ಉದ್ದದುಂಡು

ನಾವು ದಿನಾಲೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ದದುಂಡು (Ellipse) ಆಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿರುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳು ಉದ್ದದುಂಡು  ಆಕಾರದ  ಗಡಿಯಾರಗಳು, ಕನ್ನಡಿಗಳು, ಚೆಂಡುಗಳು, ಕಲ್ಲುಗಳು, ತಟ್ಟೆಗಳು, ಕುಂಬಳಕಾಯಿ, ಕ್ಯಾಪ್ಸೂಲ್ ಮಾತ್ರೆಗಳು ಇನ್ನಿತರ ಹತ್ತು ಹಲವಾರು ವಸ್ತುಗಳಾಗಿರಬಹುದು.

Image1 EL

ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರ ಎಂದರೇನು?.

ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರವೆಂದರೆ ನಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಳೆಯುವುದೇನೆಂದರೆ.

  • ಸ್ವಲ್ಪ ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ದುಂಡಾಕಾರದ ವಸ್ತು.
  • ಒಂದು ದುಂಡಾಕಾರದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹಿಗ್ಗಿಸಿದಂತೆ ಇಲ್ಲವೇ ಎಳೆದಂತೆ ಕಂಡು ಬರುವ ಆಕಾರ.
  • ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ಮೊಟ್ಟೆಯನ್ನು ಹೋಲುವ ಆಕಾರ.

ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ (ಗಣಿತ) ಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಹೇಳಬಹುದು.

  • ಹೇಳಿಕೆ 1: ಉದ್ದದುಂಡು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (Closed Shape), ಇದರ ಒಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus Points) ಅದರ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆಗೆ (Loucs Points) ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Constant value).

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image2 EL

  • ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವು ಒಂದು ಉದ್ದದುಂಡು (ellipse) ಆಗಿದೆ.
  • ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಒಳಗೆ F1 ಮತ್ತು F2 ಎಂಬ  ಎರಡು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿವೆ (Focal points)
  • ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಮೇಲೆ Q, P ಮತ್ತು C ಎಂಬ ಮೂರು ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು (Locus Points) ಇಡಲಾಗಿದೆ.
  • ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ Q ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1Q ಮತ್ತು F2Q ಆಗಿವೆ.
  • ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ P ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1P ಮತ್ತು F2P ಆಗಿವೆ.
  • ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ C ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1C ಮತ್ತು F2C ಆಗಿವೆ.
  • ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯಂತೆ F1Q + F2Q = F1P + F2P = F1C + F2C = 2a ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ a ಎಂಬುವುದು ಒಂದ್ದು ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Constant value).

 

ಹೇಳಿಕೆ 2: ಲಾಳಿಕೆ ಆಕೃತಿಯನ್ನು (Cone shape) ಓರೆಯಾಗಿ ಸೀಳಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವುದೇ ಉದ್ದದುಂಡು. ಹೇಗೆ ಅಂತೀರಾ !?, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

image3 ELಮೇಲಿನ ಲಾಳಿಕೆಯಾಕೃತಿಯನ್ನು (Cone shape) ಓರೆಯಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಉದ್ದದುಂಡು (Ellipse) ಉಂಟಾಗಿದ್ದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು !.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಭಾಗಗಳು (Parts of Ellipse):

Image4 ELಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Major axis): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವೆ ಹಾದುಹೊದ ಹಿರಿದಾದ ನಡುಗೆರೆ.

ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Minor axis): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಗೆ ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ (Perpendicular) ಹಾದುಹೊದ ಕಿರಿದಾದ ನಡುಗೆರೆ.

ನಡು (Centre):  ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ ಮತ್ತು ಕಿರುನಡುಗೆರೆಗಳು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುವೆಡೆಯಲ್ಲಿ ನಡು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ..

ತುದಿ (Vertex): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಂದ ಹಾದುಹೊದ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ತುದಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಒಡತುದಿ (Co-Vertex): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಂದ ಹಾದುಹೊದ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಡತುದಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆ (Focus points): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಒಳಗೆ ಯಾವುದೇ ನೆಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಚುಕ್ಕೆ, ಉದ್ದದುಂಡುವಿನಲ್ಲಿ ಈ ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳು ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯ (Major axis) ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿನಿಂದ ಈ ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಸರಿದೂರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

ತಿರುಗು ಚುಕ್ಕೆ (Locus Points): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತಿರುವ ಯಾವುದೇ ಚುಕ್ಕೆ,

ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter)

ನಾವು ಹಲವಾರು ಆಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಆದರೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಇವೆ.

Image5 EL

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 1:

Image6 EL

  • ಇಲ್ಲಿ h = (a – b)2 /(a + b)2
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.

ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಿಡಿಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

Image7 ELಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲೆಯಿಲ್ಲದ ಮೊತ್ತದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Infinite Sum formula) ಎಂದು ಕರೆಯುವರು,ಇದು ಹೆಚ್ಚು ದಿಟವಾದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 2:

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಎಣಿಕೆಯರಿಗ (Mathematician) ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದರು.

Image8 EL

  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 3:

ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹೆಚ್ಚು ದಿಟವಾದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

Image9 EL

  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 4:

  • ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis) ಉದ್ದವು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯ (Semi Minor axis) ಮೂರುಪಟ್ಟಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. i.e a < 3b, ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಸುಲಭವಾಗಿ ಉದ್ದ ದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುವುಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸುತ್ತಳತೆಯ ದಿಟಬೆಲೆಗಿಂತ 5% ಹೆಚ್ಚು-ಕಡಿಮೆ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

Image10 EL

  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • a < 3b
  • π = 3.14159.
  • e a < 3b
  • ಉದಾಹರಣೆಗೆ: b = 5, a = 10 => 10 < 3 x 5 => 10 < 15 ಆದಾಗ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

 

ಉದಾಹರಣೆ : ಒಂದು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯು (Semi Major Axis) 19 ft ಮತ್ತು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯು (Semi Minor Axis) 9 ft  ಆದಾಗ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು (Perimeter) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Image11 EL

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೇಲಿನ ಯಾವುದಾರೂ ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ 2 ನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image12 EL

  • ಇಲ್ಲಿ a = 19ft  ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿ b = 9 ft  ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.
  • ಸುತ್ತಳತೆ p = 14159 [ 3(19 + 9) – √(3 x 19 + 9)(19 + 3 x 9)]

              p = 3.14159 [84 – √(66)(46)]

p = 3.14159 [84 -√3036]

p = 3.14159 [84 – 55.1] = 3.14159 x 28.9 = 90.791951 ft

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆ 90.791951 ft ಆಗಿದೆ

 

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವು(Area of an Ellipse):

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವನ್ನು A = πab ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

  • ಉದಾಹರಣೆ : ಕೆಳಗಡೆ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಸ್ನಾನ ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಒಂದು ಸೋಪನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis line) a = 10cm ಮತ್ತು ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Semi Minor axis line) b = 7cm ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಅದರ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಸೋಪಿನ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ಹರವೆಷ್ಟು?

Image13 EL

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವು A = πab.

                                    A = 3.14159 x 10 x 7 = 219.911 cm2

ಸೋಪಿನ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಹರವು 219.911 cm2  ಆಗಿದೆ.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Equation of ellipse):

ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕಾರವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಆಕಾರವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಲು ನಾವು ಚುಕ್ಕೆಗುರುತನ್ನು(Coordinate system) ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

Image14 ELಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ  ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸೋಣ.

Image15 EL

  • ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis line) a = 2 ಮತ್ತು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Semi Minor axis line) b = 1 ಆಗಿದೆ.
  • ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಬರೆದಾಗ y = (1/a) x  √ (a2 b2  – x2 b2) ಆಗುತ್ತದೆ.
  • ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಮಾರ್ಪುಕಗಳಾಗಿವೆ (Variables).
  • ಚುಕ್ಕೆಗುರುತಿನ (Coordinates graph) ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ a=2, b=1 ಆದಾಗ x = [ -2, -1, 0, 1, 2 ] ಬೆಲೆಗಳನ್ನು y = (1/a) x  √ (a2 b2  – x2 b2) ಯಲ್ಲಿ  ಹಾಕಿ y ನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡು ಮೇಲಿನ ಉದ್ದದುಂಡುಕವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ದುಂಡುತನ (Eccentricity):

ಒಂದು ಬಾಗಿದ ಆಕೃತಿಯು (Curved shapes) ಎಷ್ಟು ದುಂಡಾಗಿದೆ ಎಂಬುವುದನ್ನು ದುಂಡುತನ (Eccentricity) ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಡುಬೇರ್ಮೆಯಳತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು.

Image17 ELಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ದುಂಡುತನವನ್ನು (Eccentricity of the Ellipse) ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು,

e = c/a

  • e ಎಂಬುವುದು ದುಂಡುತನದ ಗುರುತಾಗಿದೆ.
  • c ಎಂಬುವುದು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಗೆ (Centre of the Ellipse) ಇರುವ ದೂರ
  • a ಎಂಬುವುದು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ತುದಿಗೆ ಇರುವ, ಇಲ್ಲಿ ತುದಿಗೆ (Vertex) ಇರುವ ದೂರ.
  • ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ: ದುಂಡುಕದಲ್ಲಿ (Circle) ದುಂಡುತನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (e = 0), ಆದರೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ದುಂಡುತನವು ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಜಾಸ್ತಿ ಇದ್ದು, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಮ್ಮಿ ಇರುತ್ತದೆ. 1 > e > 0.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹಳಮೆ:

  • 380–320 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಮೆನಚ್ಮ್ಯಾಸ್ (Menaechmus) ಎಂಬ  ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಉದ್ದ  ದುಂಡುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆಮಾಡಿದ್ದನು.

Image18 EL

  • ಸುಮಾರು 300 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಮತ್ತು ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ಅರಕೆಗಳನ್ನುಮಾಡಿದ್ದರು.
  • 290 -.350 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಪಾಪಸ್ (Pappus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯ (Foci of the Ellipse) ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆ ಮಾಡಿದ್ದನು.
  • 1602 CE ಯಲ್ಲಿ ಜೋಹಾನ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್ (Johannes Kepler) ನೇಸರನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವ ಮಂಗಳ ಗ್ರಹದ ಸುತ್ತುದಾರಿಯು (Orbit) ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದನು.

ಚಟುವಟಿಕೆ:

  1. ಮೊಟ್ಟೆಯಾಕಾರ (Oval shape) ಮತ್ತು ಉದ್ದದುಂಡು Ellipse shape) ಆಕಾರಕ್ಕೂ ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.
  2. ದುಂಡುಕದಲ್ಲಿ (Circle) ದುಂಡುತನವು (Eccentricity) ಏಕೆ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ.

(ಸೆಲೆ: askiitians.com, mathsisfun.com, mathopenref.com/ellipseeccentricity, mathsisfun.com/geometry, Wikipedia)

ಪಾಲುಗಳು (fractions) – ಭಾಗ 2

ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳೆಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂರು ಬಗೆಗಳಾದ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳು, ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳು ಹಾಗು ಬೆರಕೆ ಪಾಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡೆವು, ಇನ್ನೂ ಮುಂದುವೆರೆದು ಅದರ ಮತ್ತಿತರ ಬಗೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

4. ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳು (Equivalent fractions):

ಯಾವುದೇ ಒಂದಿಷ್ಟು ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳನ್ನು ಎರಡು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ, ನಾಲ್ಕು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಮತ್ತು ಎಂಟು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗು ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕದ ಅರ್ಧಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೋಡೋಣ.

(ಗಮನಿಸಿ: ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಾಗ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಅಥವಾ ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡಿದ್ದೇವೆ).

fractions_2_1

ಬಗೆ 1:
ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತೊಂದು ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ ಬಂದರೆ ಅವೆರೆಡು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗುತ್ತವೆ.

ಮೊದಲನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/2, ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗೆ 4 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (4×1)/(4×2) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 2/4, ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗೆ 2 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (2×2)/(2×4) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 4/8, ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗೆ 1 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (1×4)/(1×8) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಹಾಗಾಗಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳ ಬೆಲೆ 4/8 ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಿಯಾಯಿತು ಹಾಗು ಇಲ್ಲಿ ಎಂಟರಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಅಂದರೆ ಅರ್ಧಭಾಗ ಎಂದಾಯಿತು, ಹಾಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕದ ಅರ್ಧ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

ಬಗೆ 2:

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಒಂದನೇ ಪಾಲು, ಪಾಲು1 = ಮೇಲೆಣಿ1/ಕೀಳೆಣಿ1 ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲು , ಪಾಲು2 = ಮೇಲೆಣಿ2/ಕೀಳೆಣಿ2 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗಳನ್ನು ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿದಾಗ ಮೊತ್ತ1= ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೀಳೆಣಿ2 , ಮೊತ್ತ 2= ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೀಳೆಣಿ1, ಮೊತ್ತ1 = ಮೊತ್ತ2 ಆದಾಗ ಅವುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ದುಂಡುಕಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡೋಣ.

ಪಾಲು 1/2 ಮತ್ತು 2/4 ಗಳ ಕೀಳೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ

(ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೀಳೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೀಳೆಣಿ1) 1 x 4 =4 ಮತ್ತು 2 x 2 =4

ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 4 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 1/2 ಮತ್ತು 2/4 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಪಾಲು 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಗಳ ಕೀಳೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ (ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೀಳೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೀಳೆಣಿ1) 2 x 8 =16 ಮತ್ತು 4 x 4 =16

ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 16 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಪಾಲು 1/2 ಮತ್ತು 4/8 ಗಳ ಕೀಳೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ (ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೀಳೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೀಳೆಣಿ1) 1 x 8 =8 ಮತ್ತು 4 x 2 =8, ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 8 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 1/2 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.
ಹಾಗಾಗಿ 1/2 , 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ1:

ಒಂದೇ ಅಳತೆಯ ಮೂರು ಕಾಗದದ ತುಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿಬಣ್ಣವನ್ನು ಬಳಿಯಲಾಗಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾದ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

fractions_2_2

ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಮೊದಲ ಬಗೆ1 ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೊದಲನೇ ಕಾಗದದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/3, ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗೆ 4 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (4×1)/(4×3) = 4/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/6, ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗೆ 2 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (2×1)/(2×6) = 2/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 3/12, ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗೆ 1 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (1×3)/(1×12) = 3/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಗದದಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬೆಲೆಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬರುವುದರಿಂದ ಮೂರು ಕಾಗದದಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಹಾಗಾಗಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ಪಾಲುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲ.

ಚಟುವಟಿಕೆ2:

1/2, 2/3, 5/7, 6/18, 7/28, 9/4, 9/45, 7/2 ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತಕ್ಕು ಪಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿ.

ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ (Numerator) ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗಳಿಗೆ (Denominator) ಬಿಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (Whole number) ಗುಣಿಸಿ ಅದರ ಇನ್ನೊಂದು (Multiply) ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 5/7 = (2 x 5)/(2 x 7) = 10/14, ಆದ್ದರಿಂದ 5/7 ರ ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲು 10/14.

ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೀಳೆಣಿಗಿಂತ (Denminator) ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (Proper fraction).

ಪಾಲೆಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೀಳೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (Improper fraction).

fractions_2_9
5. ಸರಿಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು (Like fractions):
ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಕೀಳೆಣಿಗಳು (Denominator) ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಿಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೂರು ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಚೌಕದ ಎರಡನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

fractions_2_3

ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಿದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯೋಣ
• ಒಂದನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 1/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಎರಡನೇ ಚೌಕದ ಎರಡನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 2/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಮೂರನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 3/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಒಂದನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಚೌಕಗಳ ಕೀಳೆಣಿಗಳು 4 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳು ಸರಿಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

6. ಹೋಲದ ಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು (Unlike fractions):
ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಕೀಳೆಣಿಗಳು (Denominator) ಬೇರೆ ಬೇರೆಯದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಹೋಲದ ಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೂರು ಆರ್ಬದಿಗಳ (Hexagonal) ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಹೋಲದ ಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

fractions_2_4

• ಮೊದಲನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ಎರಡನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 1/2 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಎರಡನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ಮೂರನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 2/3 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಮೂರನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 3/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಆರ್ಬದಿಯ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು 1/2, 2/3, 3/4, ಇಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳ ಕೀಳೆಣಿಗಳು 2, 3 ಮತ್ತು 4 ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳು ಹೋಲದ ಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ (Unlike Fractions).

ಚಟುವಟಿಕೆ: ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಎರಡು ದುಂಡುಕಗಳು (Circles) ಮತ್ತು ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಎರಡು ದುಂಡುಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ದುಂಡುಕ ಹೋಲದ ಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

fractions_2_5

• ಮೊದಲನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 3/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ಏಳು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 7/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 4/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 2/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳು 3/8, 7/8, 4/8, 2/4. ಮೊದಲ ಮೂರು ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲಿನ ಕೀಳೆಣಿ 8 ಆಗಿದೆ, ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲಿನ ಕೀಳೆಣಿ 4 ಆಗಿದ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹಸಿರು ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕವು ಹೋಲದ ಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:
ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಹೋಲದ ಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು(Unlike fractions) ಕೊಟ್ಟಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಹೇಗೆಂದರೆ ಪಾಲುಗಳ ಕೀಳೆಣಿಗಳನ್ನು ಸರಿ ಕೀಳೆಣಿ ಗಳಾಗಿರುವಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಗುಣಿಸುವಾಗ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯಾ ಪಾಲುಗಳ ಮೇಲೆಣಿಗೂ ಕೂಡ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಕೀಳೆಣಿ ಆದಾಗ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದಿದಿಯೋ ಅದು ದೊಡ್ಡಪಾಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ ಚಿಕ್ಕದಿದಿಯೋ ಅದು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು 5/6 ಮತ್ತು 4/5 ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಪಾಲು 5/6 = (5 x 5)/(6 x 5) = 25/30 ಮತ್ತು ಪಾಲು 4/5 = (4 x 6)/(5 x 6) = 24/30, ನಾವುಗಳು ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳ ಕೀಳೆಣಿಗಳು ಸರಿಬರುವಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಮೊದಲ ಪಾಲಿನ ಕೀಳೆಣಿ 6 ಕ್ಕೆ 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 30 ಆಯಿತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಕೀಳೆಣಿ 5 ಕ್ಕೆ 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 30 ಆಯಿತು, ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾದವು.

ಮೊದಲ ಪಾಲು 5/6 = 25/30 ನ್ನು ಎರಡನೇ ಪಾಲು 4/5 = 24/30 ಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಮೊದಲಿನ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ ದೊಡ್ಡದಿದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲು 5/6 = 25/30 ದೊಡ್ಡ ಪಾಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲು 4/5 = 24/30 ರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ ಎರಡನೇ ಪಾಲಿಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಿದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲು.

ಚಟುವಟಿಕೆ: ಕೆಳಗಿನ ಜೊತೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡ ಪಾಲು ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
ಪಾಲುಗಳು
fractions_2_10ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಸರಿಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆದು ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು ಎಂದು ಹಿಡಿಯಬಹುದು

fractions_2_11

ಎಣಿಕೆಯ ಗೆರೆ ಎಳೆದು ಪಾಲುಗಳ ಹತ್ತಿರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:
• ಎರಡು ಪಾಲುಗಳ ಹತ್ತಿರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಗೆರೆ ಎಳೆದು ಅದರ ಮೇಲೆ ಪಾಲುಗಳ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
• ಎರಡು ಗೆರೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಡಬದಿಯಿಂದ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಪಾಲುಗಳ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.
• ಎರಡು ಗೆರೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಪಾಲು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

fractions_2_6

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದರ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/4, 1/2, 3/4 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದರ ಐದು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿ ಯಾವ ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

fractions_2_7

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿದಾಗ 1/4 ಮತ್ತು 1/5, 3/4 ಮತ್ತು 4/5 ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಒಂದರ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/4, 1/2, 3/4 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದರ ಐದು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿ ಯಾವ ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

fractions_2_8

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿದಾಗ 1/4 ಮತ್ತು 2/7, 1/2 ಮತ್ತು 4/7, 3/4 ಮತ್ತು 5/7 ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಮುಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳ ವಿಶೇಷತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕೂಡುವುದು, ಕಳೆಯುವುದು, ಗುಣಿಸುವುದು ಭಾಗಿಸುವುದರ ಬಗ್ಗೆ ಹಾಗು ಪಾಲಿನ ಹಳಮೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ

(ಮಾಹಿತಿ ಸೆಲೆಗಳು:
 learnnext.com,  ask-math.com, metal.brightcookie.comstudy.com/academy/basic-math-explained.commath-only-math.com, images.tutorvista.com, ilmoamal.org, ಐದನೇ ತರಗತಿಯ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ)

ಚೌಕ

ನಾವಾಡುವ ಚೆಸ್ ಆಟದ ಮಣೆ, ಮನೆಯ ಟೈಲ್ಸ್ ಗಳು, ಹಾವು ಏಣಿ ಆಟದ ದಾಳ, ಅಂಚೆ ಚೀಟಿಗಳು ಇವೆಲ್ಲವೂ ‘ಚೌಕ’ಗಳಾಗಿವೆ (Square).

 

dice square-tiles

ನಮ್ಮ ದಿನದ ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ಹಾಸುಹೊಕ್ಕಾಗಿರುವ ಚೌಕದ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಚೌಕವು ನಾಲ್ಕು ಸರಿಯಳತೆಯ (Congruent) ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಒಂದು ಆಕೃತಿ.

Image1 sqಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿದ ಚೌಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳಾದ EF, FG, GH ಮತ್ತು HE ಗೆರೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸಮ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಹಾಗೆನೇ ಚೌಕವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

  • ಚೌಕವು ಸಮತಟ್ಟಾದ (planar) ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (Closed Shape)
  • ಚೌಕವು ನಾಲ್ಬದಿ (Quadrilateral) ಆಕೃತಿಯ ಒಂದು ಬಗೆಯಾಗಿದೆ.
  • ಚೌಕದ ಜೋಡಿ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿರುತ್ತವೆ (Perpendicular to each other)

ಚೌಕದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಗಳು.

ಬದಿ (Side):  ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಬದಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ತುದಿ (Vertex): ಚೌಕದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸೇರುವೆಡೆಯನ್ನು ತುದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೂಲೆಗೆರೆ (Diagonal): ಚೌಕದ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಅದರ ಎದುರು ಮೂಲೆಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯೇ ಮೂಲೆಗೆರೆ.

ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter): ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವನ್ನು ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೂಲೆ (Angle): ಎರಡು ಜೋಡಿ ಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸೇರಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಎಡೆಯನ್ನು ಮೂಲೆ ಇಲ್ಲವೇ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ನಡು (Centre): ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಸೇರುವ  ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ನಡು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಚೌಕದ ನಟ್ಟನಡುವಿನ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲ ಮೂಲೆಗಳಿಂದ ಸಮದೂರಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

Image2 sqಚೌಕದ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷತೆಗಳು:

  • ಎರಡು ಜೋಡಿಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಮೂಲೆಗಳ ಕೋನ (Angle) 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನಡುವಿನಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಕೋನವೂ (Angle) 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು.
  • ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ (congruent).
  • ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಅದರ ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
  • ಚೌಕದ ಮೂಲೆಗೆರೆಯು ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಗಿಂತ 2 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಸುಮಾರು 1.414 ಪಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿ (Quadrilateral) ಆಕೃತಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ ಚೌಕದ ಸುತ್ತಳತೆಗೆ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಚೌಕದ ಹರವು (Area) ನಾಲ್ಬದಿ ಆಕೃತಿಯ ಹರವಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುತ್ತದೆ.
  • ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಸೀಳಿದಾಗ ಅದರ ಒಳಪಾಲುಗಳೂ ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಚೌಕ EFGH ನ್ನು ಅಡ್ಡ ಮತ್ತು ಉದ್ದವಾಗಿ ಐದು ಪಾಲು ಮಾಡೋಣ. ನಾವೀಗ ಇದರಲ್ಲಿ 25 ಚಿಕ್ಕ ಚಿಕ್ಕ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

Image3 sq

  • ಚೌಕವು ಆಯತದ (Rectangle) ಒಂದು ಬಗೆಯೂ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಳತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಆಯತವು ಚೌಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ಚೌಕವು ಒಂದು ನಾಲ್ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ (Parallelogram), ಅಂದರೆ ಅದರ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮನಾಂತರವಾಗಿವೆ (Parallel to each other).
  • ಚೌಕವನ್ನು ಓರೆಯಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಹರಳಾಕೃತಿಯಾಗುತ್ತದೆ (Rhombus).Image4 sq
  • ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ಮೂಲೆಯೊಂದರ ಕೋನ 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಇದರ ಮೂಲೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಕೋನ 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

1. ಚೌಕದ ಸುತ್ತಳತೆ (perimeter):

ಈಗ ಚೌಕದ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

 ಚೌಕದ ಬದಿ (Side) = a,  ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter) = P ಎಂದಾಗಿರಲಿ,

Image5 sqಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಚೌಕವು ಒಟ್ಟು ನಾಲ್ಕು ಸರಿಯಳತೆಯುಳ್ಳ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ

P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = HE + EF + FG + GH = a + a + a + a + a = 4 x a = 4a

ಸುತ್ತಳತೆ  P = 4a

ಉದಾಹರಣೆ:  ಚೌಕ EFGH ಬದಿಯ ಉದ್ದ a = 7cm ಆಗಿರಲಿ, ನಾವೀಗ ಇದರ ಸುತ್ತಳತೆ P ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

Image6 sqಸುತ್ತಳತೆ P = 4a = 4 x a = 4 x 7 = 28cm;

ಸುತ್ತಳತೆ P = 28cm

 2.ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

Image7 sqಮೂಲೆಗೆರೆ (Diagonal) = EG = d , ಬದಿಗಳು (Sides) = EF + FG = GH = HE = a ಆಗಿರಲಿ.

ಮೂಲೆಗೆರೆ EG ಯು ಚೌಕವನ್ನು ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳನ್ನಾಗಿ (Triangle) ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ನಮಗೆ EGH ಮತ್ತು EFG ಎಂಬ ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳು ಕಾಣಸಿಗುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಇದರಲ್ಲಿ EFG ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಈ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬದಿ EF = a, FG = a ಮತ್ತು GE = d ಆಗಿವೆ.

ನಾವಿಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ ಏನೆಂದರೆ EF ಮತ್ತು FG ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿವೆ (Perpendicular), ಆದ್ದರಿಂದ EFG ಒಂದು ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಗಿದೆ (Right Angle Triangle). ಇದರಲ್ಲಿ GE ಯು ಉದ್ದಬದಿ (Hypotenuse)=d ಆಗಿದೆ.

ಈಗ ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯ (Pythagoras Theoram) ಮೂಲಕ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Pythagoras Theorem):

ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ (right angle triangle), ಉದ್ದಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿಯು (Square of hypotenuse) ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

 

ಅಂದರೆ GE= EF2 + FG2

d=  a2 + a2   = 2 a2

ಎರಡು ಕಡೆ ಇಮ್ಮಡಿ ಮೂಲವನ್ನು (Square root) ತೆಗೆದಾಗ d = √2 x a=√2a ಆಗುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ EFG ಮೂರ್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯು (Hypotenuse of a triangle) ಚೌಕದ ಮೂಲೆಗೆರೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ (Diagonal of a Square) ಮೂಲೆಗೆರೆ GE ಯ ಉದ್ದ d = √2a ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:

EFGH ಎಂಬ ಚೌಕದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ EF = a = 17cm ಆಗಿರಲಿ, ಇದರಿಂದ ಮೂಲೆಗೆರೆ GEಯ ಉದ್ದ d ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

Image8 sqಮೂಲೆಗೆರೆ GE ಯ ಉದ್ದ d = √2 x a = √2 x 17  = 1.41  x 17= 24.04 cm

 3. ಚೌಕದ ಹರವನ್ನು (area) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ಅಗಲವನ್ನು ಉದ್ದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಆಯತದ (rectangle) ಹರವು ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಚೌಕವೂ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚೌಕದ ಹರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

Image9 sqಬದಿ EH = a ಚೌಕದ ಅಗಲವಾಗಿರಲಿ , HG = a ಚೌಕದ ಉದ್ದವಾಗಿರಲಿ, ಹರವು (Area)=A ಆಗಿರಲಿ.

ಹರವು (Area) = A = ಉದ್ದ x ಅಗಲ = HG x EH = a x a = a2

ಹರವು A = a2

ಉದಾಹರಣೆ 1:

ಒಂದು ಚೌಕ ಆಕಾರದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ಬಿಡಿ ಹಾಸುಗಲ್ಲಿನ ಬದಿ a = 11mm ಆದಾಗ ಚೌಕದ ಹರವು A ಅನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯೋಣ.

Image10 sqಹರವು A = a2  = 112   = 121 mm2    

ಉದಾಹರಣೆ 2:

ಚೌಕ ಆಕಾರದ EFGH ಎಂಬ ಒಂದು ಹಸಿರು ಹುಲ್ಲಿನ ಗದ್ದೆಯ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲೆಗೆ 10 ಮೀಟರ್ ಉದ್ದವಿದೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಗದ್ದೆಯು ಎಷ್ಟು ಹರವಿಕೊಂಡಿದೆ (Area occupied) ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image11 sqಮೂಲೆಗೆರೆ GE = d = 10m ಆಗಿದೆ.

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದ d = √2a ಆಗಿರುತ್ತದೆ

ಮೇಲಿನ ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯಿಂದ GE= EF2 + FG2  = d= 2 a2    ಆಗುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ a= d2 /2 , ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ಹರವು A = a2

ಆದ್ದರಿಂದ ಹಸಿರು ಹುಲ್ಲಿನ ಗದ್ದೆಯ ಹರವು A = a= d2 /2   = 102 /2 = 100/2 = 50 m2  ಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 3:

EFGH ಚೆಸ್ ಆಟದ ಮಣೆಯ ಒಂದು ಮನೆಯ ಬದಿಯ ಉದ್ದ 2cm, ಇದರಿಂದ ನಾವು ಇಡೀ ಚೆಸ್ ಆಟದ ಮಣೆಯ ಹರವನ್ನು (Area) ಕಂಡು ಹಿಡಿಯೋಣ.

Image12 sqಮನೆಯ ಒಂದು ಬದಿ = a = 2cm ಹರವು  = A ಆಗಿರಲಿ.

ಚೆಸ್ ಮಣೆಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮನೆಗಳು ಮತ್ತು ಇಡೀ ಚೆಸ್ ಮಣೆ ಚೌಕ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ. ಚೆಸ್ ಮಣೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯು ಒಟ್ಟು 8 ಮನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಚೌಕದ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದ ಎಲ್ಲಾ ಎಂಟು ಮನೆಗಳ ಒಂದು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬದಿ EF = FG = GH = HE = 8 x a =  8a =  8 x 2 = 16 cm  ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ಹರವು A = (ಬದಿ) 2 = 162 = 256 cm2

ಆದ್ದರಿಂದ ಚೌಕದ ಹರವು A = 256 cm2

ಚೌಕ ಬಿಡಿಸುವ ಆಟ:

ನೀವು ಚಂದವಾದ ಮತ್ತು ಕರಾರುವಕ್ಕಾದ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಬಿಡಿಸಬೇಕೇ? ಹಾಗಾದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಂತೆ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಮೂಡಿಸಿ ನೋಡಿ.

Image13 sqಮೂಡಿಸುವ ಬಗೆ:

  1. ಕಯ್ವಾರವನ್ನು (Geometric Compass) ಒಂದು ಸುತ್ತುಹಾಕಿ ಒಂದು ದುಂಡುಕವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ, ನಂತರದಲ್ಲಿ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಒಂದು ದುಂಡಗಲದ (Diameter) ಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದರ ನಡು (ಕೈವಾರದ ಮುಳ್ಳು ಚುಚ್ಚಿಸಿದ ಚುಕ್ಕೆ) O ಆಗಿರಲಿ, ದುಂಡಗಲದ ಒಂದು ಬದಿಗಳು A ಮತ್ತು B ಆಗಿರಲಿ. (ದುಂಡುಕ1 ನೋಡಿ)
  2. ಕಯ್ವಾರದ ಮುಳ್ಳನ್ನು A ಚುಕ್ಕೆಯಲ್ಲಿಟ್ಟು ಕಯ್ವಾರದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ಲಿನಿಂದ ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನ ನಂತರದ ಮೇಲ್ಬಾಗದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಬಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾದರೂ ಒಂದು ಕಮಾನನ್ನು (Arc) ಎಳೆಯಿರಿ. ಕಯ್ವಾರದ ಅದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಅದೇ ರೀತಿ ಎದುರುಬದಿ C ಯಿಂದ ಮೇಲೆಕೆಳೆಗೆ ಇನ್ನೆರಡು ಕಮಾನುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. (ದುಂಡುಕ2, ದುಂಡುಕ3, ದುಂಡುಕ4 ನೋಡಿ)
  3. ಕಮಾನು ಕತ್ತರಿಸುವ ನಡುವಿಂದ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲಿಂದ ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಈಗ ನಮಗೆ ದುಂಡುಕದ ಮೇಲೆ A,B,C,D ನಾಲ್ಕು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಮೂಡಿವೆ, ನಂತರದಲ್ಲಿ ದುಂಡುಕದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಚುಕ್ಕೆಗೆ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಹೀಗೆ ನಮಗೊಂದು ಚೆಂದವಾದ ಚೌಕವು ಸಿಗುತ್ತದೆ. (ದುಂಡುಕ5, ದುಂಡುಕ6, ದುಂಡುಕ7 ನೋಡಿ)

ಚೌಕದ ಹಳಮೆ:

  • ಸುಮಾರು 4000 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ನರು ಹಲಾವಾರು ಮಟ್ಟಾಕೃತಿಯ (Frustum) ಪಿರಮಿಡ್ ಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುತ್ತಿದ್ದರು, ಮಟ್ಟಾಕೃತಿ ಅಂದರೆ ಬುಡದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಆಕಾರವಿರುತ್ತದೋ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಮಟ್ಟವಾದ ಅದೇ ಆಕಾರವಿರುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಚೌಕದ ಮಟ್ಟಾಕೃತಿ (Square Frustum).Image14 sq
  • ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಗ್ರೀಕಿನ ಒಬ್ಬ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರು, ಅವರ ಕಾಲ ಸುಮಾರು 500 BC. ಅವರು ತಮ್ಮ ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ (Right Angle Triangle) ಕಟ್ಟಲೆಯನ್ನು ಒರೆಹಚ್ಚಲು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರು.Image15 sq

(ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು: mathopenref.comWikipedianewworldencyclopedia.org)

ದುಂಡುಕ

ನಾವು ದಿನಾಲೂ ದುಂಡಾಗಿರುವ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು  ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾ ಇರುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬೈಕಿನ ಚಕ್ರಗಳು, ಊಟದ ತಟ್ಟೆಗಳು, ಡಬ್ಬಿಗಳು, 1-2 ರೂಪಾಯಿಯ ಚಿಲ್ಲರೆಗಳು, ಇವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ದುಂಡಾಕಾರವಾಗಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆ. ಅಷ್ಟೇ ಏಕೆ ನಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗುಡ್ಡೆಯಿಂದ ಹಿಡಿದು ಭೂಮಿ, ಸೂರ್ಯ, ಚಂದ್ರ ಎಲ್ಲವೂ ದುಂಡಗಿನ ಆಕಾರದಲ್ಲಿವೆ!.

cycle

 

 

 

roundbox

 

ದುಂಡಾಕಾರಗಳ ಮೂಲ ದುಂಡುಕದ (Circle) ಬಗ್ಗೆ  ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

  • ದುಂಡುಕವು ಚುಕ್ಕೆಗಳಿಂದಾದ ಒಂದು ತಿರುವುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ.
  • ಇದೊಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ (planar) ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿ.
  • ದುಂಡುಕದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಚುಕ್ಕೆಗಳು, ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನಿಂದ ಸರಿ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ (Equidistance). ಈ ಸರಿದೂರವನ್ನು ದುಂಡಿ (radius) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

Main Image (optional)

ದುಂಡುಕದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಗಳೆಂದರೆ,

ನಡು (Centre): ದುಂಡುಕದ ನಟ್ಟ ನಡುವಿನ ಭಾಗವಿದು.

ದುಂಡಗಲ (Diameter): ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಬದಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಗೆರೆಗೆ ದುಂಡಗಲ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ದುಂಡುಕದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ನಡುವೆ ಎಳೆಯಲು  ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಉದ್ದವಾದ ಗೆರೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯವೆಂದರೆ ದುಂಡಗಲವು (diameter), ದುಂಡಿಯ (radius) ಎರಡುಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ದುಂಡಳತೆ (Circumference): ದುಂಡುಕದ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ದುಂಡಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

main image

ದುಂಡುಕದ ಇತರ ಭಾಗಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ,

  • ಬದಿಗೆರೆ (Chord): ದುಂಡುಕದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಗೆರೆ ಇದು. ಗಮನಿಸಿ, ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ದುಂಡಗಲ ಕೂಡ ಒಂದು ಬದಿಗೆರೆ.
  • ಸೀಳುಗೆರೆ (Secant): ದುಂಡುಕವನ್ನು ಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಳಿ ಹೊರಗೆ ಹಾದು ಹೋಗುವ ಬದಿಗೆರೆಯನ್ನು ಸೀಳುಗೆರೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
  • ತಗಲುಗೆರೆ (Tangent): ದುಂಡುಕದ ಹೊರಗಿನ ಯಾವುದೇ ಬದಿಗೆ ತಗಲಿಕೊಂಡಿರುವ ಗೆರೆಯನ್ನು ತಗಲುಗೆರೆ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
  • ಕಮಾನು (Arc): ದುಂಡಳತೆಯ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ತುಣುಕನ್ನು ಕಮಾನು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
  • ದುಂಡುತುಣುಕು (Sector): ಎರಡು ದುಂಡಿಗಳು ಕಮಾನಿನ ಜೊತೆ ಸೇರುವ ಜಾಗವನ್ನು ದುಂಡುತುಣುಕು ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
  • ಒಳತುಣುಕು (Segment): ನಡುವೊಂದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ದುಂಡುಕದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಒಳ ಭಾಗವನ್ನು ಒಳತುಣುಕು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

Image 1

Image 2

ಮೇಲಿನ ಭಾಗಗಳ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷತೆಗಳು ಹೀಗಿವೆ,

  • ಎರಡು ಬದಿಗೆರೆಗಳು (chords) ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನಿಂದ ಸರಿ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಉದ್ದವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನಿಂದ ಬದಿಗೆರೆಗೆ ಎಳೆದ ನೇರ‍ಡ್ಡ (perpendicular) ಗೆರೆಯು ಬದಿಗೆರೆಯನ್ನು ಸಮಪಾಲಾಗಿ ಇಬ್ಬಾಗಿಸುತ್ತದೆ
  • ದುಂಡಗಲವು (diameter) ದುಂಡುಕದ ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಬದಿಗೆರೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ದುಂಡುಕದ ತಗಲುಗೆರೆಗೆ (Tangent) ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯು ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಸರಿಪಾಲು ದುಂಡುಕ (Semi Circle): ದುಂಡುಕದ ಒಟ್ಟು ಹರವಿನ (Area) ಅರ್ಧಭಾಗವನ್ನು ಸರಿಪಾಲು ದುಂಡುಕ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ದುಂಡಳತೆಯೂ ಒಟ್ಟು ದುಂಡಳತೆಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

Image 3
ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ದುಂಡುಕದ ಭಾಗಗಳ ಅಳತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಅಳತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದಕ್ಕಿಂತ ಮುನ್ನ, ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹಲವೆಡೆ ಬಳಕೆಯಾಗುವ π (ಪೈ) ಬಗ್ಗೆ ಚುಟುಕಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ದುಂಡಳತೆಯನ್ನು (circumference) ದುಂಡಗಲದಿಂದ (diameter) ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು π (ಪೈ) ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

 

π ಹಲವು ವಿಶೇಷತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ,

  • π ಒಂದು ನೆಲೆಬೆಲೆ (constant value). ಅಂದರೆ ದುಂಡುಕವು ಚಿಕ್ಕದು, ದೊಡ್ಡದು, ಯಾವುದೇ ಅಳತೆಯದ್ದಾಗಿರಲಿ π ಬೆಲೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
  • π ಒಂದು ಕಟ್ಟಲೆತಪ್ಪಿದ ನೆಲೆಬೆಲೆ (Irrational constant) ಅಂದರೆ ಇದರ ಬೆಲೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಅದರ ಪಾಲುಗಳು (fractions) ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದೇ ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತವೆ, 3.14159265358979323846264338… (ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಡೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿ 3.142 ಬೆಲೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.)

ಈಗ ದುಂಡುಕದ ಭಾಗಗಳ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರತ್ತ ಮುನ್ನಡೆಯೋಣ,

1. ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆ (circumference) = C,  ದುಂಡಗಲ (diameter) = d  ಮತ್ತು ದುಂಡಿ (radius) = r ಎಂದಾಗಿರಲಿ

ಈ ಮುಂಚೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಂತೆ, π ಬೆಲೆಯು ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆಯನ್ನು (C) ದುಂಡಗಲದಿಂದ (d) ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಿಗುವ ಒಂದು ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ದುಂಡಿಯು (r) ದುಂಡಗಲದ (d) ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ,

π = c / d    … (1)

d = 2 * r    … (2)

ಹಾಗಾಗಿ ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆಯ ನಂಟು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ,

c = π * d     (ಸಾಟಿಕೆ 1 ರಿಂದ)

c = π * 2 * r    (ಸಾಟಿಕೆ  1 ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ)

c = 2πr = πd   (ಏಕೆಂದರೆ 2r = d)

ಅಂದರೆ,

ದುಂಡಳತೆ = 2 * π * ದುಂಡಿ = π * ದುಂಡಗಲ

ಉದಾ: Image 4 

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ದುಂಡಗಲ (d) =10 cm

ಹಾಗಾಗಿ, ದುಂಡಳತೆ (c) = π  * 10 = 3.142 * 10 = 31.42 cm

ಗಮನಿಸಿ, 10 cm ದುಂಡಗಲ ಹೊಂದಿರುವ  ಮೇಲಿನ ದುಂಡುಕವನ್ನು ಒಂದೆಡೆ ಕತ್ತರಿಸಿ, ಬಿಚ್ಚಿ ಹರಡಿದರೆ ಅದರ ಉದ್ದವು 31.42 cm ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

circuference_length

 2. ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ನಾವು ಅವರಿವರ ಜಮೀನು ಒಂದು ಎಕರೆ-ಎರಡು ಎಕರೆ ಇದೆ ಅಂತ ಕೇಳುತ್ತಿರುತ್ತೇವಲ್ಲವೇ, ಈ ಎಕರೆ (Acre), ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್, ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಎಂಬುವುದು ಜಾಗ ಹರಡಿಕೊಂಡ ಹರವು (Area), ಹಾಗೆಯೇ ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕೂಡ ಅಳೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಿಯನ್ನು r ಮತ್ತು ದುಂಡುಕದ ಒಟ್ಟು ಹರವನ್ನು(A) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಗಣಿತದ ನಂಟಿನಿಂದ ಅಳೆಯಬಹುದು,

A = π * r 2

ಉದಾಹರಣೆ:

area_circle

ದುಂಡಿ r = 2 m ಎಂದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಆಗ,

ದುಂಡುಕದ ಹರವು A = π * r = π * 2= 3.142 x 4= 12.57 m2

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಗಣಿತದ ನಂಟು, A = π * r 2 ನ್ನು  ಗೊತ್ತಿರುವ ಬೇರ‍ೆ ನಂಟುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಹಲವು ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇಂತಹ ಒಂದು ಸುಲಭವಾದ ಬಗೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ದುಂಡುಕವನ್ನು 12 ಪಾಲು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ (ನಮಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗುವ ತರಹ ಇದನ್ನು ಪಾಲು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ 12 ಪಾಲು ಮಾಡಿದ್ದು ಉದಾಹರಣೆಯಷ್ಟೇ).

ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಿಯನ್ನು r ಮತ್ತು ದುಂಡಳತೆ C ಎಂದು ತೆಗೆದು ಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image 6

(ಚಿತ್ರ 1)

ಈಗ ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ದುಂಡುಕದ ತುಣುಕು 1 ನ್ನುಇಬ್ಬಾಗಿಸಿ, ದೊರೆತ ತುಣುಕನ್ನು 13 ಎಂದು ಹೆಸರಿಸೋಣ.                                                                               Image 7                                                                                   (ಚಿತ್ರ 2)

ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿರುವ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಜೋಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image 8

(ಚಿತ್ರ 3)

ಜೋಡಿಸಿದ ನಂತರ ಅದು ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ಚಿತ್ರ 4 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ನಾಲ್ನೇರಬದಿ (Rectangle) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

Image 9

(ಚಿತ್ರ 4)

ಚಿತ್ರ 4 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣುವ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ (Rectangle) ಎತ್ತರವು ದುಂಡಿ r ಆಗಿದೆ.

ದುಂಡಳತೆ C, ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಹಂಚಿಹೋಗಿದ್ದರಿಂದ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ ಅಗಲವು C/2 ಆಗಿದೆ.

ಅಗಲವನ್ನು ಎತ್ತರದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ ಹರವು ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ ನಾವು ದುಂಡಳತೆ (C) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದುಂಡುಕದ ಹರವಿನ ನಂಟನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ ಹರವು = ದುಂಡುಕದ ಹರವು =

= ಅಗಲ x ಎತ್ತರ = (C/2) * r = (2 πr / 2) * r   (ಏಕೆಂದರೆ  C = 2 πr)

ಹಾಗಾಗಿ,

ದುಂಡುಕದ ಹರವು (area of circle),  A = π * r2

ಈ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನೀವು ಕಾಗದದ ಹಾಳೆ ಇಲ್ಲವೇ ರಟ್ಟನ್ನು ದುಂಡಾಕಾರವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿಕೊಂಡು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು ಹಾಗೂ ದುಂಡುಕದ ಹರವಿನ (area) ಅಳತೆಯ ಜೊತೆ ದುಂಡುಕದ ತುಣುಕುಗಳಿಂದಾದ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ (rectangle) ಹರವಿನ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಬಹುದು.

ದುಂಡುಕದ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗಿದು ಗೊತ್ತಿರಲಿ:

  • ಮನುಷ್ಯ ಸಾವಿರಾರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದದ್ದು, ದುಂಡುಕದ ಅರಕೆಗೆ (research) ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು.
  • ಇಂಗ್ಲೀಶಿನ Circle (ಸರ್ಕಲ್) ಎಂಬ ಪದವು ಗ್ರೀಕಿನ krikos (ಕ್ರಿಕೋಸ್) ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಬಂದಿದೆ ಇದರ ಅರ್ಥ ’ಬಳೆ’ ಇಲ್ಲವೇ ’ದುಂಡು’ ಎಂದು.
  • ದುಂಡಾಕಾರವು ಕಲ್ಲುಯುಗದ ಕಾಲದಿಂದ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದೆ. ಕಲ್ಲುಯುಗದ ಹಲಾವಾರು ಸಲಕರೆಣೆಗಳು ಈ ಆಕಾರದಲ್ಲಿವೆ.
  • ಗ್ರೀಕಿನ ಬಾನರಿಗ ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಪ್ಲೇಟೋ (ಕ್ರಿಸ್ತ ಮುನ್ನ 400) ಬರೆದ ಸವೆಂತ್ ಲೆಟರ್ (Seventh letter) ಹೊತ್ತಗೆಯಲ್ಲಿ ದುಂಡುಕದ ಬಗ್ಗೆ ಬಿಡಿಸಿ ಹೇಳಿದ್ದಾನೆ.
  • ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಮೂರನೇ ಹೊತ್ತಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ (Euclid’s elements) ದುಂಡುಕದ ಹುರುಳುಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ.
  • ಕ್ರಿಸ್ತ ಮುನ್ನ ಸುಮಾರು 200 ರಲ್ಲಿ ಬಾಳಿದ ಗ್ರೀಕಿನ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಎಂಬ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ದುಂಡುಕದ ಕುರಿತು ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾನೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆಯು ಇಂತಹ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲೊಂದು.

(ಬರಹದ ಸೆಲೆಗಳು: jwilson.coe.uga.edu, wikipediamathsisfun.comperseus.tufts.edu)

(ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು: mathsisfun.comwikipedia)