕವಾಗಿರುವ ರಚನೆಯೊಂದರ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಅನ್ನುವುದು ಇನ್ನೊಂದು.

ಇನ್ನು, ಎರಡನೆಯ ಪದ ಮಶೀನ್ ಇಲ್ಲವೇ ಯಂತ್ರ. ಮೈ ಶಕ್ತಿ, ರಾಸಾಯನಿಕ ಶಕ್ತಿ, ಮಿಂಚಿನ, ಗಾಳಿಯ ಶಕ್ತಿ ಹೀಗೆ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಬಗೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಕೆಲಸ ಇಲ್ಲವೇ ಚಟುವಟಿಕೆಯೊಂದನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಲಕರಣೆಯನ್ನು ಯಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರು ಉರುವಲಿನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಗಾಣಿಕೆಯ ಚಟುವಟುಕೆಯೊಂದನ್ನು ಮಾಡಬಲ್ಲ ಯಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಹಾಗೆನೇ ಹೊಲಿಗೆ ಯಂತ್ರ ಕರೆಂಟ್ ಇಲ್ಲವೇ ಕಾಲಿನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೊಲಿಯುವ ಸೂಜಿಯನ್ನು ಮೇಲೆ ಕೆಳಗೆ ಆಡಿಸುವ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಯಂತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಈಗ ’ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶಿನ್’ ಎಂಬ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದಾಗ ಅದರ ಹುರುಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿನ ಕಿರು ರಚನೆಯಾದ ಅಣುಕೂಟಗಳನ್ನು ಒಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಿಕೊಂಡು, ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುವ ಯಂತ್ರಗಳೇ ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶಿನ್ಸ್ ಇಲ್ಲವೇ ಅಣುಕೂಟಗಳ ಯಂತ್ರಗಳು.

ಇನ್ನೂ ತಿಳಿಯಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ ಇಂಜಿನ್ನು, ಗಾಲಿ, ಅಡಿಗಟ್ಟು (chassis) ಮುಂತಾದ ರಚನೆಗಳನ್ನು, ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಿಕೊಂಡು, ನಮ್ಮ ಓಡಾಟಕ್ಕೆ ನೆರವಾಗುವ ’ಕಾರು’ ಎಂಬ ಯಂತ್ರ ಹೇಗಿದೆಯೋ ಹಾಗೆ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿನ ಕಿರಿದಾದ ಅಣುಕೂಟಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಂತ್ರವೊಂದನ್ನು ತಯಾರು ಮಾಡಿದರೆ ಅದೇ ’ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್’ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ನಮ್ಮ ಕೂದಲ ಎಳೆಯೊಂದರ ಸುಮಾರು 1000 ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕ ಅಳತೆಯದು!

ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ಸ್ (Molecular Machines) ಹೊಸದೇ?:
ಹಾಗೇ ನೋಡಿದರೆ ನಮ್ಮ ಮಯ್ಯಲ್ಲೇ ಸಾವಿರಾರು ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್‍ಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಲವು ಪ್ರೋಟಿನ್ ರಚನೆಗಳು ಒಗ್ಗೂಡಿ ನಮ್ಮ ಮಯ್ಯ ರಚನೆಯ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿರುವ ಜೀವಕೋಶಗಳಲ್ಲಿ ಅಡಕಗಳನ್ನು ಒಂದೆಡೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದೆಡೆ ಸಾಗಿಸುವ ಯಂತ್ರಗಳಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ರಚನೆಗಳು ರಕ್ತ, ಉಸಿರ್ಗಾಳಿ ಸಾಗಾಣಿಕೆಯ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ ಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಚುಟುಕು ಯಂತ್ರಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಕಾಣಸಿಗುತ್ತವೆ.

ಆದರೆ ಈ ಯಂತ್ರಗಳು ನಮಗೆ ಬೇಕಿರುವ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾರವು, ತಮಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಕೆಲಸವನ್ನಷ್ಟೇ ಅವು ಮಾಡಬಲ್ಲವು. ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ, ನಾವು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಕೆಲಸವನ್ನೇ ಮಾಡಬಲ್ಲ ಯಂತ್ರಗಳು ಬೇಕಿದ್ದರೆ, ನಾವೇ ಅಂತಹ ಚುಟುಕು ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಉಂಟು ಮಾಡುವುಂತೆ ಆಗಬೇಕು. ಇದೇ ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ ಕುರಿತಾಗಿ ನಮ್ಮ ಮುಂದಿರುವ ಸವಾಲು.

ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ಸ್ (Molecular Machine) ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ?:
ಈ ಮೇಲೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಂತೆ, ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ ತುಂಬಾನೇ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಕೈಯಿಂದಾಗಲಿ ಇಲ್ಲವೇ ನಾವು ಕಟ್ಟಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಯಂತ್ರದಿಂದಾಗಲಿ ತಯಾರಿ ಮಾಡಲು ಆಗದು. ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಚುಟುಕು ಅಣುಕೂಟ ಯಂತ್ರಗಳ ಕಟ್ಟಣೆಯ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ? ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಗೆಲುವು ಕಂಡವರೇ ಈ ಬಾರಿಯ ನೊಬೆಲ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿ ಪಡೆದ ಅರಿಗರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾದ ಫ್ರಾನ್ಸ್ ದೇಶದ ಜೀನ್-ಪಿರ್ ಸಾವೆಜ್ (Jean-Pierre Sauvage). 1983 ರಲ್ಲಿ ಇವರು ತಾಮ್ರದ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಣುಕೂಟದ ಸರಪಳಿಯೊಂದನ್ನು ಮಾಡಿ ತೋರಿಸಿದರು. ಈ ಕಟ್ಟಣೆಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಎರಡು ಅಣುಕೂಟಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಕೊಂಡಿಯಾಗಲು ತಾಮ್ರದ ಹುರುಪಿಯನ್ನು (copper ion) ಸಾವೆಜ್ ಬಳಸಿಕೊಂಡರು. ತಾಮ್ರದ ಹುರುಪಿಯೆಡೆಗೆ ಎರಡು ಅಣುಕೂಟಗಳನ್ನು ತಂದಾಗ, ಅವು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸೆಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟು ಉಂಗುರದ ಆಕಾರದಂತೆ ಕೊಂಡಿಯಾದವು. ಇಂತಹ ಹಲವು ಉಂಗುರುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಉಂಗುರದ ಸರಪಳಿಯೊಂದನ್ನು ಆಗ ಮಾಡಬಹುದಾಯಿತು. (ಕಾರಿನ ಕಟ್ಟಣೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಗಾಲಿಯಂತಹ ರಚನೆ ಈಗ ತಯಾರಾಯಿತು ಅನ್ನಬಹುದು)

1991 ನೇ ಇಸ್ವಿಯಲ್ಲಿ ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಮೈಲಿಗಲ್ಲು ಉಂಟಾಯಿತು. ಈ ಮೈಲಿಗಲ್ಲನ್ನು ನೆಟ್ಟವರೇ ಈ ಬಾರಿಯ ನೊಬೆಲ್ ಪಡೆದವರಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯವರಾದ ಸ್ಕಾಟ್‍ಲೆಂಡಿನ ಜೇಮ್ಸ್ ಪ್ರೇಸರ್ ಸ್ಟೊಡಾರ್ಟ್ (James Fraser Stoddart). ಅಣುಕೂಟಗಳ ಉಂಗುರಾಕಾರದ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಒಂದು ತಿರುಗೋಲಿನ (axle) ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಹಿಂದೆ ಮುಂದೆ ಸಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಸ್ಟೊಡಾರ್ಟ್ ಗೆಲುವು ಕಂಡರು.

ಕಾವು ನೀಡಿದಾಗ ಅಣುಕೂಟಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಡಿಕ್ಕಿ ಹೊಡೆಯುತ್ತವೆ. ಹೀಗೆ ಹೊಡೆಯುವ ಡಿಕ್ಕಿಯನ್ನು ಒಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉಂಟುಮಾಡುವಂತಾದರೆ ತಿರುಗೋಲಿನಲ್ಲಿ ಸಾಗಬಲ್ಲ ಅಣುಕೂಟಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದೆಂದು ಸ್ಟೊಡಾರ್ಟ್ ತೋರಿಸಿದರು. (ಕಾರಿನ ಕಟ್ಟಣೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಗಾಲಿಗಳು ತಿರುಗೋಲಿನಲ್ಲಿ ಸಾಗುವಂತಹ ರಚನೆ ಈಗ ತಯಾರಾಯಿತು ಅನ್ನಬಹುದು). ಇಂತಹ ರಚನೆಯೊಂದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಓಡುಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು.1999 ರಲ್ಲಿ ನೆದರ್ ಲ್ಯಾಂಡಿನ ಬರ್ನಾರ್ಡ್ ಎಲ್ ಫೆರಿಂಗಾ (Bernard L. Feringa) ಎಂಬುವವರು ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಮೈಲಿಗಲ್ಲುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಜಗತ್ತಿನ ಮೊಟ್ಟಮೊದಲ ಅಣುಕೂಟಗಳ ಕಿರುಕಾರೊಂದನ್ನು ಮಾಡಿ ತೋರಿಸಿದರು. ಈ ಸಾಧನೆಗಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಇಬ್ಬರು ಅರಿಗರ ಜತೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಬಾರಿಯ ನೊಬೆಲ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿ ಫೆರಿಂಗಾ ಅವರಿಗೆ ಸಂದಿದೆ. ಫೆರಿಂಗಾ ಅವರು ಮುಂದಿಟ್ಟ ಅಣುಕೂಟಗಳು ಕಲೆತುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಮಾಡುವ ಬಗೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು.

ಈ ಬಗೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವು ಅಣುಕೂಟಗಳನ್ನು ಕಲೆಯುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತಾ ಹೋದರೆ, ಅಣುಕೂಟಗಳ ಕಿರುಕಾರೊಂದನ್ನೇ ಮಾಡಬಹುದೆಂದು ಫೆರಿಂಗಾ ತೋರಿಸಿದರು. ಈ ಕಿರುಕಾರಿನ (nanocar) ತೋರುಚಿತ್ರವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೋಡಬಹುದು.

ಹೀಗೆ ಮೂವರು ಅರಿಗರು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಕಾಲಘಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅಣುಕೂಟಗಳ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಂದರೆ ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್‍ಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದಾದ ಬಗೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ 2016 ನೇ ಸಾಲಿನ ಕೆಮಿಸ್ಟ್ರಿ ಕವಲಿನ ನೊಬೆಲ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಮೂವರಿಗೂ ಒಟ್ಟಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಚುಟುಕು ಯಂತ್ರಗಳ ಉಪಯೋಗವೇನು?:

ಕಡುಕಿರಿದಾದ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಬಗೆಯನ್ನೇನೋ ಅರಿಗರು ಮುಂದಿಟ್ಟರು. ಆದರೆ ಈ ಯಂತ್ರಗಳ ಉಪಯೋಗವೇನು? ಅನ್ನುವುದು ಸಹಜವಾದ ಪ್ರಶ್ನೆ. ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಜಾರಿಗೆ ತರಬಲ್ಲ ಬಳಕೆಗಳಿವೆ ಅನ್ನುವ ಉತ್ತರ ಇಂದಿಗೆ ದೊರೆಯದಿದ್ದರೂ, ಮುಂದಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಇದರ ಬಳಕೆಯ ಹರವು ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚಲಿದೆ ಅನ್ನುವುದು ಬಲ್ಲವರ ಮಾತು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ಯಾನ್ಸರ್ ಹುಣ್ಣನ್ನು ಅದಿರುವಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿ ಕೊಲ್ಲಬಹುದಾದ ಇಲ್ಲವೇ ಅದನ್ನು ಅಲ್ಲಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿ ಹೊರತರಬಹುದಾದ ಮೊಲಿಕ್ಯುಲಾರ್ ಮಶೀನ್ ಮಾಡುವಂತಾದರೆ ರೋಗಗಳನ್ನು ಗುಣಪಡಿಸುವ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಹೆಜ್ಜೆಯನ್ನು ಇಟ್ಟಂತಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆನೇ ಇಂದಿನ ಟ್ರಾನಿಸ್ಟರ್, ಕೆಪ್ಯಾಸಿಟರ್ ಮುಂತಾದ ಬಿಡಿಭಾಗಗಳ ಬದಲಾಗಿ ಅಣುಕೂಟಗಳ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನೇ ಬಳಸುವಂತಾದರೇ ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್ / ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗಳ ಕವಲಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನೇ ಉಂಟುಮಾಡಿದಂತಾಗುವುದು.

ಒಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಅಣುಕೂಟಗಳ ಚುಟುಕು ಯಂತ್ರಗಳು ಮುಂದಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಅರಿವಿನ ಹೆಬ್ಬಾಗಿಲನ್ನೇ ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ತೆರಿದಿಡಬಹುದು. ಈ ಹೆಬ್ಬಾಗಿಲನ್ನು ತೋರಿದ ಅರಿಗರಿಗೆ ಈ ವರುಷದ ನೊಬೆಲ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿ ದೊರೆತದ್ದು ನಲಿವಿನ ಸಂಗತಿ.

(ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು: Royal Swedish Academy of Science, Washington Post, Wikipedia)

’ಬೆನ್ನು’ ಬೆನ್ನತ್ತಿದ ನಾಸಾದ ಓಸಿರಿಸ್

By admin 03/10/2016 02/10/2016 ಇತ್ತೀಚಿನ ಸುದ್ದಿ

ಸುಮಾರು ಒಂದು ತಿಂಗಳ ಹಿಂದೆ, 08.09.2016 ರಂದು ಅಮೇರಿಕಾದ ನಾಸಾ ಕೂಟ 101955 ಬೆನ್ನು (Bennu) ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುವ ಆಸ್ಟಾರಾಯ್ಡ್ ನತ್ತ ಪಯಣ ಬೆಳೆಸಿತು. ಈ ಮೂಲಕ ಬಾನಂಗಳದಲ್ಲಿರುವ ಬೆರಗುಗೊಳಿಸುವ ಜಗತ್ತನ್ನು ಅರಿಯುವತ್ತ ಮಾನವರು ಇನ್ನೊಂದು ಮಹತ್ವದ ಹೆಜ್ಜೆಯನ್ನು ಇಟ್ಟಂತಾಯಿತು.

ಆಸ್ಟಾರಾಯ್ಡ್ (asteroid) ಅಂದರೇನು?

ಗ್ರಹಗಳಂತೆ ನಕ್ಷತ್ರವೊಂದರ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತಿರುವ ಬಾನಕಾಯಗಳಿವು. ಗ್ರಹಗಳಿಗೂ ಮತ್ತು ಆಸ್ಟಾರಾಯ್ಡ್ ಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೆಂದರೆ, ಇವು ಗ್ರಹಗಳಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಗ್ರಹಗಳಂತೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ದುಂಡನೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿ ಇವುಗಳನ್ನು ಬಾನಬಂಡೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಇವುಗಳ ಅಳತೆ 1-2 ಮೀಟರ್ ಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಸುಮಾರು 1000 ಕಿ.ಮೀ. ನಷ್ಟಾಗಿರಬಹುದು. (1 ಮೀಟರ್ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಳತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಬಾನಕಾಯಗಳನ್ನು ಮೀಟರಾಯ್ಡ್ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಬಾಲಚುಕ್ಕಿಗಳಿಗೂ (comets) ಮತ್ತು ಬಾನಬಂಡೆಗಳಿಗೂ (asteroids) ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ, ಬಾಲಚುಕ್ಕಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಧೂಳು ಮತ್ತು ಮಂಜಿನಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತವೆ. ಅದೇ ಬಾನಬಂಡೆಗಳು ಅದಿರು ಮತ್ತು ಕಲ್ಲಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಬಾನಬಂಡೆಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗುರು ಮತ್ತು ಮಂಗಳ ಗ್ರಹಗಳ ನಡುವೆ ದುಂಡನೆಯ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಹರಡಿಕೊಂಡಿವೆ. ಈ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಬಾನಬಂಡೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ (asteroid belt) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಾನಬಂಡೆಗಳು ಮಂಗಳ-ಗುರು ಗ್ರಹಗಳ ನಡುವಿನ ಈ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಲ್ಲದೇ ಬಾನಂಗಳದ ಇತರೆಡೆಯೂ ಹರಡಿಕೊಂಡಿವೆ. ಬಾನಬಂಡೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಚೆ ನೆಲಕ್ಕೆ ಸುಮಾರು 4.82 ಲಕ್ಷ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಗಳಷ್ಟು ಹತ್ತಿರ ಸಾಗಬಲ್ಲ ಇಂತಹ ಬಾನಬಂಡೆಗಳಲ್ಲೊಂದು 101955 ಬೆನ್ನು (Bennu).

ಈಜಿಪ್ತಿನ ಪುರಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಬರುವ ಬೆನ್ನು (Bennu) ಎಂಬ ಹಕ್ಕಿಯ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುವ, ಸುಮಾರು 500 ಮೀಟರ್ ದುಂಡಳತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಈ ಬಾನಬಂಡೆಯ ಇರುವಿಕೆಯು ಗೊತ್ತಾದದ್ದು 1999 ರಲ್ಲಿ. ಅಲ್ಲಿಂದೀಚೆಗೆ ಈ ಬಾನಬಂಡೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ಕುತೂಹಲದ ವಿಷಯಗಳು ಬೆಳಕಿಗೆ ಬಂದಿವೆ. ನೆಲಕ್ಕೆ ಕುತ್ತು ತರಬಲ್ಲ ಬಾನಬಂಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದೂ ಒಂದು ಅಂದರೆ ಅಚ್ಚರಿಯಾದೀತು. ಈಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಕಾರ ಸುಮಾರು 2175 ರಿಂದ 2196 ನೇ ಇಸ್ವಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಬಾನಬಂಡೆ ನೆಲಕ್ಕೆ ಅಪ್ಪಳಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಈ ಸಾಧ್ಯತೆಯು 0.037% ನಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಮಾಣದ್ದಾಗಿದ್ದರೂ, ಒಂದೊಮ್ಮೆ ಇದು ನಿಜವಾದರೆ ಸುಮಾರು 1200 ಮೆಗಾಟನ್ ನಷ್ಟು ಶಕ್ತಿಯ ಅಪ್ಪಳಿಕೆ ಇದಾಗಬಲ್ಲದು ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ನೆಲಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ಹಾನಿಯಾಗಬಲ್ಲದು.

ಬೆನ್ನು ಬಾನಬಂಡೆಯ ವಿವರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ,

ನಡುಗೆರೆಯಲ್ಲಿ ದುಂಡಳತೆ (Equatorial Diameter) : ~500 ಮೀಟರ್
ತುದಿಯಲ್ಲಿ ದುಂಡಳತೆ (Polar Diameter) : ~510 ಮೀಟರ್
ಸರಾಸರಿ ವೇಗ (Average Speed) : 63,000 ಮೈಲಿಗಳು ಪ್ರತಿ ಗಂಟೆಗೆ
ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಹೊತ್ತು (Rotation Period) : 4.3 ಗಂಟೆಗಳು
ಸುತ್ತುವಿಕೆಯ ಹೊತ್ತು (Orbital Period) : 1.2 ವರುಶಗಳು
ಸುತ್ತುವಿಕೆಯ ಬಾಗುತನ (Orbital Inclination) : 6 ಡಿಗ್ರಿಗಳು
ನೆಲಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರ ಬರುವ ಕಾಲ: ಪ್ರತಿ 6 ವರುಶಗಳಿಗೊಮ್ಮೆ

(ಗೊತ್ತಿರುವ ಕಟ್ಟಡಗಳ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬೆನ್ನುವಿನ ಹೋಲಿಕೆ)

ಬಾನಬಂಡೆಗಳ (asteroid) ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಮಾನವರು ಮುಂದಾಗುತ್ತಿರುವುದಕ್ಕೆ, ನೆಲಕ್ಕೆ ಅಪ್ಪಳಿಸಿ ಹಾನಿ ಉಂಟುಮಾಡಬಲ್ಲ ಇವುಗಳನ್ನು ತಡೆಯಲು ಸಜ್ಜಾಗಬೇಕು ಅನ್ನುವುದು ಒಂದು ಕಾರಣವಾದರೆ ಇದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಮುಖ್ಯವಾದ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಇವುಗಳ ರಚೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡರೆ ನಮ್ಮ ಸೂರ್ಯ ಏರ್ಪಾಟಿನ (Solar System) ಹುಟ್ಟಿನ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ನೆಲದಲ್ಲಿ ಜೀವಿಗಳ ಹುಟ್ಟಿನ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಬಾನಬಂಡೆಗಳು ’ಸೂರ್ಯ ಏರ್ಪಾಟು’ ಉಂಟಾಗುವ ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉಂಟಾದ ಬಾನಕಾಯಗಳು ಮತ್ತು ಇವು ಹಲವು ಬಿಲಿಯನ್ ವರುಶಗಳಿಂದ ಬದಲಾಗದೇ ಉಳಿದಿವೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಇವುಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡರೆ ಬಾನಂಗಳದ ಹಳಮೆಯನ್ನು ಅರಿಯಲು ಅನುಕೂಲವಾಗಬಲ್ಲದು. ಜೀವಿಗಳ ಬದುಕಿಗೆ ಅಡಿಪಾಯವಾದ ನೀರು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾದ ಇತರ ವಸ್ತುಗಳು ಬಾನಬಂಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಇವೆಯೇ? ಬಾನಬಂಡೆಗಳು ಮನುಷ್ಯರು ಬದಕಬಲ್ಲ ತಾಣಗಳಾಗಬಹುದೇ? ಅನ್ನುವುದನ್ನು ಅರಸುವುದೂ ನಾಸಾದ ಗುರಿಗಳಲ್ಲೊಂದು.

ನಾಸಾದ (NASA) ಯೋಜನೆ:

ಓಸಿರಿಸ್-ಆರ್ ಇ ಎಕ್ಸ್ (OSIRIS-REx) ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುವ, ಬೆನ್ನು (Bennu) ಬಾನಬಂಡೆಯ ಕುರಿತ ನಾಸಾದ ಯೋಜನೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮುಖ್ಯ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ,

1. ಬೆನ್ನು ಬಾನಬಂಡೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಡಕಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಒರೆಗೆಹಚ್ಚುವುದು ಮತ್ತು ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಅರಕೆಗಾಗಿ ನೆಲಕ್ಕೆ ತರುವುದು.

2. ಬೆನ್ನು ಬಾನಬಂಡೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುವುದು.

3. ಯರ್ಕೋವಸ್ಕಿ ಆಗುಹ (Yarkovsky effect) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ, ರಾಶಿಸೆಳೆತವಲ್ಲದ (non gravitational) ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಅಳತೆಮಾಡುವುದು. ಈ ಆಗುಹವು ಬಾನಕಾಯಗಳ ತಿರುಗುದಾರಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಬಲ್ಲದಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡರೆ ಬಾನಬಂಡೆಯ ಅಪ್ಪಳಿಕೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು, ಅದು ಸಾಗುವ ದಾರಿಯನ್ನು ಕರಾರುವಕ್ಕಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಓಸಿರಿಸ್ ಬಾನಬಂಡಿಯ ವಿವರಗಳು ಹೀಗಿವೆ,

ಉದ್ದ: 6.2 ಮೀಟರ್ ಗಳು
ಅಗಲ: 2.4 ಮೀಟರ್ ಗಳು
ಎತ್ತರ: 3.2 ಮೀಟರ್ ಗಳು
ರಾಶಿ – ಉರುವಲಿಲ್ಲದೆ (dry mass – Unfueled): 880 ಕೆ.ಜಿ.ಗಳು
ರಾಶಿ – ಉರುವಲಿನ ಜತೆಗೆ (wet mass – fueled): 2110 ಕೆ.ಜಿ.ಗಳು
ಕಸುವು (power): 2 ನೇಸರಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು (Solar panel) ಹೊಂದಿದ್ದು 1,226 ರಿಂದ 3,000 ವ್ಯಾಟ್ ನಷ್ಟು ಕಸುವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಲ್ಲವು.
ಸಲಕರಣೆಗಳು: ಮಾದರಿ ಮರಳಿ ತರುವ ಸಲಕರಣೆ (Sample Return Capsule – SRC), ಕ್ಯಾಮೆರಾಗಳು, ದೂರ, ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಕಾವು ಅಳೆಯುವ ಸಲಕರಣೆಗಳು.

ಇದೇ ಸಪ್ಟಂಬರ್, 8 ಕ್ಕೆ ಬಾನಿಗೆ ಹಾರಿದ ಓಸಿರಿಸ್ ಬಾನಬಂಡಿ (spacecraft) ಸುಮಾರು ಒಂದು ವರುಶದ ಕಾಲ ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತಿ ಅಲ್ಲಿಂದ ಬೆನ್ನುವಿನೆಡೆಗೆ ಸಾಗಲಿದೆ. ಅಗಸ್ಟ್ 2018 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ ಅದು ಬೆನ್ನು ಬಾನಬಂಡೆಯನ್ನು ತಲುಪಲಿದೆ. ಸುಮಾರು 505 ದಿನಗಳ ಕಾಲ ಅಲ್ಲಿರುವ ಓಸಿರಿಸ್ ಬಾನಬಂಡಿಯು, ಬೆನ್ನುವಿನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತ ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಕಲೆಹಾಕಲಿದೆ.

ಹಾಗೆನೇ ತನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಕೈಯಂತಿರುವ ಉದ್ದನೆಯ ಸಲಕರಣೆಯೊಂದನ್ನು ಚಾಚಿ ಬೆನ್ನುವಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲಿದೆ. ಮಾರ್ಚ್, 2021 ರಂದು ಬೆನ್ನುವಿನಿಂದ ಮರಳಿ ಹೊರಡಲಿರುವ ಓಸಿರಿಸ್ ಬಾನಬಂಡಿಯು 2023 ರಲ್ಲಿ ಬೆನ್ನುವಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊತ್ತುಕೊಂಡು ನೆಲ ತಲುಪಲಿದೆ.

(ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು: asteroidmission.org, wikipedia.org)

’ಸ್ಪೇಸ್ ಸೂಟ್’ ಅಂದರೇನು?

By admin 19/09/2016 05/10/2016 ನಿಮಗಿದು ಗೊತ್ತೆ?

ದೂರದ ಬಾನಂಗಳದಲ್ಲಿ ಪಯಣಿಸುತ್ತ ನೆಲದಾಚೆಗಿನ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ತಮ್ಮದಾಗಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಹವಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮನುಷ್ಯರು ಚಂದ್ರನಲ್ಲಿ ಇಳಿಯುವಲ್ಲಿ ಗೆಲುವು ಕಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಆಗಸವನ್ನು ಅರಸುವ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ನೆಲದಿಂದ ಸುಮಾರು 400 ಕಿ.ಮೀ. ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮದೊಂದು ಬಾನ್ನೆಲೆಯನ್ನೂ (space station) ಕಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ.

ತುಸು ಹೆಚ್ಚಿನ ಚಳಿ ಇಲ್ಲವೇ ಹೆಚ್ಚಿನ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಾಗುವಾಗ ಆಗುವ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು ತಾಳಿಕೊಳ್ಳಲು ಹೆಣಗಾಡುವ ಮನುಷ್ಯರ ಮೈ, ಬಾನಿನಲ್ಲಿ ಅಷ್ಟೊಂದು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಚಳಿ-ಬಿಸಿ ಎಲ್ಲೆ ಮೀರಿದ ಹೊಯ್ದಾಟದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿಯಿರಬಲ್ಲದು? ಗಾಳಿ-ಚಳಿ-ಬಿಸಿ-ಒತ್ತಡಗಳ ಏರುಪೇರುಗಳ ನಡುವೆ ಬಾನದೆರವಿನಲ್ಲಿ (space) ಬಾನಾಡಿಗರನ್ನು ಕಾಪಾಡುವುದೇ ಅವರು ತೊಡುವ ಉಡುಪು. ಬನ್ನಿ, ಬಾನುಡುಪುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ನೆಲದಿಂದ ಸುಮಾರು 15-19 ಕಿ.ಮೀ. ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ತಲುಪಿದಂತೆ ವಾತಾವರಣದಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಏರುಪೇರುಗಳು ಮನುಷ್ಯರ ಮೈ ತಾಳಿಕೊಳ್ಳಲಾಗದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತವೆ. ನೆಲದಿಂದ 19 ಕಿ.ಮೀ. ಎತ್ತರವನ್ನುಆರ‍್ಮಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಗೆರೆ (Armstrong line) ಇಲ್ಲವೇ ಆರ‍್ಮಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಎಲ್ಲೆ (Armstrong limit) ಅಂತಾ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಗಾಳಿಯೊತ್ತಡ ತುಂಬಾನೇ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿ 0.0618 bar ಒತ್ತಡ ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ನೆಲದ ಮೇಲ್ಮೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 1 bar ಇರುವ ಗಾಳಿಯೊತ್ತಡ ಆರ‍್ಮಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಎಲ್ಲೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಬರೀ 6% ಒತ್ತಡವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಈ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೈ ಕಾವಳತೆ ಅಂದರೆ ಸುಮಾರು 37°C ನಲ್ಲೂ ನೀರು ಕುದಿಯುವ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ.

[ಗಮನಕ್ಕೆ: 1 bar ನಷ್ಟು ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿ ನೀರಿನ ಕುದಿಯುವ ಮಟ್ಟ 100°C ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒತ್ತಡ ಹೆಚ್ಚಾಂದತೆ ಅದರ ಕುದಿಯುವ ಮಟ್ಟ ಏರುತ್ತಾ ಹೋದರೆ, ಒತ್ತಡ ಇಳಿದಂತೆ ಕುದಿಯುವ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಇಳಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ನಮ್ಮ ದಿನಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ನೀರು ಕುದಿಯುವಂತೆ ಮಾಡಲು 100°C ಕಾವಳತೆ (temperature) ಬೇಕಾದರೆ ಆ ನೀರನ್ನೇ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ, ಕಡಿಮೆ ಒತ್ತಡದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಒಯ್ದದಂತೆಲ್ಲಾ ಅದನ್ನು ಕುದಿಯುವಂತೆ ಮಾಡಲು ಕಡಿಮೆ ಕಾವಳತೆ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.]

ಇಷ್ಟೊಂದು ಕಡಿಮೆ ಗಾಳಿಯೊತ್ತಡಕ್ಕೆ ಒಡ್ಡಿದಾಗ ಮನುಷ್ಯರ ಮೈಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೊಂದರೆಗಳು ಉಂಟಾಗಬಲ್ಲವು,

1. ಮೈಯಲ್ಲಿ ನೀರ‍್ಬಗೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉಗುಳು, ಕಣ್ಣೀರು, ಗಾಳಿಗೂಡಿನಲ್ಲಿರುವ ನೀರಿನಂಶ ಕುದಿಯತೊಡಗುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ರಕ್ತನಾಳದಲ್ಲಿನ ಒತ್ತಡದಿಂದಾಗಿ ರಕ್ತ ಕುದಿಯದೇ ಎಂದಿನ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲೇ ಇರುತ್ತದೆ.

2. ಹೊರಗೆ ಕಡಿಮೆ ಒತ್ತಡ, ಮೈಯೊಳಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನೊತ್ತಡದಿಂದಾಗಿ ಮಾಂಸಖಂಡಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಳತೆಗಿಂತ ಸುಮಾರು ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಉಬ್ಬುತ್ತವೆ.

3. ಕಡಿಮೆ ಒತ್ತಡದಿಂದಾಗಿ ಉಸಿರುಚೀಲಗಳು ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತೊಂದರೆಗೆ ಈಡಾಗುತ್ತವೆ. ಕಡುಕಡಿಮೆ ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿ ಉಸಿರನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಧ್ಯವಾಗದೇ, ಉಸಿರು ಬಿಡುವಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಸಿಡಿಯುವಂತಹ ಒತ್ತಡದ ಇಳಿತದಿಂದಾಗಿ ಉಸಿರುಚೀಲಗಳು ಹಾನಿಗೊಳಗಾಗುತ್ತವೆ. ಕಡಿಮೆ ಗಾಳಿಯೊತ್ತಡದ ಇಂತಹ ಪಾಡನ್ನು ತಾಳಿಕೊಂಡು ಮನುಷ್ಯರು ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ 15 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಷ್ಟೇ ಬದುಕಬಲ್ಲರು.

ಆರ‍್ಮಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಎಲ್ಲೆಯಷ್ಟು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಏರಿದಾಗ ಕಡುಕಡಿಮೆ ಒತ್ತಡವಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ, ಬಿಸುಪಿನಲ್ಲಾಗುವ ಏರುಪೇರುಗಳು, ಬಾನಲ್ಲಿ ಸಿಡಿಲಿನಂತೆ ಅಪ್ಪಳಿಸುವ ಚೂರುಗಳು, ಅತಿ ನೇರಳೆ ಕೆಡುಕದಿರುಗಳು ಬಾನಾಡಿಗರಿಗೆ ತೊಂದರೆಯನ್ನು ಒಡ್ಡುತ್ತವೆ. ಇವೆಲ್ಲ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಬಾನಾಡಿಗರು ಬಾನಬಂಡಿಯಾಚೆ ತಮ್ಮ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುವಂತೆ ಬಾನುಡುಪುಗಳನ್ನು ಅಣಿಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾನಬಂಡಿಯಲ್ಲಿ (space craft) ಸರಿಯಾದ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಕಾಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಬಾನಾಡಿಗರು ಬಾನಬಂಡಿಯಾಚೆಗೆ ಬಂದಾಗಲಷ್ಟೇ ಬಾನುಡುಪು ತೊಡುವುದು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಾನುಡುಪು (space suit), ಒತ್ತಡದ ಉಡುಪು (pressure suit) ಇಲ್ಲವೇ ಬಂಡಿಯಾಚೆ ಬಳಸುವ ಉಡುಪು (Extravehicular Mobility Unit- EMU) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಬಾನಾಡಿಗರು ತೊಟ್ಟ ಉಡುಪು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ,

1. ಒತ್ತಡವನ್ನು ಕಾಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು:
ಬಾನಾಡಿಗರಿಗೆ ಉಸಿರಾಡಲು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನೀಗಲು ಬೇಕಾದ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಕಾಯ್ದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬಾನುಡುಪಿನಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು 0.32 bar ನಷ್ಟು ಗಾಳಿಯೊತ್ತಡವನ್ನು ಕಾಯ್ದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ನೆಲದ ಮೇಲ್ಮೆಯ ಸುಮಾರು 32% ನಷ್ಟು ಒತ್ತಡ. ನೆಲದ ಮೇಲ್ಮೆಯ ವಾತಾವರಣದಲ್ಲಿ ನೈಟ್ರೋಜನ್ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ ಗಾಳಿಯೊತ್ತಡ ಹೆಚ್ಚಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮನುಷ್ಯರು ಉಸಿರಾಡಲು ಉಸಿರ‍್ಗಾಳಿ (oxygen) ಇದ್ದರಷ್ಟೇ ಸಾಕು, ನೈಟ್ರೋಜನ್‍ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದುದರಿಂದ ಬಾನುಡುಪಿನಲ್ಲಿ ನೆಲದ 32% ನಷ್ಟು ಒತ್ತಡವಿದ್ದರೂ ಬಾನಾಡಿಗರು ಸರಿಯಾಗಿ ಉಸಿರಾಡಬಲ್ಲರು.

2. ಉಸಿರ‍್ಗಾಳಿಯ ಪೂರೈಕೆ:
ಬಾನದೆರವು (space), ಗಾಳಿಯಿಲ್ಲದ ಬರಿದು ನೆಲೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಬಾನಾಡಿಗರಿಗೆ ಬಾನಬಂಡಿಯಾಚೆ ಉಸಿರಾಡಲು ಬೇಕಾದ ಉಸಿರ‍್ಗಾಳಿಯನ್ನು ಬಾನುಡುಪುಗಳ ಮೂಲಕ ಒದಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾನಬಂಡಿಯೊಳಗೆ ಉಸಿರ‍್ಗಾಳಿಯನ್ನು ಕೂಡಿಡಲಾಗಿದ್ದು, ಬಾನುಡುಪಿನ ಹಿಂದಿನ ಭಾಗದಿಂದ ಕೊಳವೆಗಳ ಮೂಲಕ ಉಸಿರ‍್ಗಾಳಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾನಾಡಿಗರ ಉಸಿರಾಟದಿಂದ ಹೊರಡುವ ಕಾರ‍್ಬನ್ ಡೈಆಕ್ಸೈಡ್‍ನ್ನು ಕೊಳವೆಗಳ ಮೂಲಕ ಬಾನಬಂಡಿಯೊಳಗೆ ಸಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3. ಕದಲುವಿಕೆ (mobility):

ಬಾನಾಡಿಗರು ಸರಾಗವಾಗಿ ನಡೆದಾಡಲು ಬಾನುಡುಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಒತ್ತಡವು ತಡೆಯೊಡ್ಡಬಲ್ಲದು. ಈ ತಡೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವಂತೆ ಬಾನುಡುಪನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಾನುಡುಪಿನ ಕಟ್ಟಣೆಯಲ್ಲಿ ಕದಲುವಿಕೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗಮನದಲ್ಲಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾನಾಡಿಗರು ಬಾನುಡುಪನ್ನು ತೊಟ್ಟು ಒಂದು ನೆಲೆಯಿಂದ ಕದಲಿ ಮತ್ತೆ ಮರಳಿ ಅದೇ ನೆಲೆಗೆ ಬರಬೇಕಾದರೆ, ಅವರು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಕೆಲಸ ಆದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಿರಬೇಕು. ಇಲ್ಲವಾದರೆ ಅವರಿಗೆ ತುಂಬಾ ದಣಿವಾಗಬಲ್ಲದು. ಇದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಬಗೆಯಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು. ದಪ್ಪನೆಯ ಕೋಟೊಂದನ್ನು ಹಾಕಿಕೊಂಡು ಬಾಗುವುದು, ಏಳುವುದು ಎಶ್ಟೊಂದು ಕಷ್ಟವಲ್ಲವೇ? ಹಾಗೆನೇ ಬಾನುಡುಪು ಬಾನಾಡಿಗರಿಗೆ ಹೊರೆಯಾಗಬಲ್ಲದು.

ಬಾನುಡುಪನ್ನು ಕದಲಿಸಲು ಬೇಕಾದ ಕೆಲಸದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಗಣಿತದ ನಂಟಿನಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ, W = ಕೆಲಸ (Work), P = ಒತ್ತಡ (Pressure), V = ಆಳವಿ (Volume), Vi = ಮೊದಲಿದ್ದ ಆಳವಿ, Vf = ಬಳಿಕದ ಆಳವಿ, dV = ಆಳವಿಯಲ್ಲಾದ ಮಾರ‍್ಪಾಟು (Change in Volume)

ಮೇಲಿನ ಗಣಿತದ ನಂಟಿನಿಂದ ತಿಳಿದುಬರುವುದೇನೆಂದರೆ, ಕೆಲಸವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಬೇಕೆಂದರೆ ಉಡುಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು ಇಲ್ಲವೇ ಆಳವಿಯ ಮಾರ‍್ಪಾಟನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಒತ್ತಡವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ ಉಸಿರಾಟಕ್ಕೆ ತೊಂದರೆಯಾಗಬಲ್ಲದು ಹಾಗಾಗಿ ಇನ್ನು ಉಳಿದದ್ದು ಆಳವಿಯ ಮಾರ‍್ಪಾಟನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಾನುಡುಪಗಳು ’ಆಳವಿಯ ಮಾರ‍್ಪಾಟನ್ನು’ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದರ ಅಡಿಪಾಯದ ಮೇಲೆಯೇ ಅಣಿಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.
ಹಾಗಾದರೆ ಆಳವಿಯ ಮಾರ‍್ಪಾಟನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಬಾನುಡುಪುಗಳನ್ನು ಹಲವು ಪದರುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಣೆಯಲಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪದರುಗಳೊಳೆಗೆ ಅಲ್ಲಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿ ತೆರೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಿಂಡಿಯಂತಹ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾನಾಡಿಗರು ಬಾಗಿದಾಗ ಅವರ ಇಡಿಯಾದ ಉಡುಪು ಬಾಗದೇ ಅದರೊಳಗಿನ ಪದರಗಳಷ್ಟೇ ಬಾಗುವುದರಿಂದ ಅವರಿಗಾಗುವ ದಣಿವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಕಾವಳತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿತದಲ್ಲಿಡುವುದು: ಬಾನಿನಲ್ಲಿ ಕಾವಳತೆ (temperature) ಎಲ್ಲೆ ಮೀರಿದ ಏರಿಳಿತವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಕಾವಳತೆಯಲ್ಲಿ −150°C ಇಂದ +120°C ನಷ್ಟು ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಬಹುದು. ಕಾವಳತೆಯ ಇಂತಹ ಏರಿಳಿತದಿಂದ ಬಾನಾಡಿಗರನ್ನು ಕಾಪಾಡಲು ಬಾನುಡುಪುಗಳನ್ನು ತಡೆವೆ (insulators) ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಮಾಡಿರುತ್ತಾರೆ ಜತೆಗೆ ತಂಪಾಗಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಗಾಳಿ ಹೊಯ್ದಾಟಕ್ಕೆ ಒಳಪದರವೊಂದನ್ನು ಮಾಡಿರುತ್ತಾರೆ. ಈ ಒಳಪದರದಲ್ಲಿ ನೀರಿನ ಕೊಳವೆಗಳ ಹಲವು ಸುತ್ತುಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಬಾನಾಡಿಗರ ಮೈಯಿಂದ ಹೊಮ್ಮುವ ಕಾವನ್ನು ಇವು ತಂಪಾಗಾಗಿಸುತ್ತವೆ.

5. ಕಾಪುವಿಕೆ: ಅತಿ ನೇರಳೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಕೆಡು ಕದಿರುಗಳಿಂದ ಬಾನಾಡಿಗರನ್ನು ಕಾಪಾಡಲು ಬಾನುಡುಪುಗಳ ಹೊರಪದರನ್ನು ಮ್ಯಾಲಾರ‍್(Mylar)ನಂತಹ ವಿಷೇಶ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಮಾಡಿರುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗೆನೇ ಬಾನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಲ ಎಲ್ಲಿಂದಲೋ ಚಿಮ್ಮಿ ಬರುವ ತುಣುಕುಗಳು ಬಾನಾಡಿಗರ ಮೈ ಸೋಕದಂತೆ, ಬಾನುಡುಪಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಹೊರಪದರನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗುಂಡುತಡೆ ಅಂಗಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಕೆವ್ಲಾರ್‍ (Kevlar)ನಂತಹ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಮಾಡಿರುತ್ತಾರೆ.

6. ಕೊಳೆತೆಗೆತ: ಬಾನಾಡಿಗರ ಮೈಯಿಂದ ಹೊರಬರುವ ಉಚ್ಚೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನಿತರ ಕೊಳೆಯನ್ನು ಬಾನುಡುಪು ತನ್ನಲ್ಲೇ ಹಿಡಿದುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಅಣಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

7. ಒಡನಾಟ: ಬಾನಾಡಿಗರು ಬಾನಬಂಡಿಯಾಚೆ ಇರುವಾಗ ಇತರರೊಡನೆ ಒಡನಾಡಲು ರೆಡಿಯೋ ಅಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ/ಕಳಿಸುವ ಸಲಕರಣೆ, ಮೈಕ್ರೋಪೋನ್ ಮುಂತಾದ ಸಲಕರಣೆಗಳನ್ನು ಬಾನುಡುಪಿನ ಬಾಗವಾಗಿ ಅಣಿಗೊಳಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗೆ ಹಲವು ಅಡೆತಡೆಗಳ ನಡುವೆಯೂ ಬಾನಾಡಿಗರನ್ನು ಕಾಪಾಡಲು ಬಾನುಡುಪುಗಳು ಸಜ್ಜಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂದ ಹಾಗೆ ಎಲ್ಲ ಸಲಕರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಒಂದು ಬಾನುಡುಪಿನ ಬೆಲೆ ಸುಮಾರು 12 ಮಿಲಿಯನ್ ಡಾಲರ್ (ಸುಮಾರು 72 ಕೋಟಿ ರೂಪಾಯಿಗಳು)

(ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಸೆಲೆಗಳು: wikipedia.org, science.howstuffworks,proxy.flss.edu.hk, styleguise.net)

ಮೂರ್ಬದಿ

By admin 15/09/2016 16/09/2017 ಗಣಿತ

ನಾವು ದಿನಾಲು ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯಾಕಾರವನ್ನು (Triangle Shape) ನೋಡುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತೇವೆ. ಟ್ರಾಪಿಕ್ ಬೋರ್ಡ್ ಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಹಂಚಿನ ಮನೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಹಲವಾರು ಕಡೆ ಮೂರ್ಬದಿ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು. ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪಿರಾಮಿಡ್‍ಗಳೂ ಮೂರ್ಬದಿ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಇರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ದಿನಬಳಕೆಯಲ್ಲದೇ ಅರಿವಿನ ಹಲವಾರು ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಾಗುವ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳೋಣ.

ಹೆಸರೇ ಸೂಚಿಸುವಂತೆ,

ಮೂರು ಬದಿಗಳು ಸೇರಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ, ಮೂರು ಮೂಲೆಗಳ ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ (planar) ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯೇ ಮೂರ್ಬದಿ (triangle).

ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ’ಕೋನ’ ಅಂತಾನೂ ಸೂಚಿಸಬಹುದಾದುರಿಂದ ಈ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಮುಕ್ಕೋನ (ಮೂರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ) ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ABC ಎಂಬ ಮೂರ್ಬದಿಯು AB, BC ಮತ್ತು CA ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸೇರಿ ಮೂಲೆ ಇಲ್ಲವೇ ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತವೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು α ಗುರುತಿನಿಂದ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕೋನವನ್ನು ∠ABC ಅಂತಾನೂ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕೋನ ಉಂಟಾಗುವ B ತುದಿಯು ಗುರುತಿನ ನಡುವೆ ಬರುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಗಳು:
ಈಗ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಿಡಿ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಬದಿ (Side): ಮೂರ್ಬದಿ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಬದಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ತುದಿ (Vertex): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸೇರುವೆಡೆಯನ್ನು ತುದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೂಲೆ / ಕೋನ (Angle): ಎರಡು ಜೋಡಿ ಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸೇರಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಜಾಗವನ್ನು ಮೂಲೆ ಇಲ್ಲವೇ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter): ಮೂರು ಬದಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವನ್ನು ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ನಡುಗೆರೆ (Median Line): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಂದು ತುದಿಯಿಂದ (Vertex) ಅದರ ಎದುರು ಬದಿಯ ನಡುವಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯನ್ನು ನಡುಗೆರೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ C ತುದಿಯಿಂದ ಅದರ ಎದುರು ಬದಿ AB ಯ ನಡು M ಗೆ ಎಳೆದ CM ಗೆರೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ ನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ.

ಎತ್ತರ (Altitude / Height): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಂದು ತುದಿಯಿಂದ (Vertex) ಅದರ ಎದುರು ಬದಿಗೆ ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯನ್ನು ಎತ್ತರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಬುಡ (Base): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಅಡಿಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಗೆರೆಯನ್ನು ಬುಡ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳು:

ಎಲ್ಲಾ ಮೂರ್ಬದಿ ಆಕೃತಿಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ ಕೆಲವೊಂದು ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲೆಯಳತೆಯನ್ನು (Angle) ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಕೆಲವೊಂದು ಹೆಚ್ಚು ಬದಿಯಳತೆಯನ್ನು (Length of a side) ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಕೆಲವೊಂದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಅಳತೆ ಸರಿಯಾಗಿರಬಹುದು, ಕೆಲವೊಂದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮೂಲೆಗಳ ಅಳತೆ ಸರಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ಹಲವಾರು ಅಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿ ನಿಮಗೆ ಗೊಂದಲವಾಗಿರಬಹುದು ಅಲ್ಲವೇ?, ಈ ಗೊಂದಲಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಗೆಹರಿಸೋಣ.

ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬಗೆಗಳಿವೆ. ಬಗೆಗಳನ್ನು ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಯಳತೆಯ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು.

1. ಬದಿಯಳತೆಯಂತೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳು:
ಬದಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಮೂರು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬದಿಯಳತೆ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಯಳತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಬದಿಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಯೊಳಗೆ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ತುಂಬಲಾಗಿದೆ.

ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Equilateral Triangle): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು 60° ಇರುತ್ತವೆ.

ಸರಿ-ಇಬ್ಬದಿಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Isosceles Triangle): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಸರಿ-ಇಬ್ಬದಿಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹಲವಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ ( Scalene Triangle): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಹಲವಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ ಎನ್ನಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೂಲೆಯಳತೆಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.

2. ಮೂಲೆಯಳತೆಯಂತೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳು:

ಸರಿಮೂಲೆ (Right Angle [90°]) ಅಳತೆಗೋಲನ್ನಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಮೂರು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.

ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Right Angle Triangle): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿದ್ದರೆ (Perpendicular to each other) ಅದನ್ನು ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ನೇರಡ್ಡವಾದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸೇರುವೆಡೆ ಅದರ ಮೂಲೆಯಳತೆ 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Obtuse Angle Triangle): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಯಾವುದಾರೂ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸೇರುವೆಡೆ ಮೂಲೆಯಳತೆಯು 90° ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅದು ಹಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Acute Angle Triangle): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕೊಂದು ಸೇರುವೆಡೆ ಮೂಲೆಯಳತೆಗಳು 90° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದು ಕಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹಿರಿಮೂಲೆ ಮತ್ತು ಕಿರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಗಳನ್ನುಒಟ್ಟಾಗಿ ಓರೆಮೂಲೆಗಳ ಮೂರ್ಬದಿ (oblique triangles) ಅಂತಾ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷತೆಗಳು:
ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮೂರ್ಬದಿಯ ವಿಶೇಷತೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ.

1. ಯಾವುದೇ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ (Interior Angles) ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಹೊರಮೂಲೆಗಳ (Exterior Angles) ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಂದು ಮೂಲೆಯು ಸರಿಮೂಲೆಯಾಗಿದ್ದರೆ (Right Angle) ಉಳಿದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು 90° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯು ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Right Angle Triangle) ಮತ್ತು ಸರಿ-ಇಬ್ಬದಿಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Isosceles Triangle) ಎರಡೂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸರಿಮೂಲೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದೆರಡು ಮೂಲೆಗಳು ತಲಾ 45° ಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

4. ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯು ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಗಿದ್ದರೆ (Right Angle Triangle), ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿಯು (Square of hypotenuse) ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Pythagoras Theorem) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

5. ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಇನ್ನೊಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ (Congruent) ಆ ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.ಇದನ್ನು ಬದಿ – ಬದಿ – ಬದಿ ದಿಟಹೇಳಿಕೆ (SSS: Side – Side –Side Postulate) ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

6. ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡು ಮೂಲೆಗಳು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಬದಿ – ಮೂಲೆ – ಬದಿ ದಿಟಹೇಳಿಕೆ (SAS: Side – Angle –Side Postulate) ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

7. ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯ (Equilateral Triangle) ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು 60° ಇರುವುದರಿಂದ ಈ ಮೂರ್ಬದಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Acute Angle Triangle) ಮತ್ತು ಸರಿ-ಇಬ್ಬದಿಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Isosceles Triangle) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

8. ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯು ಸರಿಮೂಲೆಯನ್ನು (Right Angle) ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಓರೆಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Oblique Angle Triangle). ಹಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Obtuse Angle Triangle) ಮತ್ತು ಕಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಗಳು (Acute Angle Triangle) ಸರಿಮೂಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳು ಓರೆಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ.

9. ಕಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Acute Angle Triangle) ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿಯು ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಿರಿಮೂಲೆಯ ಎದುರುಬದಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಿರಿದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲೆಗಳು: ∠α < 90°, ∠β < 90°, ∠γ <90°.
ಬದಿಗಳು: a² + b²> c² , b² + c²> a², c² + a²> b²

10. ಹಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Obtuse Angle Triangle) ಹಿರಿಮೂಲೆಯೊಂದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಎರಡು ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 90° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಹಿರಿಮೂಲೆಯ ಎದುರುಬದಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಉಳಿದ ಬದಿಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲೆಗಳು: ∠α > 90° (ಹಿರಿಮೂಲೆ), ∠β + ∠γ <90°.
ಬದಿಗಳು: c² > b² + a²

ಮೂರ್ಬದಿಯ ನಡುಗಳು:
ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಳಕೆಗೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಹಲವು ಬಗೆಯ ನಡುಗಳನ್ನು(Centers) ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

1) ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನಡುಗೆರೆಗಳು (Median Lines) ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಕತ್ತರಿಸುವೆಡೆಯನ್ನು (Intersection) ನಡು (Centroid) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ನಡುವು (Centroid) ನಡುಗೆರೆಯನ್ನು 2 : 1 (ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ CO : Ox = 2 : 1) ಪಾಲನ್ನಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

2) ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಎತ್ತರಗಳು (Altitudes) ಒಂದನ್ನೊಂದು ಹಾದುಹೋದಾಗ ಸಿಗುವ ನಡುವನ್ನು ನೇರನಡು (Orthocenter) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಹಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ನೇರನಡು ಹೊರಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ನೇರನಡು ಒಳಗಿರುತ್ತದೆ.

3) ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು ತಾಗುವಂತೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ದುಂಡುಕವನ್ನು ಸುತ್ತುದುಂಡುಕ (Circumcircle) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಡುವನ್ನು ದುಂಡುನಡು (circumcenter) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ದುಂಡುನಡುವಿನಿಂದ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬದಿಗಳಿಗೆ ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ (Perpendicular) ಗೆರೆ ಎಳೆದಾಗ ಗೆರೆಗಳು ಬದಿಗಳನ್ನು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಸೀಳುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ನೇರಡ್ಡ-ಸರಿಪಾಲು (Perpendicular Bisector) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

4) ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹಿಡಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ದುಂಡುಕವನ್ನು ಇಟ್ಟಾಗ ಅದರ ನಡುವು (Centre of a circle) ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಳನಡುವಾಗಿರುತ್ತದೆ (Incentre of a triangle) ಮತ್ತು ಮೂರ್ಬದಿಯ ತುದಿಗಳಿಂದ (Vertices) ಹಾದುಹೋಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಗೆರೆಗಳು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಸರಿಪಾಲನ್ನಾಗಿ (Angle Bisectors) ಕತ್ತರಿಸುತ್ತವೆ.

5) ಮೂರ್ಬದಿಯ ದುಂಡುನಡು (circumcenter), ನಡು (Centroid) ಮತ್ತು ನೇರನಡು (Orthocenter)ಗಳ ಮೇಲೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಗೆರೆಯನ್ನು ಆಯ್ಲರ್ ಗೆರೆ (Euler Line) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು ಮೂರ್ಬದಿಯ ನಡುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಬಳಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನಡುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರಲ್ಲಿ ಆಯ್ಲರ್ ಗೆರೆ ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

1. ಮೂರ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ನಾವೀಗ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬದಿಗಳು a, b, c ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆ P ಆಗಿರಲಿ.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವೇ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ P = AB + BC + CA = a + b +c

ಉದಾಹರಣೆ: ನಾವೀಗ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬದಿಗಳು a =3.5 cm , b = 4.5 cm, c = 5.7 cm ಆದಾಗ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ P = AB + BC + CA = a + b +c = 3.5 + 4.5 + 5.7 = 13.7 cm.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ನಾವೀಗ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬದಿಗಳು AB, BC, CA ಮತ್ತು ಬುಡ (Base) AB = b, ಎತ್ತರ (Height) CD = h ಆಗಿರಲಿ.

ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಅಳತೆಯನ್ನೇ ಹೊಂದಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು BCE ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು ABC ಮೂರ್ಬದಿಗೆ ತಾಗಿಕೊಂಡಂತೆ ಬಿಡಿಸೋಣ. ಈಗ ನಮಗೊಂದು ABEC ಎಂಬ ನಾಲ್ಬದಿ (Quadrilateral) ಸಿಕ್ಕಿತು.

ABEC ನಾಲ್ಬದಿಯಿಂದ ADC ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ತೆಗೆದು ನಂತರದಲ್ಲಿ ADC ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು AC ಮತ್ತು BE ಬದಿಗಳು ಹೊಂದುವಂತೆ ಬಲಬದಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸೋಣ, ಬಲಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಂಡ ADC ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು BFE ಎಂದು ಹೆಸರಿಸೋಣ. ಈಗ ನಮಗೊಂದು DFEC ಎಂಬ ನಾಲ್ಸರಿಬದಿ / ಆಯತ (Rectangle) ಸಿಕ್ಕಿತು.

ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಸರಿಬದಿಯ ಹರವು Ar = ಉದ್ದ (Length) x ಅಗಲ (Width) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

DFEC ನಾಲ್ಸರಿಬದಿಯ ಹರವು Ar = ಉದ್ದ (Length) x ಅಗಲ (Width) = ಬುಡ (Base) x ಎತ್ತರ (Height) = b x h = bh
ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ DFEC ನಾಲ್ಸರಿಬದಿಯು ಎರಡು ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಗಳಾದ (Similar Triangles) ABC ಮತ್ತು BCE ಗಳಿಂದ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಿದೆ.

DFEC ನಾಲ್ಸರಿಬದಿಯ ಹರವು Ar = b x h = ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು + BCE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು = 2 x ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು.

ಆದ್ದರಿಂದ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A = b x h/2 =1/2 x bh

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು (area of triangle) = 1/2 (ಬುಡ x ಎತ್ತರ)

ಉದಾಹರಣೆ1: ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬುಡ (Base b) AB = 99 mm ಮತ್ತು ಎತ್ತರ (Height h) CD = 49 mm ಇದ್ದಾಗ ಅದರ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A = 1/2 (ಬುಡ x ಎತ್ತರ) = 1/2 x bh = 1/2 x AB x CD = 1/2 x 99 x 49 = 2425.5 mm²

ಉದಾಹರಣೆ2: ಒಂದು ABC ಸರಿ-ಇಬ್ಬದಿಯ ಮೂರ್ಬದಿಯ (Isosceles Triangle) ಹರವು A = 187 cm², ಎತ್ತರ h =17 cm ಆದಾಗ ಬದಿ BC ಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A = 1/2 ಬುಡ x ಎತ್ತರ = 1/2 x b x h = 1/2 x b x 17 = 187 cm²
ಬದಿ AB = b = 187 x 2/17 = 22 cm.

ABC ಯು ಒಂದು ಸರಿ-ಇಬ್ಬದಿ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಬದಿಗಳಾದ AB ಮತ್ತು BC ಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ BC ಬದಿಯ ಉದ್ದ BC = AB = b = 22 cm ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: 10000 m² ಹರವಿನ ಚೌಕದ ಬುಡವನ್ನು (Square Base) ಹೊಂದಿದ ಮತ್ತು ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Equilateral Triangle) ಗೋಡೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಒಂದು ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪಿರಮಿಡ್ಡಿನ ಒಟ್ಟು ಹರವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಬುಡದಿಂದ ತುದಿಯವರೆಗೆ (Base to Apex) ಪಿರಮಿಡ್ಡಿನ ಎತ್ತರ 86.6 m ಆಗಿದೆ.
ಬುಡವು ಚೌಕವಾಗಿದ್ದರಿಂದ ABCD ಚೌಕದ ಹರವು A1 = ಬದಿ x ಬದಿ = b2 = 10000 m²
ಆದ್ದರಿಂದ ಬದಿಯ ಉದ್ದ AB = b = √10000 = 100 m

ಪಿರಮಿಡ್ಡಿನ ನಾಲ್ಕು ಗೋಡೆಗಳು ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ ಹಾಗು ಚೌಕದ ಬದಿಗಳು ಮೂರ್ಬದಿಗಳ ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ,
ಇದರಿಂದ ಮೂರ್ಬದಿಗಳ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ABE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A2 = 1/2 x b x h = 1/2 x 100 x 86.6 = 4330 m²
BCE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A3 = 1/2 x b x h = 1/2 x 100 x 86.6 = 4330 m²
CDE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A4 = 1/2 x b x h = 1/2 x 100 x 86.6 = 4330 m²
DAE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A5 = 1/2 x b x h = 1/2 x 100 x 86.6 = 4330 m²

ABCDE ಪಿರಮಿಡ್ಡಿನ ಒಟ್ಟು ಹರವು

= ABCD ಚೌಕದ ಹರವು A1 + ABE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A2 + BCE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A3 + CDE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A4 + DAE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A5

=10000 + 4330 + 4330 + 4330 + 4330 = 27320 m2

ಆದ್ದರಿಂದ ABCDE ಪಿರಮಿಡ್ಡಿನ ಒಟ್ಟು ಹರವು = 27320 m²

ಕೆಲವು ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾದ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಕಟ್ಟಲೆಗಳು:

1. ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Pythagoras Theorem):

ಹೇಳಿಕೆ:

ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ (right angle triangle) ಉದ್ದಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿಯು (Square of hypotenuse) ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತೋರಿಸಿಕೆ (Proofs):
a, b ಮತ್ತು c ಬದಿಯುಳ್ಳ ಒಂದು ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು (Right Angle Triangle) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಉದ್ದಬದಿಯು (Hypotenuse) c ಮತ್ತು ಬುಡ a ಆಗಿರಲಿ.

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಂತೆ ಒಂದೇ ಅಳತೆಯ a ,b, c ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ನಾಲ್ಕು ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ‍್ಬದಿ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈಗ ನಮಗೆ ಎರಡು ಚೌಕಗಳು ಸಿಕ್ಕಿವೆ, ದೊಡ್ಡ ಚೌಕವನ್ನು ABCD ಎಂದು ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಚೌಕವನ್ನು EFGH ಎಂದು ಹೆಸರಿಸೋಣ.

ಇದರಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡಚೌಕ ABCD ಯ ಬದಿ AB = BC = CD = DA = ಉದ್ದಬದಿ (Hypotenuse) = c ಆಗಿದೆ.

ಚಿಕ್ಕಚೌಕ EFGH ನ ಬದಿ EF = FG = GH = HE = (AF – AE) = (BG – BF) = (CH – CG) = (DE – DH) = (a-b) ಆಗಿದೆ.

ದೂಡ್ಡ ಚೌಕದ ಹರವು A1 = ಚಿಕ್ಕಚೌಕದ ಹರವು A2 + ನಾಲ್ಕು ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ‍್ಬದಿ ಆಕೃತಿಗಳ ಹರವು A3 ಆಗಿದೆ.

ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ಹರವು A = ಬದಿ x ಬದಿ ಮತ್ತು ಮೂರ‍್ಬದಿಯ ಹರವು = (ಬುಡ x ಎತ್ತರ)/2.

ಆದ್ದರಿಂದ ದೂಡ್ಡ ಚೌಕದ ಹರವು A1 = c x c = (a-b) x (a-b) + 4 x 1/2 x a x b

ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಬರೆದಾಗ A1 = c² = ಉದ್ದಬದಿ x ಉದ್ದಬದಿ = a² – 2ab + b² + 2ab = a² + b²

ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ‍್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿಯು (c² ) ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (a² + b²) ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: ABCDEFGH ಎಂಬ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕಾರದ (Rectangular) ಒಂದು ಗಾಜಿನ ತೊಟ್ಟಿಯ ಬುಡದ ಬದಿಗಳು 4m ಮತ್ತು 3m ಆಗಿವೆ ಹಾಗು ಅದರ ಎತ್ತರ 6m ಆಗಿದೆ, ನಾವೀಗ ಅದರ ಮೂಲೆಗೆರೆಯ (Diagonal) ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ABCDEFGH ಗಾಜಿನ ತೊಟ್ಟಿಯ EACG ಸೀಳುನೋಟವನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ನಮಗೆ AGC ಮತ್ತು ABC ಎಂಬ ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ‍್ಬದಿಗಳು (Right Angle Triangles) ಸಿಗುತ್ತವೆ.

AG ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು (Length of the Diagonal) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೊದಲು ನಾವು AC ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಬೇಕು.

ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯಂತೆ ABC ಮೂರ‍್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿ (Square of the Hypotenuse) AC² = AB² + BC² ಅಗ್ಗಿರುತ್ತದೆ.

AC² = AB² + BC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, ಆದ್ದರಿಂದ ABC ಮೂರ‍್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿ AC = 5m ಆಗಿದೆ.

ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯಂತೆ ACG ಮೂರ‍್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿ AG² = AC² + GC² ಅಗ್ಗಿರುತ್ತದೆ.

AG² = AC² + GC² = 5² + 6² = 25 + 36 = 61 à ABC ಮೂರ‍್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿ (Hypotenuse) AG = √ 61 = 7.81 m ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ABCDEFGH ಗಾಜಿನ ತೊಟ್ಟಿಯ AG ಮೂಲೆಗೆರೆಯ (Diagonal) ಉದ್ದ 7.81 m ಆಗಿದೆ.

2. ಹೊರಮೂಲೆಯ ಕಟ್ಟಲೆ (Exterior Angle Theorem):

ಹೇಳಿಕೆ 1:

ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹೊರಮೂಲೆಯು (Exterior Angle) ಅದರ ದೂರದ ಎರಡು ಒಳಮೂಲೆಗಳ (Remote Interior Angles) ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತೋರಿಸಿಕೆ (Proof): ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹೊರಮೂಲೆ (Exterior Angle) δ ಮತ್ತು ಅದರ ದೂರದ ಎರಡು ಒಳಮೂಲೆಗಳು (Interior Angles) α, β ಆಗಿರಲಿ.

ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ T1 = ∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = α + β + γ = 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಒಂದು ನೇರ ಗೆರೆಯ ಮೂಲೆಯ ಅಳತೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ,
ಆದ್ದರಿಂದ ACD ಗೆರೆಯ ಮೂಲೆಯ ಅಳತೆ T2 = ∠ACD = ∠ACB + ∠BCD = γ + δ = 180°.

T1 ಮತ್ತು T2 180° ಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, T1 = T2 = α + β + γ = γ + δ à δ = α + β.

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹೊರಮೂಲೆ δ ದೂರದ ಎರಡು ಒಳಮೂಲೆಳಾದ α, β ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆ”.

ಹೇಳಿಕೆ 2:

ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹೊರಮೂಲೆಯು ಅದರ ದೂರದ ಎರಡು ಒಳಮೂಲೆಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತೋರಿಸಿಕೆ (Proofs): ಮೊದಲ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹೊರಮೂಲೆ δ ದೂರದ ಎರಡು ಒಳಮೂಲೆಳಾದ α, β ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.
δ = α + β ಆದ್ದರಿಂದ δ > α ಮತ್ತು δ > β ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: ABC ಒಂದು ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಾದರೆ (Equilateral Triangle) ಅದರ ಹೊರಮೂಲೆಯನ್ನು(Exterior Angle) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು ಸರಿಯಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ
∠CAB = ∠ABC = ∠BCA ಮತ್ತು ∠CAB + ∠ABC + ∠BCA = 180°
3 x ∠CAB = 180° à ∠CAB = ∠ABC = ∠BCA = 60°

ಸರಿಮೂಲೆಯ ಕಟ್ಟಲೆಯಂತೆ ಹೊರಮೂಲೆ ∠ACD = ದೂರದ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ ∠CAB + ∠ABC = 60° + 60° = 120°
ಆದ್ದರಿಂದ ಹೊರಮೂಲೆ ∠ACD = 120° ಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

3. ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Apollonius Theorem):

ಹೇಳಿಕೆ:

ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೂರನೇ ಬದಿಯ ಅರೆಪಾಲಿನ ಇಮ್ಮಡಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಬದಿಗೆ ಎಳೆದ ನಡುಗೆರೆಯ (Median) ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತದ ಎರಡರಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ತೋರಿಸಿಕೆ (Proofs): ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ AB2 + AC2 = 2(AD2 + BD2) ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕು. ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ನಡುಗೆರೆ (Median) AD ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರ AE = h ಆಗಿರಲಿ, ಬದಿತುಂಡುಗಳನ್ನು ED = y ಮತ್ತು DC = x ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ABE ಮತ್ತು AEC ಎಂಬ ಎರಡು ಸರಿಮೂಲೆಯ (Right Angle Triangles) ಮೂರ್ಬದಿಗಳು ಕಾಣಸಿಗುತ್ತವೆ.

ABE ಮೂರ‍್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯಂತೆ AB² = AE² + BE² ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

AEC ಮೂರ‍್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯಂತೆ AC² = AE² + EC² ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ AB² + AC² = AE² + BE² + AE² + EC²

AB² + AC²= h² + (x – y)² + h² + (x + y)²

AB² + AC² = h² + x² – 2xy + y² + h² + x² + 2xy + y²

AB² + AC²= 2 (h² + x² + y²), ಇಲ್ಲಿ AD² = h² + y² ಮತ್ತು BD² = x² ಆಗಿದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ AB² + AC²= 2(AD² + BD²) ಎಂದು ತಿಳಿಸಿದಂತಾಯ್ತು.

ಉದಾಹರಣೆ: ಕೆಳಗಿನ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ AD ಒಂದು ನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಿಗಳು AB =5, AC =7, BC = 6 ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದಾಗ ಅದರ ನಡುಗೆರೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು (Length of the Median) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

AD ನಡುಗೆರೆಯು BC ಬದಿಯನ್ನು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಸೀಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ BD = DC = 3

ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ AB² + AC²= 2(AD² + BD²) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಾಗ

AB² + AC² = 5² + 7²= 2 x (AD² + 3²)

AB² + AC² = 25 + 49= 2 x (AD² + 9 ), ಇದನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಿದಾಗ

ನಡುಗೆರೆ AD² = 28 -> AD = √(4 x 7) à AD = 2√7 ಆಗುತ್ತದೆ.

4. ತೇಲ್ಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Thales Theorem):

ಹೇಳಿಕೆ:

ದುಂಡಗಲದಿಂದ (Diameter) ದುಂಡುಕದ (Circle) ಯಾವುದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Sides of a Circle) ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಮೂಲೆಯು ಸರಿಮೂಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Right Angle)

ತೋರಿಸಿಕೆ (Proofs): ಒಂದು ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಗಲ (Diameter) AC ಮತ್ತು ದುಂಡಿ (Radius) OB ಆಗಿರಲಿ, ದುಂಡಗಲದಿಂದ ದುಂಡುಕದ ಬದಿ B ಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು AB ಮತ್ತು BC ಆಗಿರಲಿ.

OA, OB, OC ಬದಿಗಳು ದುಂಡಿಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ OA = OB = OC ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ನಮಗೆ OBA ಮತ್ತು OBC ಗಳೆಂಬ ಎರಡು ಸರಿಇಬ್ಬದಿಯ ಮೂರ್ಬದಿಗಳು (Isosceles Triangles) ಹಾಗು ABC ಮೂರ್ಬದಿ ಕಾಣಸಿಗುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ OBA ಮೂರ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆ ∠OAB = ∠OBA = α ಮತ್ತು ∠OBC = ∠OCB = β ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಇದರಿಂದ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳು ∠CAB = α, ∠ACB = β, ∠ABC = α + β ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಯಾವುದೇ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ ∠CAB + ∠ACB + ∠ABC = α + β + α + β = 2(α + β ) = 180°
ಆದ್ದರಿಂದ α + β = 90° ಆಗುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಮೂಲೆ ∠ABC = α + β ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಮೂಲೆ ∠ABC = 90° ಆಗಿದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ ದುಂಡಗಲದಿಂದ ದುಂಡುಕದ ಯಾವುದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಗೆರೆಗಳನ್ನೆಳೆದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಮೂಲೆಯೂ ಸರಿಮೂಲೆಯಾಗಿದೆ (Right Angle).

ಉದಾಹರಣೆ: ಒಂದು ದುಂಡುಕದ ಒಳಗಿನ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ದುಂಡಗಲ BA ದಿಂದ ದುಂಡುಕದ ಬದಿ C ಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆ AC ಗೆ ಉಂಟಾಗುವ ಮೂಲೆ ∠CAB = 30° ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲೆ ∠CBA =x ನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ತೇಲ್ಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ ಯಂತೆ ∠BCA = 90° ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ ∠BCA + ∠CAB + ∠CBA = 90° + 30° + ∠CBA = 180°
ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲೆ ∠CBA = x = 60°

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಕಟ್ಟಲೆಗಳು ಹಲವಾರಿವೆ!

ಮೂರ್ಬದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಕಟ್ಟಲೆಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡೆವು. ಈ ಮೇಲಿನವುಗಳಲ್ಲದೇ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹಲವಾರು ಕಟ್ಟಲೆಗಳಿವೆ. ಆ ಕಟ್ಟಲೆಗಳು, ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದವರು, ಅವುಗಳ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ಆ ಕಟ್ಟಲೆಗಳು ಯಾವಾಗ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದವು ಅನ್ನುವುದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕಟ್ಟಲೆಗಳು	ಮೂರ್ಬದಿ ಬಳಕೆ	ಅರಿಗರು	ನಾಡು ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಹೊತ್ತು
ಸರಿಇಬ್ಬದಿ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಕಟ್ಟಲೆ (Isosceles triangle theorem)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪಾಪಸ್ ಲೆಜಂಡ್ರೆ	ಗ್ರೀಕ್-ಈಜಿಪ್ಟ್, 300 BC ಗ್ರೀಕ್-ಈಜಿಪ್ಟ್ 300 BC ಪ್ರಾನ್ಸ್ 1800 AD
ಬದಿ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳ ಕಟ್ಟಲೆಗಳು: SAS, SSS, ASA, AAS, RHS	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ತೇಲ್ಸ್	ಗ್ರೀಕ್ -ಈಜಿಪ್ಟ್, 300 BC ಗ್ರೀಕ್, 600 BC
ನಿವೆನ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Niven’s Theoram)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು ಕಟ್ಟಲೆ ತಪ್ಪಿದ ಅಂಕಿ (Irrational Number)	ಇವಾನ್.ಎಂ.ನಿವೆನ್	ಕೆನಡಾ-ಅಮೆರಿಕ 1915 – 1999 AD
ಲಾಂಬರ್ಟ್ ಕೊಸೈನ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Lamberts cosine law)	ಮೂಲೆಗಳು, ಬೆಳಕಿನರಿಮೆ (Optics)	ಜೋಹಾನ್ ಹೆನ್ರಿಚ್ ಲಾಂಬರ್ಟ್	ಪ್ರಾನ್ಸ್, 1728 – 1777 AD
ಕೆಪ್ಲರ್ ಮೂರ್ಬದಿ (Kepler’s Triangle)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು, ಸರಿಪಟ್ಟೆಣಿಕೆಯ ಸಾಲು (Geometric Progression)	ಜೋಹಾನ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್	ಜರ್ಮನಿ, 1571 -1630 AD
ಸೆವಾ’ನ ಕಟ್ಟಲೆ (Ceva’s Theorem)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಜಿಯೊವನಿ ಸೆವಾ	ಇಟಲಿ, 1647 – 1734 AD
ಮೆನೆಲಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Menelaus’ theorem)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಮೆನೆಲಸ್	ಗ್ರೀಕ್ -ಈಜಿಪ್ಟ್, 100 BC
ಒಂಬತ್ತು ಚುಕ್ಕೆಯ ದುಂಡುಕ (Nine-point circle)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು, ದುಂಡುಕ	ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಆಯ್ಲರ್ ಓಲ್ರಿ ತೆರಕಂ ಕಾರ್ಲ್ ಪಿಯರ್ಬಾಚ್	ಸ್ವಿಟ್ಜರ್ಲ್ಯಾನ್ಡ್, 1707 – 1783 AD ಪ್ರಾನ್ಸ್, 1782 – 1862 AD ಜರ್ಮನಿ, 1800 – 1834 AD
ಹೆರೋನ್ ಸಾಟಿಕೆ (Heron’s Formula/Equation)	ಬದಿಗಳು, ಮೂಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಹರವು	ಹೆರೋನ್	ಗ್ರೀಕ್ -ಈಜಿಪ್ಟ್ 10 – 70 AD
ಆಯ್ಲರ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Euler’s theorem)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು, ದುಂಡುಕ	ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಆಯ್ಲರ್	ಸ್ವಿಟ್ಜರ್ಲ್ಯಾನ್ಡ್, 1707 – 1783 AD
ಕಾರ್ನಾಟ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Carnot’s theorem)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು, ದುಂಡುಕ	ಲಾಜರೆ ಕಾರ್ನಾಟ್	ಪ್ರಾನ್ಸ್, 1753 – 1823 AD
ಮೋರ್ಲೆಯ ಮೂರ್ಪಾಲು ಕಟ್ಟಲೆ (Morley’s trisector theorem)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಪ್ರಾಂಕ್ ಮೋರ್ಲೆ	1860 – 1937 AD ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್-ಅಮೆರಿಕಾ
ಸ್ಟೀನರ್ ಒಳಮೊಟ್ಟೆಸುತ್ತು (Steiner inellipse)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು, ಮೊಟ್ಟೆಗೆರೆ	ಜಾಕೋಬ್ ಸ್ಟೀನರ್	ಸ್ವಿಟ್ಜರ್ಲ್ಯಾನ್ಡ್, 1796 – 1863 AD
ಸಿಮ್ಸನ್ ಗೆರೆ (Simson’s Line)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು, ದುಂಡುಕ	ರಾಬರ್ಟ್ ಸಿಮ್ಸನ್	ಸ್ಕಾಟ್ಲ್ಯಾನ್ಡ್, 1687 – 1768 AD
ನಾಗೇಲ್ ಚುಕ್ಕೆ (Nagel Point)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು, ದುಂಡುಕ	ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಹೆನ್ರಿಚ್ ವಾನ್ ನಾಗೇಲ್	ಜರ್ಮನಿ, 1803 – 1882 AD
ಡೇಸಾರ್ಜಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Desargues’s theorem)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಗಿರಾರ್ಡ್ ಡೇಸಾರ್ಜಸ್)	ಪ್ರಾನ್ಸ್, 1591 – 1661AD
ಪೆರ್ಮಾಟ್ ಚುಕ್ಕಿ (Fermat Point)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಪಿಯರೆ ಡಿ ಪೆರ್ಮಾಟ್	ಪ್ರಾನ್ಸ್, 1607 – 1665 AD
ಹಡ್ವಿಂಜರ್-ಪಿನ್ಸ್ಲರ್ ಸರಿಯಿಲ್ಲದಿರುವಿಕೆ (Hadwiger–Finsler inequality)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಹ್ಯೂಗೋ ಹಡ್ವಿಂಜರ್ ಪಾಲ್ ಪಿನ್ಸ್ಲರ್	ಸ್ವಿಟ್ಜರ್ಲ್ಯಾನ್ಡ್, 1908 – 1981 AD ಜರ್ಮನಿ-ಸ್ವಿಟ್ಜರ್ಲ್ಯಾನ್ಡ್ 1894 -1970 AD
ಪೆಡೊ’ನ ಸರಿಯಿಲ್ಲದಿರುವಿಕೆ (Pedoe’s inequality)	ಬದಿಗಳು, ಮೂಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಹರವು	ಡೇನಿಯಲ್ ಪೆಡೊ	ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್, 1910-1998 AD

ಚಟುವಟಿಕೆ: ಆಯ್ಲರ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Euler’s Theorem) ಸೇರಿದಂತೆ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕಟ್ಟಲೆಗಳ ಮಾಹಿತಿ ಕಲೆಹಾಕಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಿರಿ. ಈ ಕುರಿತು ಏನಾದರೂ ಮಾಹಿತಿ ಬೇಕಿದ್ದರೆ ’ಅರಿಮೆ’ಯ ಮಿಂಚೆ ವಿಳಾಸಕ್ಕೆ ಬರೆಯಿರಿ.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹಳಮೆ:

1. ಹಿಂದೆ ಕಲ್ಲುಯುಗದ ಮಂದಿ (Stone age people) ಕಲ್ಲಿನ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಬೆಣಚುಕಲ್ಲಿನ ಉಳಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು. 2000 BC ಹೊತ್ತಿಗೆ ಸೇರಿದ ಕರ್ನಾಟಕದ ಸಂಗನಕಲ್ಲು-ಕುಪ್ಪಗಲ್ಲು ಎಂಬ ಹೊಸಗಲ್ಲುಯುಗದ (Neolithic) ತಾಣದಲ್ಲಿ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಕಲ್ಲಿನ ಉಳಿಗಳು ಸಿಕ್ಕಿವೆ.

2. ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪೆರೋ (Pharaoh) ಅರಸರು ಸುಮಾರು 2700 BC ಇಂದ 500 BC ಗಳವರೆಗೆ ಪಿರಮಿಡ್ಡುಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟಲು ಮೂರ್ಬದಿಯಾಕಾರವನ್ನು ಬಳಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದರು.

3. ಗ್ರೀಕಿನ ಹೆಸರಾಂತ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಹೊತ್ತಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಡಕದಲ್ಲಿ (Euclid’s Elements) ಮೂರ್ಬದಿಗಳ ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

4. ಸುಮಾರು 600 BC ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕಿನ ಹೆಸರಾಂತ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರಾದ ತೇಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಮೂರ್ಬದಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ಅರಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದರು.

(ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು : mathsisfun.com, mathalino.com, wyzant.com, jwilson.coe.uga.edu, padmad.org, coolmath.com, 4.bp.blogspot.com, faculty.wlc.edu)

ವಿಮಾನದ ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿಗಳೇಕಿರುತ್ತವೆ?

By admin 12/09/2016 10/09/2016 ನಿಮಗಿದು ಗೊತ್ತೆ?

ಕಳೆದ ಬರಹದಲ್ಲಿ ವಿಮಾನ ಹೇಗೆ ಹಾರುತ್ತದೆ? ಅದರ ಮೇಲೆ ಎರಗುವ ಬಲಗಳಾವವು ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡಿದ್ದೆವು. ರೆಕ್ಕೆಗಳ ಆಕಾರದ ನೆರವಿನೊಂದಿಗೆ ಹಾರಾಟಕ್ಕೆ ತಡೆಯೊಡ್ಡುವ ಗಾಳಿ ಎಳೆತ ಮತ್ತು ನೆಲಸೆಳೆತವನ್ನು ಮೀರಿಸಿ ನೂಕುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಎತ್ತುವಿಕೆಯು ವಿಮಾನ ಹಾರಲು ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೆವು.

ವಿಮಾನ ಬಾನಿಗೆ ಏರುವುದು ಎಷ್ಟು ಮುಖ್ಯವೋ ಅಷ್ಟೇ ಮುಖ್ಯ ಹಾರಿದ ವಿಮಾನವನ್ನು ಹಿಡಿತದಲ್ಲಿಡುವುದು. ವಿಮಾನ ಸರಿಯಾದ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಹಾರುವಂತಾಗಲು ಅದರ ಏರಿಳಿತವನ್ನು ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಗಲು ಅದರ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹಿಡಿತದಲ್ಲಿಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಲು ವಿಮಾನದ ರೆಕ್ಕೆಗಳ ಮೇಲೆ ಹಲವು ಬಗೆಯ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆ ಪಟ್ಟಿಗಳ ಕುರಿತು ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ವಿಮಾನ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮೂರು ಬಗೆಯ ಸಾಗಾಟವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ,

1) ಏರಿಳಿಕೆ (pitch): ಹಾರಾಟದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಹಿಡಿತದಲ್ಲಿಡಲು ವಿಮಾನ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲವೇ ಕೆಳಗೆ ಸಾಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವಿಮಾನವು ತನ್ನ ಮೈಗೆ ಸಮಾನವಾದ ನಡುಗೆರೆಯಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಮುಂದಿನ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಬಾಗಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬಗೆಯ ಸಾಗಾಟವನ್ನು ’ಏರಿಳಿಕೆ’ ಇಲ್ಲವೇ ’ಬಾಗು’ ಅಂತಾ ಕರೆಯಬಹುದು.

2) ಹೊರಳುವಿಕೆ (yaw): ವಿಮಾನ ಎಡಕ್ಕೆ ಇಲ್ಲವೇ ಬಲಕ್ಕೆ ಹೊರಳುವ ಸಾಗಾಟವನ್ನು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವಿಮಾನವು ತನ್ನ ಮೈಗೆ ನೇರವಾದ ನಡುಗೆರೆಯಲ್ಲಿ ಹೊರಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

3) ಉರುಳುವಿಕೆ (roll): ವಿಮಾನದ ದಿಕ್ಕು ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ಈ ಸಾಗಾಟದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ರೆಕ್ಕೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಆಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಬಗೆಯ ಸಾಗಾಟವನ್ನು ವಿಮಾನ ಹಾರಾಟಗಾರ (pilot) ಹಿಡಿತದಲ್ಲಿಡುತ್ತಾರೆ. ಆ ರೆಕ್ಕೆಯ ಪಟ್ಟಿಗಳಾವವು ಅಂತಾ ಈಗ ಅರಿಯೋಣ.

1) ಉರುಳುಪಟ್ಟಿ (Aileron): ವಿಮಾನದ ದಿಕ್ಕು ಮತ್ತು ತುಸು ಎತ್ತರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮುಂದಿನ ರೆಕ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ’ಉರುಳುಪಟ್ಟಿ’ಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ರೆಕ್ಕೆಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಈ ಪಟ್ಟಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಎದುರುಬದುರಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ ಎಡ ಉರುಳುಪಟ್ಟಿ ಮೇಲೆದ್ದರೆ, ಬಲಭಾಗದ ಪಟ್ಟಿ ಕೆಳಗಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ವಿಮಾನ ಬಲಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿ ತುಸು ಕೆಳಗಿಳಿಯಬೇಕಾದರೆ ಎಡ ಉರುಳುಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲ ಉರುಳುಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಹೊರಳಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

2) ಏರಿಳಿಪಟ್ಟಿ (Elevator) ಮತ್ತು ಬಡಿತಪಟ್ಟಿ (Flap): ವಿಮಾನದ ಏರಿಳಿತವನ್ನು ಹಿಡಿತದಲ್ಲಿಡಲು, ಹಿಂದಿನ ರೆಕ್ಕೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ರೆಕ್ಕೆಯ ನಡುವಿನಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ರೆಕ್ಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಏರಿಳಿಪಟ್ಟಿ ಅಂತಾ ಕರೆದರೆ ಮುಂದಿರುವ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಬಡಿತಪಟ್ಟಿ ಅನ್ನಬಹುದು. ವಿಮಾನವನ್ನು ಮೇಲೇರಿಸಬೇಕಾದರೆ ಹಿಂದಿನ ರೆಕ್ಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಏರಿಳಿಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ವಿಮಾನ ಹಾರಾಟಗಾರ ಮೇಲೆ ಎತ್ತುತ್ತಾರೆ. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಗಾಳಿಯ ಒತ್ತಡ ಹಿಂದಿನ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವಿಮಾನದ ಬಾಲ ಕೆಳಗೆ ಬಾಗಿದರೆ, ಮುಂದಿನ ಮೂಗಿನ ಭಾಗ ಮೇಲೇರುತ್ತದೆ.

3) ಹೊರಳುಪಟ್ಟಿ (Rudder): ವಿಮಾನ ಎಡಕ್ಕೆ ಇಲ್ಲವೇ ಬಲಕ್ಕೆ ತಿರುಗುವಂತೆ ಮಾಡಲು ಹಿಂದಿನ ರೆಕ್ಕೆಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಹೊರಳುಪಟ್ಟಿ ಅನ್ನುತ್ತಾರೆ. ವಿಮಾನವನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸಬೇಕಾದಾಗ ಹಾರಾಟಗಾರ ಹೊರಳುಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಹೊರಳಿಸುತ್ತಾರೆ ಇದರಿಂದ ವಿಮಾನದ ಬಾಲದ ಭಾಗವು ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಮೂಗಿನ ಭಾಗವು ಎಡಕ್ಕೆ ಹೊರಳುತ್ತದೆ.

ಹೀಗೆ ರೆಕ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿ ವಿಮಾನದ ಹಾರಾಟವನ್ನು ಹಿಡಿತದಲ್ಲಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿರುವ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಹಿಡಿತದಲ್ಲಿಡಲು ಅನುವಾಗುವಂತೆ ಎಲ್ಲ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಬೇರೆ-ಬೇರೆಯಾಗಿ ತಂತಿಗಳಿದ್ದ ಬೆಸೆಯಲಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ತಂತಿಗಳ ಹಿಡಿತವನ್ನು ವಿಮಾನ ಹಾರಾಟಗಾರರ ಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ಸಲಕರಣೆಗೆ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಸೆಲೆಗಳು: HowStuffWorks, Wikipedia, NASA, howitworks)

ವಿಮಾನ ಹೇಗೆ ಹಾರಬಲ್ಲದು?

By admin 05/09/2016 04/09/2016 ನಿಮಗಿದು ಗೊತ್ತೆ?

ಹಕ್ಕಿಯಂತೆ ಹಾರುವ ಹಂಬಲ ಮತ್ತು ಅದರೆಡೆಗೆ ಮಾಡಿದ ಹಲವಾರು ಮೊಗಸುಗಳು ಮನುಷ್ಯರ ಏಳಿಗೆಯ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾದ ಹೆಜ್ಜೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಹಿಂದಿನಿಂದಲೂ ಹಾರಾಟದೆಡೆಗೆ ತುಡಿತಗಳು, ಕೆಲಸಗಳು ನಡೆದಿರುವುದು ತಿಳಿದಿವೆಯಾದರೂ, ಅಮೇರಿಕಾದ ಆರವಿಲ್ ರೈಟ್ (Orville Wright) ಮತ್ತು ವಿಲ್ಬರ್ ರೈಟ್ (Wilbur Wright) ಎಂಬ ಅಣ್ಣ ತಮ್ಮಂದಿರು ಡಿಸೆಂಬರ್ 17, 1903 ರಂದು ಮೊಟ್ಟಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ವಿಮಾನವನ್ನು ಹಾರಿಸುವಲ್ಲಿ ಗೆಲುವು ಕಂಡರು. ಅಲ್ಲಿಂದೀಚೆಗೆ ಬಾನೋಡ, ವಿಮಾನ ಮುಂತಾದ ಹೆಸರುಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಡುವ ಏರ್‍ಪ್ಲೇನ್‍ಗಳು ಸಾಗಾಣಿಕೆಯ ಹೊತ್ತನ್ನು ಬೆರಗುಗೊಳಿಸಿಸುವಂತೆ ಇಳಿಸಿವೆ.

ತೂಕದ ವಸ್ತುವೊಂದು ನಮ್ಮನ್ನು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸರಕುಗಳನ್ನು ಹೊತ್ತು ಹೇಗೆ ಹಾರಬಲ್ಲದು? ಅದರ ಹಿಂದಿರುವ ಚಳಕವೇನು? ಮುಂತಾದ ವಿಮಾನಗಳ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಹಾರಾಟ ನಡೆಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವ ವಸ್ತುವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಬಗೆಯ ಬಲಗಳಿಗೆ ಒಳಪಡುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಲಗಳು ಸುತ್ತಣ (environment) ಒಡ್ಡುವ ತಡೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಉಳಿದೆರಡು ಬಲಗಳು ಆ ತಡೆಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಹಾರಾಟಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವಂತವು. ಈ ಬಲಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

1) ನೆಲಸೆಳೆತ: ವಸ್ತುವೊಂದು ತನ್ನೊಳಗೆ ಅಡಕಗೊಳಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ’ರಾಶಿ’ (mass) ಅನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಗಾತ್ರದ ’ಕಲ್ಲು’ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅಡಕಗೊಳಿಸಿಕೊಂಡು, ಹೆಚ್ಚಿನ ರಾಶಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಷ್ಟೇ ಗಾತ್ರದ ’ಹತ್ತಿ’ (cotton) ಕಡಿಮೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅಡಕಗೊಳಿಸಿಕೊಂಡು, ಕಡಿಮೆ ರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ವಸ್ತುವಿನ ರಾಶಿಗೂ (mass) ಮತ್ತು ತೂಕಕ್ಕೂ (weight) ನೇರವಾದ ನಂಟಿದೆ. ರಾಶಿ ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಅಂದರೆ ಅದರ ತೂಕವೂ ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಅಂತಾನೂ ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ (Isaac Newton) ಅವರು ತಮ್ಮ ಅರಕೆಯಿಂದ ವಸ್ತುಗಳ ಕುರಿತಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನದನ್ನು ತೋರಿಸಿಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ,

ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳ ರಾಶಿಗೆ (mass) ಸಾಟಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿರುವ ದೂರಕ್ಕೆ ತಿರುವಾಗಿ (inversely proportional) ಸೆಳೆಯುವ ಬಲವೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಬಲವನ್ನು ರಾಶಿಸೆಳೆತ ಇಲ್ಲವೇ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆ (gravity) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಈ ನಂಟನ್ನು ಗಣಿತದ ಕಟ್ಟಲೆಗಳಿಂದ ಹೀಗೆ ತೋರಿಸಬಹುದು,

F = (G * m1 * m2) / r²

ಇಲ್ಲಿ, m1= ವಸ್ತು-1 ರ ರಾಶಿ, m2 = ವಸ್ತು-2 ರ ರಾಶಿ, G= ರಾಶಿಸೆಳೆತದಿಂದಾಗುವ ವೇಗಮಾರ‍್ಪು (acceleration due to gravity), r = ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿರುವ ದೂರ

ಇದನ್ನು ನೆಲ ಮತ್ತು ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ವಸ್ತುವೊಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಿದಾಗ, ನೆಲದ ರಾಶಿ ವಸ್ತುವೊಂದರ ರಾಶಿಗಿಂತ ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನೆಲ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ತನ್ನೆಡೆಗೆ ಸೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನೇ ‘ನೆಲಸೆಳೆತ’ (Earth’s gravity) ಅನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಇದರಿಂದ ತಿಳಿದುಬರುವುದೇನೆಂದರೆ, ಹೆಚ್ಚು ರಾಶಿಯಿರುವ ವಸ್ತುವನ್ನು ನೆಲಸೆಳೆತದ ಎದುರಾಗಿ ಸಾಗಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಬಲ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ವಿಮಾನವನ್ನು ನೆಲಸೆಳೆತದ ಎದುರಾಗಿ ಮೇಲೆತ್ತಲು ಅದರ ತೂಕಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಲ ಹಾಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

2) ಎತ್ತುವಿಕೆ: ನೆಲಸೆಳೆತಕ್ಕೆ ಎದುರಾಗಿ ವಿಮಾನವನ್ನು ಮೇಲೆ ಹಾರಿಸಬಲ್ಲ ಬಲವಿದು. ನೆಲಸೆಳೆತಕ್ಕಿಂತ ಎತ್ತುವಿಕೆಯ ಬಲವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆಲ್ಲಾ ವಿಮಾನ ಮೇಲೆ ಹಾರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಎತ್ತುವಿಕೆಯ ಬಲ ಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ ವಿಮಾನ ಕೆಳಗಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ವಿಮಾನ ಹಾರುವಂತೆ ಮಾಡುವ ’ಎತ್ತುವಿಕೆಯ ಬಲ’ವನ್ನು ಹೇಗೆ ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದೆಂದು ಮುಂದೆ ನೋಡೋಣ.

3) ಎಳೆತ: ಗಾಳಿಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವೊಂದು ಸಾಗುವಾಗ ಇಲ್ಲವೇ ಬೀಸುವ ಗಾಳಿಯಲ್ಲಿಯೇ ವಸ್ತುವೊಂದು ನೆಲೆನಿಂತಾಗ, ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಗೆಯ ಬಲ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ’ಎಳೆತ’ ಅನ್ನುತ್ತಾರೆ. ರೈಲುಬಂಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಗುವಾಗ ಕೈಯನ್ನು ಹೊರಗೆ ಚಾಚಿದರೆ ಕೈಗೆ ಗಾಳಿ ತಾಕಿ, ಒಂದು ತರಹದ ’ಎಳೆದುಕೊಂಡು’ ಹೋಗುವಂತ ಅನುಬವ ನಿಮಗೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಇದೇ ಗಾಳಿಯ ’ಎಳೆತ’. ವಿಮಾನ ಗಾಳಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಗುವಾಗ ಅದಕ್ಕೆ ತಡೆಯೊಡ್ಡುವ ಬಲವಿದು.

4) ನೂಕುವಿಕೆ: ಗಾಳಿ ಒಡ್ಡುವ ಎಳೆತವನ್ನು ಮೀರಿ ವಿಮಾನವು ಮುಂದೆ ಸಾಗಬೇಕಾದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಎಳೆತವನ್ನು ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟಿಸುವ ಬಲವೊಂದು ಬೇಕು. ಇದೇ ’ನೂಕುವಿಕೆ’. ಗಾಳಿಯನ್ನು ನೂಕುತ್ತಾ ಸಾಗಲು ಬೇಕಾದ ಈ ಬಲವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅಳವಡಿಸಿರುವ ಏರ‍್ಪಾಟು ವಿಮಾನದ ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾದ ಭಾಗ.

ನೂಕುವಿಕೆಯ ಬಲವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹಳೆ ತಲೆಮಾರಿನ ವಿಮಾನಗಳಲ್ಲಿ (ಚಿಕ್ಕ ವಿಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಇಂದು ಕೂಡ) ತಳ್ಳುಕ ಇಂಜಿನ್ (propeller engine) ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಬಗೆಯ ಇಂಜಿನ್‍ನಲ್ಲಿ ಕಾರಿನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಆಡುಬೆಣೆಯ ಇಂಜಿನ್ (reciprocating engine) ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಂಜಿನ್‍ನಲ್ಲಿ ಉರುವಲು ಉರಿದಾಗ ಹೊಮ್ಮುವ ಕಸುವಿನಿಂದ ತಳ್ಳುಕವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೊಸ ತಲೆಮಾರಿನ ವಿಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ನೂಕುವಿಕೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗಾಳಿದೂಡುಕ (gas turbine) ಇಂಜಿನ್ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಸುತ್ತಲಿನ ಗಾಳಿಯನ್ನು ಒಳಗೆ ಎಳೆದುಕೊಂಡು ಉರುವಲಿನ ಜೊತೆ ಉರಿಸಿ ಬಿಸಿಗಾಳಿಯನ್ನು ಹೊರಗಡೆ ಚಿಮ್ಮಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಚಿಮ್ಮಲ್ಪಟ್ಟ ಉರಿಗಾಳಿಯು ನೂಕುವಿಕೆಯ ಬಲವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡ ನಾಲ್ಕು ಬಲಗಳಾದ ನೆಲಸೆಳೆತ, ಎಳೆತ, ಎತ್ತುವಿಕೆ ಮತ್ತು ನೂಕುವಿಕೆಗಳು, ವಿಮಾನ ಹಾರಲು ಇಲ್ಲವೇ ಇಳಿಯಲು ಹೇಗೆ ನೆರವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಈಗ ಅರಿಯೋಣ.

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿರುವ ಇಂಜಿನ್ ಉರಿಗಾಳಿಯನ್ನು ಚಿಮ್ಮುತ್ತಾ ಹೊರಟಂತೆ ’ನೂಕುವಿಕೆ’ಯ ಬಲವು ಇಡೀ ವಿಮಾನವನ್ನು ಮುಂದೆ ತಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಿಮಾನ ಹೀಗೆ ನೂಕುವಿಕೆಯಿಂದ ಮುಂದೆ ಬಿರುಸಾಗಿ ಓಡುತ್ತಿರುವಾಗ ಗಾಳಿಯ ’ಎಳೆತ’ ಅದಕ್ಕೆ ತಡೆಯೊಡ್ಡುತ್ತದೆ. ಈಗ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುವುದೇ ವಿಮಾನದ ರೆಕ್ಕೆಗಳು. ಈ ರೆಕ್ಕೆಗಳು ಬಿರುಸಾಗಿ ಸಾಗುತ್ತಿರುವ ಗಾಳಿಯ ದಾರಿಯನ್ನು ಎರಡು ಕವಲುಗಳಾಗಿ ಸೀಳುತ್ತವೆ.

ವಿಮಾನದ ಮೈ ಅದರಲ್ಲೂ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ರೆಕ್ಕೆಗಳು ಮೇಲ್ಗಡೆ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಬ್ಬಿರುವ ಆಕಾರ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಆಕಾರದಿಂದಾಗಿ ಎರಡು ಕವಲುಗಳಾಗಿ ಸೀಳಲ್ಪಟ್ಟ ಗಾಳಿಯ ದಾರಿ, ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ದೂರವನ್ನು ದಾಟಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉಬ್ಬಿದ ಆಕಾರದಿಂದಾಗಿ ರೆಕ್ಕೆಯ ಕೆಳಗಡೆಯ ದಾರಿ ಗಾಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಾದರೆ, ಮೇಲಗಡೆ ಸಾಗುವ ದಾರಿ ದೂರವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದಾಗಿ ರೆಕ್ಕೆಯ ಮೇಲಗಡೆ ಗಾಳಿಯ ಒತ್ತಡ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಅದೇ ರೆಕ್ಕೆಯ ಕೆಳಗಡೆ ಒತ್ತಡ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಳಗಡೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು.

ಹೀಗೆ ವಿಮಾನದ ರೆಕ್ಕೆಯ ಕೆಳಗಡೆ ಏರ‍್ಪಟ್ಟ ಹೆಚ್ಚಿನ ಒತ್ತಡ ವಿಮಾನವನ್ನು ಮೇಲೆತ್ತಲು ತೊಡಗುತ್ತದೆ. ಎತ್ತುವಿಕೆ ಹೆಚ್ಚಬೇಕಾದರೆ ನೂಕುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು ಇಲ್ಲವೇ ರೆಕ್ಕೆಯ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತಾ ಇರಬೇಕು ಅನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಹೀಗೆ ಉಂಟಾದ ’ಎತ್ತುವಿಕೆ’ಯ ಬಲ ನೆಲಸೆಳೆತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆಲ್ಲಾ ವಿಮಾನ ಮೇಲೆ ಹಾರುತ್ತದೆ. ಈ ತರನಾಗಿ ಗಾಳಿಯ ಬೀಸುವಿಕೆಯನ್ನೇ ಹಾರಾಟದ ಸಲಕರಣೆಯಾಗಿ ವಿಮಾನ ತನ್ನ ಮೈ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ರೆಕ್ಕೆಯ ಮೂಲಕ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ಹಾರಿದ ವಿಮಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಹಿಡಿತದಲ್ಲಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ? ವಿಮಾನದ ಮೈಗೆ ಅಂಟಿರುವ ಬಾಲ ಮತ್ತು ಪಟ್ಟಿಗಳ ಕೆಲಸವೇನು? ಮುಂತಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

(ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು: howstuffworks, wikipedia, engineeringexpert, fineartamerica, hdwallpaperstop)

ಚೌಕ

By admin 23/08/2016 16/09/2017 ಗಣಿತ

ನಾವಾಡುವ ಚೆಸ್ ಆಟದ ಮಣೆ, ಮನೆಯ ಟೈಲ್ಸ್ ಗಳು, ಹಾವು ಏಣಿ ಆಟದ ದಾಳ, ಅಂಚೆ ಚೀಟಿಗಳು ಇವೆಲ್ಲವೂ ‘ಚೌಕ’ಗಳಾಗಿವೆ (Square).

ನಮ್ಮ ದಿನದ ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ಹಾಸುಹೊಕ್ಕಾಗಿರುವ ಚೌಕದ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಚೌಕವು ನಾಲ್ಕು ಸರಿಯಳತೆಯ (Congruent) ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಒಂದು ಆಕೃತಿ.

ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿದ ಚೌಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳಾದ EF, FG, GH ಮತ್ತು HE ಗೆರೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸಮ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಹಾಗೆನೇ ಚೌಕವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಚೌಕವು ಸಮತಟ್ಟಾದ (planar) ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (Closed Shape)
ಚೌಕವು ನಾಲ್ಬದಿ (Quadrilateral) ಆಕೃತಿಯ ಒಂದು ಬಗೆಯಾಗಿದೆ.
ಚೌಕದ ಜೋಡಿ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿರುತ್ತವೆ (Perpendicular to each other)

ಚೌಕದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಗಳು.

ಬದಿ (Side): ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಬದಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ತುದಿ (Vertex): ಚೌಕದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸೇರುವೆಡೆಯನ್ನು ತುದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೂಲೆಗೆರೆ (Diagonal): ಚೌಕದ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಅದರ ಎದುರು ಮೂಲೆಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯೇ ಮೂಲೆಗೆರೆ.

ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter): ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವನ್ನು ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೂಲೆ (Angle): ಎರಡು ಜೋಡಿ ಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸೇರಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಎಡೆಯನ್ನು ಮೂಲೆ ಇಲ್ಲವೇ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ನಡು (Centre): ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಸೇರುವ ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ನಡು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಚೌಕದ ನಟ್ಟನಡುವಿನ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲ ಮೂಲೆಗಳಿಂದ ಸಮದೂರಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಚೌಕದ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷತೆಗಳು:

ಎರಡು ಜೋಡಿಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಮೂಲೆಗಳ ಕೋನ (Angle) 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನಡುವಿನಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಕೋನವೂ (Angle) 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು.
ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ (congruent).
ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಅದರ ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
ಚೌಕದ ಮೂಲೆಗೆರೆಯು ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಗಿಂತ √2 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಸುಮಾರು 1.414 ಪಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿ (Quadrilateral) ಆಕೃತಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ ಚೌಕದ ಸುತ್ತಳತೆಗೆ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಚೌಕದ ಹರವು (Area) ನಾಲ್ಬದಿ ಆಕೃತಿಯ ಹರವಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುತ್ತದೆ.
ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಸೀಳಿದಾಗ ಅದರ ಒಳಪಾಲುಗಳೂ ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಚೌಕ EFGH ನ್ನು ಅಡ್ಡ ಮತ್ತು ಉದ್ದವಾಗಿ ಐದು ಪಾಲು ಮಾಡೋಣ. ನಾವೀಗ ಇದರಲ್ಲಿ 25 ಚಿಕ್ಕ ಚಿಕ್ಕ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ಚೌಕವು ಆಯತದ (Rectangle) ಒಂದು ಬಗೆಯೂ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಳತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಆಯತವು ಚೌಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಚೌಕವು ಒಂದು ನಾಲ್ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ (Parallelogram), ಅಂದರೆ ಅದರ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮನಾಂತರವಾಗಿವೆ (Parallel to each other).
ಚೌಕವನ್ನು ಓರೆಯಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಹರಳಾಕೃತಿಯಾಗುತ್ತದೆ (Rhombus).
ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ಮೂಲೆಯೊಂದರ ಕೋನ 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಇದರ ಮೂಲೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಕೋನ 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

1. ಚೌಕದ ಸುತ್ತಳತೆ (perimeter):

ಈಗ ಚೌಕದ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಚೌಕದ ಬದಿ (Side) = a, ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter) = P ಎಂದಾಗಿರಲಿ,

ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಚೌಕವು ಒಟ್ಟು ನಾಲ್ಕು ಸರಿಯಳತೆಯುಳ್ಳ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ

P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = HE + EF + FG + GH = a + a + a + a + a = 4 x a = 4a

ಸುತ್ತಳತೆ P = 4a

ಉದಾಹರಣೆ: ಚೌಕ EFGH ಬದಿಯ ಉದ್ದ a = 7cm ಆಗಿರಲಿ, ನಾವೀಗ ಇದರ ಸುತ್ತಳತೆ P ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಸುತ್ತಳತೆ P = 4a = 4 x a = 4 x 7 = 28cm;

ಸುತ್ತಳತೆ P = 28cm

2.ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ಮೂಲೆಗೆರೆ (Diagonal) = EG = d , ಬದಿಗಳು (Sides) = EF + FG = GH = HE = a ಆಗಿರಲಿ.

ಮೂಲೆಗೆರೆ EG ಯು ಚೌಕವನ್ನು ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳನ್ನಾಗಿ (Triangle) ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ನಮಗೆ EGH ಮತ್ತು EFG ಎಂಬ ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳು ಕಾಣಸಿಗುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಇದರಲ್ಲಿ EFG ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಈ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬದಿ EF = a, FG = a ಮತ್ತು GE = d ಆಗಿವೆ.

ನಾವಿಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ ಏನೆಂದರೆ EF ಮತ್ತು FG ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿವೆ (Perpendicular), ಆದ್ದರಿಂದ EFG ಒಂದು ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಗಿದೆ (Right Angle Triangle). ಇದರಲ್ಲಿ GE ಯು ಉದ್ದಬದಿ (Hypotenuse)=d ಆಗಿದೆ.

ಈಗ ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯ (Pythagoras Theoram) ಮೂಲಕ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Pythagoras Theorem):

ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ (right angle triangle), ಉದ್ದಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿಯು (Square of hypotenuse) ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ GE²= EF² + FG²

d²= a²+ a²= 2 a²

ಎರಡು ಕಡೆ ಇಮ್ಮಡಿ ಮೂಲವನ್ನು (Square root) ತೆಗೆದಾಗ d = √2 x a=√2a ಆಗುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ EFG ಮೂರ್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯು (Hypotenuse of a triangle) ಚೌಕದ ಮೂಲೆಗೆರೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ (Diagonal of a Square) ಮೂಲೆಗೆರೆ GE ಯ ಉದ್ದ d = √2a ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:

EFGH ಎಂಬ ಚೌಕದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ EF = a = 17cm ಆಗಿರಲಿ, ಇದರಿಂದ ಮೂಲೆಗೆರೆ GEಯ ಉದ್ದ d ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮೂಲೆಗೆರೆ GE ಯ ಉದ್ದ d = √2 x a = √2 x 17 = 1.41 x 17= 24.04 cm

3. ಚೌಕದ ಹರವನ್ನು (area) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ಅಗಲವನ್ನು ಉದ್ದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಆಯತದ (rectangle) ಹರವು ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಚೌಕವೂ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚೌಕದ ಹರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಬದಿ EH = a ಚೌಕದ ಅಗಲವಾಗಿರಲಿ , HG = a ಚೌಕದ ಉದ್ದವಾಗಿರಲಿ, ಹರವು (Area)=A ಆಗಿರಲಿ.

ಹರವು (Area) = A = ಉದ್ದ x ಅಗಲ = HG x EH = a x a = a²

ಹರವು A = a²

ಉದಾಹರಣೆ 1:

ಒಂದು ಚೌಕ ಆಕಾರದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ಬಿಡಿ ಹಾಸುಗಲ್ಲಿನ ಬದಿ a = 11mm ಆದಾಗ ಚೌಕದ ಹರವು A ಅನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯೋಣ.

ಹರವು A = a² = 11²= 121 mm²

ಉದಾಹರಣೆ 2:

ಚೌಕ ಆಕಾರದ EFGH ಎಂಬ ಒಂದು ಹಸಿರು ಹುಲ್ಲಿನ ಗದ್ದೆಯ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲೆಗೆ 10 ಮೀಟರ್ ಉದ್ದವಿದೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಗದ್ದೆಯು ಎಷ್ಟು ಹರವಿಕೊಂಡಿದೆ (Area occupied) ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೂಲೆಗೆರೆ GE = d = 10m ಆಗಿದೆ.

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದ d = √2a ಆಗಿರುತ್ತದೆ

ಮೇಲಿನ ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯಿಂದ GE²= EF² + FG² = d²= 2 a²ಆಗುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ a²= d²/2 , ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ಹರವು A = a²

ಆದ್ದರಿಂದ ಹಸಿರು ಹುಲ್ಲಿನ ಗದ್ದೆಯ ಹರವು A = a²= d²/2 = 10²/2 = 100/2 = 50 m²ಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 3:

EFGH ಚೆಸ್ ಆಟದ ಮಣೆಯ ಒಂದು ಮನೆಯ ಬದಿಯ ಉದ್ದ 2cm, ಇದರಿಂದ ನಾವು ಇಡೀ ಚೆಸ್ ಆಟದ ಮಣೆಯ ಹರವನ್ನು (Area) ಕಂಡು ಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮನೆಯ ಒಂದು ಬದಿ = a = 2cm ಹರವು = A ಆಗಿರಲಿ.

ಚೆಸ್ ಮಣೆಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮನೆಗಳು ಮತ್ತು ಇಡೀ ಚೆಸ್ ಮಣೆ ಚೌಕ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ. ಚೆಸ್ ಮಣೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯು ಒಟ್ಟು 8 ಮನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಚೌಕದ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದ ಎಲ್ಲಾ ಎಂಟು ಮನೆಗಳ ಒಂದು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬದಿ EF = FG = GH = HE = 8 x a = 8a = 8 x 2 = 16 cm ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ಹರವು A = (ಬದಿ)² = 16² = 256 cm²

ಆದ್ದರಿಂದ ಚೌಕದ ಹರವು A = 256 cm²

ಚೌಕ ಬಿಡಿಸುವ ಆಟ:

ನೀವು ಚಂದವಾದ ಮತ್ತು ಕರಾರುವಕ್ಕಾದ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಬಿಡಿಸಬೇಕೇ? ಹಾಗಾದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಂತೆ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಮೂಡಿಸಿ ನೋಡಿ.

ಮೂಡಿಸುವ ಬಗೆ:

ಕಯ್ವಾರವನ್ನು (Geometric Compass) ಒಂದು ಸುತ್ತುಹಾಕಿ ಒಂದು ದುಂಡುಕವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ, ನಂತರದಲ್ಲಿ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಒಂದು ದುಂಡಗಲದ (Diameter) ಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದರ ನಡು (ಕೈವಾರದ ಮುಳ್ಳು ಚುಚ್ಚಿಸಿದ ಚುಕ್ಕೆ) O ಆಗಿರಲಿ, ದುಂಡಗಲದ ಒಂದು ಬದಿಗಳು A ಮತ್ತು B ಆಗಿರಲಿ. (ದುಂಡುಕ1 ನೋಡಿ)
ಕಯ್ವಾರದ ಮುಳ್ಳನ್ನು A ಚುಕ್ಕೆಯಲ್ಲಿಟ್ಟು ಕಯ್ವಾರದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ಲಿನಿಂದ ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನ ನಂತರದ ಮೇಲ್ಬಾಗದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಬಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾದರೂ ಒಂದು ಕಮಾನನ್ನು (Arc) ಎಳೆಯಿರಿ. ಕಯ್ವಾರದ ಅದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಅದೇ ರೀತಿ ಎದುರುಬದಿ C ಯಿಂದ ಮೇಲೆಕೆಳೆಗೆ ಇನ್ನೆರಡು ಕಮಾನುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. (ದುಂಡುಕ2, ದುಂಡುಕ3, ದುಂಡುಕ4 ನೋಡಿ)
ಕಮಾನು ಕತ್ತರಿಸುವ ನಡುವಿಂದ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲಿಂದ ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಈಗ ನಮಗೆ ದುಂಡುಕದ ಮೇಲೆ A,B,C,D ನಾಲ್ಕು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಮೂಡಿವೆ, ನಂತರದಲ್ಲಿ ದುಂಡುಕದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಚುಕ್ಕೆಗೆ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಹೀಗೆ ನಮಗೊಂದು ಚೆಂದವಾದ ಚೌಕವು ಸಿಗುತ್ತದೆ. (ದುಂಡುಕ5, ದುಂಡುಕ6, ದುಂಡುಕ7 ನೋಡಿ)

ಚೌಕದ ಹಳಮೆ:

ಸುಮಾರು 4000 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ನರು ಹಲಾವಾರು ಮಟ್ಟಾಕೃತಿಯ (Frustum) ಪಿರಮಿಡ್ ಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುತ್ತಿದ್ದರು, ಮಟ್ಟಾಕೃತಿ ಅಂದರೆ ಬುಡದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಆಕಾರವಿರುತ್ತದೋ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಮಟ್ಟವಾದ ಅದೇ ಆಕಾರವಿರುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಚೌಕದ ಮಟ್ಟಾಕೃತಿ (Square Frustum).
ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಗ್ರೀಕಿನ ಒಬ್ಬ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರು, ಅವರ ಕಾಲ ಸುಮಾರು 500 BC. ಅವರು ತಮ್ಮ ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ (Right Angle Triangle) ಕಟ್ಟಲೆಯನ್ನು ಒರೆಹಚ್ಚಲು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರು.

(ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು: mathopenref.com, Wikipedia, newworldencyclopedia.org)

ಅರಗೇರ‍್ಪಾಟು – ಬಾಗ 2

By admin 16/08/2016 13/08/2016 ಅರಿಮೆ (Science), ಮಯ್ಯರಿಮೆ (human anatomy)

ನಾವು ತಿಂದ ಆಹಾರವನ್ನು ಅರಗಿಸುವ ನಮ್ಮ ಮಯ್ಯಲ್ಲಿರುವ ಏರ‍್ಪಾಟಿನ ಬಗೆಗಿನ ಹಿಂದಿನ ಬರಹವನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತ, ಈ ಏರ‍್ಪಾಟಿನ ಇನ್ನಶ್ಟು ವಿಶಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಹಲ್ಲುಗಳು:

ಹಲ್ಲುಗಳು ಬಾಯಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಕಡು ಗಟ್ಟಿತನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಗಗಳ ಗುಂಪು. ತಿಂದ ಕೂಳನ್ನು ಕಚ್ಚಿ ಕತ್ತರಿಸಲು, ಜಗಿಯಲು ಮತ್ತು ಆಡಿಸಿ ಸಣ್ಣದಾಗಿಸಲು ಹಲ್ಲುಗಳು ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಹಲ್ಲುಗಳು ನಮ್ಮ ಬಾಯಿ ಮತ್ತು ಮೊಗಕ್ಕೆ ಆಕಾರವನ್ನು ಕೊಡುವುದರ ಜೊತೆಗೆ ಮಾತನಾಡುವಿಕೆಯಲ್ಲೂ ನೆರವಾಗುತ್ತವೆ.

ಹಲ್ಲೊಂದರಲ್ಲಿ ಮುಕ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಬಾಗಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಮುಡಿ (crown) ಮತ್ತು ಬೇರು (root). ಹಲ್ಲಿನ ಉಬ್ಬಿದ ಬಾಗವಾದ ಮುಡಿ ಒಸಡಿನ ಗೆರೆಯ ಮೇಲ್ಬಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಮುಡಿಯ ನೆತ್ತಿಯ ಹೊರಮಯ್ಯಲ್ಲಿ ಉಬ್ಬು-ತಗ್ಗುಗಳಿದ್ದು, ಇವು ಜಗಿಯಲು ನೆರವಾಗುತ್ತವೆ. ಒಸಡಿನ ಗೆರೆಯ ಕೆಳ ಬಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಹಲ್ಲನ್ನು ಹಲ್ಲಿನ ಬೇರು ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಲ್ಲಿನ ಬೇರುಗಳು ಮೇಲ್ದವಡೆ/ಕೆಳದವಡೆ ಮೂಳೆಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಹಲ್ಕುಳಿಯಲ್ಲಿ (alveolus of teeth) ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.

ಗಿಡಗಳ ಬೇರು ಮಣ್ಣಿನಲ್ಲಿ ಸಿಕ್ಕಿಕೊಂಡಿರುವಂತೆ, ಹಲ್ಲಿನ ಬೇರು ಹಲ್ಕುಳಿಯಲ್ಲಿ ನೆಲೆಸಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದೊಂದು ಹಲ್ಲಿನಲ್ಲಿ ಹಲ್ಲಿನ ಬಗೆಗೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಒಂದರಿಂದ ಮೂರು ಬೇರುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಬೇರಿನ ಹೊರ ಬಾಗವು ಎಲುಬನ್ನು ಹೋಲುವ ಕ್ಯಾಲ್ಶಿಯಂ ಮತ್ತು ಅಂಟುವುಟ್ಟುಕದ ನಾರುಗಳ (collagen fiber) ಬೆರಕೆಯಾದ ಹಲ್ಗಾರೆಯನ್ನು (cementum) ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಹಲ್ಗಾರೆ, ಹಲ್ಲಿನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹಲ್ಕುಳಿಗೆ ಅಂಟಿಸಲು ನೆರವಾಗುವ ಹಲ್ತಂತುಗಟ್ಟುಗಳಿಗೆ (periodontal ligaments) ಆನಿಕೆಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಹಲ್ಲುಗಳು ಮೂರು ಪದರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ – ತಿರುಳಲ್ಲು (pulp), ಅಡಿಹಲ್ಲು (dentin), ಮತ್ತು ಅದಿರಲ್ಲು (enamel).

1) ತಿರುಳಲ್ಲು: ಹಲ್ಲಿನ ನಡುವಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ತಿರುಳಲ್ಲು ಮೆದುವಾದ ಗೂಡುಕಟ್ಟು ಮತ್ತು ನೆತ್ತರುಗೊಳವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರಿನ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಣ್ಣ ತೂತುಗಳಿಂದ ತಿರುಳಲ್ಲನ್ನು ತೂರುವ ನವಿರಾದ ನರದ ನಾರುಗಳು ಮತ್ತು ನೆತ್ತರುಗೊಳವೆಗಳು ತಿರುಳಲ್ಲಿನ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಡಿಹಲ್ಲು ಮತ್ತು ಅಡಿಹಲ್ಲುಗಳನ್ನು ಪೊರೆಯಲು ನೆರವಾಗುತ್ತವೆ. ತಿರುಳಲ್ಲು ಮತ್ತು ಅಡಿಹಲ್ಲುಗಳ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ‘ಹಲ್ಬುಡಗೂಡುಗಳು’ (odontoblast) ಇರುತ್ತವೆ; ಈ ಬುಡಗೂಡುಗಳು (stem cell) ಅಡಿಯಲ್ಲನ್ನು ಮಾಡಲು ನೆರವಾಗುತ್ತವೆ.

2) ಅಡಿಹಲ್ಲು: ತಿರುಳಲ್ಲನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಅಡಿಹಲ್ಲು, ಅದಿರನ್ನು ತುಂಬಿಕೊಂಡಿರುವ ಗೂಡುಕಟ್ಟು (tissue). ತಿರುಳಲ್ಲಿಗಿಂತ ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿರುವ ಅಡಿಹಲ್ಲು ಅಂಟುವುಟ್ಟುಕದ ನಾರುಗಳು ಮತ್ತು ಹಯ್ಡ್ರಾಕ್ಸಿಲ್-ಅಪಟಯ್ಟ್ (ಕ್ಯಾಸಿಯಮ್ ಪಾಸ್ಪೇಟ್ ಅದಿರಿನ ಬಗೆ) ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಅಡಿಹಲ್ಲು ಕಿರುತೂತುಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಈ ಕಿರುತೂತುಗಳು, ತಿರುಳಲ್ಲಿನಲ್ಲಿ ಮಾಡಲ್ಪಡುವ ಆರಯ್ವ (nutrients) ಮತ್ತು ಅಡಕಗಳು (materials) ಹಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪದರಗಳಿಗೂ ಹರಡಲು ನೆರವಾಗುತ್ತವೆ.

3) ಅದಿರಲ್ಲು: ಇದು ಬೆಳ್ಳಗೆ ಕಾಣುವ ಮುಡಿಯ ಹೊರಗಿನ ಪದರ. ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅದಿರಲ್ಲು ತುಂಬಾ ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲುಬುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ, ಮಯ್ಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಯಾವುದೇ ಅಂಗ ಇಲ್ಲವೇ ಅಂಗದ ಬಾಗವು ಅದಿರಲ್ಲಿನಶ್ಟು ಗಡುಸು ಇರಲಾರದು. ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ, ಇಡೀ ಅದಿರಲ್ಲು, ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಕಂಡು ಬರುವ ತುಂಬಾ ಗಟ್ಟಿಯಾದ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಹಯ್ಡ್ರಾಕ್ಸಿಲ್-ಅಪಟಯ್ಟ್ (ಕ್ಯಾಸಿಯಮ್ ಪಾಸ್ಪೇಟ್ ಅದಿರಿನ ಬಗೆ) ಎನ್ನುವ ಅಂದಿರಿನಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ಹಲ್ಲುಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಗೆಗಳಾಗಿ ಗುಂಪಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ: ಕಚ್ಚಲ್ಲು (incisor), ಚೂಪಲ್ಲು (canine), ಮುಂದವಡೆ ಹಲ್ಲು (premolar) ಮತ್ತು ದವಡೆ ಹಲ್ಲು (molar)

1) ಕಚ್ಚಲ್ಲು/ಮುಂಬಲ್ಲು : ಬಾಯಿಯ ಮುಂಬಾಗದಲ್ಲಿ ಕಂಡು ಬರುವ ಈ ಹಲ್ಲುಗಳ ನೆತ್ತಿಯ ಮೇಲಿನ ಹೊರಮಯ್ ಚಪ್ಪಟ್ಟೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಚ್ಚಲ್ಲುಗಳು ಆಹಾರವನ್ನು ತುಂಡರಿಸಲು ನೆರವಾಗುತ್ತವೆ.

2) ಚೂಪಲ್ಲು/ಕೋರೆ ಹಲ್ಲು: ಈ ಹಲ್ಲುಗಳ ನೆತ್ತಿಯು ಮೊನಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇವು ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಆಹಾರವನ್ನು (ಉದಾ: ಮಾಂಸ) ಸೀಳಲು ಮತ್ತು ಎಳೆಯಲು ನೆರವಾಗುತ್ತವೆ.

3 ಮತ್ತು 4) ಮುಂದವಡೆ ಹಲ್ಲು ಮತ್ತು ದವಡೆ ಹಲ್ಲುಗಳು: ಈ ಹಲ್ಲುಗಳ ನೆತ್ತಿಯು ಅಗಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಬ್ಬು ತಗ್ಗುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮುಂದವಡೆಯಲ್ಲು ಮತ್ತು ದವಡೆ ಹಲ್ಲುಗಳು ಆಹಾರವನ್ನು ಜಗಿಯಲು ಮತ್ತು ಆಡಿಸಲು ನೆರವಾಗುತ್ತವೆ.

ಮನುಶ್ಯರ ಬಾಳ್ಮೆ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ (life span) ಎರಡು ಜೊತೆ ಹಲ್ಲುಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 9, 10 & 11).

1) ಹಾಲು-ಹಲ್ಲುಗಳು (deciduous/milk teeth)

2) ಬಾಳಿಕೆಯ ಹಲ್ಲುಗಳು (permanent teeth)

ಕೂಸು ಹುಟ್ಟುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಬಾಯಿಯಲ್ಲಿ ಹಲ್ಲುಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಹುಟ್ಟಿದ ಆರು ತಿಂಗಳಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲುಗೊಂಡು, ಮೂರು ವರುಶಗಳು ತುಂಬುವ ಹೊತ್ತಿಗೆ, ಮಕ್ಕಳಲ್ಲಿ ಹಾಲಲ್ಲುಗಳು ಬೆಳೆಯುತ್ತವೆ. ಹಾಲಲ್ಲುಗಳಲ್ಲಿ 8 ಕಚ್ಚಲ್ಲುಗಳು, 4 ಚೂಪಲ್ಲುಗಳು ಮತ್ತು 8 ದವಡೆ ಹಲ್ಲುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಆರು ವರುಶಗಳು ತುಂಬುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಹಾಲಲ್ಲುಗಳು ಉದುರಲು ಶುರುವಾಗುತ್ತವೆ. ಉದುರಿದ ಹಾಲಲ್ಲುಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಬಾಳಿಕೆಯ ಹಲ್ಲುಗಳು ಬೆಳೆಯುತ್ತವೆ.

ಹಾಲಲ್ಲುಗಳು ಹೊಮ್ಮುವ ಹೊತ್ತಿನಲ್ಲೇ, ಮೇಲ್ದವಡೆ ಮತ್ತು ಕೆಳದವಡೆಗಳ ಒಳಗೆ ಬಾಳಿಕೆಯ ಹಲ್ಲುಗಳು ಬೆಳೆಯುತ್ತಿರುತ್ತವೆ. ಬಾಳಿಕೆಯ ಹಲ್ಲುಗಳು ಮೂಡುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಹಾಲಲ್ಲುಗಳ ಬೇರುಗಳು ಬಡಕಲಾಗುತ್ತವೆ. ಇದರಿಂದಾಗಿ, ಹಾಲಲ್ಲುಗಳು ಸಡಿಲಗೊಂಡು ಕೆಲವೇ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಉದುರುತ್ತವೆ. ಬಾಳಿಕೆಯ ಹಲ್ಲುಗಳು ಒಸಡನ್ನು ತೂರಿಕೊಂಡು ಹಾಲಲ್ಲುಗಳ ತಾಣದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಸುತ್ತವೆ.

ಹರೆಯದ ಮನುಶ್ಯರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂವತ್ತೆರಡು ಹಲ್ಲುಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಕಮಾನಿನಂತೆ ಇರುವ ಮೇಲ್ದವಡೆ ಮತ್ತು ಕೆಳದವಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಹಲ್ಲುಗಳು ಎರಡು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಜೊಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಬಾಯಿಯಿಂದ ಗಂಟಲಿನ ಕಡೆಗೆ ನೇರವಾದ ಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆದರೆ, ಮೇಲ್ದವಡೆ ಮತ್ತು ಕೆಳದವಡೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆ ನಾಲ್ಕು ಹೋಳುಗಳಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಒಂದೊಂದು ಹೋಳಿನಲ್ಲೂ ಎರಡು ಕಚ್ಚಲ್ಲು, ಒಂದು ಚೂಪು ಹಲ್ಲು, ಎರಡು ಮುಂದವಡೆ ಹಲ್ಲು ಮತ್ತು ಮೂರು ದವಡೆ ಹಲ್ಲುಗಳಿರುತ್ತವೆ.

ಮೊದಲ ಇಪ್ಪತ್ತೆಂಟು ಹಲ್ಲುಗಳು ಹನ್ನೊಂದು-ಹದಿಮೂರರ ವಯಸ್ಸಿನ ಹೊತ್ತಿಗೆ ಮೂಡಿರುತ್ತವೆ. ದವಡೆಯ ಹಿಂಬದಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂರನೆಯ ದವಡೆ ಹಲ್ಲುಗಳು (wisdom teeth), ಹರೆಯಕ್ಕೆ ಕಾಲಿಟ್ಟ ಮೇಲೆ ಮೂಡುತ್ತವೆ. ಮೂರನೆಯ ದವಡೆ ಹಲ್ಲುಗಳನ್ನು ‘ಹರೆಯದ ಹಲ್ಲು’ ಎಂದೂ ಕರೆಯುವುದುಂಟು. ಹೆಚ್ಚಿನವರಲ್ಲಿ ಹರೆಯದ ಹಲ್ಲುಗಳು ಒಸಡಿನ ಹೊರಕ್ಕೆ ಮೂಡದೇ, ದವಡೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಸಿಕ್ಕಿಕೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಕೆಲವರ ದವಡೆಯಲ್ಲಿ, ಹರೆಯದ ಹಲ್ಲು ಮೂಡುವಶ್ಟು ಜಾಗ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಎರಡೂ ಬಗೆಯ ಮಂದಿಯಲ್ಲಿ, ಹರೆಯದ ಹಲ್ಲನ್ನು ಕೊಯ್ಯಾರಯ್ಕೆಯ (surgery) ಮೂಲಕ ಕೀಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಳದವಡೆಯ ಹಲ್ಲಿನ ಉಬ್ಬುಗಳು ಮೇಲ್ದವಡೆಯ ಹಲ್ಲುಗಳ ತಗ್ಗುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಡಿದ್ದರೆ, ಮೇಲ್ದವಡೆಯ ಹಲ್ಲಿನ ಉಬ್ಬುಗಳು ಕೆಳದವಡೆಯ ಹಲ್ಲುಗಳ ತಗ್ಗಿಗೆ ಒಗ್ಗುವಂತಿರುತ್ತವೆ. ಹಲ್ಲುಗಳ ಈ ಬಗೆಯ ಅಣಿಗಾರಿಕೆಯು, ತಿಂದ ಆಹಾರವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು ಮತ್ತು ಆಡಿಸಲು (grind) ನೆರವಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಸಡು (Gingiva/Gums): ಮೆತ್ತನೆಯ ಗೂಡುಕಟ್ಟಿನಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಒಸಡು, ಹಲ್ಲುಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚುವ ಮತ್ತು ಕಾಪಾಡುವಲ್ಲಿ ನೆರವಾಗುತ್ತದೆ.ಆದರೂ, ಒಸಡು ಹಲ್ಲುಗಳಿಗೆ ಅಂಟಿಕೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ.

(ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತದೆ…)

(ಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿ ಸೆಲೆಗಳು: histonano.com, innerbody.com, areteethbones.com, britannica.com, medical-dictionary.thefreedictionary.com)

Author: admin