ಗಣಿತ – ಅರಿಮೆ

ಉದ್ದದುಂಡು

By admin 24/08/2017 16/09/2017 ಗಣಿತ

ನಾವು ದಿನಾಲೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ದದುಂಡು (Ellipse) ಆಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿರುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳು ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಗಡಿಯಾರಗಳು, ಕನ್ನಡಿಗಳು, ಚೆಂಡುಗಳು, ಕಲ್ಲುಗಳು, ತಟ್ಟೆಗಳು, ಕುಂಬಳಕಾಯಿ, ಕ್ಯಾಪ್ಸೂಲ್ ಮಾತ್ರೆಗಳು ಇನ್ನಿತರ ಹತ್ತು ಹಲವಾರು ವಸ್ತುಗಳಾಗಿರಬಹುದು.

ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರ ಎಂದರೇನು?.

ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರವೆಂದರೆ ನಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಳೆಯುವುದೇನೆಂದರೆ.

ಸ್ವಲ್ಪ ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ದುಂಡಾಕಾರದ ವಸ್ತು.
ಒಂದು ದುಂಡಾಕಾರದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹಿಗ್ಗಿಸಿದಂತೆ ಇಲ್ಲವೇ ಎಳೆದಂತೆ ಕಂಡು ಬರುವ ಆಕಾರ.
ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ಮೊಟ್ಟೆಯನ್ನು ಹೋಲುವ ಆಕಾರ.

ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ (ಗಣಿತ) ಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಹೇಳಬಹುದು.

ಹೇಳಿಕೆ 1: ಉದ್ದದುಂಡು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (Closed Shape), ಇದರ ಒಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus Points) ಅದರ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆಗೆ (Loucs Points) ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Constant value).

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವು ಒಂದು ಉದ್ದದುಂಡು (ellipse) ಆಗಿದೆ.
ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಒಳಗೆ F1 ಮತ್ತು F2 ಎಂಬ ಎರಡು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿವೆ (Focal points)
ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಮೇಲೆ Q, P ಮತ್ತು C ಎಂಬ ಮೂರು ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು (Locus Points) ಇಡಲಾಗಿದೆ.
ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ Q ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1Q ಮತ್ತು F2Q ಆಗಿವೆ.
ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ P ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1P ಮತ್ತು F2P ಆಗಿವೆ.
ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ C ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1C ಮತ್ತು F2C ಆಗಿವೆ.
ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯಂತೆ F1Q + F2Q = F1P + F2P = F1C + F2C = 2a ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ a ಎಂಬುವುದು ಒಂದ್ದು ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Constant value).

ಹೇಳಿಕೆ 2: ಲಾಳಿಕೆ ಆಕೃತಿಯನ್ನು (Cone shape) ಓರೆಯಾಗಿ ಸೀಳಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವುದೇ ಉದ್ದದುಂಡು. ಹೇಗೆ ಅಂತೀರಾ !?, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಮೇಲಿನ ಲಾಳಿಕೆಯಾಕೃತಿಯನ್ನು (Cone shape) ಓರೆಯಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಉದ್ದದುಂಡು (Ellipse) ಉಂಟಾಗಿದ್ದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು !.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಭಾಗಗಳು (Parts of Ellipse):

ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Major axis): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವೆ ಹಾದುಹೊದ ಹಿರಿದಾದ ನಡುಗೆರೆ.

ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Minor axis): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಗೆ ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ (Perpendicular) ಹಾದುಹೊದ ಕಿರಿದಾದ ನಡುಗೆರೆ.

ನಡು (Centre): ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ ಮತ್ತು ಕಿರುನಡುಗೆರೆಗಳು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುವೆಡೆಯಲ್ಲಿ ನಡು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ..

ತುದಿ (Vertex): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಂದ ಹಾದುಹೊದ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ತುದಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಒಡತುದಿ (Co-Vertex): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಂದ ಹಾದುಹೊದ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಡತುದಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆ (Focus points): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಒಳಗೆ ಯಾವುದೇ ನೆಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಚುಕ್ಕೆ, ಉದ್ದದುಂಡುವಿನಲ್ಲಿ ಈ ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳು ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯ (Major axis) ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿನಿಂದ ಈ ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಸರಿದೂರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

ತಿರುಗು ಚುಕ್ಕೆ (Locus Points): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತಿರುವ ಯಾವುದೇ ಚುಕ್ಕೆ,

ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter)

ನಾವು ಹಲವಾರು ಆಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಆದರೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಇವೆ.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 1:

ಇಲ್ಲಿ h = (a – b)² /(a + b)²
ಇಲ್ಲಿ a ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
ಇಲ್ಲಿ b ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
π = 3.14159.

ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಿಡಿಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲೆಯಿಲ್ಲದ ಮೊತ್ತದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Infinite Sum formula) ಎಂದು ಕರೆಯುವರು,ಇದು ಹೆಚ್ಚು ದಿಟವಾದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 2:

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಎಣಿಕೆಯರಿಗ (Mathematician) ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದರು.

ಇಲ್ಲಿ a ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
ಇಲ್ಲಿ b ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
π = 3.14159.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 3:

ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹೆಚ್ಚು ದಿಟವಾದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
ಇಲ್ಲಿ b ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
π = 3.14159.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 4:

ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis) ಉದ್ದವು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯ (Semi Minor axis) ಮೂರುಪಟ್ಟಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. i.e a < 3b, ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಸುಲಭವಾಗಿ ಉದ್ದ ದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುವುಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸುತ್ತಳತೆಯ ದಿಟಬೆಲೆಗಿಂತ 5% ಹೆಚ್ಚು-ಕಡಿಮೆ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
ಇಲ್ಲಿ b ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
a < 3b
π = 3.14159.
e a < 3b
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: b = 5, a = 10 => 10 < 3 x 5 => 10 < 15 ಆದಾಗ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ : ಒಂದು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯು (Semi Major Axis) 19 ft ಮತ್ತು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯು (Semi Minor Axis) 9 ft ಆದಾಗ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು (Perimeter) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೇಲಿನ ಯಾವುದಾರೂ ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ 2 ನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಇಲ್ಲಿ a = 19ft ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
ಇಲ್ಲಿ b = 9 ft ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
π = 3.14159.
ಸುತ್ತಳತೆ p = 14159 [ 3(19 + 9) – √(3 x 19 + 9)(19 + 3 x 9)]

p = 3.14159 [84 – √(66)(46)]

p = 3.14159 [84 -√3036]

p = 3.14159 [84 – 55.1] = 3.14159 x 28.9 = 90.791951 ft

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆ 90.791951 ft ಆಗಿದೆ

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವು(Area of an Ellipse):

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವನ್ನು A = πab ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ : ಕೆಳಗಡೆ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಸ್ನಾನ ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಒಂದು ಸೋಪನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis line) a = 10cm ಮತ್ತು ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Semi Minor axis line) b = 7cm ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಅದರ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಸೋಪಿನ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ಹರವೆಷ್ಟು?

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವು A = πab.

A = 3.14159 x 10 x 7 = 219.911 cm²

ಸೋಪಿನ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಹರವು 219.911 cm² ಆಗಿದೆ.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Equation of ellipse):

ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕಾರವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಆಕಾರವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಲು ನಾವು ಚುಕ್ಕೆಗುರುತನ್ನು(Coordinate system) ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸೋಣ.

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis line) a = 2 ಮತ್ತು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Semi Minor axis line) b = 1 ಆಗಿದೆ.
ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಬರೆದಾಗ y = (1/a) x √ (a² b² – x² b²) ಆಗುತ್ತದೆ.
ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಮಾರ್ಪುಕಗಳಾಗಿವೆ (Variables).
ಚುಕ್ಕೆಗುರುತಿನ (Coordinates graph) ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ a=2, b=1 ಆದಾಗ x = [ -2, -1, 0, 1, 2 ] ಬೆಲೆಗಳನ್ನು y = (1/a) x √ (a² b² – x² b²) ಯಲ್ಲಿ ಹಾಕಿ y ನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡು ಮೇಲಿನ ಉದ್ದದುಂಡುಕವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ದುಂಡುತನ (Eccentricity):

ಒಂದು ಬಾಗಿದ ಆಕೃತಿಯು (Curved shapes) ಎಷ್ಟು ದುಂಡಾಗಿದೆ ಎಂಬುವುದನ್ನು ದುಂಡುತನ (Eccentricity) ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಡುಬೇರ್ಮೆಯಳತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ದುಂಡುತನವನ್ನು (Eccentricity of the Ellipse) ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು,

e = c/a

e ಎಂಬುವುದು ದುಂಡುತನದ ಗುರುತಾಗಿದೆ.
c ಎಂಬುವುದು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಗೆ (Centre of the Ellipse) ಇರುವ ದೂರ
a ಎಂಬುವುದು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ತುದಿಗೆ ಇರುವ, ಇಲ್ಲಿ ತುದಿಗೆ (Vertex) ಇರುವ ದೂರ.
ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ: ದುಂಡುಕದಲ್ಲಿ (Circle) ದುಂಡುತನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (e = 0), ಆದರೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ದುಂಡುತನವು ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಜಾಸ್ತಿ ಇದ್ದು, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಮ್ಮಿ ಇರುತ್ತದೆ. 1 > e > 0.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹಳಮೆ:

380–320 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಮೆನಚ್ಮ್ಯಾಸ್ (Menaechmus) ಎಂಬ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಉದ್ದ ದುಂಡುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆಮಾಡಿದ್ದನು.

ಸುಮಾರು 300 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಮತ್ತು ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ಅರಕೆಗಳನ್ನುಮಾಡಿದ್ದರು.
290 -.350 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಪಾಪಸ್ (Pappus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯ (Foci of the Ellipse) ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆ ಮಾಡಿದ್ದನು.
1602 CE ಯಲ್ಲಿ ಜೋಹಾನ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್ (Johannes Kepler) ನೇಸರನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವ ಮಂಗಳ ಗ್ರಹದ ಸುತ್ತುದಾರಿಯು (Orbit) ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದನು.

ಚಟುವಟಿಕೆ:

ಮೊಟ್ಟೆಯಾಕಾರ (Oval shape) ಮತ್ತು ಉದ್ದದುಂಡು Ellipse shape) ಆಕಾರಕ್ಕೂ ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.
ದುಂಡುಕದಲ್ಲಿ (Circle) ದುಂಡುತನವು (Eccentricity) ಏಕೆ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ.

(ಸೆಲೆ: askiitians.com, mathsisfun.com, mathopenref.com/ellipseeccentricity, mathsisfun.com/geometry, Wikipedia)

ಹಲಬದಿಗಳು (Polygons) ಭಾಗ -1

By admin 25/05/2017 16/09/2017 ಗಣಿತ

ನಮಗೆ ಹಲವಾರು ಹಲಬದಿಯ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸಿಕೊಡಲು ಹುಬ್ಬಳ್ಳಿಯ ಶರಣಪ್ಪ ಮತ್ತು ಆತನ ಚಿಕ್ಕಪ್ಪನ ಮಗ ಮೈಸೂರಿನ ಸಿದ್ದೇಶ್ ಎಂಬ ಹುಡುಗರಿದ್ದಾರೆ, ಬನ್ನಿ ಅವರ ಮಾತಲ್ಲೇ ಹಲವು ಆಕಾರದ ಹಲಬದಿಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ…

ಶರಣಪ್ಪ: ನಾನು ಒಂದಿಶ್ಟು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೆಳ್ತೀನಿ, ನೀನ್ ಅವು ಯಾವ ಆಕಾರದಲ್ಲಯ್ತಿ ಅಂತ ಹೇಳೋ ಸಿದ್ದ.

ಸಿದ್ದೇಶ್: ಸರಿ, ನೀನು ಕೇಳು, ನಾನು ಹೇಳ್ತೀನಿ.

ಶರಣಪ್ಪ: ನೀನು ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪಿರಮಿಡ್ಡನ್ನು ಪೇಪರ್, ಟೀವಿನ್ಯಾಗ ನೋಡಿರ್ತೀ ಹೌದಲ್ಲೋ? ಅವುಗಳ ಮುಕಗಳು(ಗೋಡೆಗಳು) ಯಾವ ಆಕಾರದಲ್ಲಯ್ತಿ ?

ಸಿದ್ದೇಶ್: ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪಿರಮಿಡ್ಡಿನ ಮುಕಗಳು ಮೂರ್ಬದಿ ಆಕಾರದಲ್ಲವೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಮೂರು ಬದಿಗಳವೆ.

ಶರಣಪ್ಪ: ಸರಿಯಾಗಿ ಹೇಳ್ದಿ, ಒಂದಿಶ್ಟು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳ ಹೆಸರು ಹೇಳು ನೋಡೋಣ.

ಸಿದ್ದೇಶ್: ಚೆಸ್ ಬೋರ್ಡ್, ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಹೆಂಚು, ಟೈಲ್ಸು, ಮೊಬೈಲ್ ಪೋನ್, ಮೊನ್ನೆ ನಾವು ಹಾರಿಸಿದ್ದ ಗಾಳಿಪಟ!.

ಶರಣಪ್ಪ: ನೀನು ಬಾರಿ ಶಾಣ್ಯಾ ಅದಿ, ಈಗ ಒಂದಿಶ್ಟು ಐದುಬದಿ ಆಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೇಳೋ ಸಿದ್ದ್ಯಾ.

ಸಿದ್ದೇಶ್: ನಾವು ಆವತ್ತು ವಾಲಿಬಾಲ್ ಅಡಿದ್ವಲ್ಲ ಅದರ ಮೇಲಿನ ಕೆಂಪು, ಅರಿಶಿಣದ ಪಟ್ಟೆಗಳಿದ್ಯಲ್ಲ ಅವು ಐದುಬದಿ ಆಕಾರದಲ್ಲಿವೆ.

ನಾವು ಮೊನ್ನೆ ಚಾಕಲೇಟ್ ತಿಂದ್ವಲ್ಲ ಅದು ಐದುಬದಿ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ.

ಸಿದ್ದೇಶ್: ಈಗ ನಾನು ಕೇಳ್ತೀನಿ ನೀನ್ ಹೇಳು ಶರಣಾ, ಒಂದಿಶ್ಟು ಆರುಬದಿ ಆಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸು ನೋಡೋಣ.

ಶರಣಪ್ಪ: ಆವತ್ತ ನಮ್ಮನಿ ಪಂಪ್ಸೆಟ್ ರಿಪೇರಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ್ರ, ಅದರ ನಟ್ಟು ,ಬೋಲ್ಟು, ಸ್ಪಾನರ್ ಎಲ್ಲಾ ಆರುಬದಿ ಆಕಾರದಲ್ಲೈತಿ ಅಂತ ನೋಡೀನಿ, ಮತ್ತ ಜೇನು ತತ್ತಿ ಗೂಡುಗಳು ಅದಾವಲ್ಲ, ಅವು ಆರುಬದಿ ಆಕಾರದೊಳಗ ಇರ್ತಾವ.

ಸಿದ್ದೇಶ್: ಒಂದಿಶ್ಟು ಏಳುಬದಿ ಆಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸು ನೋಡೋಣ, ಶರಣಾ.

ಶರಣಪ್ಪ: ನಮ್ಮ ಬಿಜಾಪುರದ ಕಾಕಾರ ಮನ್ಯಾಗ ಏಳುಬದಿ ಆಕಾರದ ಕಸದ ತೊಟ್ಟಿ ಐತಿ, ನಾನು ಚಾಕ್ಲೆಟ್ ಕವರು, ಹಣ್ಣಿನ್ ಸಿಪ್ಪಿ ಎಲ್ಲಾ ಅದಕ್ಕ ಹಾಕ್ತೀನಿ, ಮತ್ತ ನನಗ ಕಾಕರು ಪಾರಿನ್ ನಾಣ್ಯ ಕೊಟ್ಟಾರ, ಅದ ಏಳುಬದಿ ಆಕಾರದಲ್ಲೈತಿ.

ಶರಣಪ್ಪ: ಈಗ ನಾವು ಒಂದು ಚಲೋ ಕೆಲಸ ಮಾಡೋಣು, ನಮ್ಮನಿ ಪೇಪರ್ನಾಗ ಇರೋ ಹಲವು ಬದಿ ಆಕಾರಗಳನ್ನ ಕತ್ತರಿಸಿ ಅದನ್ನ ಒಂದು ಪೇಪರ್ ಮ್ಯಾಲ ಅಂಟಿಸೋಣು. ಬರ್ತೀಯೋ ಇಲ್ವೋ.

ಸಿದ್ದೇಶ್: ನೀ ಹೇಳಿದ್ ಮ್ಯಾಲೆ ಇಲ್ಲ ಅನ್ನೋಕಾಗುತ್ತೇನ್ಲಾ !, ಮಾಡೋಣ.

ಟ್ರಾಪಿಕ್ ಸಿಗ್ನಲ್ಲ್, ಹಲವು ಆಕಾರದ ಬಣ್ಣದ ಮಣೆ, ಮನೆ ಗೋಡೆ, ಹಾವು ಏಣಿ ಆಟದ ದಾಳ, ಕಟ್ಟಡ, ಪುಟ್ಬಾಲ್, ಸಿಟಿ ರೋಡು ಪಟ್ಟಿ, ಗಾಜಿನ ಪಿರಮಿಡ್, ಬಣ್ಣದ ಕ್ಯೂಬ್, ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬದಿಯಾಕಾರದ ಚಾಕಲೇಟ್ ಎಲ್ಲವನ್ನು ಈಗ ಅಂಟಿಸಿಯಾಯ್ತು.

ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೂರ್ಬದಿ, ನಾಲ್ಬದಿ, ಐದುಬದಿ, ಆರುಬದಿ ಎಂಬ ಹಲವುಬದಿ (Polygon) ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ಶರಣಪ್ಪ: ನಾವೀಗ ಒಂದಿಷ್ಟು ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಆತು. ಹಂಗಾದ್ರ ಹಲಬದಿ ಅಂದ್ರ ಏನು ಅಂತ ಹೇಳೊ ಸಿದ್ಯಾ?

ಸಿದ್ದೇಶ್: ಮೂರು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕಾರಗಳನ್ನು (Closed shapes) ಹಲಬದಿ ಎಂದು ಕರೀತಾರೆ.

ಶರಣಪ್ಪ: ಎರಡು ಬದಿ ಯಾಕ ಹಲಬದಿ ಆಗೋವಲ್ದು ?

ಸಿದ್ದೇಶ್: ಕೆಳ್ಗಡೆ ಎರಡು ಬದಿ ಬಿಡಸ್ತೀನಿ ನೋಡು, ಇಲ್ಲಿ ಎರಡುಬದಿಗಳು ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕಾರವನ್ನು (Closed shape) ಮಾಡೋದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕಾರ ಇರ್ಬೇಕು ಅಂದ್ರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಮೂರು ಬದಿಗಳು ಬೇಕೇ ಬೇಕು !. ಕೆಳಗಡೆ ಮೂರ್ಬದಿ (Triangle) ಬಿಡಿಸಿದ್ದೀನಿ ನೋಡು, ಮೂರ್ಬದಿ (Triangle) ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕಾರವಾಗಿದೆ ಇದನ್ನು ಒಂದು ಹಲಬದಿ (Polygon) ಎಂದು ಕರೀಬಹುದು.

ಈ ಇಬ್ಬರು ಹುಡುಗರು ಸೊಗಸಾಗಿ ಹಲಬದಿಗಳು ಎಂದರೇನು ತಿಳಿಸಿಕೊಟ್ಟರಲ್ಲವೇ ?, ಹಾಗಾದರೆ ಹಲಬದಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹಲವು ಬಗೆಗಳನ್ನಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂಬುವುದನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.

ಹಲಬದಿಗಳ ಬಗೆಗಳು (Types of Polygons).

ಹಲಬದಿಗಳನ್ನು ಅದರ ಬದಿಯ ಅಳತೆಗಳ ಮೇಲೆ, ಆಕೃತಿಯ ಉಬ್ಬು ತಗ್ಗುಗಳ ಮೇಲೆ ಹಾಗು ಸುಳುವಾದ, ಸುಳುವಲ್ಲದ ಆಕೃತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟು ಮೂರು ಬಗೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು.

1. ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಟಿಯಿಲ್ಲದ ಹಲಬದಿಗಳು (Regular and Irregular polygons).

ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಗಳು (Regular Polygons):

ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಒಳಮೂಲೆಗಳು ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿ ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯನ್ನು(Regular Polygon) ಸರಿಬದಿಯ ಹಲಬದಿ (Equilateral Polygon) ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು ಹಾಗು ಸರಿಮೂಲೆಯ ಹಲಬದಿ (Equiangular Polygon) ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಗೆಯ ಹಲಬದಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ನಮಗೆ ತಿಳಿಯುವುದೇನೆಂದರೆ ಹಲಬದಿಗಳ ಒಂದೊಂದು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಾಟಿಯಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಬದಿಗಳು ಕೂಡುವೆಡೆಯಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಮೂಲೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಾಟಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನವೆಲ್ಲವೂ ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕಳಗೆ ಒಂದು ಐದು ಮೂಲೆಯುಳ್ಳ ಅರಿಲು ಹಲಬದಿಯನ್ನು (Star Polygon) ನೋಡಬಹುದು, ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಹಾಗೂ ಅದರ ಒಳಮೂಲೆಗಳು ಕೂಡ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಾಟಿಯಾಗಿವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಅರಿಲು ಹಲಬದಿಯು ಒಂದು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯಾಗಿದೆ (Regular Polygon).

ಸಾಟಿಯಲ್ಲದ ಹಲಬದಿಗಳು (Irregular Polygons):

ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಳಮೂಲೆಗಳು ಕೂಡ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಮೂಲೆಯಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳು ಸಾಟಿಯಲ್ಲದ ಹಲಬದಿಗಳು ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಗೆಯ ಹಲಬದಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ನಮಗೆ ತಿಳಿಯುವುದೇನೆಂದರೆ ಹಲಬದಿಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಬದಿಗಳು ಕೂಡುವೆಡೆಯಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಮೂಲೆಗಳು ಕೂಡ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನವೆಲ್ಲವೂ ಸಾಟಿಯಲ್ಲದ ಹಲಬದಿಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕಳಗೆ ಒಂದು ನೇರಡ್ಡಬದಿ ಹಲಬದಿಯನ್ನು (Rectilinear Polygon) ನೋಡಬಹುದು, ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿವೆ ಅಂದರೆ ಅವುಗಳ ಮೂಲೆಗಳು 90° ಆಗಿವೆ ಆದರೆ ಬದಿಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಈ ಹಲಬದಿಯು ಒಂದು ಸಾಟಿಯಲ್ಲದ ಹಲಬದಿಯಾಗಿದೆ (Irregular Polygon).

2. ಉಬ್ಬು ಹಲಬದಿಗಳು (Convex Polygons) ಮತ್ತು ತಗ್ಗು ಹಲಬದಿಗಳು (Concave Polygons).

ಉಬ್ಬು ಹಲಬದಿಗಳು (Convex Polygons).

ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಗಳ ಬದಿಗಳು ಕೂಡುವೆಡೆಯ ಮೂಲೆಗಳು 180° ಕ್ಕಿಂತ ಕಮ್ಮಿ ಇಲ್ಲವೇ 180° ಗೆ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳು ಉಬ್ಬು ಹಲಬದಿಗಳು ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಕೆಳಗೆ ಹಲವಾರು ಹಲಬದಿಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ನಮಗೆ ಕಾಣುವುದೇನೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಮೂಲೆಗಳು 180° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ, ಅವುಗಳು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು (Regular Polygons) ಇಲ್ಲವೇ ಸಾಟಿಯಲ್ಲದ (Irregular Polygons) ಹಲಬದಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಕೂಡ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಂಟ್ಬದಿ (Octogon) ಆಕಾರದ ಟ್ರಾಪಿಕ್ ಗುರುತು ಒಂದು ಹಲಬದಿಯಾಗಿದೆ (Polygon), ಇದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಕೂಡುವೆಡೆ ಉಬ್ಬಿಕೊಂಡಿದೆ (Convex) ಅಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು 180° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಉಬ್ಬಿದ ಹಲಬದಿಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಮೂಲೆಯ ಹಲಬದಿಯನ್ನು (Equiangular Polygon) ನೋಡಿದಾಗ ಅವುಗಳ ಮೂಲೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಹಾಗು ಮೂಲೆಗಳು 180° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ಉಬ್ಬಿದ ಹಲಬದಿಯಾಗಿದೆ (Convex Polygon)

ತಗ್ಗು ಹಲಬದಿಗಳು (Concave Polygons):

ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಗಳ ಬದಿಗಳು ಕೂಡುವೆಡೆಯ ಮೂಲೆಗಳು 180° ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳು ತಗ್ಗು ಹಲಬದಿಗಳು ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಕೆಳಗೆ ಹಲವಾರು ಹಲಬದಿಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ನಮಗೆ ಕಾಣುವುದೇನೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಕೆಲವು ಮೂಲೆಗಳು 180° ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆ, ಅವುಗಳು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು (Regular Polygons) ಇಲ್ಲವೇ ಸಾಟಿಯಲ್ಲದ (Irregular Polygons) ಹಲಬದಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಕೂಡ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಈಜಾಡುತ್ತಿರುವ ಈ ಅರಿಲು ಮೀನುಗಳು (Star Fish) ತಗ್ಗು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯಲ್ಲವೇ? ಹೌದು, ಅದರ ಬದಿಗಳು ಕೂಡುವೆಡೆಗಳು 180° ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

3. ಸುಳುವಾದ (Simple) ಮತ್ತು ಸುಳುವಲ್ಲದ (Complex) ಹಲಬದಿಗಳು.

ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಗಳು (Simple Polygons)

ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಯು ಒಂದೊಕ್ಕೊಂದು ಕತ್ತರಿಸುವ ಬದಿಗಳನ್ನು (Sides are not intersecting each other) ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೆ ಅದು ಸುಳುವಾದ (Simple) ಹಲಬದಿಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಮೂರ್ಬದಿ , ಚೌಕ, ಆಯತ ಮತ್ತು ಹಲವು ಬಗೆಯ ನಾಲ್ಬದಿಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಕೆಳಗೆ ಹಲವಾರು ಹಲಬದಿಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಹಲಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವುದೇನೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಬದಿಯು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯ ಮೇಲೆ ಹಾದುಹೋಗಿಲ್ಲ, ಇನ್ನೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಕತ್ತರಿಸಿಲ್ಲ, ಹಾಗಾಗಿ ಇವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಈ ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ಸರಿಬದಿಯ ಐದ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ (Equilateral Pentagon), ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಹಾಗು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಬದಿಗಳು ಒಂದರಮೇಲೊಂದು ಹಾದುಹೋಗಿಲ್ಲ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯಾಗಿದೆ.

ಸುಳುವಲ್ಲದ ಹಲಬದಿಗಳು (Complex Polygons)

ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಯ ಬದಿಗಳು ಒಂದೊಕ್ಕೊಂದು ಕತ್ತರಿಸುವ ಬದಿಗಳನ್ನು(Sides are intersecting each other) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಸುಳುವಲ್ಲದ (Complex) ಹಲಬದಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು (Regular Polygons) ಇಲ್ಲವೇ ಸಾಟಿಯಲ್ಲದ ಹಲಬದಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು (Irregular Polygons).

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಕೆಳಗೆ ಹಲವು ಸುಳುವಲ್ಲದ ಹಲಬದಿಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಅವುಗಳ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಕತ್ತರಿಸಿದಂತೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಮುಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಹಲಬದಿಗಳ ಮೂಲೆಗಳು, ಸುತ್ತಳತೆ ಮತ್ತು ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ.

ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು?

By admin 10/04/2017 15/04/2017 ಗಣಿತ

ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ (Mathematics) ಅಥವಾ ಗಣಿತವನ್ನು ಒಂದನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Algebra) ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಲಿಯುವ ಬಗೆಯನ್ನು ಏಳನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ, ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆದು ಹತ್ತನೇ ತರಗತಿಯವರೆಗೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗಣಿತದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಶಾಲೆಯ ಕಲಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆಯಾಯ್ತು, ಇನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ (Fields of science) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು ?

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂಬುವುದು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಲ್ಲಿ (Equation) ಬರಿಗೆಗಳು (Letters) ಮತ್ತು ಹಲವು ಗುರುತುಗಳನ್ನು (Symbols) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಕೆ ಮತ್ತು ಬೆಲೆಯನ್ನು (numbers and quantities/values) ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದು.

ಇನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ,

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂಬುವುದು ಬರಿಗೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು.

ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬರಿಗೆಗಳನ್ನು (Letters/ ಅಕ್ಷರ) ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ x,y,z,a,b,c,d,α,β, ಅ, ಆ, ಕ. ಇಲ್ಲಿ ಗುರುತುಗಳೆಂದರೆ ಕೂಡು (+), ಕಳೆ (-), ಭಾಗಿಸು (/,÷), ಗುಣಿಸು (*, x), ಸರಿ (=) ಹಾಗು ಇತರೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳು. ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಬರಿಗೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುವುದನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು ಎಂಬುವುದನ್ನು ಮೊದಲು ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂಬುವುದು ದಿನದ ಬದುಕಿನ ಹಲವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ನೆರವಾಗುತ್ತದೆ:

ನಾವುಗಳು ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲಾ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾ ಇರುತ್ತೇವೆ, ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿಸಿದರೆ ನಮಗೆ ಒಂದಿಷ್ಟು ತಲೆಬಿಸಿ ತಪ್ಪುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲವೇ? 🙂 ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿಕೆಳಗಿನ ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ನೀವು ಒಂದು ವಾರದಲ್ಲಿ ಶನಿವಾರ 2 ಲೀಟರ್ ಹಾಲು ಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಭಾನುವಾರ 3 ಲೀಟರ್ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಐದು ದಿನವೂ 1 ಲೀಟರ್ ಹಾಲು ಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಒಂದು ಲೀಟರ್ ಹಾಲಿನ ಬೆಲೆ 30 ರೂಪಾಯಿಗಳು ಆಗಿರಲಿ, ಹಾಗಾದರೆ ಒಂಬತ್ತು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲಿನ ಮೊತ್ತವೆಷ್ಟು?.

ಮೊದಲನೇ ವಾರದಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲು = ಶನಿವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಭಾನುವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಉಳಿದ ಐದು ದಿನಗಳು ಕೊಂಡ ಹಾಲು = 2 + 3 + 5 x 1 = 2 + 3 + 5 = 10 ಲೀಟರ್ ಗಳು.

ಎರಡು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲು = ಎರಡು ಶನಿವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಎರಡು ಭಾನುವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಐದು ದಿನಗಳಂತೆ ಎರಡು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲು = 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 5 x 1 = 4 +6 + 10 = 20 ಲೀಟರ್ ಗಳು.

ಹೀಗೆ ಹಲವು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಒಟ್ಟು ಹಾಲು = 2n+3n + 5n x 1 = 10n ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬ ಬರಿಗೆಯು (Letter/Alphabet) ಮಾರ್ಪುಕವಾಗಿದೆ (Variable), ಅಂದರೆ ಅದು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯಾಗಿರದೇ, ಮಾರ್ಪಾಟು ಹೊಂದುವಂತಹ ಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ. ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ವಾರಗಳನ್ನು n ಗೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ10 ಎಂಬುವುದು ಒಡಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ (Coefficient).

ಒಂಬತ್ತು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲನ್ನು n = 9 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, 10n = 10 x 9 = 90 ಲೀಟರ್ ಗಳು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

∴ ಒಂಬತ್ತು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಒಟ್ಟು ಹಾಲಿನ ಬೆಲೆ = 90 x 30 = 2700 ರೂಪಾಯಿಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ X ಬರಿಗೆಯನ್ನು (Letter) ತೋರಿಸಲು ನಮಗೆ 4 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.

ಅದೇ ರೀತಿ XXನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4 + 4 = 8 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು XXXನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4 + 4 + 4 = 12 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಹೀಗೆ ಒಂದಿಷ್ಟು X ಬರಿಗೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4 + 4 + 4 + 4 …..+ 4 = 4n ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ XXXXXXXರಲ್ಲಿ ಏಳು X ಬರಿಗೆಗಳಿವೆ, ಹೀಗಾಗಿ XXXXXXX ನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4n ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Algebraic Equation) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಮಗೆ 4 x 7 = 28 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

4n ರಲ್ಲಿ 4 ಎಂಬುದು ಒಂದು ಬರಿಗೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಬೇಕಾದ ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು, “n” ಬರಿಗೆ (Letter) ಎಂಬುದು ಎಷ್ಟು ಸಲ ನಾವು X ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು, 4n ಎಂಬುದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ X ಬರಿಗೆಗಳಿಗೆ ಬೇಕಾದ ಒಟ್ಟು ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು.

-> 4 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು -> 4n = 4 x 7 = 28 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು

ಸೂಚನೆ: 4n ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು(equation) ಒಂದೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿದೆ (Linear equation) ಮುಂದೆ ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅರಿಯಲು:

ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ತಿಳಿಯುವುದಕ್ಕೂ ಈ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಗೂ ಏನಪ್ಪಾ ನಂಟು ಅಂದ್ಕೊಂಡ್ಬಿಟ್ರಾ!?

ಬನ್ನಿ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ತಿಳಿಯೋಣ!

ಉದಾಹರಣೆ 3: ನೀವು 2 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರವಿದ್ದೀರಿ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ ಹಾಗು ನೀವು ಒಂದು ಕಲ್ಲನ್ನು 14 m/s ವೇಗದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯುತ್ತೀರ, ಆ ಕಲ್ಲು ನೆಲಕ್ಕೆ ಬೀಳಲು ಎಷ್ಟು ಹೊತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿದುಬರುವುದೇನೆಂದರೆ ನಮ್ಮ ನೆಲದ ರಾಶಿಸೆಳೆತವು g =9.8 m/s² ರಷ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎಸೆದ ವಸ್ತುವು ತಲುಪುವ ಎತ್ತರವನ್ನು h = h1 + ut –1/2(gt²) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದಾಗಿದೆ. ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ h1 = ನಿಮ್ಮ ಎತ್ತರ = 2 m, u = ಎಸೆದ ಮೊದಲ ವೇಗ (Initial velocity) = 14 m/s, ಕಲ್ಲು ನೆಲಕ್ಕೆ ಬೀಳುವಾಗ ಎತ್ತರ h = 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Equation) h = h1 + ut –1/2(gt²) ಯನ್ನು 0 = 2 + 14t –1/2(9.8 t² ) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು

2 + 14t -1/2(9.8 t² ) = 2 + 14t -4.9 t² = 0 ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ ನಮಗೆ t= 3.058 seconds ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಸೆದ ಕಲ್ಲು ನೆಲವನ್ನು ತಲುಪಲು 3.058 ಸೆಕೆಂಡ್‍ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು!

ಸೂಚನೆ: 2 + 14t -4.9 t² ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು(equation) ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿದೆ (Quadratic equation) ಮುಂದೆ ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಹಾಗು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ಬಗೆಯನ್ನು ಮುಂದಿನ ಬರಹಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಗಣಿತದ ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು (Higher Education) ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿಯಲು:

ನಾವು ಯಾವುದೇ ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಮೊದಲಹಂತದ ಅರಿವು ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲೇ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದರೆ ನಂತರದ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಕಲಿಕೆಯು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೆರೆಯರಿಮೆ (Geometry) ಮತ್ತು ಅಂಕೆಯರಿಮೆಯಲ್ಲಿ (Arithmetic) ಕೂಡ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ 1 ರಿಂದ n ವರೆಗೆ ಎಣಿಯನ್ನು(ಅಂಕೆ) ಸುಲಭವಾಗಿ ಕೂಡಲು S = (n²+n)/2 ಎಂಬ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು(Algebraic Equation) ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುವುದು ಮಾರ್ಪುಕವಾಗಿದೆ (Variable), ಅಂದರೆ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಅಂಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಾವು 1 ರಿಂದ 100 ರ ವರೆಗೆ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಕೂಡೋಣ, ಇಲ್ಲಿ S ಎಂಬುವುದು ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ

S = (n²+n)/2 = (100²+100)/2 = (10000+100)/2 = (10100)/2 = 5050 ಆಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಹಲವಾರು ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು:

ಯಾವುದೇ ಅರಿಮೆಯ ಅರಕೆಗಳು(ಸಂಶೋಧನೆಗಳು) ಹೊಸತನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತವೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳು ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಅರಕೆಯಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಭೂಮಿಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುತ್ತಿರುವ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲಿನ ಬಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹೀಗೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Algebraic Equation) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಲ (Force) F = GMm1/(R+h)²

M = ನೆಲದ ರಾಶಿ

m2 = ವಸ್ತುವಿನ ರಾಶಿ

G = ನೆಲೆಬೆಲೆ (Constant)

R = ನೆಲದ ದುಂಡಿ (Radius of Earth)

h = ನೆಲದ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಂದ ಅದರ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುತ್ತಿರುವ ವಸ್ತುವಿನ ನಡುವಿರುವ ದೂರ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಅಂಶಗಳು:

1. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು (Algebraic Expression):

ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(equation) 3x²– 2xy + 6 ನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಏರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಎಳೆ ಎಳೆಯಾಗಿ ತಿಳಿಯೋಣ.

ಮಾರ್ಪುಕ (Variables): ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಲ್ಲಿ (equation) ಮಾರ್ಪಡುವ ಅಥವಾ ಬದಲಾಗುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬರಿಗೆಗೆ (Letters) ಮಾರ್ಪುಕ ಎಂದು ಕರೆಯುವರು.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಗಳು ಮಾರ್ಪುಕಗಳಾಗಿವೆ. ಮಾರ್ಪುಕವೆನ್ನುವುದು ತಿಳಿಯದ ಬೆಲೆ (Unknown Value) ಅಥವಾ ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬೆಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದ್ದೇವಲ್ಲವೇ, ಅಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ 4n ಅಲ್ಲಿ n ಎಂಬುವುದು ಮಾರ್ಪುಕವಾಗಿದೆ.

ಒಡಬೆಲೆ (Coefficient): ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಪುಕಗಳ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಇರುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಒಡಬೆಲೆ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ x²ಮಾರ್ಪುಕದ ಒಡನೆ ಇರುವ ಬೆಲೆ 3 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು xy ಮಾರ್ಪುಕಗಳ ಒಡನೆ ಇರುವ ಬೆಲೆ 2 ಆಗಿದೆ. ಒಡಬೆಲೆಯು ಇಡಿಯಂಕೆ (whole number) ಅಥವಾ ಪಾಲುಗಳು (fractions) ಆಗಬಹುದು. ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ 1.5x²– (2/3)xy + 8 , ಇಲ್ಲಿ ಒಡಬೆಲೆಗಳು 1.5 ಮತ್ತು 2/3 ಆಗಿವೆ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ (Algebraic Term): ಯಾವುದೇ ಒಡಬೆಲೆ(Coefficient) ಮತ್ತು ಮಾರ್ಪುಕದ(Variables) ಜೊತೆಯನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ 3x² ಮತ್ತು 2xy ಎಂಬುದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳಾಗಿವೆ.

ನೆಲೆಬೆಲೆ (Constant) : ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಪುಕಗಳಿಲ್ಲದ (Without Variables) ಮತ್ತು ಬದಲಾಗದ ನೆಲೆಸಿರುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು (Constant Value) ನೆಲೆಬೆಲೆ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ 6 ಎಂಬುವುದು ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ. ನೆಲೆಬೆಲೆಯು ಇಡಿಯಂಕೆ (whole number) ಅಥವಾ ಪಾಲುಗಳು (fractions) ಆಗಬಹುದು. ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ 6x²– 3.33xy + 7.8 ಇಲ್ಲಿ ನೆಲೆಬೆಲೆ 7.8 ಆಗಿವೆ. ನೆಲೆಬೆಲೆಯನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ನೆಲೆಬೆಲೆಪದ (Algebraic Constant Term) ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು.

ಎಣಿಕೆಬಳಕ (Mathematical Operator): ಯಾವುದೇ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳನ್ನು (Algebraic Terms) ಕೂಡಲು, ಕಳೆಯಲು, ಪಾಲುಮಾಡಲು(ಭಾಗಿಸು), ಪೆಚ್ಚಿಸಲು(ಗುಣಿಸು) ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳಾದ (Mathematical Operators) –, +, x, ÷ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ, 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ – ಮತ್ತು + ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿರುವುದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

ಏರ್ಮಡಿ (Power/Exponent): ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಪುಕದ ತಲೆಯ ಬಲ ಬದಿಯ ಬೆಲೆಯು (Right top Value) ಏರ್ಮಡಿ ಆಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಏರ್ಮಡಿಯು ಮಾರ್ಪುಕವನ್ನು ಹಲಮಡಿಸುತ್ತದೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ (Algebraic Term) 3x² ದಲ್ಲಿರುವ ಮಾರ್ಪುಕದ ತಲೆಯೆಣಿ 2 ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ x² ನ್ನು (x) ಗುಣಿಸು (x) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Algebraic Expression):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ (equation) ಎಲ್ಲಾ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳು (Algebraic Terms), ನೆಲೆಬೆಲೆಗಳು (Constants) ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳನ್ನು (Operators) ಒಟ್ಟಾಗಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ ಅದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ 3x² ಮತ್ತು 2xy ಎಂಬುದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳಾಗಿವೆ, – ಮತ್ತು + ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳಾಗಿವೆ ಹಾಗು 6 ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ, ಇವೆಲ್ಲವನ್ನು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ ಎನ್ನಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ 3x²– 2xy + 6 ಎಂಬುದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಇನ್ನು ಸುಳುವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ,

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ = ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ1 (- ಅಥವಾ +)ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ2 (- ಅಥವಾ +) …… (- ಅಥವಾ +) ನೆಲೆಬೆಲೆಗಳು.

ಪಟ್ಟುಕ (Factors): ಒಂದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದದ ಪಟ್ಟನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟುಕ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಮಾರ್ಪುಕಗಳು (Variables) ಮತ್ತು ಒಡಬೆಲೆಗಳು(Coefficients) ಪಟ್ಟುಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x²– 2xy + 6 ಯಲ್ಲಿ 3x² ನ ಪಟ್ಟುಕಗಳು 3, x, x ಮತ್ತು 2xy ನ ಪಟ್ಟುಕಗಳು 2,x,y ಆಗಿವೆ. ನೆಲೆಬೆಲೆಯನ್ನು ಕೂಡ ಪಟ್ಟುಕಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾದ 6 ನ್ನು 2, 3 ಎಂದು ಪಟ್ಟುಕಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ1: ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Algebraic Expression) 5x²+ 7xy – 10 ನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರೆದು ಅದರ ಅಡಕಗಳನ್ನು(ಅಂಶಗಳನ್ನು) ಗುರುತಿಸಿ.

5x²+ 7xy – 10 ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬಿಡಿಸಿ ಗುರುತಿಸೋಣ.

1. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಬಗೆಗಳು (Types of algebraic Expression)

ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಒಂಟಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Monomial Algebraic Expressions).

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವನ್ನು(Single Term) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಒಂಟಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 4y² ನ್ನುತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಮೇಲೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ (Algebraic Term) ಎಂದರೇನು ಅಂತ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, 4y² ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಅಥವಾ ಒಂಟಿ (Mononomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು ಒಂದು ಅಥವಾ ಒಂಟಿ (Mononomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿವೆ.

5m⁴n, 2ax/3y, k⁵, 10ab³

ಎರಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Binomial Algebraic Expressions):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಎರಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 5y²+ 2x ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, 5y²+ 2x ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು 5y² ಮತ್ತು 2x ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಎರಡು (Binomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಮೂರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Trinomial Algebraic Expressions):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಮೂರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 6y³ + 2xy + 1.5x ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, 6y³ + 2xy + 1.5x ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಮೂರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು 6y³ , 2xy ಮತ್ತು 1.5x ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಮೂರು (Trinomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Polynomial Algebraic Expressions):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಹಲವು ಎಂಬುವುದು ಒಂಟಿ (Monomial), ಎರಡು (Binomial), ಮೂರು (Trinomial) ಹಾಗು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 5x³+ 6xy + 3y + 4.5x ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, 5x³+ 6xy + 3y + 4.5x ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು 5x³, 6xy, 3y ಮತ್ತು 4.5x ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ(Polynomial Algebraic Equation).

ಉದಾಹರಣೆ2: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ (Algebraic Terms) ಪದಗಳು ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Algebraic Expressions).

4y² –> ಒಂಟಿ (Monomial) ಮತ್ತು ಹಲವು (Polynomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ ಕೂಡ.

5y²+ 2x –> ಎರಡು (Binomial) ಮತ್ತು ಹಲವು (Polynomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ ಕೂಡ.

6y³ + 2xy + 1.5x –> ಮೂರು (Trinomial) ಮತ್ತು ಹಲವು (Polynomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ ಕೂಡ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆಗಳು (Types of algebraic equations):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಗೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳನ್ನೆಲ್ಲಾ ಸೇರಿಸಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಮಟ್ಟ (Degree): ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಅದರ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿಯೊಂದಿಗೆ (Highest Exponent or Power) ಅಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಈ ಅಳವನ್ನು ಮಟ್ಟ ಅಥವಾ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಮಟ್ಟ (Degree of an equation) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಬಗೆಯನ್ನು ನೋಡಬಹದು.

ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಹಲವೇರ್ಮಡಿ(Polynomial) ಎಂದು ಕರೆಯಬೇಕಾದಲ್ಲಿ ಅದರ ಏರ್ಮಡಿಯ(Exponent) ಮಟ್ಟ 0, 1, 2,3 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಇಡಿಯಂಕೆ (whole number) ಆಗಿರಲೇಬೇಕು , ಏರ್ಮಡಿಯು ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಕಮ್ಮಿ ಇದ್ದರೆ (Negative Number) ಅದು ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಹಲವು ಬಗೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಈ ಕೆಳಕಂಡ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ತಿಳಿಯೋಣ.

1. ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Polynomial Equation):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations)	ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ	ಮಟ್ಟ (Degree)	ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು
1. ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Polynomial Equation)	P(x) = 0, ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು.	ಹಲಮಟ್ಟ (Any Degree)	ಇಲ್ಲಿ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಏರ್ಮಡಿಯನ್ನು (Exponent) ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ, ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.
1.1 ಒಂದೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Linear Equations)	ax + b = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0	1	2x + 3 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 1 ಆಗಿದೆ
1.2 ಎರಡೇರ್ಮಡಿ (Quadratic Equations)	ax² + bx + c = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0	2	x² + 3x – 6 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 2 ಆಗಿದೆ
1.3 ಮೂರೇರ್ಮಡಿ (Cubic Equations)	ax³ + bx² + cx + d = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0	3	4X³ + 5x² – 7x +8 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 3 ಆಗಿದೆ
1.4 ನಾಲ್ಕೇರ್ಮಡಿ (Quartic Equations)	ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0	4	7X⁴ – 3x³ + 4x²– 2x +9 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 4 ಆಗಿದೆ
1.5 ಸರಿ-ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Biquadratic Equations)	ax⁴ + bx² + c = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0, t = x² ಎಂದು ಹೊಂದಿಸಿ ಬರೆದಾಗ at² + bt + c ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಎರಡೇರ್ಮಡಿ(Quadratic Equations) ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ ಸಿಕ್ಕಿತು.	2	5x⁴ + 3x² +7 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಏರ್ಮಡಿಗಳು 4 ಮತ್ತು 2 ಆಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೆಸವೆಣಿಕೆ ಏರ್ಮಡಿ (Odd number exponent) ಕಂಡುಬರುವದಿಲ್ಲ, ಇದನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸಿ ಬರೆದಾಗ 5t² + 3t + 7 ನಲ್ಲಿ “t” ಯ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 2 ಆಗಿದೆ.

2. ಸುಳುವಾಗಿಸಬಲ್ಲ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Rational Polynomial Equation):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations)

ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ

ಮಟ್ಟ

(Degree)

ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು

2. ಸುಳುವಾಗಿಸಬಲ್ಲ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Rational Polynomial Equation)

P(x)/Q(x) = 0, ಇಲ್ಲಿ P(x) ಮತ್ತು Q(x) ಹಲವೇರ್ಮಡಿ
ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation)

ಹಲಮಟ್ಟ
(Any Degree)

6x³/(1+ x²) + 2x/(3+ X⁴) = 0 ಈ ರೀತಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಸುಳುವಾಗಿಸಿ ಬರೆಯಬಹುದಾಗಿದೆ,
ಸುಳುವಾಗಿಸಿದ ನಂತರ ಇವುಗಳು ಯಾವುದೇ ಏರ್ಮಡಿಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ 6x³/(1+ x²) ಮತ್ತು 2x/(3+ X⁴) ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation).

3. ಸುಳುವಲ್ಲದ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Irrational Polynomial Equation):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations)	ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ	ಮಟ್ಟ (Degree)	ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು
3. ಸುಳುವಲ್ಲದ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Irrational Polynomial Equation)	p(x)/ (Q(x))¹^/ⁿ = 0, ಇಲ್ಲಿ P(x) ಮತ್ತು Q(x) ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation), n ಎಂಬುದು ಹಲಮಡಿ ಬೇರಾಗಿದೆ(n^throot).	ಹಲಮಟ್ಟ (Any Degree)	8x³/(1+ x²) + √(2x/ (9+ X⁸)) = 0,ಈ ರೀತಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಅಷ್ಟು ಸುಳುವಾಗಿ ಬರೆಯಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ ಹಾಗು ಇವುಗಳು ಯಾವುದೇ ಏರ್ಮಡಿಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ 8x³/(1+ x²) ಮತ್ತು √(2x/ (9+ X⁸)) ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation).

4. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಮೀರಿದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು (Transcendental Equations):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations)	ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ	ಮಟ್ಟ (Degree)	ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು
4. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಮೀರಿದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು ( Transcendental Equations)	P(x) ಮತ್ತು Q(x) à ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation) 1.ಏರ್ಮಡಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(Equation of exponential algebraic expressions):P(x)^Q⁽^x2.ಇಳಿಮಡಿ(inverse exponentiation) ಅಥವಾ ಲಾಗರಿದಮಿಕ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(Equations of logarithmic Algebraic Expressions): log(P(x)) 3. ಮುಕ್ಕೋನದರಿಮೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(Equation of Trigonometric algebraic expressions):Cos(P(x)), Sin(P(x)), tan(P(x))	ಹಲಮಟ್ಟ (Any Degree)	1.ಏರ್ಮಡಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ: (2+x)⁽¹⁺^x⁾2.ಇಳಿಮಡಿ(inverse exponentiation)ಅಥವಾ ಲಾಗರಿದಮಿಕ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ: log(3+x) 3.ಮುಕ್ಕೋನದರಿಮೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ: Cos(1+x), Sin(3+x), tan(4+x) ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 1+x, 2+x, 3+x, 4+x ಗಳು ಒಂದೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ1: ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿರುವ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಬಳಕೆಯ ಬಗೆಗಳು:

ಕಲಿಕೆಯೇರ್ಪಾಡನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು.

1. ಮೊದಲ ಹಂತದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಸುಳುವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Elementary Algebra)

ಸುಮಾರು ಏಳನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಹತ್ತನೇ ತರಗತಿಯವರೆಗೆ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಕಲಿಸಬಹುದಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ.

2. ಸುಳುವಲ್ಲದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಮೇಲು ಹಂತದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Higher Level Algebra)

ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಯಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಹಲವು ಅರಿಮೆಗಳಲ್ಲಿ (Field of science) ಬಳಸಬಹುದಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ. ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಹಲವು ಕವಲುಗಳಾದ ಗೆರೆಯರಿಮೆ (Geometry), ಅಂಕೆಯರಿಮೆ(Arithmetic), ಮಾರ್ಪಡುವಿಕೆ (Differentiation), ಕೂಡಿಕೆ (Integration), ಒಗ್ಗೂಡಿಕೆಯರಿಮೆ (Combinatorics), ಹಿಡಿತದ ಕಟ್ಟಳೆ (Control theory) ಹಾಗು ಇನ್ನಿತರ ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳಾದ(Field of science) ಬಿಡಿ ಕಟ್ಟಲೆ (Quantum theory), ಬಿಡಿ ಕದಲರಿಮೆ(Quantum mechanics), ಕಾವರಿಮೆ (Thermodynamics), ಹೋಲು ಕಟ್ಟಲೆ (Relativity) ಹಾಗು ಇನ್ನಿತರ ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಬಳಕೆಯ ಮೇಲೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹಲವು ಬಗೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಕಂಡ ಬಗೆಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

1. ಸುಳುವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Elementary Algebra):

ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತವನ್ನು ತಿಳಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಸುಳುವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಆಯವಿಲ್ಲದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Abstract algebra):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗುಂಪರಿಮೆ (group theory), ಉಂಗುರ (Rings) , ನೆರಕೆ (Sets), ಅಣಿಮಣೆ(Matrix) ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ (Fields of mathematics) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3. ಒಮ್ಮಟ್ಟವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Linear Algebra):

ಈ ಬಗೆಯ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಒಂದೆರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Linear equation), ಅಣಿಮಣೆ (Matrix) ಮತ್ತು ತೂಗೆಡೆಗಳ (Vectors) ಕಲೆತವನ್ನು (Calculation) ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Computer Algebra):

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿಎಸಗುಬಗೆ (Algorithms) ಮತ್ತು ಹಮ್ಮುಗಾರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ (Programming) ಬಳಸುವ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಬಗೆಯನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹದು.

5) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಗೆರೆಯರಿಮೆ (Algebraic Geometry):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಗೆರೆಯರಿಮೆಯು ಹಲವು ಬಗೆಯ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅರಕೆಮಾಡಲು, ಗೆರೆಯರಿಮೆಯ ಸುಳುವಲ್ಲದ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು (Complex Geometric problems) ಬಗೆಹರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಬಗೆಯಾಗಿದೆ

6). ನಂಟಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Relational Algebra):

ನಂಟಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಂಟಿನ ನೆರೆತಿಳಿಹದ (Relational Database) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಬಗೆಯಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಕಟ್ಟಳೆ (Group theory), ನೆರಕೆ(Sets), ನಂಟರಿಮೆ(Relation), ಕೇಳ್ವಿ ಎಣ್ಣುಕನುಡಿ (Query Language) ಗಳನ್ನು ಈ ಬಗೆಯ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಹಳಮೆ:

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು (Babylonians) ಬರಿಗೆಯಣಿಕೆಯ ಕಲೆತವನ್ನು(Calculation) ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು, ಇದಕ್ಕೆ ಕುರುಹಾಗಿ 1800 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಬಳಕೆಮಾಡಿದ ಸ್ಟ್ರಾಸ್ಬರ್ಗ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್ (Strassburg tablet Inscription) ಮತ್ತು ಲಿಂಪ್ಟನ್322 (Plimpton 322) ಎಂಬ ಮಣ್ಣುಗಟ್ಟಿ ಬರಹ (Clay Tablet Inscription) ಸಿಕ್ಕಿರುತ್ತದೆ.

ಬರ್ಲಿನ್ ಪ್ಯಾಪಿರಸ್ 6619 (ಈಗಿನ ಹೆಸರು) ಎಂಬ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ನಡು ಅರಸೊತ್ತಿಗೆಯ(Middle Kingdom: 2055 B.C-1650 B.C) ಬರಹವು ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳ (Quadratic Equation) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
800 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಬೌದಾಯನನ ಸುಲಭ ಸೂತ್ರವು ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳ (Quadratic Equation) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
300 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಡಕದಲ್ಲಿ (Euclids Elemets) ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು (Quadratic Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
100 B.C ಜಿಯುಜಾಂಗ್ ಸುವಾನ್ಶು (Jiuzhang suanshu) ಎಂಬ ಚೀನಿಯರ ಬರಹವು ಒಂದೇರ್ಮಡಿ (Linear), ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳ(Quadratic Equation) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
100 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ(Mathematician) ಹೆರೋ(Hero/Heron) ಕಳೆತದೆಣಿಯ ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸೆಲೆಯ (Square root of negative number) ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆ ಮಾಡಿದ್ದನು.
200 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಡಯೋಪಾಂಟಸ್ (Diophantus) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Algebraic Equation) ಮತ್ತು ಎಣಿಕಟ್ಟಳೆ (Number Theory) ಬಗ್ಗೆ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ ಅರಿತ್ಮೆಟಿಕಾದಲ್ಲಿ (Arithmetica) ತಿಳಿಸಿದ್ದನು.
500 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಉಜ್ಜಯಿನಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನು ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು (Quadratic Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿದ್ದನು.
800 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪರ್ಶಿಯಾದ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಅಲ್- ಕ್ವಾರಿಜ್ಮಿ (Al-Khwarizmi) ಒಂದೇರ್ಮಡಿ (Linear), ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು (Quadratic Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಹಲವಾರು ಇಟ್ಟಳ/ರಚನೆ (Fundamental of algebraic structure) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತಾನೆ. ಅವನನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ತಂದೆ (Father of Algebra) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತೇ?, ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾ (Algebra) ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಅಲ್- ಕ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಪುಸ್ತಕ ಅಲ್-ಕಿತಾಬ್ ಅಲ್-ಜಬರ್ ವಾ-ಅಲ್- ಮುಕಾಬಲ (Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala)ದಿಂದ ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ!. ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾಕ್ಕೆ ಮೊದಲಿಗಿದ್ದ ಹೆಸರು ಅಲ್-ಜಾಬ್ರ್ (Al-Jabr), ನಂತರದಲ್ಲಿ ಯೂರೋಪಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರು ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಎಂದು ಕರೆದರು. ‘ತುಂಡಾದ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಮರು ಸೇರಿಸುವುದು’ ಎಂಬುವುದು ಅಲ್-ಜಾಬ್ರ್ ಪದದ ಹುರುಳು.
1000 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪರ್ಶಿಯಾದ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಅಬು ಸಹಲ್ ಅಲ್-ಕುಹಿ (Abū Sahl al-Qūhī) ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Polynomial Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ.
1200 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಕರ್ನಾಟಕದ ವಿಜಯಪುರದ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯನು ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸೆಲೆಯನ್ನು (Two types of square root) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ.
1200 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಇಟಲಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಪಿಬೊನಾಕಿ (Leonardo Fibonacci) ಹಲವಾರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು ತನ್ನದೇಯಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ.
1540-1603 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪ್ರಾನ್ಸಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಪ್ರಾನ್ಸಿಸ್ಕಸ್ ವಿಯೆಸ್ಟಾ (Franciscus Vieta) ಎರ್ಮಡಿಗಳನ್ನು (Exponent) ಗುರುತಿಸಲು ಹಲವಾರು ಗುರುತುಗಳನ್ನು (Symbols) ಬಳಸುತ್ತಾನೆ.
1596 -1650 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪ್ರಾನ್ಸಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ರೇನ್ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ (René Descartes) ಅರಿವುಮೀರಿದೆಣಿಯ (Imaginary Number i = √-1) ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲಬಾರಿಗೆ ದೊಡ್ಡಮಟ್ಟದ ಹಲವು ಅರಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾನೆ.
1777-1855 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಜರ್ಮನಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಕಾರ್ಲ್ ಪ್ರೀಡ್ರಿಚ್ ಗಾಸ್ (Carl Friedrich Gauss) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಅಡಿಪಾಯದ ಕಟ್ಟಳೆ (Fundamental theorem of algebra)ಯ ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆಮಾಡುತ್ತಾನೆ.
20 ನೂರರ ಹೊತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ಅರಕೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ನಡೆಯುತ್ತಲೇ ಇವೆ!.

(ಸೆಲೆಗಳು: study.com, tutorvista.com, vitutor.com, math-only-math.com, byjus.com, en.wikipedia.org, 8. 7th standard Mathematics text book, Karnataka state syllabus, tutorial.math.lamar.edu, math.stackexchange.com)

ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Quadrilaterals) ಭಾಗ-2

By admin 23/03/2017 08/04/2018 ಗಣಿತ

ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಬದಿಗಳು ಎಂದರೇನು, ಅವುಗಳ ಹಲವು ಬಗೆಗಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹಿರಿಮೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡೆವು. ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆದು ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter), ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು (Area), ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು(Angles) ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ ಹಾಗು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹಳಮೆಯನ್ನು (History of Quadrilaterals) ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ, ಮೂಲೆ, ಹರವುಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

1. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ (Perimeter of the Quadrilaterals):

ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಆದರ ಬದಿಗಳು AD, DC, CB ಮತ್ತು BA ಆಗಿವೆ ಹಾಗು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ P ಆಗಿರಲಿ.

ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = AD + DC + CB + BA

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಕೆಳಗಿನ ADCB ಗಾಳಿಪಟವನ್ನು (Kite) ತೆಗೆದ್ದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬದಿಗಳು AD = 2cm, DC = 4cm, CB = 4cm ಮತ್ತು BA = 2cm ಆಗಿವೆ ಹಾಗು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ P ಆಗಿರಲಿ.

ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = AD + DC + CB + BA = 2 + 4 + 4 + 2 = 12cm

∴ ಗಾಳಿಪಟ ADCB ಯ ಸುತ್ತಳತೆ P = 12cm

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಹರಳಾಕೃತಿ (Rombus) ADCB ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಅದರ ಒಂದು ಬದಿ AB = 3cm ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯೆಷ್ಟು?

ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ನಾವುಗಳು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಹರಳಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ,

∴ AD = DC = CB = BA = 3cm.

ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = AD + DC + CB + BA = 3 + 3 + 3 + 3 = 12cm.

∴ ಹರಳಾಕೃತಿ ADCB ಯ ಸುತ್ತಳತೆ P = 12cm.

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಕೆಳಗಿನ ಒಂದು ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿ (Tangential quadrilateral) ABCDಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬದಿಗಳು DA = 7cm, CD = 4.5cm, BC = 2.5cm ಆದಾಗ ಅದರ ಬದಿ AB ಯ ಉದ್ದವೆಷ್ಟು?

ಒಂದು ದುಂಡುಕದ (Circle) ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ತಗಲುಗೆರೆಗಳು (Tangent lines) ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಾಗ ಅದು ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಇನ್ನೊಂದು ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

∴ ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತ AD + BC = DC + AB.

ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿ (Tangential quadrilateral) ABCDಯ ಬದಿಗಳು DA = 7cm, CD = 4.5cm, BC = 2.5cm.

⇒ 7 + 2.5 = 4.5 +AB

⇒ 9.5 = 4.5 + AB

⇒AB = 9.5 – 4.5 = 5cm

∴ ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿ ABCD ಯಲ್ಲಿ AB ಬದಿಯ ಉದ್ದ 5cm ಆಗಿದೆ.

2. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ.

ಹೇಳಿಕೆ: “ಯಾವುದೇ ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ”.

ತೋರಿಸಿಕೆ (Proofs):

ABCD ಎಂಬ ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ AC ಎಂಬ ಒಂದು ನಡುಗೆರೆಯನ್ನು (Bisector Line) ಎಳೆಯೋಣ

ನಡುಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ .

∠1 + ∠2 = ∠A …… (i)

∠3 + ∠4 = ∠C …… (ii)

ನಡುಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆದಾಗ ನಮಗೆ ∆ABC ಮತ್ತು ∆ACD ಎಂಬ ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳು (Triangles) ಸಿಗುತ್ತದೆ.

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಯಾವುದೇ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಯ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

∴ ∆ABC ಯಲ್ಲಿ

∠2 + ∠4 + ∠B = 180°

∴ ∆ACD ಯಲ್ಲಿ

∠1 + ∠3 + ∠D = 180°

∆ABC ಮತ್ತು ∆ACD ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿದಾಗ ∠2 + ∠4 + ∠B + ∠1 + ∠3 + ∠D = 360° ಆಗುತ್ತದೆ.

⇒ (∠1 + ∠2) + ∠B + (∠3 + ∠4) + ∠D = 360°

⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° [(i) ಮತ್ತು (ii) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ]

∴ ಯಾವುದೇ ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯ (Simple Quadrilateral) ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಕೆಳಗಡೆ WZYX ಎಂಬ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Cyclic quadrilateral) ಮೂಲೆ ∠WXY = 106° ಮತ್ತು ಮೂಲೆ ∠XYZ = 87° ಆದಾಗ ಅದರ ಉಳಿದೆರಡು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ತುದಿಗಳು (Vertices) ದುಂಡುಕದ ಮಯ್ಯನ್ನು (Circumference) ತಗಲಿದಾಗ ಅದು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಹಾಗು ಯಾವುದೇ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

∴ ∠WXY + ∠YZW= ∠XYZ+ ∠ZWX= 180°

106° + ∠YZW = 87° + ∠ZWX = 180°

∴∠YZW = 180° – 106° = 74°

∴∠ZWX = 180° – 87° = 93°

∴ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಉಳಿದೆರಡು ಮೂಲೆಗಳು ∠YZW = 74° ಮತ್ತು ∠ZWX = 93° ಆಗಿವೆ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ∠WXY + ∠YZW + ∠XYZ+ ∠ZWX = 106° + 74° +87° +93° = 360°

ಅಲ್ಲಿಗೆ ನಾವು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದಂತಾಯ್ತು.

ಉದಾಹರಣೆ 2: BADC ಎಂಬ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ (Parallelogram) ಒಂದು ಮೂಲೆ ∠ABC = 120° ಆದಾಗ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಯಾವುದೇ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಮೂಲೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.

∴∠ABC = ∠CDA ಮತ್ತು ∠DAB = ∠BCD

ಇಲ್ಲಿ ∠ABC =120° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ∠CDA = ∠ABC =120° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವುಗಳು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

∴∠ABC + ∠CDA + ∠DAB + ∠BCD =360°

∴120° + 120° + ∠DAB + ∠BCD =360°

∠DAB + ∠BCD = 360° – 120° -120° = 120°

ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ∠DAB = ∠BCD ಆಗಿದೆ.

∴∠DAB+ ∠DAB = 120° = 2 x ∠DAB = 120°

∴ ∠DAB = 120°/2 = 60 ° ಮತ್ತು ∠BCD = ∠DAB = 60°

∴ BADC ಎಂಬ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳು ∠ABC = 120° , ∠CDA = 120° , ∠DAB = 60° , ∠BCD = 60° ಆಗಿವೆ.

3. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ (Area of Quadrilateral)

ನಾವು ಹಿಂದೆ ಚೌಕ ಎಂಬ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಚೌಕದ ಹರವಿನ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದೆವು, ಚೌಕದ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಹರವನ್ನು ಬದಿ x ಬದಿ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಆಯತದ ಹರವನ್ನು ಉದ್ದ x ಅಗಲ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬಗೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬದಿಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾಗ ಚೌಕ ಮತ್ತು ಆಯತದಂತೆ ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗದು. ಹಾಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸರಿಹೋಗುವಂತೆ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Equation) ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ನಾಲ್ಬದಿ (Quadrilateral): ABCD

ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು (Diagonals): p,q

ಬದಿಗಳು: AD = d, DC = c, CB = b, BA = a

ಅರೆಸುತ್ತಳತೆ (Semi-Perimeter) s = 1/2 x (a + b + c + d ).

ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಮೂಲೆ: θ

ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬಗೆಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳ ಬದಿಗಳು, ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಆಯಾ ನಾಲ್ಬದಿಗೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Equation) ಸರಳವಾಗಿಸಿ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಹಾಗು ಅವುಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಬಳಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ABCD ಸಾಟಿ ಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Trapezoid) ಸಾಟಿಬದಿಗಳು (Parallel sides) b1 = 10cm, b2 = 8cm ಆಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರ h = 5cm ಆದಾಗ ಅದರ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸಾಟಿ ಬದಿಗಳು (Parallel side) b1 = 10cm, b2 = 8cm , ಎತ್ತರ h = 5cm

ಸಾಟಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು A = 1/2 x ಎತ್ತರ x (ಸಾಟಿಬದಿ1 + ಸಾಟಿಬದಿ2) = 1/2 x h x (b1 + b2)

A = 1/2 x 5 x (10 + 8) = 1/2 x 5 x (18) = 90/2 = 45 cm²

∴ ABCD ಸಾಟಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು 45 cm²ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಟ್ಟಡವು ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿದೆ (Parallelogram), ಅದರ ಒಂದು ಗೋಡೆಯ (wall) ಸಾಟಿಬದಿಯ ಬುಡವು (Parallel base) 25m ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 15m ಆದಾಗ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಗೋಡೆಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಟ್ಟಡದ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುವ ಗೋಡೆಯನ್ನು ABCD ಎಂದು ಗುರುತಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ,

ಸಾಟಿಬದಿಯ ಬುಡ BC = AD = 25m, ಎತ್ತರ = 15m.

ಸಾಟಿಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು A = ಬುಡ x ಎತ್ತರ = b x h.

A = 25 x 15 = 375 m²

∴ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಟ್ಟಡದ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುವ ಗೋಡೆ ABCD ಯ ಹರವು 375 m²ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಗಾಳಿಪಟದ ಎದುರು ತುದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಉದ್ದಗಳು AC = 2 ft ಮತ್ತು BD = 1.5 ft ಆಗಿವೆ, ಬಾನಂಗಳದಲ್ಲಿ ಹಾರುತ್ತಿರುವ ಈ ಅಂದವಾದ ಬಣ್ಣ ಬಣ್ಣದ ಗಾಳಿಪಟದ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಗಾಳಿಪಟವನ್ನು ABCD ಎಂದು ಗುರುತಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಗಾಳಿಪಟದ ಎದುರು ತುದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಉದ್ದಗಳು AC = d1 =2 ft ಮತ್ತು BD = d2 =1.5 ft ಅದರ ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳಾಗಿವೆ (Diagonals).

ಗಾಳಿಪಟದ ಹರವು A = 1/2 x ಮೂಲೆಗೆರೆ1 x ಮೂಲೆಗೆರೆ2 = 1/2 x d1 x d2

A = 1/2 x d1 x d2 = 1/2 x 2 x 1.5 = 1.5 ft²

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಈ ಅಂದವಾದ ಬಣ್ಣ ಬಣ್ಣದ ಗಾಳಿಪಟ ABCD ಯ ಹರವು 1.5 ft²ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4: ABCD ಎಂಬ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ (Cyclic Quadrilateral) ಬದಿಗಳು AB = 3.5cm, BC = 3cm, CD = 2.5cm, DA = 1.5cm ಆಗಿವೆ, ಇದರ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ತುದಿಗಳು (Vertices) ದುಂಡುಕದ ಮಯ್ಯನ್ನು (Circumference) ತಗಲಿದಾಗ ಅದು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB = a = 3.5cm, BC = b = 3cm, CD = c = 2.5cm, DA = d = 1.5cm ಆಗಿವೆ.

ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು A = √(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)

ಇಲ್ಲಿ s ಎಂಬುದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಅರೆಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿದೆ (Semi-Perimeter), ಹಾಗು s = 1/2 x (a + b + c + d)

s = 1/2 x (3.5 + 3 + 2.5 + 1.5) = 10.5/2 = 5.25cm

A = √( s−a)(s−b)(s−c)(s−d) = √(5.25 – 3.5)(5.25 − 3)(5.25 – 2.5)(5.25 – 1.5) = √(1.75)(2.25)(2.75)(3.75)

A = √40.60546875 = 6.37225 cm ²

∴ ABCD ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು 6.37225 cm ²ಆಗಿದೆ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹಳಮೆ

ಸುಮಾರು 300 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕಿನ ಹೆಸರಾಂತ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ (Mathematician) ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಹೊತ್ತಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಡಕದಲ್ಲಿ (Euclid’s Elements) ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

(ಯೂಕ್ಲಿಡ್)

ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು (Babylonians) ಹಲವು ಬಗೆಯ ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಹರವನ್ನು (Area of Quadrilatreal) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತಿದ್ದರು.
ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪೆರೋ (Pharaoh) ಅರಸರು ಸುಮಾರು 2700 BC ಇಂದ 500 BC ಗಳವರೆಗೆ ಪಿರಮಿಡ್ಡುಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟಲು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಬುಡವನ್ನು (Quadrilateral Base) ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು,
ಉಜ್ಜಯಿನಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನು (~500 A.D) ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವಿನ ( Area of Cyclic Quadrilateral) ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆಮಾಡಿದ್ದನು.

ಪೈತಾಗೋರಸ್ (500 B.C) ಒಬ್ಬ ಗ್ರೀಕಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ. ಅವನು ತನ್ನ ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ (Right Angle Triangle) ಕಟ್ಟಲೆಯನ್ನು ಒರೆಹಚ್ಚಲು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದ.

ಚಟುವಟಿಕೆ:

ನೀವು ದಿನಾಲೂ ಕಾಣುವ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕರಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಯಾವ ಬಗೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿರಿ. ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

(ಸೆಲೆಗಳು: socratic.org, thefamouspeople.com , cgm.cs.mcgill.ca , mathsisfun.com , wikipedia.org, geom.uiuc.edu , staff.argyll.epsb.ca )

ಪಾಲುಗಳು (fractions) – ಭಾಗ 2

By admin 22/11/2016 25/10/2022 ಗಣಿತ

ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳೆಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂರು ಬಗೆಗಳಾದ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳು, ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳು ಹಾಗು ಬೆರಕೆ ಪಾಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡೆವು, ಇನ್ನೂ ಮುಂದುವೆರೆದು ಅದರ ಮತ್ತಿತರ ಬಗೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

4. ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳು (Equivalent fractions):

ಯಾವುದೇ ಒಂದಿಷ್ಟು ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳನ್ನು ಎರಡು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ, ನಾಲ್ಕು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಮತ್ತು ಎಂಟು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗು ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕದ ಅರ್ಧಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೋಡೋಣ.

(ಗಮನಿಸಿ: ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಾಗ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಅಥವಾ ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡಿದ್ದೇವೆ).

$fractions_2_1$

ಬಗೆ 1:
ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತೊಂದು ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ ಬಂದರೆ ಅವೆರೆಡು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗುತ್ತವೆ.

ಮೊದಲನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/2, ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 4 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (4×1)/(4×2) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 2/4, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 2 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (2×2)/(2×4) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 4/8, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 1 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (1×4)/(1×8) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಹಾಗಾಗಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳ ಬೆಲೆ 4/8 ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಿಯಾಯಿತು ಹಾಗು ಇಲ್ಲಿ ಎಂಟರಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಅಂದರೆ ಅರ್ಧಭಾಗ ಎಂದಾಯಿತು, ಹಾಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕದ ಅರ್ಧ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

ಬಗೆ 2:

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಒಂದನೇ ಪಾಲು, ಪಾಲು1 = ಮೇಲೆಣಿ1/ಕೆಳಗೆಣಿ1 ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲು , ಪಾಲು2 = ಮೇಲೆಣಿ2/ಕೆಳಗೆಣಿ2 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗಳನ್ನು ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿದಾಗ ಮೊತ್ತ1= ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೆಳಗೆಣಿ2 , ಮೊತ್ತ 2= ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೆಳಗೆಣಿ1, ಮೊತ್ತ1 = ಮೊತ್ತ2 ಆದಾಗ ಅವುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ದುಂಡುಕಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡೋಣ.

ಪಾಲು 1/2 ಮತ್ತು 2/4 ಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ

(ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೆಳಗೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೆಳಗೆಣಿ1) 1 x 4 =4 ಮತ್ತು 2 x 2 =4

ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 4 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 1/2 ಮತ್ತು 2/4 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಪಾಲು 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ (ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೆಳಗೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೆಳಗೆಣಿ1) 2 x 8 =16 ಮತ್ತು 4 x 4 =16

ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 16 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಪಾಲು 1/2 ಮತ್ತು 4/8 ಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ (ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೆಳಗೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೆಳಗೆಣಿ1) 1 x 8 =8 ಮತ್ತು 4 x 2 =8, ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 8 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 1/2 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.
ಹಾಗಾಗಿ 1/2 , 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ1:

ಒಂದೇ ಅಳತೆಯ ಮೂರು ಕಾಗದದ ತುಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿಬಣ್ಣವನ್ನು ಬಳಿಯಲಾಗಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾದ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

$fractions_2_2$

ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಮೊದಲ ಬಗೆ1 ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೊದಲನೇ ಕಾಗದದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/3, ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 4 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (4×1)/(4×3) = 4/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/6, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 2 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (2×1)/(2×6) = 2/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 3/12, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗೆ 1 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (1×3)/(1×12) = 3/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಗದದಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬೆಲೆಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬರುವುದರಿಂದ ಮೂರು ಕಾಗದದಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಹಾಗಾಗಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ಪಾಲುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲ.

ಚಟುವಟಿಕೆ2:

1/2, 2/3, 5/7, 6/18, 7/28, 9/4, 9/45, 7/2 ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತಕ್ಕು ಪಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿ.

ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ (Numerator) ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಗಳಿಗೆ (Denominator) ಬಿಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (Whole number) ಗುಣಿಸಿ ಅದರ ಇನ್ನೊಂದು (Multiply) ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 5/7 = (2 x 5)/(2 x 7) = 10/14, ಆದ್ದರಿಂದ 5/7 ರ ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲು 10/14.

ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denminator) ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (Proper fraction).

ಪಾಲೆಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (Improper fraction).

$fractions_2_9$
5. ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು (Like fractions):
ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು (Denominator) ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೂರು ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಚೌಕದ ಎರಡನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

$fractions_2_3$

ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಿದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯೋಣ
• ಒಂದನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 1/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಎರಡನೇ ಚೌಕದ ಎರಡನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 2/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಮೂರನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 3/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಒಂದನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಚೌಕಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು 4 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

6. ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು (Unlike fractions):
ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು (Denominator) ಬೇರೆ ಬೇರೆಯದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೂರು ಆರ್ಬದಿಗಳ (Hexagonal) ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

$fractions_2_4$

• ಮೊದಲನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ಎರಡನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 1/2 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಎರಡನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ಮೂರನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 2/3 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಮೂರನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 3/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಆರ್ಬದಿಯ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು 1/2, 2/3, 3/4, ಇಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು 2, 3 ಮತ್ತು 4 ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ (Unlike Fractions).

ಚಟುವಟಿಕೆ: ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಎರಡು ದುಂಡುಕಗಳು (Circles) ಮತ್ತು ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಎರಡು ದುಂಡುಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ದುಂಡುಕ ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

$fractions_2_5$

• ಮೊದಲನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 3/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ಏಳು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 7/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 4/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 2/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳು 3/8, 7/8, 4/8, 2/4. ಮೊದಲ ಮೂರು ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 8 ಆಗಿದೆ, ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 4 ಆಗಿದ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹಸಿರು ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕವು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:
ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಹೋಲದ ಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು(Unlike fractions) ಕೊಟ್ಟಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಹೇಗೆಂದರೆ ಪಾಲುಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳನ್ನು ಸರಿ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳಾಗಿರುವಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಗುಣಿಸುವಾಗ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯಾ ಪಾಲುಗಳ ಮೇಲೆಣಿಗೂ ಕೂಡ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಆದಾಗ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದಿದಿಯೋ ಅದು ದೊಡ್ಡಪಾಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ ಚಿಕ್ಕದಿದಿಯೋ ಅದು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು 5/6 ಮತ್ತು 4/5 ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಪಾಲು 5/6 = (5 x 5)/(6 x 5) = 25/30 ಮತ್ತು ಪಾಲು 4/5 = (4 x 6)/(5 x 6) = 24/30, ನಾವುಗಳು ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳ ಕೆಳಗೆಣಿಗಳು ಸರಿಬರುವಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಮೊದಲ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 6 ಕ್ಕೆ 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 30 ಆಯಿತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿ 5 ಕ್ಕೆ 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 30 ಆಯಿತು, ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾದವು.

ಮೊದಲ ಪಾಲು 5/6 = 25/30 ನ್ನು ಎರಡನೇ ಪಾಲು 4/5 = 24/30 ಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಮೊದಲಿನ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ ದೊಡ್ಡದಿದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲು 5/6 = 25/30 ದೊಡ್ಡ ಪಾಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲು 4/5 = 24/30 ರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ ಎರಡನೇ ಪಾಲಿಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಿದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲು.

ಚಟುವಟಿಕೆ: ಕೆಳಗಿನ ಜೊತೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡ ಪಾಲು ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
ಪಾಲುಗಳು
$fractions_2_10$ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಸರಿಕೆಳಗೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆದು ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು ಎಂದು ಹಿಡಿಯಬಹುದು

$fractions_2_11$

ಎಣಿಕೆಯ ಗೆರೆ ಎಳೆದು ಪಾಲುಗಳ ಹತ್ತಿರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:
• ಎರಡು ಪಾಲುಗಳ ಹತ್ತಿರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಗೆರೆ ಎಳೆದು ಅದರ ಮೇಲೆ ಪಾಲುಗಳ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
• ಎರಡು ಗೆರೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಡಬದಿಯಿಂದ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಪಾಲುಗಳ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.
• ಎರಡು ಗೆರೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಪಾಲು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

$fractions_2_6$

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದರ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/4, 1/2, 3/4 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದರ ಐದು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿ ಯಾವ ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

$fractions_2_7$

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿದಾಗ 1/4 ಮತ್ತು 1/5, 3/4 ಮತ್ತು 4/5 ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಒಂದರ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/4, 1/2, 3/4 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದರ ಐದು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿ ಯಾವ ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

$fractions_2_8$

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿದಾಗ 1/4 ಮತ್ತು 2/7, 1/2 ಮತ್ತು 4/7, 3/4 ಮತ್ತು 5/7 ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಮುಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳ ವಿಶೇಷತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕೂಡುವುದು, ಕಳೆಯುವುದು, ಗುಣಿಸುವುದು ಭಾಗಿಸುವುದರ ಬಗ್ಗೆ ಹಾಗು ಪಾಲಿನ ಹಳಮೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ

(ಮಾಹಿತಿ ಸೆಲೆಗಳು:
learnnext.com, ask-math.com, metal.brightcookie.com, study.com/academy/, basic-math-explained.com, math-only-math.com, images.tutorvista.com, ilmoamal.org, ಐದನೇ ತರಗತಿಯ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ)

ಪಾಲುಗಳು (fractions) – ಭಾಗ 1

By admin 17/10/2016 25/10/2022 ಗಣಿತ

ನಾವು ಅಂಗಡಿಗೆ ಹೋದಾಗ ಕಾಲು ಕೇಜಿ, ಅರ್ಧ ಕೇಜಿ, ಮುಕ್ಕಾಲು ಕೇಜಿ ತರಕಾರಿಗಳನ್ನು ಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಅಲ್ಲವೇ ಇವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಒಂದು ಕೇಜಿಯ ಪಾಲುಗಳು. ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಅರ್ಧ, ಕಾಲು ಎಂದು ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ ಅವುಗಳು ಹಣ್ಣಿನ ಅರ್ಧ ಭಾಗ, ಕಾಲು ಭಾಗಗಳಾಗುತ್ತವೆ ಇವೆಲ್ಲವೂ ಪಾಲುಗಳಿಗೆ (Fractions) ಸೇರುತ್ತವೆ. ನಾವುಗಳು ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ದಿನವೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿರುತ್ತೇವೆ!

ಪಾಲುಗಳು (Fractions) ಅಂದರೇನು? :

ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ ತುಂಡುಗಳನ್ನು ಸಮಪಾಲುಗಳು ಇಲ್ಲವೇ ಪಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಉದ್ದಿನ ವಡೆಯ ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ.

$fraction_vade$

ಮೊದಲ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಡೆ ಇಡಿಯಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಡೆಯನ್ನು ಸಮನಾದ ಎರಡು ತುಂಡುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮನಾದ ನಾಲ್ಕು ತುಂಡುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇವೇ ವಡೆಯ ಪಾಲುಗಳು.

ಇಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದುದೆಂದರೆ, ಗಣಿತದ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ’ಪಾಲುಗಳು’ ಇಲ್ಲವೇ ’ಪ್ರಾಕ್ಶನ್ಸ್’ (fractions) ಅಂದರೆ ’ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ’ ತುಂಡುಗಳು ಎಂದೇ ಅರ್ಥ. ತುಂಡುಗಳು ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೇ ಅವು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲ. (ಗಣಿತದ ಈ ವಿಷಯದ ಮಟ್ಟಿಗೆ)

ಇದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ತುಂಬಿದ ತುಂಡುಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿವೆ. ಇಂತಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುಂಡನ್ನು ಗಣಿತದ ಈ ವಿಷಯದ ಮಟ್ಟಿಗೆ ’ಪಾಲುಗಳು’ ಎನ್ನಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇ ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ತುಂಬಿದ ಎಲ್ಲ 3 ತುಂಡುಗಳೂ ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿವೆ ಹಾಗಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ’ಪಾಲುಗಳು’ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

$fraction_unequal$
ನಮ್ಮ ದಿನ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ’ಪಾಲುಗಳು’ ಎಂದರೆ ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ್ದೇ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದೇನಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಗಣಿತದ ಈ ವಿಷಯದ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಅದು ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ್ದಾಗಿರಬೇಕು. ಇಂಗ್ಲೀಶಿನ ಬಳಕೆಯಲ್ಲೂ ಹೀಗೆಯೇ ಇದೆ. ಪ್ರಾಕ್ಶನ್ಸ್ (fractions) ಅನ್ನುವ ಪದ ದಿನ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ ಅಲ್ಲದೇ ಇರುವುದಕ್ಕೂ ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಗಣಿತದ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಬಂದಾಗ ಅದು ಸಮ ಪ್ರಮಾಣದ್ದಾಗಿರಲೇಬೇಕು.

ಗಮನಿಸಿ:
ಪಾಲುಗಳು ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ತುಣುಕುಗಳಲ್ಲದೇ, ಅಳತೆಗಳ ಕಿರು ಅಳತೆಗಳೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅರ್ಧ ಮೀಟರ್ ಅಳತೆಯ ಬಟ್ಟೆಯು ಒಂದು ಮೀಟರ್ ಅಳತೆ ಬಟ್ಟೆಯ ಪಾಲು ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಪಾಲನ್ನು a/b ಎಂದು ಗಣಿತದ ನಂಟು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ a ಎಂಬುದು ವಸ್ತುವಿನ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವಿನ ಅಳತೆಯ ಸಮನಾದ ಪಾಲು ಮತ್ತು b ಎಂಬುದು ವಸ್ತುವಿನ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವಿನ ಅಳತೆಯ ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳು (Total quantity). ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಮುಂದೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ತಿಳಿಯೋಣ.
a/b ಯಲ್ಲಿ a ಯು ಗೆರೆಯ ಮೇಲಿರುವುದರಿಂದ ಮೇಲೆಣಿ (Numerator) ಎಂದು b ಯು ಗೆರೆಯ ಕೆಳಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಕೆಳಗೆಣಿ(Denominator) ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.
ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಸಮ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆಯೋ ಅದೇ ಅದರ ಕೆಳಗೆಣಿ(Denominator).
ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸಮ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೋ ಅದೇ ಅದರ ಮೇಲೆಣಿ (Numerator).

ಕೆಳಗಿನ ನಾಲ್ಕು ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣಿನ ಹಲವು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಹೇಗೆ ತೋರಿಸಬಹುದೆಂದು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಈಗ ನೋಡೋಣ.

ಮೊದಲನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 1/1 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣು ಹಾಗೆ ಇದೆ, ಪಾಲು ಮಾಡಿಲ್ಲ.

ಎರಡನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ಒಟ್ಟು 2 ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈಗ ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪಾಲನ್ನು 1/2 ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಅದು ಏಕೆಂದರೆ, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ಒಟ್ಟು 2 ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿರುವುದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು ತೋರಿಸುವಾಗ ಅದರ ಕೆಳಗೆಣಿ 2 ಎಂದೂ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 1 ನ್ನೇ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಮೇಲೆಣಿ 1 ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಎರಡನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಪಾಲು 1/2. ದಿನಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಅರೆಪಾಲು ಇಲ್ಲವೇ ಅರ್ಧ ಪಾಲು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ಒಟ್ಟು 3 ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಪಾಲು ತೋರಿಸುವಾಗ ಅದರ ಕೆಳಗೆಣಿ 3 ಎಂದಾಯಿತು. ಹಾಗಾಗಿ ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುಣುಕನ್ನು 1/3 ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಇನ್ನು, ನಾಲ್ಕನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಸೇಬುಹಣ್ಣನ್ನು ಒಟ್ಟು 4 ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆಣಿ 4 ಅನ್ನುವುದು ತಟ್ಟನೇ ಹೇಳಿಬಿಡಬಹುದಲ್ಲವೇ? ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪಾಲನ್ನು 1/4 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ದಿನಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಕಾಲು ಇಲ್ಲವೇ ಕಾಲುಪಾಲು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಚಿತಗಳನ್ನೇ ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತಾ, 1 ತುಣುಕನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ 1/2 (ಚಿತ್ರ-2), 1/3 (ಚಿತ್ರ-3), 1/4 (ಚಿತ್ರ-4) ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದೆಂದು ಕಂಡೆವು. ಅದೇ 1 ತುಣುಕಿನ ಬದಲಾಗಿ 2 ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಸಾಲಾಗಿ 2/2, 2/3, 2/4 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇದೆ ನೋಡಿ. ಒಂದು ದೋಸೆಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಎಂಟು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಎಂಟು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 1 ಪಾಲನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅಂತಹ ಪಾಲನ್ನು 1/8 ಎಂದೂ, 2 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ 2/8 ಎಂದೂ ಮತ್ತು 3 ಪಾಲನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ 3/8 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚುಟುಕಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಪಾಲನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕಾದಾಗ

ವಸ್ತುವೊಂದರಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ (ಕೆಳಗೆಣಿ) ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ (ಮೇಲೆಣಿ) ತೋರಿಸಿದರೆ ಆಯಿತು.

ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಓದುವುದು ಹೇಗೆ? :
ಮೇಲೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಂತೆ ಪಾಲೊಂದರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆನೋ ಇರುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಓದುವುದು? 1/2 ಪಾಲಿಗೆ ಅರೆಪಾಲು, 1/4 ಪಾಲಿಗೆ ಕಾಲು ಎಂದು ಕೆಲವು ದಿನಬಳಕೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟರೆ ಉಳಿದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಓದಲು ಒಂದು ಬಗೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಓದಬಹುದು,

3/4 = 4 ರಲ್ಲಿ 3 ಇಲ್ಲವೇ 4 ನೇಯ 3 (ಈ ಪಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 4 ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 3 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ)
7/21 = 21 ರಲ್ಲಿ 7 ಇಲ್ಲವೇ 21 ನೇಯ 7 (ಈ ಪಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 21 ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 7 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ)

ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹಲವು ಬಗೆಗಳಿವೆ. ಈ ಬಗೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಈಗ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

1. ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳು (Proper fraction):

ಪಾಲೊಂದರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳು (Proper fraction) ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ1:

2/3, 8/11, 9/27 ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಇವುಗಳು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ2:
ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣದ ಗೆರೆ ಎಳೆದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಒಟ್ಟು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಮೊದಲ ಚಿತ್ರವಾದ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಮೂರು ಪಾಲುಗಳಿವೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣದ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಬಣ್ಣ ಎಳೆದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು 2/3 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ 2 ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 3 ಕೆಳಗೆಣಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ತಕ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆ.

ಎರಡನೆ ಚಿತ್ರವಾದ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ನಾಲ್ಕು ಪಾಲುಗಳಿವೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಮೂರು ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣದ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಬಣ್ಣ ಎಳೆದ ಪಾಲನ್ನು 3/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ 3 ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 4 ಕೆಳಗೆಣಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಯೂ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದೂ ಒಂದು ತಕ್ಕು ಪಾಲಾಗಿದೆ.

ಹಾಗೆನೇ ಮೂರನೆಯ ಚಿತ್ರ ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Quadrilateral) ಒಟ್ಟು ಎಂಟು ಪಾಲುಗಳಿವೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಏಳು ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣದ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಇದನ್ನು 7/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ 7 ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 8 ಕೆಳಗೆಣಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ತಕ್ಕು ಪಾಲಾಗಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ1: ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳೆಂದು ತೋರಿಸಿ.
ಅರ್ಧಪಾಲು, ಮೂರನೇ ಎರಡು, ಹತ್ತನೇ ಮೂರು , ಏಳನೇ ಐದು, ಹದಿನಾರನೇ ಐದು, ಹನ್ನೆರಡನೇ ಐದು, ಒಂಬತ್ತನೇ ಎಂಟು, ಒಂಬತ್ತನೇ ನಾಲ್ಕು, ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು, ಐದನೇ ಎರಡು.

ಕೊಟ್ಟ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ದುಂಡುಕದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಹಸಿರು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಮೂರನೇ ಎರಡು ಎಂದರೆ ಒಟ್ಟುಪಾಲುಗಳು ಮೂರು ಎಂದು ಮತ್ತು ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ಪಾಲುಗಳು ಎರಡು ಎಂದು, ಹಾಗಾಗಿ ಮೂರನೇ ಎರಡನ್ನು ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ 2/3 ಆಗುತ್ತದೆ,

ಗಮನಿಸಿ: ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳು ಒಂದು ತಕ್ಕುಪಾಲಾಗಿದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ2: ಕೆಳಗೆ ಅಂಚೆಕಾಗದಗಳನ್ನು ಐದು ಪಾಲನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಹಾಗು ಎಲ್ಲಾ ಐದು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ತಲಾ ಮೂರು ಅಂಚೆಕಾಗದಗಳು ಬರುವಂತೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಐದನೇ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಶ್ಟು ಅಂಚೆಕಾಗದಗಳು ಎಂದರೆ ಎಷ್ಟು ಅಂಚೆ ಕಾಗದಗಳಾಗುತ್ತವೆ?

ಕೆಳಗೆ ಅಂಚೆ ಚೀಟಿಗಳನ್ನು ಐದು ಪಾಲನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಹಾಗು ಎಲ್ಲಾ ಐದು ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ತಲಾ ಮೂರು ಅಂಚೆಕಾಗದಗಳು ಬರುವಂತೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಐದನೇ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಶ್ಟು ಅಂಚೆ ಕಾಗದ ಅಂದರೆ ಒಟ್ಟು ಪಾಲುಗಳು ಐದು ಎಂದು ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಕೊಂಡ ಪಾಲುಗಳು ಎರಡು ಎಂದು, ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳು ತಲಾ ಮೂರು ಅಂಚೆ ಕಾಗದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳಿಂದ ತಲಾ ಮೂರರಂತೆ ನಮಗೆ ಒಟ್ಟು ಆರು ಅಂಚೆ ಚೀಟಿಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ3: ಒಂದು ತರಕಾರಿಯ ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ 12 Kg ಗಳಶ್ಟು ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳಿರುತ್ತವೆ, ಮೊದಲನೇ ಕೊಳ್ಳುಗ ಸುಮಾರು 2 Kg ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯನ್ನು ಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ, ಎರಡನೇ ಕೊಳ್ಳುಗ ಸುಮಾರು 5 Kg ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯನ್ನು ಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ, ಮೂರನೇ ಕೊಳ್ಳುಗ ಸುಮಾರು 4 Kg ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯನ್ನು ಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯ ಪಾಲೆಷ್ಟು?.

ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ 12 Kg ಗಳಾಗಿವೆ.
ಒಂದನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕೊಳ್ಳುಗರು 2 Kg, 5 Kg, 4 Kg ಗಳಶ್ಟು ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳನ್ನು ಕೊಳ್ಳುವರು, ಈ ಮೂವರು ಸೇರಿ ಕೊಂಡುಕೊಂಡ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ 2 + 5 + 4 = 11 Kg ಗಳಾಗಿವೆ.
ಉಳಿದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ತೂಕ = ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ – ಕೊಂಡುಕೊಂಡ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ = 12 – 11 = 1 Kg ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯ ಪಾಲನ್ನು ಉಳಿದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ತೂಕ/ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಗಳ ಒಟ್ಟು ತೂಕ ಎನ್ನಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಬೆಂಡೆಕಾಯಿಯ ಪಾಲು 1/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ4: 1) 8/5, 2) 9/2, 3) 11/17, 4) 13/4, 5) 19/23 ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೌದು ಅಥವಾ ಅಲ್ಲವೆಂದು ಗುರುತಿಸಿ.

ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (Proper fraction), ಹಾಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳು ಹೌದು ಅಥವಾ ಅಲ್ಲವೆಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

2. ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳು (Improper fractions):

ಪಾಲೊಂದರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಇಲ್ಲವೇ ಎರಡೂ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಪಾಲನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲು (Improper fractions) ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1: 3/2, 11/7, 15/10, 6/6 ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಇಲ್ಲವೇ ಸಮನಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಇವುಗಳು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉದ್ದಿನ ವಡೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ.

$improper_fraction_vade$

ಇಲ್ಲಿ 6 ವಡೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಪಾಲನ್ನು ತೋರಿಸುವಾಗ ಅದರ ಮೇಲೆಣಿಯನ್ನು 6 ಎಂದು ಬರೆಯಬೇಕು. ಅದೇ 1 ಇಡೀ ವಡೆಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 4 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಪಾಲನ್ನು ತೋರಿಸುವಾಗ ಅದರ ಕೆಳಗೆಣಿ 4 ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕು.

ಹಾಗಾಗಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದ ಒಟ್ಟಾರೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು 6/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬೇಕು. ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಈ ತರಹದ ಪಾಲನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲು ಅನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಮಾಡಿರುವ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಡೆಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಚಟುವಟಿಕೆ1: ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿರುವ 25 ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೆ 25 ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಮೊದಲಿದ್ದ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳನ್ನು ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಮೊದಲಿದ್ದ ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು 25
ಒಟ್ಟು ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು = ಮೊದಲಿದ್ದ ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು 25 + ನಂತರದ ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು 25 = 50 ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳು
ಮೊದಲಿದ್ದ ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟು ಚಾಕೊಲೇಟುಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಪಾಲು = 50/25
ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಈ ಪಾಲು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ2: ಕೆಳಗಿನ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲು ಹೌದು ಅಥವಾ ಅಲ್ಲವೆಂದು ಗುರುತಿಸಿ.

ಚಟುವಟಿಕೆ3: ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಬಿಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (Whole Number) ಕೂಡ ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಬುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ನಾವು ಬಿಡಿ ಸಂಖ್ಯೆ 19 ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.19 ನ್ನು 19/1 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದರ ಮೇಲೆಣಿ = 19 ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿ = 1 ಆಗಿದೆ ಹಾಗು ಮೇಲೆಣಿಯು ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ ದೂಡ್ಡದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ 1 ನ್ನು ಕಾಣದ ಕೆಳಗೆಣಿ (Invisible Denominator) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

3. ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳು (Mixed fractions):

ಒಂದು ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜತೆಗೆ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ’ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳು’ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಈ ಬಗೆಯ ಪಾಲನ್ನು c a/b ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ c ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ a/b ಎಂದಿನಂತೆ ಪಾಲನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (a-ಮೇಲೆಣಿ, b-ಕೆಳಗೆಣಿ), ಉದಾಹರಣೆಗೆ 5 1/2, 1 1/4, 2 3/4,

ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೇಲೆಣಿ/ಕೆಳಗೆಣಿ = ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆ + ಮೇಲೆಣಿ/ಕೆಳಗೆಣಿ = (ಕೆಳಗೆಣಿ x ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆ+ ಮೇಲೆಣಿ)/ಕೆಳಗೆಣಿ = (ca+b)/c

ಉದಾಹರಣೆ1: ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ.

$mixed_fraction_vade$

ಇಲ್ಲಿ 1 ಇಡೀ ವಡೆಯ ಜತೆಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ವಡೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಒಟ್ಟು 4 ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ 3 ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪಾಲನ್ನು 1 3/4 ಎಂಬಂತೆ ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ 1 ಇಡೀ ವಡೆ ಮತ್ತು 3/4 ಪಾಲು ವಡೆಗಳು.

ಗಮನಿಸಿ: ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳಂತೆ (improper fractions) ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳೂ (mixed fractions) ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇಡೀ ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಪಡೆದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹಾಗೇ ನೋಡಿದರೆ ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿಯೂ ಮತ್ತು ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ1: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಗಾಜಿನ ತುಂಡುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಬೆರಕೆ ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಮೊದಲನೇ ಬಣ್ಣದ ಗಾಜಿನ ತುಂಡನ್ನು ಒಂದು ಬಿಡಿ ತುಂಡನ್ನಾಗಿ (Whole part) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬೆಲೆ 1 ಆಗಿರಲಿ.
ಮೊದಲನೇ ಗಾಜಿನ ತುಂಡಿನಶ್ಟೇ ಉದ್ದವಿರುವ ಎರಡನೇ ಬಣ್ಣದ ಗಾಜಿನ ತುಂಡಿನಲ್ಲಿ ಐದನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ತುಂಡಿನಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲನ್ನು 2/5 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
ಎರಡು ಗಾಜಿನ ತುಂಡುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ
ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಮೊದಲ ಇಡೀ ಗಾಜಿನತುಂಡು+ ಐದನೇ ಎರಡರಶ್ಟು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಎರಡನೇ ಗಾಜಿನ ತುಂಡು = 1+2/5 = 1 2/5.

ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಬಗೆ:

ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿ ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಿನ ಬಗೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ,

1. ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲಿನ ಕೆಳಗೆಣಿಯನ್ನು ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. (3 x 1 = 3)

2. ಗುಣಿಸಿ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೇಲೆಣಿಗೆ ಕೂಡಿಸಬೇಕು. (3 + 2 = 5)

3. ಹೀಗೆ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿ ಈಗ ಬರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಯನ್ನು ಮೊದಲು ಇರುವುದನ್ನೇ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ( 5/3)

ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲನ್ನು ಬೆರಕೆಯ ಪಾಲನ್ನಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಬಗೆ:

ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

1) 5 ನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ

2) ಹೀಗೆ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 1 ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆ ದೊರೆತು 2 ಉಳಿಯುತ್ತದೆ

3) ಆಗ ಇಡೀ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲಿಗೆ, ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೇಲೆಣಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆಣಿಯನ್ನು ಮೊದಲಿದ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೇ ಬರೆಯುವುದು.

ಅಂದರೆ, 1 2/3

ಚಟುವಟಿಕೆ1: 3 1/2 ಎಂಬ ಬೆರಕೆ ಪಾಲು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ (Improper Fraction) ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.
3 1/2 ಬೆರಕೆ ಪಾಲನ್ನು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ (2 x 3 + 1)/2 = 7/2 ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ.
ನಮಗೆ ಸಿಕ್ಕ 7/2 ಪಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ 7 (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿ 2 ಕ್ಕಿಂತ (Denominator) ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ (Improper fraction).

ಚಟುವಟಿಕೆ2: 1 2/3, 4 6/7, 10 3/11, 6 8/9, 5 2/5, 7 1/6 ಬೆರಕೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಇಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೆಳಗೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಹೆಚ್ಚಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲಾಗಿದೆ (Improper fraction).

ಮುಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳ ಇನ್ನಷ್ಟು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೂರ್ಬದಿ

By admin 15/09/2016 16/09/2017 ಗಣಿತ

ನಾವು ದಿನಾಲು ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯಾಕಾರವನ್ನು (Triangle Shape) ನೋಡುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತೇವೆ. ಟ್ರಾಪಿಕ್ ಬೋರ್ಡ್ ಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಹಂಚಿನ ಮನೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಹಲವಾರು ಕಡೆ ಮೂರ್ಬದಿ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು. ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪಿರಾಮಿಡ್‍ಗಳೂ ಮೂರ್ಬದಿ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಇರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ದಿನಬಳಕೆಯಲ್ಲದೇ ಅರಿವಿನ ಹಲವಾರು ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಾಗುವ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳೋಣ.

ಹೆಸರೇ ಸೂಚಿಸುವಂತೆ,

ಮೂರು ಬದಿಗಳು ಸೇರಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ, ಮೂರು ಮೂಲೆಗಳ ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ (planar) ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯೇ ಮೂರ್ಬದಿ (triangle).

ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ’ಕೋನ’ ಅಂತಾನೂ ಸೂಚಿಸಬಹುದಾದುರಿಂದ ಈ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಮುಕ್ಕೋನ (ಮೂರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ) ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ABC ಎಂಬ ಮೂರ್ಬದಿಯು AB, BC ಮತ್ತು CA ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸೇರಿ ಮೂಲೆ ಇಲ್ಲವೇ ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತವೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು α ಗುರುತಿನಿಂದ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕೋನವನ್ನು ∠ABC ಅಂತಾನೂ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕೋನ ಉಂಟಾಗುವ B ತುದಿಯು ಗುರುತಿನ ನಡುವೆ ಬರುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಗಳು:
ಈಗ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಿಡಿ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಬದಿ (Side): ಮೂರ್ಬದಿ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಬದಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ತುದಿ (Vertex): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸೇರುವೆಡೆಯನ್ನು ತುದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೂಲೆ / ಕೋನ (Angle): ಎರಡು ಜೋಡಿ ಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸೇರಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಜಾಗವನ್ನು ಮೂಲೆ ಇಲ್ಲವೇ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter): ಮೂರು ಬದಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವನ್ನು ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ನಡುಗೆರೆ (Median Line): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಂದು ತುದಿಯಿಂದ (Vertex) ಅದರ ಎದುರು ಬದಿಯ ನಡುವಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯನ್ನು ನಡುಗೆರೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ C ತುದಿಯಿಂದ ಅದರ ಎದುರು ಬದಿ AB ಯ ನಡು M ಗೆ ಎಳೆದ CM ಗೆರೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ ನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ.

ಎತ್ತರ (Altitude / Height): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಂದು ತುದಿಯಿಂದ (Vertex) ಅದರ ಎದುರು ಬದಿಗೆ ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯನ್ನು ಎತ್ತರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಬುಡ (Base): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಅಡಿಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಗೆರೆಯನ್ನು ಬುಡ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳು:

ಎಲ್ಲಾ ಮೂರ್ಬದಿ ಆಕೃತಿಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ ಕೆಲವೊಂದು ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲೆಯಳತೆಯನ್ನು (Angle) ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಕೆಲವೊಂದು ಹೆಚ್ಚು ಬದಿಯಳತೆಯನ್ನು (Length of a side) ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಕೆಲವೊಂದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಅಳತೆ ಸರಿಯಾಗಿರಬಹುದು, ಕೆಲವೊಂದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮೂಲೆಗಳ ಅಳತೆ ಸರಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ಹಲವಾರು ಅಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿ ನಿಮಗೆ ಗೊಂದಲವಾಗಿರಬಹುದು ಅಲ್ಲವೇ?, ಈ ಗೊಂದಲಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಗೆಹರಿಸೋಣ.

ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬಗೆಗಳಿವೆ. ಬಗೆಗಳನ್ನು ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಯಳತೆಯ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು.

1. ಬದಿಯಳತೆಯಂತೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳು:
ಬದಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಮೂರು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬದಿಯಳತೆ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಯಳತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಬದಿಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಯೊಳಗೆ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ತುಂಬಲಾಗಿದೆ.

ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Equilateral Triangle): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು 60° ಇರುತ್ತವೆ.

ಸರಿ-ಇಬ್ಬದಿಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Isosceles Triangle): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಸರಿ-ಇಬ್ಬದಿಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹಲವಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ ( Scalene Triangle): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಹಲವಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ ಎನ್ನಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೂಲೆಯಳತೆಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.

2. ಮೂಲೆಯಳತೆಯಂತೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳು:

ಸರಿಮೂಲೆ (Right Angle [90°]) ಅಳತೆಗೋಲನ್ನಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಮೂರು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.

ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Right Angle Triangle): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿದ್ದರೆ (Perpendicular to each other) ಅದನ್ನು ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ನೇರಡ್ಡವಾದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸೇರುವೆಡೆ ಅದರ ಮೂಲೆಯಳತೆ 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Obtuse Angle Triangle): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಯಾವುದಾರೂ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸೇರುವೆಡೆ ಮೂಲೆಯಳತೆಯು 90° ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅದು ಹಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Acute Angle Triangle): ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕೊಂದು ಸೇರುವೆಡೆ ಮೂಲೆಯಳತೆಗಳು 90° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದು ಕಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹಿರಿಮೂಲೆ ಮತ್ತು ಕಿರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಗಳನ್ನುಒಟ್ಟಾಗಿ ಓರೆಮೂಲೆಗಳ ಮೂರ್ಬದಿ (oblique triangles) ಅಂತಾ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷತೆಗಳು:
ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮೂರ್ಬದಿಯ ವಿಶೇಷತೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ.

1. ಯಾವುದೇ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ (Interior Angles) ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಹೊರಮೂಲೆಗಳ (Exterior Angles) ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಂದು ಮೂಲೆಯು ಸರಿಮೂಲೆಯಾಗಿದ್ದರೆ (Right Angle) ಉಳಿದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು 90° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯು ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Right Angle Triangle) ಮತ್ತು ಸರಿ-ಇಬ್ಬದಿಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Isosceles Triangle) ಎರಡೂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸರಿಮೂಲೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದೆರಡು ಮೂಲೆಗಳು ತಲಾ 45° ಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

4. ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯು ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಗಿದ್ದರೆ (Right Angle Triangle), ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿಯು (Square of hypotenuse) ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Pythagoras Theorem) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

5. ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಇನ್ನೊಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ (Congruent) ಆ ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.ಇದನ್ನು ಬದಿ – ಬದಿ – ಬದಿ ದಿಟಹೇಳಿಕೆ (SSS: Side – Side –Side Postulate) ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

6. ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡು ಮೂಲೆಗಳು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಬದಿ – ಮೂಲೆ – ಬದಿ ದಿಟಹೇಳಿಕೆ (SAS: Side – Angle –Side Postulate) ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

7. ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯ (Equilateral Triangle) ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು 60° ಇರುವುದರಿಂದ ಈ ಮೂರ್ಬದಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Acute Angle Triangle) ಮತ್ತು ಸರಿ-ಇಬ್ಬದಿಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Isosceles Triangle) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

8. ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯು ಸರಿಮೂಲೆಯನ್ನು (Right Angle) ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಓರೆಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Oblique Angle Triangle). ಹಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Obtuse Angle Triangle) ಮತ್ತು ಕಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಗಳು (Acute Angle Triangle) ಸರಿಮೂಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳು ಓರೆಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ.

9. ಕಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Acute Angle Triangle) ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿಯು ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಿರಿಮೂಲೆಯ ಎದುರುಬದಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಿರಿದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲೆಗಳು: ∠α < 90°, ∠β < 90°, ∠γ <90°.
ಬದಿಗಳು: a² + b²> c² , b² + c²> a², c² + a²> b²

10. ಹಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Obtuse Angle Triangle) ಹಿರಿಮೂಲೆಯೊಂದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಎರಡು ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 90° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಹಿರಿಮೂಲೆಯ ಎದುರುಬದಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಉಳಿದ ಬದಿಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲೆಗಳು: ∠α > 90° (ಹಿರಿಮೂಲೆ), ∠β + ∠γ <90°.
ಬದಿಗಳು: c² > b² + a²

ಮೂರ್ಬದಿಯ ನಡುಗಳು:
ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬಳಕೆಗೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಹಲವು ಬಗೆಯ ನಡುಗಳನ್ನು(Centers) ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

1) ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನಡುಗೆರೆಗಳು (Median Lines) ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಕತ್ತರಿಸುವೆಡೆಯನ್ನು (Intersection) ನಡು (Centroid) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ನಡುವು (Centroid) ನಡುಗೆರೆಯನ್ನು 2 : 1 (ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ CO : Ox = 2 : 1) ಪಾಲನ್ನಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

2) ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಎತ್ತರಗಳು (Altitudes) ಒಂದನ್ನೊಂದು ಹಾದುಹೋದಾಗ ಸಿಗುವ ನಡುವನ್ನು ನೇರನಡು (Orthocenter) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಹಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ನೇರನಡು ಹೊರಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಿರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ನೇರನಡು ಒಳಗಿರುತ್ತದೆ.

3) ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು ತಾಗುವಂತೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ದುಂಡುಕವನ್ನು ಸುತ್ತುದುಂಡುಕ (Circumcircle) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಡುವನ್ನು ದುಂಡುನಡು (circumcenter) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ದುಂಡುನಡುವಿನಿಂದ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬದಿಗಳಿಗೆ ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ (Perpendicular) ಗೆರೆ ಎಳೆದಾಗ ಗೆರೆಗಳು ಬದಿಗಳನ್ನು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಸೀಳುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ನೇರಡ್ಡ-ಸರಿಪಾಲು (Perpendicular Bisector) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

4) ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹಿಡಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ದುಂಡುಕವನ್ನು ಇಟ್ಟಾಗ ಅದರ ನಡುವು (Centre of a circle) ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಳನಡುವಾಗಿರುತ್ತದೆ (Incentre of a triangle) ಮತ್ತು ಮೂರ್ಬದಿಯ ತುದಿಗಳಿಂದ (Vertices) ಹಾದುಹೋಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಗೆರೆಗಳು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಸರಿಪಾಲನ್ನಾಗಿ (Angle Bisectors) ಕತ್ತರಿಸುತ್ತವೆ.

5) ಮೂರ್ಬದಿಯ ದುಂಡುನಡು (circumcenter), ನಡು (Centroid) ಮತ್ತು ನೇರನಡು (Orthocenter)ಗಳ ಮೇಲೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಗೆರೆಯನ್ನು ಆಯ್ಲರ್ ಗೆರೆ (Euler Line) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು ಮೂರ್ಬದಿಯ ನಡುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಬಳಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನಡುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರಲ್ಲಿ ಆಯ್ಲರ್ ಗೆರೆ ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

1. ಮೂರ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ನಾವೀಗ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬದಿಗಳು a, b, c ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆ P ಆಗಿರಲಿ.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವೇ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ P = AB + BC + CA = a + b +c

ಉದಾಹರಣೆ: ನಾವೀಗ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬದಿಗಳು a =3.5 cm , b = 4.5 cm, c = 5.7 cm ಆದಾಗ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ P = AB + BC + CA = a + b +c = 3.5 + 4.5 + 5.7 = 13.7 cm.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ನಾವೀಗ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬದಿಗಳು AB, BC, CA ಮತ್ತು ಬುಡ (Base) AB = b, ಎತ್ತರ (Height) CD = h ಆಗಿರಲಿ.

ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಅಳತೆಯನ್ನೇ ಹೊಂದಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು BCE ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು ABC ಮೂರ್ಬದಿಗೆ ತಾಗಿಕೊಂಡಂತೆ ಬಿಡಿಸೋಣ. ಈಗ ನಮಗೊಂದು ABEC ಎಂಬ ನಾಲ್ಬದಿ (Quadrilateral) ಸಿಕ್ಕಿತು.

ABEC ನಾಲ್ಬದಿಯಿಂದ ADC ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ತೆಗೆದು ನಂತರದಲ್ಲಿ ADC ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು AC ಮತ್ತು BE ಬದಿಗಳು ಹೊಂದುವಂತೆ ಬಲಬದಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸೋಣ, ಬಲಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಂಡ ADC ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು BFE ಎಂದು ಹೆಸರಿಸೋಣ. ಈಗ ನಮಗೊಂದು DFEC ಎಂಬ ನಾಲ್ಸರಿಬದಿ / ಆಯತ (Rectangle) ಸಿಕ್ಕಿತು.

ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಸರಿಬದಿಯ ಹರವು Ar = ಉದ್ದ (Length) x ಅಗಲ (Width) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

DFEC ನಾಲ್ಸರಿಬದಿಯ ಹರವು Ar = ಉದ್ದ (Length) x ಅಗಲ (Width) = ಬುಡ (Base) x ಎತ್ತರ (Height) = b x h = bh
ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ DFEC ನಾಲ್ಸರಿಬದಿಯು ಎರಡು ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಗಳಾದ (Similar Triangles) ABC ಮತ್ತು BCE ಗಳಿಂದ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಿದೆ.

DFEC ನಾಲ್ಸರಿಬದಿಯ ಹರವು Ar = b x h = ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು + BCE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು = 2 x ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು.

ಆದ್ದರಿಂದ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A = b x h/2 =1/2 x bh

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು (area of triangle) = 1/2 (ಬುಡ x ಎತ್ತರ)

ಉದಾಹರಣೆ1: ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬುಡ (Base b) AB = 99 mm ಮತ್ತು ಎತ್ತರ (Height h) CD = 49 mm ಇದ್ದಾಗ ಅದರ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A = 1/2 (ಬುಡ x ಎತ್ತರ) = 1/2 x bh = 1/2 x AB x CD = 1/2 x 99 x 49 = 2425.5 mm²

ಉದಾಹರಣೆ2: ಒಂದು ABC ಸರಿ-ಇಬ್ಬದಿಯ ಮೂರ್ಬದಿಯ (Isosceles Triangle) ಹರವು A = 187 cm², ಎತ್ತರ h =17 cm ಆದಾಗ ಬದಿ BC ಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A = 1/2 ಬುಡ x ಎತ್ತರ = 1/2 x b x h = 1/2 x b x 17 = 187 cm²
ಬದಿ AB = b = 187 x 2/17 = 22 cm.

ABC ಯು ಒಂದು ಸರಿ-ಇಬ್ಬದಿ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಬದಿಗಳಾದ AB ಮತ್ತು BC ಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ BC ಬದಿಯ ಉದ್ದ BC = AB = b = 22 cm ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: 10000 m² ಹರವಿನ ಚೌಕದ ಬುಡವನ್ನು (Square Base) ಹೊಂದಿದ ಮತ್ತು ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿ (Equilateral Triangle) ಗೋಡೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಒಂದು ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪಿರಮಿಡ್ಡಿನ ಒಟ್ಟು ಹರವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಬುಡದಿಂದ ತುದಿಯವರೆಗೆ (Base to Apex) ಪಿರಮಿಡ್ಡಿನ ಎತ್ತರ 86.6 m ಆಗಿದೆ.
ಬುಡವು ಚೌಕವಾಗಿದ್ದರಿಂದ ABCD ಚೌಕದ ಹರವು A1 = ಬದಿ x ಬದಿ = b2 = 10000 m²
ಆದ್ದರಿಂದ ಬದಿಯ ಉದ್ದ AB = b = √10000 = 100 m

ಪಿರಮಿಡ್ಡಿನ ನಾಲ್ಕು ಗೋಡೆಗಳು ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ ಹಾಗು ಚೌಕದ ಬದಿಗಳು ಮೂರ್ಬದಿಗಳ ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ,
ಇದರಿಂದ ಮೂರ್ಬದಿಗಳ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ABE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A2 = 1/2 x b x h = 1/2 x 100 x 86.6 = 4330 m²
BCE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A3 = 1/2 x b x h = 1/2 x 100 x 86.6 = 4330 m²
CDE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A4 = 1/2 x b x h = 1/2 x 100 x 86.6 = 4330 m²
DAE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A5 = 1/2 x b x h = 1/2 x 100 x 86.6 = 4330 m²

ABCDE ಪಿರಮಿಡ್ಡಿನ ಒಟ್ಟು ಹರವು

= ABCD ಚೌಕದ ಹರವು A1 + ABE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A2 + BCE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A3 + CDE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A4 + DAE ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹರವು A5

=10000 + 4330 + 4330 + 4330 + 4330 = 27320 m2

ಆದ್ದರಿಂದ ABCDE ಪಿರಮಿಡ್ಡಿನ ಒಟ್ಟು ಹರವು = 27320 m²

ಕೆಲವು ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾದ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಕಟ್ಟಲೆಗಳು:

1. ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Pythagoras Theorem):

ಹೇಳಿಕೆ:

ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ (right angle triangle) ಉದ್ದಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿಯು (Square of hypotenuse) ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತೋರಿಸಿಕೆ (Proofs):
a, b ಮತ್ತು c ಬದಿಯುಳ್ಳ ಒಂದು ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು (Right Angle Triangle) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಉದ್ದಬದಿಯು (Hypotenuse) c ಮತ್ತು ಬುಡ a ಆಗಿರಲಿ.

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಂತೆ ಒಂದೇ ಅಳತೆಯ a ,b, c ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ನಾಲ್ಕು ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ‍್ಬದಿ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈಗ ನಮಗೆ ಎರಡು ಚೌಕಗಳು ಸಿಕ್ಕಿವೆ, ದೊಡ್ಡ ಚೌಕವನ್ನು ABCD ಎಂದು ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಚೌಕವನ್ನು EFGH ಎಂದು ಹೆಸರಿಸೋಣ.

ಇದರಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡಚೌಕ ABCD ಯ ಬದಿ AB = BC = CD = DA = ಉದ್ದಬದಿ (Hypotenuse) = c ಆಗಿದೆ.

ಚಿಕ್ಕಚೌಕ EFGH ನ ಬದಿ EF = FG = GH = HE = (AF – AE) = (BG – BF) = (CH – CG) = (DE – DH) = (a-b) ಆಗಿದೆ.

ದೂಡ್ಡ ಚೌಕದ ಹರವು A1 = ಚಿಕ್ಕಚೌಕದ ಹರವು A2 + ನಾಲ್ಕು ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ‍್ಬದಿ ಆಕೃತಿಗಳ ಹರವು A3 ಆಗಿದೆ.

ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ಹರವು A = ಬದಿ x ಬದಿ ಮತ್ತು ಮೂರ‍್ಬದಿಯ ಹರವು = (ಬುಡ x ಎತ್ತರ)/2.

ಆದ್ದರಿಂದ ದೂಡ್ಡ ಚೌಕದ ಹರವು A1 = c x c = (a-b) x (a-b) + 4 x 1/2 x a x b

ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಬರೆದಾಗ A1 = c² = ಉದ್ದಬದಿ x ಉದ್ದಬದಿ = a² – 2ab + b² + 2ab = a² + b²

ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ‍್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿಯು (c² ) ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (a² + b²) ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: ABCDEFGH ಎಂಬ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕಾರದ (Rectangular) ಒಂದು ಗಾಜಿನ ತೊಟ್ಟಿಯ ಬುಡದ ಬದಿಗಳು 4m ಮತ್ತು 3m ಆಗಿವೆ ಹಾಗು ಅದರ ಎತ್ತರ 6m ಆಗಿದೆ, ನಾವೀಗ ಅದರ ಮೂಲೆಗೆರೆಯ (Diagonal) ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ABCDEFGH ಗಾಜಿನ ತೊಟ್ಟಿಯ EACG ಸೀಳುನೋಟವನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ನಮಗೆ AGC ಮತ್ತು ABC ಎಂಬ ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ‍್ಬದಿಗಳು (Right Angle Triangles) ಸಿಗುತ್ತವೆ.

AG ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು (Length of the Diagonal) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೊದಲು ನಾವು AC ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಬೇಕು.

ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯಂತೆ ABC ಮೂರ‍್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿ (Square of the Hypotenuse) AC² = AB² + BC² ಅಗ್ಗಿರುತ್ತದೆ.

AC² = AB² + BC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, ಆದ್ದರಿಂದ ABC ಮೂರ‍್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿ AC = 5m ಆಗಿದೆ.

ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯಂತೆ ACG ಮೂರ‍್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿ AG² = AC² + GC² ಅಗ್ಗಿರುತ್ತದೆ.

AG² = AC² + GC² = 5² + 6² = 25 + 36 = 61 à ABC ಮೂರ‍್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿ (Hypotenuse) AG = √ 61 = 7.81 m ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ABCDEFGH ಗಾಜಿನ ತೊಟ್ಟಿಯ AG ಮೂಲೆಗೆರೆಯ (Diagonal) ಉದ್ದ 7.81 m ಆಗಿದೆ.

2. ಹೊರಮೂಲೆಯ ಕಟ್ಟಲೆ (Exterior Angle Theorem):

ಹೇಳಿಕೆ 1:

ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹೊರಮೂಲೆಯು (Exterior Angle) ಅದರ ದೂರದ ಎರಡು ಒಳಮೂಲೆಗಳ (Remote Interior Angles) ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತೋರಿಸಿಕೆ (Proof): ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹೊರಮೂಲೆ (Exterior Angle) δ ಮತ್ತು ಅದರ ದೂರದ ಎರಡು ಒಳಮೂಲೆಗಳು (Interior Angles) α, β ಆಗಿರಲಿ.

ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ T1 = ∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = α + β + γ = 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಒಂದು ನೇರ ಗೆರೆಯ ಮೂಲೆಯ ಅಳತೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ,
ಆದ್ದರಿಂದ ACD ಗೆರೆಯ ಮೂಲೆಯ ಅಳತೆ T2 = ∠ACD = ∠ACB + ∠BCD = γ + δ = 180°.

T1 ಮತ್ತು T2 180° ಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, T1 = T2 = α + β + γ = γ + δ à δ = α + β.

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹೊರಮೂಲೆ δ ದೂರದ ಎರಡು ಒಳಮೂಲೆಳಾದ α, β ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆ”.

ಹೇಳಿಕೆ 2:

ಒಂದು ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹೊರಮೂಲೆಯು ಅದರ ದೂರದ ಎರಡು ಒಳಮೂಲೆಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತೋರಿಸಿಕೆ (Proofs): ಮೊದಲ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹೊರಮೂಲೆ δ ದೂರದ ಎರಡು ಒಳಮೂಲೆಳಾದ α, β ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.
δ = α + β ಆದ್ದರಿಂದ δ > α ಮತ್ತು δ > β ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: ABC ಒಂದು ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಾದರೆ (Equilateral Triangle) ಅದರ ಹೊರಮೂಲೆಯನ್ನು(Exterior Angle) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸರಿಯಳತೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು ಸರಿಯಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ
∠CAB = ∠ABC = ∠BCA ಮತ್ತು ∠CAB + ∠ABC + ∠BCA = 180°
3 x ∠CAB = 180° à ∠CAB = ∠ABC = ∠BCA = 60°

ಸರಿಮೂಲೆಯ ಕಟ್ಟಲೆಯಂತೆ ಹೊರಮೂಲೆ ∠ACD = ದೂರದ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ ∠CAB + ∠ABC = 60° + 60° = 120°
ಆದ್ದರಿಂದ ಹೊರಮೂಲೆ ∠ACD = 120° ಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

3. ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Apollonius Theorem):

ಹೇಳಿಕೆ:

ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೂರನೇ ಬದಿಯ ಅರೆಪಾಲಿನ ಇಮ್ಮಡಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಬದಿಗೆ ಎಳೆದ ನಡುಗೆರೆಯ (Median) ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತದ ಎರಡರಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ತೋರಿಸಿಕೆ (Proofs): ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ AB2 + AC2 = 2(AD2 + BD2) ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕು. ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ನಡುಗೆರೆ (Median) AD ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರ AE = h ಆಗಿರಲಿ, ಬದಿತುಂಡುಗಳನ್ನು ED = y ಮತ್ತು DC = x ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ABE ಮತ್ತು AEC ಎಂಬ ಎರಡು ಸರಿಮೂಲೆಯ (Right Angle Triangles) ಮೂರ್ಬದಿಗಳು ಕಾಣಸಿಗುತ್ತವೆ.

ABE ಮೂರ‍್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯಂತೆ AB² = AE² + BE² ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

AEC ಮೂರ‍್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯಂತೆ AC² = AE² + EC² ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ AB² + AC² = AE² + BE² + AE² + EC²

AB² + AC²= h² + (x – y)² + h² + (x + y)²

AB² + AC² = h² + x² – 2xy + y² + h² + x² + 2xy + y²

AB² + AC²= 2 (h² + x² + y²), ಇಲ್ಲಿ AD² = h² + y² ಮತ್ತು BD² = x² ಆಗಿದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ AB² + AC²= 2(AD² + BD²) ಎಂದು ತಿಳಿಸಿದಂತಾಯ್ತು.

ಉದಾಹರಣೆ: ಕೆಳಗಿನ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ AD ಒಂದು ನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಿಗಳು AB =5, AC =7, BC = 6 ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದಾಗ ಅದರ ನಡುಗೆರೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು (Length of the Median) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

AD ನಡುಗೆರೆಯು BC ಬದಿಯನ್ನು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಸೀಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ BD = DC = 3

ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ AB² + AC²= 2(AD² + BD²) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಾಗ

AB² + AC² = 5² + 7²= 2 x (AD² + 3²)

AB² + AC² = 25 + 49= 2 x (AD² + 9 ), ಇದನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಿದಾಗ

ನಡುಗೆರೆ AD² = 28 -> AD = √(4 x 7) à AD = 2√7 ಆಗುತ್ತದೆ.

4. ತೇಲ್ಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Thales Theorem):

ಹೇಳಿಕೆ:

ದುಂಡಗಲದಿಂದ (Diameter) ದುಂಡುಕದ (Circle) ಯಾವುದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Sides of a Circle) ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಮೂಲೆಯು ಸರಿಮೂಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Right Angle)

ತೋರಿಸಿಕೆ (Proofs): ಒಂದು ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಗಲ (Diameter) AC ಮತ್ತು ದುಂಡಿ (Radius) OB ಆಗಿರಲಿ, ದುಂಡಗಲದಿಂದ ದುಂಡುಕದ ಬದಿ B ಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು AB ಮತ್ತು BC ಆಗಿರಲಿ.

OA, OB, OC ಬದಿಗಳು ದುಂಡಿಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ OA = OB = OC ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ನಮಗೆ OBA ಮತ್ತು OBC ಗಳೆಂಬ ಎರಡು ಸರಿಇಬ್ಬದಿಯ ಮೂರ್ಬದಿಗಳು (Isosceles Triangles) ಹಾಗು ABC ಮೂರ್ಬದಿ ಕಾಣಸಿಗುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ OBA ಮೂರ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆ ∠OAB = ∠OBA = α ಮತ್ತು ∠OBC = ∠OCB = β ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಇದರಿಂದ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳು ∠CAB = α, ∠ACB = β, ∠ABC = α + β ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಯಾವುದೇ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ ∠CAB + ∠ACB + ∠ABC = α + β + α + β = 2(α + β ) = 180°
ಆದ್ದರಿಂದ α + β = 90° ಆಗುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಮೂಲೆ ∠ABC = α + β ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಮೂಲೆ ∠ABC = 90° ಆಗಿದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ ದುಂಡಗಲದಿಂದ ದುಂಡುಕದ ಯಾವುದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಗೆರೆಗಳನ್ನೆಳೆದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಮೂಲೆಯೂ ಸರಿಮೂಲೆಯಾಗಿದೆ (Right Angle).

ಉದಾಹರಣೆ: ಒಂದು ದುಂಡುಕದ ಒಳಗಿನ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ದುಂಡಗಲ BA ದಿಂದ ದುಂಡುಕದ ಬದಿ C ಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆ AC ಗೆ ಉಂಟಾಗುವ ಮೂಲೆ ∠CAB = 30° ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲೆ ∠CBA =x ನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ತೇಲ್ಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ ಯಂತೆ ∠BCA = 90° ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ ABC ಮೂರ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ ∠BCA + ∠CAB + ∠CBA = 90° + 30° + ∠CBA = 180°
ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲೆ ∠CBA = x = 60°

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಕಟ್ಟಲೆಗಳು ಹಲವಾರಿವೆ!

ಮೂರ್ಬದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಕಟ್ಟಲೆಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡೆವು. ಈ ಮೇಲಿನವುಗಳಲ್ಲದೇ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹಲವಾರು ಕಟ್ಟಲೆಗಳಿವೆ. ಆ ಕಟ್ಟಲೆಗಳು, ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದವರು, ಅವುಗಳ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ಆ ಕಟ್ಟಲೆಗಳು ಯಾವಾಗ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದವು ಅನ್ನುವುದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕಟ್ಟಲೆಗಳು	ಮೂರ್ಬದಿ ಬಳಕೆ	ಅರಿಗರು	ನಾಡು ಮತ್ತು ಅಂದಾಜು ಹೊತ್ತು
ಸರಿಇಬ್ಬದಿ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಕಟ್ಟಲೆ (Isosceles triangle theorem)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪಾಪಸ್ ಲೆಜಂಡ್ರೆ	ಗ್ರೀಕ್-ಈಜಿಪ್ಟ್, 300 BC ಗ್ರೀಕ್-ಈಜಿಪ್ಟ್ 300 BC ಪ್ರಾನ್ಸ್ 1800 AD
ಬದಿ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳ ಕಟ್ಟಲೆಗಳು: SAS, SSS, ASA, AAS, RHS	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ತೇಲ್ಸ್	ಗ್ರೀಕ್ -ಈಜಿಪ್ಟ್, 300 BC ಗ್ರೀಕ್, 600 BC
ನಿವೆನ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Niven’s Theoram)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು ಕಟ್ಟಲೆ ತಪ್ಪಿದ ಅಂಕಿ (Irrational Number)	ಇವಾನ್.ಎಂ.ನಿವೆನ್	ಕೆನಡಾ-ಅಮೆರಿಕ 1915 – 1999 AD
ಲಾಂಬರ್ಟ್ ಕೊಸೈನ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Lamberts cosine law)	ಮೂಲೆಗಳು, ಬೆಳಕಿನರಿಮೆ (Optics)	ಜೋಹಾನ್ ಹೆನ್ರಿಚ್ ಲಾಂಬರ್ಟ್	ಪ್ರಾನ್ಸ್, 1728 – 1777 AD
ಕೆಪ್ಲರ್ ಮೂರ್ಬದಿ (Kepler’s Triangle)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು, ಸರಿಪಟ್ಟೆಣಿಕೆಯ ಸಾಲು (Geometric Progression)	ಜೋಹಾನ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್	ಜರ್ಮನಿ, 1571 -1630 AD
ಸೆವಾ’ನ ಕಟ್ಟಲೆ (Ceva’s Theorem)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಜಿಯೊವನಿ ಸೆವಾ	ಇಟಲಿ, 1647 – 1734 AD
ಮೆನೆಲಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Menelaus’ theorem)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಮೆನೆಲಸ್	ಗ್ರೀಕ್ -ಈಜಿಪ್ಟ್, 100 BC
ಒಂಬತ್ತು ಚುಕ್ಕೆಯ ದುಂಡುಕ (Nine-point circle)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು, ದುಂಡುಕ	ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಆಯ್ಲರ್ ಓಲ್ರಿ ತೆರಕಂ ಕಾರ್ಲ್ ಪಿಯರ್ಬಾಚ್	ಸ್ವಿಟ್ಜರ್ಲ್ಯಾನ್ಡ್, 1707 – 1783 AD ಪ್ರಾನ್ಸ್, 1782 – 1862 AD ಜರ್ಮನಿ, 1800 – 1834 AD
ಹೆರೋನ್ ಸಾಟಿಕೆ (Heron’s Formula/Equation)	ಬದಿಗಳು, ಮೂಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಹರವು	ಹೆರೋನ್	ಗ್ರೀಕ್ -ಈಜಿಪ್ಟ್ 10 – 70 AD
ಆಯ್ಲರ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Euler’s theorem)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು, ದುಂಡುಕ	ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಆಯ್ಲರ್	ಸ್ವಿಟ್ಜರ್ಲ್ಯಾನ್ಡ್, 1707 – 1783 AD
ಕಾರ್ನಾಟ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Carnot’s theorem)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು, ದುಂಡುಕ	ಲಾಜರೆ ಕಾರ್ನಾಟ್	ಪ್ರಾನ್ಸ್, 1753 – 1823 AD
ಮೋರ್ಲೆಯ ಮೂರ್ಪಾಲು ಕಟ್ಟಲೆ (Morley’s trisector theorem)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಪ್ರಾಂಕ್ ಮೋರ್ಲೆ	1860 – 1937 AD ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್-ಅಮೆರಿಕಾ
ಸ್ಟೀನರ್ ಒಳಮೊಟ್ಟೆಸುತ್ತು (Steiner inellipse)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು, ಮೊಟ್ಟೆಗೆರೆ	ಜಾಕೋಬ್ ಸ್ಟೀನರ್	ಸ್ವಿಟ್ಜರ್ಲ್ಯಾನ್ಡ್, 1796 – 1863 AD
ಸಿಮ್ಸನ್ ಗೆರೆ (Simson’s Line)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು, ದುಂಡುಕ	ರಾಬರ್ಟ್ ಸಿಮ್ಸನ್	ಸ್ಕಾಟ್ಲ್ಯಾನ್ಡ್, 1687 – 1768 AD
ನಾಗೇಲ್ ಚುಕ್ಕೆ (Nagel Point)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು, ದುಂಡುಕ	ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಹೆನ್ರಿಚ್ ವಾನ್ ನಾಗೇಲ್	ಜರ್ಮನಿ, 1803 – 1882 AD
ಡೇಸಾರ್ಜಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Desargues’s theorem)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಗಿರಾರ್ಡ್ ಡೇಸಾರ್ಜಸ್)	ಪ್ರಾನ್ಸ್, 1591 – 1661AD
ಪೆರ್ಮಾಟ್ ಚುಕ್ಕಿ (Fermat Point)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಪಿಯರೆ ಡಿ ಪೆರ್ಮಾಟ್	ಪ್ರಾನ್ಸ್, 1607 – 1665 AD
ಹಡ್ವಿಂಜರ್-ಪಿನ್ಸ್ಲರ್ ಸರಿಯಿಲ್ಲದಿರುವಿಕೆ (Hadwiger–Finsler inequality)	ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು	ಹ್ಯೂಗೋ ಹಡ್ವಿಂಜರ್ ಪಾಲ್ ಪಿನ್ಸ್ಲರ್	ಸ್ವಿಟ್ಜರ್ಲ್ಯಾನ್ಡ್, 1908 – 1981 AD ಜರ್ಮನಿ-ಸ್ವಿಟ್ಜರ್ಲ್ಯಾನ್ಡ್ 1894 -1970 AD
ಪೆಡೊ’ನ ಸರಿಯಿಲ್ಲದಿರುವಿಕೆ (Pedoe’s inequality)	ಬದಿಗಳು, ಮೂಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಹರವು	ಡೇನಿಯಲ್ ಪೆಡೊ	ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್, 1910-1998 AD

ಚಟುವಟಿಕೆ: ಆಯ್ಲರ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Euler’s Theorem) ಸೇರಿದಂತೆ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕಟ್ಟಲೆಗಳ ಮಾಹಿತಿ ಕಲೆಹಾಕಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಿರಿ. ಈ ಕುರಿತು ಏನಾದರೂ ಮಾಹಿತಿ ಬೇಕಿದ್ದರೆ ’ಅರಿಮೆ’ಯ ಮಿಂಚೆ ವಿಳಾಸಕ್ಕೆ ಬರೆಯಿರಿ.

ಮೂರ್ಬದಿಯ ಹಳಮೆ:

1. ಹಿಂದೆ ಕಲ್ಲುಯುಗದ ಮಂದಿ (Stone age people) ಕಲ್ಲಿನ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಬೆಣಚುಕಲ್ಲಿನ ಉಳಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು. 2000 BC ಹೊತ್ತಿಗೆ ಸೇರಿದ ಕರ್ನಾಟಕದ ಸಂಗನಕಲ್ಲು-ಕುಪ್ಪಗಲ್ಲು ಎಂಬ ಹೊಸಗಲ್ಲುಯುಗದ (Neolithic) ತಾಣದಲ್ಲಿ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಕಲ್ಲಿನ ಉಳಿಗಳು ಸಿಕ್ಕಿವೆ.

2. ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪೆರೋ (Pharaoh) ಅರಸರು ಸುಮಾರು 2700 BC ಇಂದ 500 BC ಗಳವರೆಗೆ ಪಿರಮಿಡ್ಡುಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟಲು ಮೂರ್ಬದಿಯಾಕಾರವನ್ನು ಬಳಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದರು.

3. ಗ್ರೀಕಿನ ಹೆಸರಾಂತ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಹೊತ್ತಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಡಕದಲ್ಲಿ (Euclid’s Elements) ಮೂರ್ಬದಿಗಳ ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

4. ಸುಮಾರು 600 BC ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕಿನ ಹೆಸರಾಂತ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರಾದ ತೇಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಮೂರ್ಬದಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ಅರಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದರು.

(ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು : mathsisfun.com, mathalino.com, wyzant.com, jwilson.coe.uga.edu, padmad.org, coolmath.com, 4.bp.blogspot.com, faculty.wlc.edu)

ಚೌಕ

By admin 23/08/2016 16/09/2017 ಗಣಿತ

ನಾವಾಡುವ ಚೆಸ್ ಆಟದ ಮಣೆ, ಮನೆಯ ಟೈಲ್ಸ್ ಗಳು, ಹಾವು ಏಣಿ ಆಟದ ದಾಳ, ಅಂಚೆ ಚೀಟಿಗಳು ಇವೆಲ್ಲವೂ ‘ಚೌಕ’ಗಳಾಗಿವೆ (Square).

ನಮ್ಮ ದಿನದ ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ಹಾಸುಹೊಕ್ಕಾಗಿರುವ ಚೌಕದ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಚೌಕವು ನಾಲ್ಕು ಸರಿಯಳತೆಯ (Congruent) ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಒಂದು ಆಕೃತಿ.

ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿದ ಚೌಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳಾದ EF, FG, GH ಮತ್ತು HE ಗೆರೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸಮ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಹಾಗೆನೇ ಚೌಕವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಚೌಕವು ಸಮತಟ್ಟಾದ (planar) ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (Closed Shape)
ಚೌಕವು ನಾಲ್ಬದಿ (Quadrilateral) ಆಕೃತಿಯ ಒಂದು ಬಗೆಯಾಗಿದೆ.
ಚೌಕದ ಜೋಡಿ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿರುತ್ತವೆ (Perpendicular to each other)

ಚೌಕದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಗಳು.

ಬದಿ (Side): ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಬದಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ತುದಿ (Vertex): ಚೌಕದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸೇರುವೆಡೆಯನ್ನು ತುದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೂಲೆಗೆರೆ (Diagonal): ಚೌಕದ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಅದರ ಎದುರು ಮೂಲೆಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯೇ ಮೂಲೆಗೆರೆ.

ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter): ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವನ್ನು ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೂಲೆ (Angle): ಎರಡು ಜೋಡಿ ಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸೇರಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಎಡೆಯನ್ನು ಮೂಲೆ ಇಲ್ಲವೇ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ನಡು (Centre): ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಸೇರುವ ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ನಡು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಚೌಕದ ನಟ್ಟನಡುವಿನ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲ ಮೂಲೆಗಳಿಂದ ಸಮದೂರಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಚೌಕದ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷತೆಗಳು:

ಎರಡು ಜೋಡಿಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಮೂಲೆಗಳ ಕೋನ (Angle) 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನಡುವಿನಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಕೋನವೂ (Angle) 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು.
ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ (congruent).
ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಅದರ ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
ಚೌಕದ ಮೂಲೆಗೆರೆಯು ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಗಿಂತ √2 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಸುಮಾರು 1.414 ಪಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿ (Quadrilateral) ಆಕೃತಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ ಚೌಕದ ಸುತ್ತಳತೆಗೆ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಚೌಕದ ಹರವು (Area) ನಾಲ್ಬದಿ ಆಕೃತಿಯ ಹರವಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುತ್ತದೆ.
ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಸೀಳಿದಾಗ ಅದರ ಒಳಪಾಲುಗಳೂ ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಚೌಕ EFGH ನ್ನು ಅಡ್ಡ ಮತ್ತು ಉದ್ದವಾಗಿ ಐದು ಪಾಲು ಮಾಡೋಣ. ನಾವೀಗ ಇದರಲ್ಲಿ 25 ಚಿಕ್ಕ ಚಿಕ್ಕ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ಚೌಕವು ಆಯತದ (Rectangle) ಒಂದು ಬಗೆಯೂ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಳತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಆಯತವು ಚೌಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಚೌಕವು ಒಂದು ನಾಲ್ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ (Parallelogram), ಅಂದರೆ ಅದರ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮನಾಂತರವಾಗಿವೆ (Parallel to each other).
ಚೌಕವನ್ನು ಓರೆಯಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಹರಳಾಕೃತಿಯಾಗುತ್ತದೆ (Rhombus).
ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ಮೂಲೆಯೊಂದರ ಕೋನ 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಇದರ ಮೂಲೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಕೋನ 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

1. ಚೌಕದ ಸುತ್ತಳತೆ (perimeter):

ಈಗ ಚೌಕದ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಚೌಕದ ಬದಿ (Side) = a, ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter) = P ಎಂದಾಗಿರಲಿ,

ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಚೌಕವು ಒಟ್ಟು ನಾಲ್ಕು ಸರಿಯಳತೆಯುಳ್ಳ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ

P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = HE + EF + FG + GH = a + a + a + a + a = 4 x a = 4a

ಸುತ್ತಳತೆ P = 4a

ಉದಾಹರಣೆ: ಚೌಕ EFGH ಬದಿಯ ಉದ್ದ a = 7cm ಆಗಿರಲಿ, ನಾವೀಗ ಇದರ ಸುತ್ತಳತೆ P ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಸುತ್ತಳತೆ P = 4a = 4 x a = 4 x 7 = 28cm;

ಸುತ್ತಳತೆ P = 28cm

2.ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ಮೂಲೆಗೆರೆ (Diagonal) = EG = d , ಬದಿಗಳು (Sides) = EF + FG = GH = HE = a ಆಗಿರಲಿ.

ಮೂಲೆಗೆರೆ EG ಯು ಚೌಕವನ್ನು ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳನ್ನಾಗಿ (Triangle) ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ನಮಗೆ EGH ಮತ್ತು EFG ಎಂಬ ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳು ಕಾಣಸಿಗುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಇದರಲ್ಲಿ EFG ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಈ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬದಿ EF = a, FG = a ಮತ್ತು GE = d ಆಗಿವೆ.

ನಾವಿಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ ಏನೆಂದರೆ EF ಮತ್ತು FG ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿವೆ (Perpendicular), ಆದ್ದರಿಂದ EFG ಒಂದು ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಗಿದೆ (Right Angle Triangle). ಇದರಲ್ಲಿ GE ಯು ಉದ್ದಬದಿ (Hypotenuse)=d ಆಗಿದೆ.

ಈಗ ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯ (Pythagoras Theoram) ಮೂಲಕ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Pythagoras Theorem):

ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ (right angle triangle), ಉದ್ದಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿಯು (Square of hypotenuse) ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ GE²= EF² + FG²

d²= a²+ a²= 2 a²

ಎರಡು ಕಡೆ ಇಮ್ಮಡಿ ಮೂಲವನ್ನು (Square root) ತೆಗೆದಾಗ d = √2 x a=√2a ಆಗುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ EFG ಮೂರ್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯು (Hypotenuse of a triangle) ಚೌಕದ ಮೂಲೆಗೆರೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ (Diagonal of a Square) ಮೂಲೆಗೆರೆ GE ಯ ಉದ್ದ d = √2a ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:

EFGH ಎಂಬ ಚೌಕದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ EF = a = 17cm ಆಗಿರಲಿ, ಇದರಿಂದ ಮೂಲೆಗೆರೆ GEಯ ಉದ್ದ d ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮೂಲೆಗೆರೆ GE ಯ ಉದ್ದ d = √2 x a = √2 x 17 = 1.41 x 17= 24.04 cm

3. ಚೌಕದ ಹರವನ್ನು (area) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ಅಗಲವನ್ನು ಉದ್ದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಆಯತದ (rectangle) ಹರವು ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಚೌಕವೂ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚೌಕದ ಹರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಬದಿ EH = a ಚೌಕದ ಅಗಲವಾಗಿರಲಿ , HG = a ಚೌಕದ ಉದ್ದವಾಗಿರಲಿ, ಹರವು (Area)=A ಆಗಿರಲಿ.

ಹರವು (Area) = A = ಉದ್ದ x ಅಗಲ = HG x EH = a x a = a²

ಹರವು A = a²

ಉದಾಹರಣೆ 1:

ಒಂದು ಚೌಕ ಆಕಾರದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ಬಿಡಿ ಹಾಸುಗಲ್ಲಿನ ಬದಿ a = 11mm ಆದಾಗ ಚೌಕದ ಹರವು A ಅನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯೋಣ.

ಹರವು A = a² = 11²= 121 mm²

ಉದಾಹರಣೆ 2:

ಚೌಕ ಆಕಾರದ EFGH ಎಂಬ ಒಂದು ಹಸಿರು ಹುಲ್ಲಿನ ಗದ್ದೆಯ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲೆಗೆ 10 ಮೀಟರ್ ಉದ್ದವಿದೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಗದ್ದೆಯು ಎಷ್ಟು ಹರವಿಕೊಂಡಿದೆ (Area occupied) ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೂಲೆಗೆರೆ GE = d = 10m ಆಗಿದೆ.

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದ d = √2a ಆಗಿರುತ್ತದೆ

ಮೇಲಿನ ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯಿಂದ GE²= EF² + FG² = d²= 2 a²ಆಗುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ a²= d²/2 , ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ಹರವು A = a²

ಆದ್ದರಿಂದ ಹಸಿರು ಹುಲ್ಲಿನ ಗದ್ದೆಯ ಹರವು A = a²= d²/2 = 10²/2 = 100/2 = 50 m²ಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 3:

EFGH ಚೆಸ್ ಆಟದ ಮಣೆಯ ಒಂದು ಮನೆಯ ಬದಿಯ ಉದ್ದ 2cm, ಇದರಿಂದ ನಾವು ಇಡೀ ಚೆಸ್ ಆಟದ ಮಣೆಯ ಹರವನ್ನು (Area) ಕಂಡು ಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮನೆಯ ಒಂದು ಬದಿ = a = 2cm ಹರವು = A ಆಗಿರಲಿ.

ಚೆಸ್ ಮಣೆಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮನೆಗಳು ಮತ್ತು ಇಡೀ ಚೆಸ್ ಮಣೆ ಚೌಕ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ. ಚೆಸ್ ಮಣೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯು ಒಟ್ಟು 8 ಮನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಚೌಕದ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದ ಎಲ್ಲಾ ಎಂಟು ಮನೆಗಳ ಒಂದು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬದಿ EF = FG = GH = HE = 8 x a = 8a = 8 x 2 = 16 cm ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ಹರವು A = (ಬದಿ)² = 16² = 256 cm²

ಆದ್ದರಿಂದ ಚೌಕದ ಹರವು A = 256 cm²

ಚೌಕ ಬಿಡಿಸುವ ಆಟ:

ನೀವು ಚಂದವಾದ ಮತ್ತು ಕರಾರುವಕ್ಕಾದ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಬಿಡಿಸಬೇಕೇ? ಹಾಗಾದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಂತೆ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಮೂಡಿಸಿ ನೋಡಿ.

ಮೂಡಿಸುವ ಬಗೆ:

ಕಯ್ವಾರವನ್ನು (Geometric Compass) ಒಂದು ಸುತ್ತುಹಾಕಿ ಒಂದು ದುಂಡುಕವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ, ನಂತರದಲ್ಲಿ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಒಂದು ದುಂಡಗಲದ (Diameter) ಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದರ ನಡು (ಕೈವಾರದ ಮುಳ್ಳು ಚುಚ್ಚಿಸಿದ ಚುಕ್ಕೆ) O ಆಗಿರಲಿ, ದುಂಡಗಲದ ಒಂದು ಬದಿಗಳು A ಮತ್ತು B ಆಗಿರಲಿ. (ದುಂಡುಕ1 ನೋಡಿ)
ಕಯ್ವಾರದ ಮುಳ್ಳನ್ನು A ಚುಕ್ಕೆಯಲ್ಲಿಟ್ಟು ಕಯ್ವಾರದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ಲಿನಿಂದ ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನ ನಂತರದ ಮೇಲ್ಬಾಗದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಬಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾದರೂ ಒಂದು ಕಮಾನನ್ನು (Arc) ಎಳೆಯಿರಿ. ಕಯ್ವಾರದ ಅದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಅದೇ ರೀತಿ ಎದುರುಬದಿ C ಯಿಂದ ಮೇಲೆಕೆಳೆಗೆ ಇನ್ನೆರಡು ಕಮಾನುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. (ದುಂಡುಕ2, ದುಂಡುಕ3, ದುಂಡುಕ4 ನೋಡಿ)
ಕಮಾನು ಕತ್ತರಿಸುವ ನಡುವಿಂದ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲಿಂದ ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಈಗ ನಮಗೆ ದುಂಡುಕದ ಮೇಲೆ A,B,C,D ನಾಲ್ಕು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಮೂಡಿವೆ, ನಂತರದಲ್ಲಿ ದುಂಡುಕದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಚುಕ್ಕೆಗೆ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಹೀಗೆ ನಮಗೊಂದು ಚೆಂದವಾದ ಚೌಕವು ಸಿಗುತ್ತದೆ. (ದುಂಡುಕ5, ದುಂಡುಕ6, ದುಂಡುಕ7 ನೋಡಿ)

ಚೌಕದ ಹಳಮೆ:

ಸುಮಾರು 4000 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ನರು ಹಲಾವಾರು ಮಟ್ಟಾಕೃತಿಯ (Frustum) ಪಿರಮಿಡ್ ಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುತ್ತಿದ್ದರು, ಮಟ್ಟಾಕೃತಿ ಅಂದರೆ ಬುಡದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಆಕಾರವಿರುತ್ತದೋ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಮಟ್ಟವಾದ ಅದೇ ಆಕಾರವಿರುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಚೌಕದ ಮಟ್ಟಾಕೃತಿ (Square Frustum).
ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಗ್ರೀಕಿನ ಒಬ್ಬ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರು, ಅವರ ಕಾಲ ಸುಮಾರು 500 BC. ಅವರು ತಮ್ಮ ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ (Right Angle Triangle) ಕಟ್ಟಲೆಯನ್ನು ಒರೆಹಚ್ಚಲು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರು.

(ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು: mathopenref.com, Wikipedia, newworldencyclopedia.org)

ದುಂಡುಕ

By admin 27/07/2016 16/09/2017 ಅರಿಮೆ (Science), ಗಣಿತ

ನಾವು ದಿನಾಲೂ ದುಂಡಾಗಿರುವ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾ ಇರುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬೈಕಿನ ಚಕ್ರಗಳು, ಊಟದ ತಟ್ಟೆಗಳು, ಡಬ್ಬಿಗಳು, 1-2 ರೂಪಾಯಿಯ ಚಿಲ್ಲರೆಗಳು, ಇವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ದುಂಡಾಕಾರವಾಗಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆ. ಅಷ್ಟೇ ಏಕೆ ನಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗುಡ್ಡೆಯಿಂದ ಹಿಡಿದು ಭೂಮಿ, ಸೂರ್ಯ, ಚಂದ್ರ ಎಲ್ಲವೂ ದುಂಡಗಿನ ಆಕಾರದಲ್ಲಿವೆ!.

ದುಂಡಾಕಾರಗಳ ಮೂಲ ದುಂಡುಕದ (Circle) ಬಗ್ಗೆ ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ದುಂಡುಕವು ಚುಕ್ಕೆಗಳಿಂದಾದ ಒಂದು ತಿರುವುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ.
ಇದೊಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ (planar) ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿ.
ದುಂಡುಕದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಚುಕ್ಕೆಗಳು, ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನಿಂದ ಸರಿ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ (Equidistance). ಈ ಸರಿದೂರವನ್ನು ದುಂಡಿ (radius) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ದುಂಡುಕದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಗಳೆಂದರೆ,

ನಡು (Centre): ದುಂಡುಕದ ನಟ್ಟ ನಡುವಿನ ಭಾಗವಿದು.

ದುಂಡಗಲ (Diameter): ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಬದಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಗೆರೆಗೆ ದುಂಡಗಲ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ದುಂಡುಕದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ನಡುವೆ ಎಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಉದ್ದವಾದ ಗೆರೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯವೆಂದರೆ ದುಂಡಗಲವು (diameter), ದುಂಡಿಯ (radius) ಎರಡುಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ದುಂಡಳತೆ (Circumference): ದುಂಡುಕದ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ದುಂಡಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ದುಂಡುಕದ ಇತರ ಭಾಗಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ,

ಬದಿಗೆರೆ (Chord): ದುಂಡುಕದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಗೆರೆ ಇದು. ಗಮನಿಸಿ, ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ದುಂಡಗಲ ಕೂಡ ಒಂದು ಬದಿಗೆರೆ.
ಸೀಳುಗೆರೆ (Secant): ದುಂಡುಕವನ್ನು ಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಳಿ ಹೊರಗೆ ಹಾದು ಹೋಗುವ ಬದಿಗೆರೆಯನ್ನು ಸೀಳುಗೆರೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ತಗಲುಗೆರೆ (Tangent): ದುಂಡುಕದ ಹೊರಗಿನ ಯಾವುದೇ ಬದಿಗೆ ತಗಲಿಕೊಂಡಿರುವ ಗೆರೆಯನ್ನು ತಗಲುಗೆರೆ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
ಕಮಾನು (Arc): ದುಂಡಳತೆಯ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ತುಣುಕನ್ನು ಕಮಾನು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ದುಂಡುತುಣುಕು (Sector): ಎರಡು ದುಂಡಿಗಳು ಕಮಾನಿನ ಜೊತೆ ಸೇರುವ ಜಾಗವನ್ನು ದುಂಡುತುಣುಕು ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
ಒಳತುಣುಕು (Segment): ನಡುವೊಂದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ದುಂಡುಕದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಒಳ ಭಾಗವನ್ನು ಒಳತುಣುಕು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೇಲಿನ ಭಾಗಗಳ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷತೆಗಳು ಹೀಗಿವೆ,

ಎರಡು ಬದಿಗೆರೆಗಳು (chords) ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನಿಂದ ಸರಿ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಉದ್ದವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನಿಂದ ಬದಿಗೆರೆಗೆ ಎಳೆದ ನೇರ‍ಡ್ಡ (perpendicular) ಗೆರೆಯು ಬದಿಗೆರೆಯನ್ನು ಸಮಪಾಲಾಗಿ ಇಬ್ಬಾಗಿಸುತ್ತದೆ
ದುಂಡಗಲವು (diameter) ದುಂಡುಕದ ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಬದಿಗೆರೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ದುಂಡುಕದ ತಗಲುಗೆರೆಗೆ (Tangent) ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯು ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಸರಿಪಾಲು ದುಂಡುಕ (Semi Circle): ದುಂಡುಕದ ಒಟ್ಟು ಹರವಿನ (Area) ಅರ್ಧಭಾಗವನ್ನು ಸರಿಪಾಲು ದುಂಡುಕ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ದುಂಡಳತೆಯೂ ಒಟ್ಟು ದುಂಡಳತೆಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ದುಂಡುಕದ ಭಾಗಗಳ ಅಳತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಅಳತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದಕ್ಕಿಂತ ಮುನ್ನ, ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹಲವೆಡೆ ಬಳಕೆಯಾಗುವ π (ಪೈ) ಬಗ್ಗೆ ಚುಟುಕಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ದುಂಡಳತೆಯನ್ನು (circumference) ದುಂಡಗಲದಿಂದ (diameter) ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು π (ಪೈ) ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

π ಹಲವು ವಿಶೇಷತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ,

π ಒಂದು ನೆಲೆಬೆಲೆ (constant value). ಅಂದರೆ ದುಂಡುಕವು ಚಿಕ್ಕದು, ದೊಡ್ಡದು, ಯಾವುದೇ ಅಳತೆಯದ್ದಾಗಿರಲಿ π ಬೆಲೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
π ಒಂದು ಕಟ್ಟಲೆತಪ್ಪಿದ ನೆಲೆಬೆಲೆ (Irrational constant) ಅಂದರೆ ಇದರ ಬೆಲೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಅದರ ಪಾಲುಗಳು (fractions) ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದೇ ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತವೆ, 3.14159265358979323846264338… (ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಡೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿ 3.142 ಬೆಲೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.)

ಈಗ ದುಂಡುಕದ ಭಾಗಗಳ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರತ್ತ ಮುನ್ನಡೆಯೋಣ,

1. ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆ (circumference) = C, ದುಂಡಗಲ (diameter) = d ಮತ್ತು ದುಂಡಿ (radius) = r ಎಂದಾಗಿರಲಿ

ಈ ಮುಂಚೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಂತೆ, π ಬೆಲೆಯು ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆಯನ್ನು (C) ದುಂಡಗಲದಿಂದ (d) ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಿಗುವ ಒಂದು ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ದುಂಡಿಯು (r) ದುಂಡಗಲದ (d) ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ,

π = c / d … (1)

d = 2 * r … (2)

ಹಾಗಾಗಿ ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆಯ ನಂಟು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ,

c = π * d (ಸಾಟಿಕೆ 1 ರಿಂದ)

c = π * 2 * r (ಸಾಟಿಕೆ 1 ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ)

c = 2πr = πd (ಏಕೆಂದರೆ 2r = d)

ಅಂದರೆ,

ದುಂಡಳತೆ = 2 * π * ದುಂಡಿ = π * ದುಂಡಗಲ

ಉದಾ:

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ದುಂಡಗಲ (d) =10 cm

ಹಾಗಾಗಿ, ದುಂಡಳತೆ (c) = π * 10 = 3.142 * 10 = 31.42 cm

ಗಮನಿಸಿ, 10 cm ದುಂಡಗಲ ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲಿನ ದುಂಡುಕವನ್ನು ಒಂದೆಡೆ ಕತ್ತರಿಸಿ, ಬಿಚ್ಚಿ ಹರಡಿದರೆ ಅದರ ಉದ್ದವು 31.42 cm ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ನಾವು ಅವರಿವರ ಜಮೀನು ಒಂದು ಎಕರೆ-ಎರಡು ಎಕರೆ ಇದೆ ಅಂತ ಕೇಳುತ್ತಿರುತ್ತೇವಲ್ಲವೇ, ಈ ಎಕರೆ (Acre), ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್, ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಎಂಬುವುದು ಜಾಗ ಹರಡಿಕೊಂಡ ಹರವು (Area), ಹಾಗೆಯೇ ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕೂಡ ಅಳೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಿಯನ್ನು r ಮತ್ತು ದುಂಡುಕದ ಒಟ್ಟು ಹರವನ್ನು(A) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಗಣಿತದ ನಂಟಿನಿಂದ ಅಳೆಯಬಹುದು,

A = π * r ²

ಉದಾಹರಣೆ:

ದುಂಡಿ r = 2 m ಎಂದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಆಗ,

ದುಂಡುಕದ ಹರವು A = π * r ²= π * 2²= 3.142 x 4= 12.57 m²

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಗಣಿತದ ನಂಟು, A = π * r ² ನ್ನು ಗೊತ್ತಿರುವ ಬೇರ‍ೆ ನಂಟುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಹಲವು ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇಂತಹ ಒಂದು ಸುಲಭವಾದ ಬಗೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ದುಂಡುಕವನ್ನು 12 ಪಾಲು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ (ನಮಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗುವ ತರಹ ಇದನ್ನು ಪಾಲು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ 12 ಪಾಲು ಮಾಡಿದ್ದು ಉದಾಹರಣೆಯಷ್ಟೇ).

ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಿಯನ್ನು r ಮತ್ತು ದುಂಡಳತೆ C ಎಂದು ತೆಗೆದು ಕೊಳ್ಳೋಣ.

(ಚಿತ್ರ 1)

ಈಗ ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ದುಂಡುಕದ ತುಣುಕು 1 ನ್ನುಇಬ್ಬಾಗಿಸಿ, ದೊರೆತ ತುಣುಕನ್ನು 13 ಎಂದು ಹೆಸರಿಸೋಣ. (ಚಿತ್ರ 2)

ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿರುವ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಜೋಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

(ಚಿತ್ರ 3)

ಜೋಡಿಸಿದ ನಂತರ ಅದು ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ಚಿತ್ರ 4 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ನಾಲ್ನೇರಬದಿ (Rectangle) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

(ಚಿತ್ರ 4)

ಚಿತ್ರ 4 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣುವ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ (Rectangle) ಎತ್ತರವು ದುಂಡಿ r ಆಗಿದೆ.

ದುಂಡಳತೆ C, ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಹಂಚಿಹೋಗಿದ್ದರಿಂದ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ ಅಗಲವು C/2 ಆಗಿದೆ.

ಅಗಲವನ್ನು ಎತ್ತರದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ ಹರವು ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ ನಾವು ದುಂಡಳತೆ (C) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದುಂಡುಕದ ಹರವಿನ ನಂಟನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ ಹರವು = ದುಂಡುಕದ ಹರವು =

A = ಅಗಲ x ಎತ್ತರ = (C/2) * r = (2 πr / 2) * r (ಏಕೆಂದರೆ C = 2 πr)

ಹಾಗಾಗಿ,

ದುಂಡುಕದ ಹರವು (area of circle), A = π * r²

ಈ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನೀವು ಕಾಗದದ ಹಾಳೆ ಇಲ್ಲವೇ ರಟ್ಟನ್ನು ದುಂಡಾಕಾರವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿಕೊಂಡು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು ಹಾಗೂ ದುಂಡುಕದ ಹರವಿನ (area) ಅಳತೆಯ ಜೊತೆ ದುಂಡುಕದ ತುಣುಕುಗಳಿಂದಾದ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ (rectangle) ಹರವಿನ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಬಹುದು.

ದುಂಡುಕದ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗಿದು ಗೊತ್ತಿರಲಿ:

ಮನುಷ್ಯ ಸಾವಿರಾರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದದ್ದು, ದುಂಡುಕದ ಅರಕೆಗೆ (research) ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು.
ಇಂಗ್ಲೀಶಿನ Circle (ಸರ್ಕಲ್) ಎಂಬ ಪದವು ಗ್ರೀಕಿನ krikos (ಕ್ರಿಕೋಸ್) ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಬಂದಿದೆ ಇದರ ಅರ್ಥ ’ಬಳೆ’ ಇಲ್ಲವೇ ’ದುಂಡು’ ಎಂದು.
ದುಂಡಾಕಾರವು ಕಲ್ಲುಯುಗದ ಕಾಲದಿಂದ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದೆ. ಕಲ್ಲುಯುಗದ ಹಲಾವಾರು ಸಲಕರೆಣೆಗಳು ಈ ಆಕಾರದಲ್ಲಿವೆ.
ಗ್ರೀಕಿನ ಬಾನರಿಗ ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಪ್ಲೇಟೋ (ಕ್ರಿಸ್ತ ಮುನ್ನ 400) ಬರೆದ ಸವೆಂತ್ ಲೆಟರ್ (Seventh letter) ಹೊತ್ತಗೆಯಲ್ಲಿ ದುಂಡುಕದ ಬಗ್ಗೆ ಬಿಡಿಸಿ ಹೇಳಿದ್ದಾನೆ.
ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಮೂರನೇ ಹೊತ್ತಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ (Euclid’s elements) ದುಂಡುಕದ ಹುರುಳುಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ.
ಕ್ರಿಸ್ತ ಮುನ್ನ ಸುಮಾರು 200 ರಲ್ಲಿ ಬಾಳಿದ ಗ್ರೀಕಿನ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಎಂಬ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ದುಂಡುಕದ ಕುರಿತು ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾನೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆಯು ಇಂತಹ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲೊಂದು.

(ಬರಹದ ಸೆಲೆಗಳು: jwilson.coe.uga.edu, wikipedia, mathsisfun.com, perseus.tufts.edu)

(ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು: mathsisfun.com, wikipedia)

Tag: ಗಣಿತ