Tag: STD-10

ಉದ್ದದುಂಡು

  By

ನಾವು ದಿನಾಲೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ದದುಂಡು (Ellipse) ಆಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿರುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳು ಉದ್ದದುಂಡು  ಆಕಾರದ  ಗಡಿಯಾರಗಳು, ಕನ್ನಡಿಗಳು, ಚೆಂಡುಗಳು, ಕಲ್ಲುಗಳು, ತಟ್ಟೆಗಳು, ಕುಂಬಳಕಾಯಿ, ಕ್ಯಾಪ್ಸೂಲ್ ಮಾತ್ರೆಗಳು ಇನ್ನಿತರ ಹತ್ತು ಹಲವಾರು ವಸ್ತುಗಳಾಗಿರಬಹುದು.

Image1 EL

ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರ ಎಂದರೇನು?.

ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರವೆಂದರೆ ನಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಳೆಯುವುದೇನೆಂದರೆ.

  • ಸ್ವಲ್ಪ ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ದುಂಡಾಕಾರದ ವಸ್ತು.
  • ಒಂದು ದುಂಡಾಕಾರದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹಿಗ್ಗಿಸಿದಂತೆ ಇಲ್ಲವೇ ಎಳೆದಂತೆ ಕಂಡು ಬರುವ ಆಕಾರ.
  • ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ಮೊಟ್ಟೆಯನ್ನು ಹೋಲುವ ಆಕಾರ.

ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ (ಗಣಿತ) ಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಹೇಳಬಹುದು.

  • ಹೇಳಿಕೆ 1: ಉದ್ದದುಂಡು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (Closed Shape), ಇದರ ಒಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus Points) ಅದರ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆಗೆ (Loucs Points) ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Constant value).

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image2 EL

  • ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವು ಒಂದು ಉದ್ದದುಂಡು (ellipse) ಆಗಿದೆ.
  • ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಒಳಗೆ F1 ಮತ್ತು F2 ಎಂಬ  ಎರಡು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿವೆ (Focal points)
  • ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಮೇಲೆ Q, P ಮತ್ತು C ಎಂಬ ಮೂರು ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು (Locus Points) ಇಡಲಾಗಿದೆ.
  • ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ Q ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1Q ಮತ್ತು F2Q ಆಗಿವೆ.
  • ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ P ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1P ಮತ್ತು F2P ಆಗಿವೆ.
  • ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ C ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1C ಮತ್ತು F2C ಆಗಿವೆ.
  • ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯಂತೆ F1Q + F2Q = F1P + F2P = F1C + F2C = 2a ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ a ಎಂಬುವುದು ಒಂದ್ದು ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Constant value).

 

ಹೇಳಿಕೆ 2: ಲಾಳಿಕೆ ಆಕೃತಿಯನ್ನು (Cone shape) ಓರೆಯಾಗಿ ಸೀಳಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವುದೇ ಉದ್ದದುಂಡು. ಹೇಗೆ ಅಂತೀರಾ !?, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

image3 ELಮೇಲಿನ ಲಾಳಿಕೆಯಾಕೃತಿಯನ್ನು (Cone shape) ಓರೆಯಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಉದ್ದದುಂಡು (Ellipse) ಉಂಟಾಗಿದ್ದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು !.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಭಾಗಗಳು (Parts of Ellipse):

Image4 ELಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Major axis): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವೆ ಹಾದುಹೊದ ಹಿರಿದಾದ ನಡುಗೆರೆ.

ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Minor axis): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಗೆ ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ (Perpendicular) ಹಾದುಹೊದ ಕಿರಿದಾದ ನಡುಗೆರೆ.

ನಡು (Centre):  ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ ಮತ್ತು ಕಿರುನಡುಗೆರೆಗಳು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುವೆಡೆಯಲ್ಲಿ ನಡು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ..

ತುದಿ (Vertex): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಂದ ಹಾದುಹೊದ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ತುದಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಒಡತುದಿ (Co-Vertex): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಂದ ಹಾದುಹೊದ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಡತುದಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆ (Focus points): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಒಳಗೆ ಯಾವುದೇ ನೆಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಚುಕ್ಕೆ, ಉದ್ದದುಂಡುವಿನಲ್ಲಿ ಈ ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳು ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯ (Major axis) ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿನಿಂದ ಈ ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಸರಿದೂರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

ತಿರುಗು ಚುಕ್ಕೆ (Locus Points): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತಿರುವ ಯಾವುದೇ ಚುಕ್ಕೆ,

ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter)

ನಾವು ಹಲವಾರು ಆಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಆದರೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಇವೆ.

Image5 EL

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 1:

Image6 EL

  • ಇಲ್ಲಿ h = (a – b)2 /(a + b)2
  • ಇಲ್ಲಿ a  ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿ b  ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.

ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಿಡಿಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

Image7 ELಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲೆಯಿಲ್ಲದ ಮೊತ್ತದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Infinite Sum formula) ಎಂದು ಕರೆಯುವರು,ಇದು ಹೆಚ್ಚು ದಿಟವಾದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 2:

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಎಣಿಕೆಯರಿಗ (Mathematician) ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದರು.

Image8 EL

  • ಇಲ್ಲಿ a  ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿ b  ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 3:

ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹೆಚ್ಚು ದಿಟವಾದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

Image9 EL

  • ಇಲ್ಲಿ a  ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿ b  ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 4:

  • ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis) ಉದ್ದವು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯ (Semi Minor axis) ಮೂರುಪಟ್ಟಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. i.e a < 3b, ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಸುಲಭವಾಗಿ ಉದ್ದ ದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುವುಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸುತ್ತಳತೆಯ ದಿಟಬೆಲೆಗಿಂತ 5% ಹೆಚ್ಚು-ಕಡಿಮೆ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

Image10 EL

  • ಇಲ್ಲಿ a  ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿ b  ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • a < 3b
  • π = 3.14159.
  • e a < 3b
  • ಉದಾಹರಣೆಗೆ: b = 5, a = 10 => 10 < 3 x 5 => 10 < 15 ಆದಾಗ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

 

ಉದಾಹರಣೆ : ಒಂದು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯು (Semi Major Axis) 19 ft ಮತ್ತು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯು (Semi Minor Axis) 9 ft  ಆದಾಗ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು (Perimeter) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Image11 EL

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೇಲಿನ ಯಾವುದಾರೂ ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ 2 ನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image12 EL

  • ಇಲ್ಲಿ a = 19ft  ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿ b = 9 ft  ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.
  • ಸುತ್ತಳತೆ p = 14159 [ 3(19 + 9) – √(3 x 19 + 9)(19 + 3 x 9)]

              p = 3.14159 [84 – √(66)(46)]

p = 3.14159 [84 -√3036]

p = 3.14159 [84 – 55.1] = 3.14159 x 28.9 = 90.791951 ft

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆ 90.791951 ft ಆಗಿದೆ

 

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವು(Area of an Ellipse):

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವನ್ನು A = πab ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

  • ಉದಾಹರಣೆ : ಕೆಳಗಡೆ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಸ್ನಾನ ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಒಂದು ಸೋಪನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis line) a = 10cm ಮತ್ತು ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Semi Minor axis line) b = 7cm ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಅದರ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಸೋಪಿನ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ಹರವೆಷ್ಟು?

Image13 EL

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವು A = πab.

                                    A = 3.14159 x 10 x 7 = 219.911 cm2

ಸೋಪಿನ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಹರವು 219.911 cm2  ಆಗಿದೆ.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Equation of ellipse):

ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕಾರವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಆಕಾರವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಲು ನಾವು ಚುಕ್ಕೆಗುರುತನ್ನು(Coordinate system) ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

Image14 ELಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ  ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸೋಣ.

Image15 EL

  • ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis line) a = 2 ಮತ್ತು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Semi Minor axis line) b = 1 ಆಗಿದೆ.
  • ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಬರೆದಾಗ y = (1/a) x  √ (a2 b2  – x2 b2) ಆಗುತ್ತದೆ.
  • ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಮಾರ್ಪುಕಗಳಾಗಿವೆ (Variables).
  • ಚುಕ್ಕೆಗುರುತಿನ (Coordinates graph) ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ a=2, b=1 ಆದಾಗ x = [ -2, -1, 0, 1, 2 ] ಬೆಲೆಗಳನ್ನು y = (1/a) x  √ (a2 b2  – x2 b2) ಯಲ್ಲಿ  ಹಾಕಿ y ನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡು ಮೇಲಿನ ಉದ್ದದುಂಡುಕವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ದುಂಡುತನ (Eccentricity):

ಒಂದು ಬಾಗಿದ ಆಕೃತಿಯು (Curved shapes) ಎಷ್ಟು ದುಂಡಾಗಿದೆ ಎಂಬುವುದನ್ನು ದುಂಡುತನ (Eccentricity) ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಡುಬೇರ್ಮೆಯಳತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು.

Image17 ELಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ದುಂಡುತನವನ್ನು (Eccentricity of the Ellipse) ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು,

e = c/a

  • e ಎಂಬುವುದು ದುಂಡುತನದ ಗುರುತಾಗಿದೆ.
  • c ಎಂಬುವುದು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಗೆ (Centre of the Ellipse) ಇರುವ ದೂರ
  • a ಎಂಬುವುದು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ತುದಿಗೆ ಇರುವ, ಇಲ್ಲಿ ತುದಿಗೆ (Vertex) ಇರುವ ದೂರ.
  • ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ: ದುಂಡುಕದಲ್ಲಿ (Circle) ದುಂಡುತನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (e = 0), ಆದರೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ದುಂಡುತನವು ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಜಾಸ್ತಿ ಇದ್ದು, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಮ್ಮಿ ಇರುತ್ತದೆ. 1 > e > 0.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹಳಮೆ:

  • 380–320 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಮೆನಚ್ಮ್ಯಾಸ್ (Menaechmus) ಎಂಬ  ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಉದ್ದ  ದುಂಡುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆಮಾಡಿದ್ದನು.

Image18 EL

  • ಸುಮಾರು 300 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಮತ್ತು ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ಅರಕೆಗಳನ್ನುಮಾಡಿದ್ದರು.
  • 290 -.350 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಪಾಪಸ್ (Pappus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯ (Foci of the Ellipse) ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆ ಮಾಡಿದ್ದನು.
  • 1602 CE ಯಲ್ಲಿ ಜೋಹಾನ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್ (Johannes Kepler) ನೇಸರನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವ ಮಂಗಳ ಗ್ರಹದ ಸುತ್ತುದಾರಿಯು (Orbit) ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದನು.

ಚಟುವಟಿಕೆ:

  1. ಮೊಟ್ಟೆಯಾಕಾರ (Oval shape) ಮತ್ತು ಉದ್ದದುಂಡು Ellipse shape) ಆಕಾರಕ್ಕೂ ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.
  2. ದುಂಡುಕದಲ್ಲಿ (Circle) ದುಂಡುತನವು (Eccentricity) ಏಕೆ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ.

(ಸೆಲೆ: askiitians.com, mathsisfun.com, mathopenref.com/ellipseeccentricity, mathsisfun.com/geometry, Wikipedia)

ಹಲಬದಿಗಳು – ಭಾಗ 2

  By

ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಹಲಬದಿಗಳು ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಹಲಬದಿಯ ಹಲವು ಬಗೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡೆವು, ಈಗ ಹಲಬದಿಗಳ ಮೂಲೆ (Angle), ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter) ಮತ್ತು ಹರವನ್ನು (Area) ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಬಗೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.

ಹಲಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter of a polygon):

ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾಗಿದೆ.

  • ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಒಂದು ABCDE ಐದ್ಬದಿಯನ್ನು (Pentagon) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image1 P2ಐದ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ P ಆಗಿರಲಿ, ಬದಿ1 = AB, ಬದಿ2 = BC, ಬದಿ3 = CD, ಬದಿ4 = DE, ಬದಿ5 = EA ಆದಾಗ

ಐದ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1+ ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 + ಬದಿ5 = AB + BC + CD + DE + EA ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

  • ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಆರುಬದಿಯುಳ್ಳ ABCDEF ಎಂಬ ಒಂದು ತಗ್ಗು ಹಲಬದಿಯನ್ನು (Concave Polygon) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image2 P2ಆರುಬದಿಯುಳ್ಳ ABCDEF ಈ ತಗ್ಗು ಹಲಬದಿಯಲ್ಲಿ AB = 8cm, BC = 5cm, CD = 7cm, ED = 3cm, EF = 12cm, FA = 10cm ಆಗಿವೆ, ಸುತ್ತಳತೆ P ಆಗಿರಲಿ.

∴ ಆರುಬದಿಯುಳ್ಳ ABCDEF  ಹಲಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 8 + 5 + 7 + 3 + 12 + 10 = 45 cm ಆಗಿದೆ.

 

  • ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಯ ಬದಿಗಳು n ಆದಾಗ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + …+ …+ ಬದಿn-1 + ಬದಿn ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅದನ್ನು ಇನ್ನು ಸುಳುವಾಗಿ Image3 P2   ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ i = 1,2,3……n, n ಎಂಬುವುದು ಹಲಬದಿಯು ಎಷ್ಟು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುವುದನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ.

  • ಒಂದು ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯು (Simple Polygon) ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯಾದಾಗ (Regular Polygon) ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು P= n x s = ಒಟ್ಟು ಬದಿಗಳು x ಒಂದು ಬದಿಯ ಅಳತೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ n -> ಒಟ್ಟು ಬದಿಗಳು.

s -> ಒಂದು ಬದಿಯ ಅಳತೆ.

ಹಲಬದಿಯ ಒಳ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು (Interior Angles)  ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಬಗೆ:

  • ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು (n − 2) π C ಆಗಿರುತ್ತದೆ,

ಇಲ್ಲಿ c ಗುರುತು ರೇಡಿಯನ್ಸ್ (Radians) ಅನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು ರೇಡಿಯನ್ ಅನ್ನು 1c ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

1c   ನ ಬೆಲೆ 180°/π ಆಗಿರುತ್ತದೆ,

∴ π C = 180° ಆಗಿದೆ,  ಇಲ್ಲಿ π = 3.14159 ಆಗಿದೆ.

∴ ಹಲಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು (n − 2) × 180° ಎಂದು ಸುಳುವಾಗಿ ಬರೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ  n ಎಷ್ಟು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುವುದಾಗಿದೆ.

ಹಲಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ ವನ್ನು ತಿಳಿಸುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು (Equation) ಉಬ್ಬು ಹಲಬದಿ (Convex Polygon) ಮತ್ತು ತಗ್ಗು ಹಲಬದಿಗೂ (Concave Polygon) ಸರಿಹೊಂದುತ್ತುದೆ.

 

  • ಒಂದು ಹಲಬದಿಯು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯಾದಾಗ (Regular Polygon) ಅದರ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಮೂಲೆಯು 180° – 360°/n ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ n ಎಷ್ಟು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುವುದಾಗಿದೆ.

 

ಉದಾಹರಣೆ1:  ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ABCD ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು (Quadrilateral) ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಇದರ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವೇನು?

Image4 P2ನಾವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು (n − 2) × 180° ಆಗಿದೆ,

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯೆಂದರೆ ಅದು ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ n = 4 ಆಗುತ್ತದೆ.

∴ ABCD ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ ∠BAD + ∠ADC + ∠DCB + ∠CBA =  (n − 2) × 180° = (4 – 2) x 180° = 2 x 180 = 360° ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ2: ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ಸಾಟಿ ಹನ್ನೆರಡುಬದಿಯನ್ನು(Regular Dodecagon) ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಇದರ ಒಳ ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವೇನು ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಮೂಲೆಯ ಬೆಲೆಯೇನು ?

 Image5 P2

ನಾವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು (n − 2) × 180° ಆಗಿದೆ,

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವು ಹನ್ನೆರಡು ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಆಕಾರವಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ n = 12 ಆಗುತ್ತದೆ.

∴ ಸಾಟಿ ಹನ್ನೆರಡುಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ = (n − 2) × 180° = (12 – 2) x 180° = 1800° ಆಗಿದೆ.

ಈ ಹನ್ನೆರಡುಬದಿಯು(Dodecagon) ಒಂದು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯಾಗಿದೆ (Regular Polygon), ಅಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ (Equilateral) ಹಾಗು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ (Equiangular).

ನಾವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಂತೆ ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ (Regular Polygon) ಒಂದು ಮೂಲೆಯು 180° – 360°/n ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

∴ ಸಾಟಿ ಹನ್ನೆರಡುಬದಿಯ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಮೂಲೆ = 180° – 360°/n = 180°- 360°/12 = 180° – 30° = 150°ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

 

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಒಂದು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಯಾವುದೇ ಮೂಲೆಯು 162° ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಈ ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯು ಎಷ್ಟು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಯಾವುದೇ ಮೂಲೆಯು 162° ಆಗಿದೆ.

ನಾವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಂತೆ ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ (Regular Polygon) ಒಂದು ಮೂಲೆಯು 180° – 360°/n ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಒಂದು ಮೂಲೆ = 180° – 360°/n = 162°, ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುವುದು ಅದರ ಒಟ್ಟು ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಿಡಿಸೋಣ

180° –  162° = 360°/n

18° = 360°/n

n = 360°/18 = 20

∴  ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಒಂದು ಮೂಲೆ 162° ಆದಾಗ ಅದು 20 ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯನ್ನು ಇಪ್ಪತ್ತುಬದಿ (Icosagon)  ಆಕಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

 Image6 P2

ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಬಗೆ (Area of a Polygon):

ಮೂರ್ಬದಿ ಆಕಾರವು ಮೂರು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆಯತ, ಚೌಕ ಇವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ನಾಲ್ಕುಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇವುಗಳ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ, ಆದರೆ ಇವುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬದಿ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಒಂದು ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಹಾಗಾಗಿ  ಚುಕ್ಕೆಗುರುತಿನ ಏರ್ಪಾಡನ್ನು (coordinate system)  ಬಳಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಗಳಿಗೆ ಒಗ್ಗುವಂತೆ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು.

Image7 P2Image8 P2

  • n: ಬದಿಗಳು
  • x,y: ಹಲಬದಿಯ ತುದಿಗಳ ಚುಕ್ಕೆಗುರುತುಗಳು (Coordinates of polygon vertices)
  • k: 1, 2, 3, 4, …, n-1, n
  • ಇಲ್ಲಿ ಹರವು ಕಳೆಯುವ ಗುರುತನ್ನು (Negative Symbol) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕೂಡು ಗುರುತಿಗೆ(Positive Symbol) ಮಾರ್ಪಾಟು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅದಕ್ಕೆ ದಿಟಬೆಲೆ ಗುರುತನ್ನು(absolute value/modulus/real number) ಬಳಸಬೇಕು,
  • ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ -6 -> |6| -> 6, ಹಾಗಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗೆ । । ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ

 ಕೇಳ್ವಿ 1:  ಒಂದು ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಇಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (equation) ಬಳಸಬೇಕೇ?

ಉತ್ತರ:  ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಬದಿ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಒಂದು ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಮೂರ್ಬದಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ ಆಕಾರಗಳು ಕಡಿಮೆ ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬೇರೆ ಬಗೆಯಾಗಿ ಅವುಗಳ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಮೂರ್ಬದಿಗಳ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಬರಹವನ್ನು ಓದಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಬರಹವನ್ನು ಓದಿ.

ಕೇಳ್ವಿ 2: ಒಂದು ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯು (Simple Polygon) ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯಾದಾಗ (Regular Polygon) ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕೇ ?

ಉತ್ತರ: ಒಂದು ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯಾದಾಗ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (Equilateral) ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು(Equiangular) ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಕೂಡ.

ಆ ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬದಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹದು.

  • ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಕಾರಗಳು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಗಳಾಗಿವೆ (Regular Polygons).

Image9 P2

  • ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಹರವು A = 1/2 x (pa) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ p à ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter)

       a à ನೇರಡ್ಡನಡುಗೆರೆ (Apothem)

ಹರವನ್ನು A = 1/2 x (pa) = 1/2 x (nsa) ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಸುತ್ತಳತೆ P= n x s =  ಒಟ್ಟು ಬದಿಗಳು x ಒಂದು ಬದಿಯ ಅಳತೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೇರಡ್ಡನಡುಗೆರೆ (Apothem) ಎಂದರೆ ಒಂದು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ನಡುವಿಂದ ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಎಳೆದ ಗೆರೆ.

  • ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ  ಒಂದು ಸಾಟಿ ಎಂಟ್ಬದಿಯನ್ನು (Octagon) ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಹರವಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Equation of area of regular polygon) ಕೆಳಗಿನಂತೆ ತೋರಿಸಬಹುದು.

Image10 P2

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಚೌಕದ ಹರವು ಬದಿ x ಬದಿ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

Image11 P2ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳು (n=4) ಒಂದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

∴  ED = DG = GF = FE = s

ಚೌಕದ ನೇರಡ್ಡನಡುಗೆರೆಯ ಉದ್ದವು (length of apothem) ಚೌಕದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಅರೆಪಾಲಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

∴  ನೇರಡ್ಡನಡುಗೆರೆ a = s/2

ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ

A = 1/2 x (pa) = 1/2 x (nsa) = 1/2 x (ಒಟ್ಟು ಬದಿಗಳು x ಬದಿಯ ಉದ್ದ x ನೇರಡ್ಡನಡುಗೆರೆಯ ಉದ್ದ)

∴  A = 1/2 x 4 x s x s/2 =2 x s x s/2 = s x s = ಬದಿ x ಬದಿ  ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಒಂದು ಸಾಟಿ ಐದ್ಬದಿಯ (Regular Pentagon) ಬದಿಗಳು 7 cm  ಆಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನೇರಡ್ಡನಡುಗೆರೆ 4.81734 cm ಆದಾಗ ಅದರ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Image12 P2ಸಾಟಿ ಐದ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳು (n=5) ಒಂದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ.

A = 1/2 x (pa) = 1/2 x (nsa) = 1/2 x (ಒಟ್ಟು ಬದಿಗಳು x ಬದಿಯ ಉದ್ದ x ನೇರಡ್ಡನಡುಗೆರೆಯ ಉದ್ದ)

∴ A = 1/2 x (5 x 7 x 4.81734) = 1/2 x (168.6069) = 84.30345 cm.

∴ ಸಾಟಿ ಐದ್ಬದಿಯ ಹರವು A = 84.30345 cm.

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಒಂದು ಸಾಟಿಯಲ್ಲದ ಹಲಬದಿ P1P2P3P4P5 ಯನ್ನು ಚುಕ್ಕೆಗುರುತಿನ ಏರ್ಪಾಟಿನಲ್ಲಿ (coordinate system) ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗುರುತಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Image13 P2

  • ಸಾಟಿಯಲ್ಲದ ಹಲಬದಿಯ ತುದಿಗಳನ್ನು(Vertices) ಚುಕ್ಕೆಗುರುತಿನ ಏರ್ಪಾಟಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ
  • ಈ ಚುಕ್ಕೆಗುರುತುಗಳು(Coordinates) ಹೀಗಿವೆ P1(3,4), P2(5,11), P3(12,8), P4(9,5) ಮತ್ತು P5(5,6).
  • ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಹಲಬದಿಯು ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯಾಗಿದೆ (Simple Polygon) ಮತ್ತು ಸಾಟಿಯಲ್ಲದ ಹಲಬದಿಯಾಗಿದೆ (Irregular Polygon)
  • ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯ (Simple polygon) ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Equation).

Image14 P2 P = { P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),P5(x5,y5)} = {P1(3,4),P2(5,11),P3(12,8),P4(9,5) P5(5,6)}  ಎಂದು ಹೊಂದಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

Image15 P2ಹರವಿನ ಬೆಲೆ ಕಳೆಯುವ ಗುರುತನ್ನು (Negative Symbol) ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, । ।  (Real/Absolute number symbol) ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ.

 ಚಟುವಟಿಕೆ: ನಮ್ಮ ದಿನ ನಿತ್ಯದ ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ಕಾಣುವ ಎಲ್ಲಾ ಹಲಬದಿ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಯಾವ ಯಾವ ಬಗೆಯ ಹಲಬದಿಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ (ಹಿಂದಿನ ಬರಹ  ಹಲಬದಿಗಳು –ಭಾಗ 1 ನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು)

 (ಸೆಲೆಗಳು: dummies.com/education, easycalculation.com, math.blogoverflow.com, wikipedia.org)

ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳ ಸುತ್ತುಹಾದಿಗಳು

  By ,

ಈ ಮುಂಚಿನ ಬರಹವೊಂದರಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಜೀವಿಗಳ ಮೂಲ ಘಟಕವಾದ ಅಣುವಿನ ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಿದ್ದೆವು. ಅದನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತಾ ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಅಣುವಿನ ಒಳರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು ಹೇಗೆ ಸುತ್ತುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಈ ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಂತೆ, ಅಣುವಿನ ನಡುವಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರೋಟಾನ್‍ಗಳು ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟ್ರಾನ್‍ಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು ನಡುವಣದ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತಿರುತ್ತವೆ. ಅಣುವಿನ ಕುರಿತ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಶುರುವಾದಾಗಿನ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ದಶಕಗಳವರೆಗೆ ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು ನಡುವಣದ ಸುತ್ತ ಬರೀ ದುಂಡನೆಯ ಹಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುತ್ತವೆ ಅಂತಾ ಅಂದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿತ್ತು. ಆದರೆ ಹೊಸ ಹೊಸ ಅರಕೆಗಳು ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ನಡೆದುದರಿಂದ ಕಂಡುಬಂದಿದ್ದೇನೆಂದರೆ,

ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು ಸುತ್ತುವ ನೆಲೆಯನ್ನು 100% ರಷ್ಟು ನಿಕ್ಕಿಯಾಗಿ ಹೇಳಲು ಆಗುವುದಿಲ್ಲ, ಗಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳ ತಳಹದಿಯಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು 90% ರಷ್ಟು ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯಿಂದ ಇಂತಲ್ಲಿ ಇರಬಹುದು ಅಂತಾ ಹೇಳಬಹುದಷ್ಟೆ.

ಜರ್ಮನಿಯ ವಾರ್ನರ್ ಹಯ್ಸನ್‍ಬರ್ಗ್ (Werner Heisenberg) ಎಂಬ ವಿಜ್ಞಾನಿಯು 1927 ರಲ್ಲಿ ಮುಂದಿಟ್ಟಿದ್ದ, ಹಯ್ಸನ್‍ಬರ್ಗ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಲ್ಲದ ನಿಯಮ (Heisenberg uncertainty principle) ತಳಹದಿಯ ಮೇಲೆ ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳ ನೆಲೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು.

ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು ನಡುವಣದ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತಲು ಬಳಸುವ ದಾರಿಗಳನ್ನು ಆರ್ಬಿಟಲ್ಸ್ (Orbitals) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿ ಇವುಗಳನ್ನು ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳ ಸುತ್ತುಹಾದಿಗಳು ಎನ್ನಬಹುದು. ಸುತ್ತುಹಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಬಗೆಗಳಿವೆ. ಆ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು,

orbitals‘s’ ಬಗೆಯ ಸುತ್ತುಹಾದಿಗಳು ಗುಂಡನೆಯ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ‘p’ ಮತ್ತು ‘d’ ಸುತ್ತುಹಾದಿಗಳು ಬಲೂನಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಅದೇ ‘f’ ಸುತ್ತುಹಾದಿಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸುತ್ತಿ ಬಳಸಿದ ದಾರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಇನ್ನೊಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ, ಈ ನಾಲ್ಕು ಬಗೆಯ ಸುತ್ತುಹಾದಿಗಳು, ಹಾದಿಯೊಂದರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ 2 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು ಗಳಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ಶಕ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ಸುತ್ತುಹಾದಿಗಳು ತೀರ್ಮಾನವಾಗುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಹೊಂದಿರುವ ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು ’1s’ ಸುತ್ತುಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತಿದರೆ, ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು ’2s’ ಸುತ್ತುಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುತ್ತವೆ. ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತಾ ಶಕ್ತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ 2p, 3s, 3p… ಮುಂತಾದ ಸುತ್ತುಹಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು ಸುತ್ತುತ್ತವೆ.

ಇಲ್ಲಿ s,p,d,f ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳಾದ 1, 2, 3, 4… ಶಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ (ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ಶಕ್ತಿಯೆಡೆಗೆ)

ಅಣುವೊಂದರಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳಿವೆ ಅನ್ನುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸುತ್ತುಹಾದಿಗಳಿವೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಣುವೊಂದರಲ್ಲಿ 10 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳಿದ್ದರೆ ಮೊದಲಿಗೆ ’1s’ ಬಗೆಯ ಸುತ್ತುಹಾದಿಯಲ್ಲಿ 2 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು ಮತ್ತು ’2s’ ಸುತ್ತುಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನೆರಡು ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಇನ್ನುಳಿದ 6 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳಲ್ಲಿ 2 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು 2px ಸುತ್ತುಹಾದಿಯಲ್ಲಿ, 2 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು 2py ಸುತ್ತುಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು 2 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು 2pz ಸುತ್ತುಹಾದಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.

10 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ,

1s2 2s2 2p6

(ಇಲ್ಲಿ 1 ನೇ ಶಕ್ತಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ 2 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು ಮತ್ತು 2 ನೇ ಶಕ್ತಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ 2+6= 8 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು)

ನೆನಪಿರಲಿ: ಒಂದು ಸುತ್ತುಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ 2 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳಷ್ಟೇ ಇರಬಹುದು. ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಯ ಸುತ್ತುಹಾದಿಗಳಿಂದ ಶುರುವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯ ಸುತ್ತುಹಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳು ಸುತ್ತುತ್ತವೆ.

ಚಿಪ್ಪುಗಳು (Shells):

ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳ ಸುತ್ತುವಿಕೆಯನ್ನು ಅವುಗಳ ಸುತ್ತುಹಾದಿಗಳಲ್ಲದೇ, ಚಿಪ್ಪುಗಳು (shells) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಬಗೆಯಲ್ಲೂ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅವುಗಳು ಇಂತಿಷ್ಟು ಚಿಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬಗೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಅಣುವೊಂದರ ವಿದ್ಯುತ್ ಗುಣವನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ನೆರವಾಗುತ್ತದೆ.
ಚಿಪ್ಪುಗಳನ್ನು ’n’ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದರೆ, 2*(n)2 ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
ಚಿಪ್ಪು 1 –> 2*(1)2 = 2 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಚಿಪ್ಪು 2 –> 2*(2)2 = 8 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಚಿಪ್ಪು 3 –> 2*(3)2 = 18 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಬಗೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಅಣುವೊಂದರಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳಿವೆ ಎನ್ನುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಚಿಪ್ಪುಗಳಿವೆ (shells) ಇವೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.
ಉದಾ: 10 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳಿದ್ದರೆ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, 2 (ಚಿಪ್ಪು1) + 8 (ಚಿಪ್ಪು2) ಒಟ್ಟು 2 ಚಿಪ್ಪುಗಳಿರುತ್ತವೆ.

ಚಿಪ್ಪುಗಳು ಮತ್ತು ಅಣುವಿನ ಗುಣ:
ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳನ್ನು ಹೊಂದುವ ಚಿಪ್ಪಿನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು 2*(n)2 ರಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಅಣುವೊಂದರಲ್ಲಿ ಚಿಪ್ಪೊಂದರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಅಣುವಿನಲ್ಲಿ ಬೇರೊಂದು ಅಣುವಿನೊಂದಿಗೆ ಒಡನಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಹೆಚ್ಚಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಅಣುವೊಂದರಲ್ಲಿ 12 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳಿವೆ ಎಂದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅದರಲ್ಲಿ ಚಿಪ್ಪುಗಳು ಮತ್ತು ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ.
ಚಿಪ್ಪು 1 –> 2*(1)2 = 2 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಚಿಪ್ಪು 2 –> 2*(2)2 = 8 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಚಿಪ್ಪು 3 –> 2*(3)2 = 18 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಆದರೆ ಉಳಿದವು 2 ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳಷ್ಟೇ (12-2-8=2) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಚಿಪ್ಪು3 ರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕಿಂತ (18) ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ (2) ಇಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‍ಗಳಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಇಂತಹ ಅಣು ಬೇರೊಂದು ಅಣುವಿನೊಂದಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಒಡನಾಡಬಲ್ಲದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(ಮುಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಅಣುಗಳ ಇನ್ನಷ್ಟು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ)