ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Quadrilaterals) ಭಾಗ-2

ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಬದಿಗಳು ಎಂದರೇನು, ಅವುಗಳ ಹಲವು ಬಗೆಗಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹಿರಿಮೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡೆವು. ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆದು ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter), ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು (Area), ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು(Angles) ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ ಹಾಗು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹಳಮೆಯನ್ನು (History of Quadrilaterals) ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ, ಮೂಲೆ, ಹರವುಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

1. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ (Perimeter of the Quadrilaterals):

ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಆದರ ಬದಿಗಳು AD, DC, CB ಮತ್ತು BA ಆಗಿವೆ ಹಾಗು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ P ಆಗಿರಲಿ.

ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = AD + DC + CB + BA

 

ಉದಾಹರಣೆ 1 :  ಕೆಳಗಿನ ADCB ಗಾಳಿಪಟವನ್ನು (Kite) ತೆಗೆದ್ದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬದಿಗಳು AD = 2cm, DC = 4cm, CB = 4cm ಮತ್ತು BA = 2cm ಆಗಿವೆ ಹಾಗು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ P ಆಗಿರಲಿ.

ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = AD + DC + CB + BA = 2 + 4 + 4 + 2 = 12cm

∴ ಗಾಳಿಪಟ ADCB ಯ ಸುತ್ತಳತೆ P = 12cm

 ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಹರಳಾಕೃತಿ (Rombus) ADCB ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಅದರ ಒಂದು ಬದಿ AB = 3cm ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯೆಷ್ಟು?

ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ನಾವುಗಳು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಹರಳಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ,

∴ AD = DC = CB = BA = 3cm.

ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = AD + DC + CB + BA = 3 + 3 + 3 + 3 = 12cm.

∴ ಹರಳಾಕೃತಿ ADCB ಯ ಸುತ್ತಳತೆ P = 12cm.

 ಉದಾಹರಣೆ 3: ಕೆಳಗಿನ ಒಂದು ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿ (Tangential quadrilateral) ABCDಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬದಿಗಳು DA = 7cm, CD = 4.5cm, BC = 2.5cm ಆದಾಗ ಅದರ ಬದಿ AB ಯ ಉದ್ದವೆಷ್ಟು?

ಒಂದು ದುಂಡುಕದ (Circle) ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ತಗಲುಗೆರೆಗಳು (Tangent lines) ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಾಗ ಅದು ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಇನ್ನೊಂದು ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

∴ ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತ AD + BC = DC + AB.

ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿ (Tangential quadrilateral) ABCDಯ  ಬದಿಗಳು DA = 7cm, CD = 4.5cm, BC = 2.5cm.

⇒ 7 +  2.5 =  4.5 +AB

⇒ 9.5 = 4.5 + AB

⇒AB = 9.5 – 4.5 = 5cm

∴ ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿ ABCD ಯಲ್ಲಿ  AB ಬದಿಯ ಉದ್ದ 5cm ಆಗಿದೆ.

 2. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ.

ಹೇಳಿಕೆ: “ಯಾವುದೇ ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ”.

ತೋರಿಸಿಕೆ (Proofs):

ABCD ಎಂಬ ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ AC ಎಂಬ ಒಂದು ನಡುಗೆರೆಯನ್ನು (Bisector Line) ಎಳೆಯೋಣ

ನಡುಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ .

∠1 + ∠2 = ∠A …… (i)

∠3 + ∠4 = ∠C …… (ii)

ನಡುಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆದಾಗ ನಮಗೆ ∆ABC  ಮತ್ತು ∆ACD ಎಂಬ ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳು (Triangles) ಸಿಗುತ್ತದೆ.

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಯಾವುದೇ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಯ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.  

∴ ∆ABC ಯಲ್ಲಿ

∠2 + ∠4 + ∠B = 180°

∴ ∆ACD ಯಲ್ಲಿ

∠1 + ∠3 + ∠D = 180°

∆ABC ಮತ್ತು ∆ACD ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿದಾಗ ∠2 + ∠4 + ∠B + ∠1 + ∠3 + ∠D = 360°  ಆಗುತ್ತದೆ.

⇒ (∠1 + ∠2) + ∠B + (∠3 + ∠4) + ∠D = 360°

⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°  [(i) ಮತ್ತು (ii) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ]

∴ ಯಾವುದೇ ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯ (Simple Quadrilateral) ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

 ಉದಾಹರಣೆ 1: ಕೆಳಗಡೆ WZYX ಎಂಬ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ  (Cyclic quadrilateral) ಮೂಲೆ ∠WXY  = 106° ಮತ್ತು ಮೂಲೆ ∠XYZ  = 87° ಆದಾಗ ಅದರ ಉಳಿದೆರಡು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ತುದಿಗಳು (Vertices) ದುಂಡುಕದ ಮಯ್ಯನ್ನು (Circumference) ತಗಲಿದಾಗ ಅದು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಹಾಗು ಯಾವುದೇ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

∴ ∠WXY + ∠YZW= ∠XYZ+ ∠ZWX= 180°

106° + ∠YZW = 87° + ∠ZWX = 180°

 ∴∠YZW = 180° – 106° = 74° 

∴∠ZWX = 180° – 87° = 93° 

∴ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಉಳಿದೆರಡು ಮೂಲೆಗಳು  ∠YZW = 74° ಮತ್ತು ∠ZWX = 93° ಆಗಿವೆ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ∠WXY + ∠YZW + ∠XYZ+ ∠ZWX = 106° + 74° +87° +93°  = 360° 

ಅಲ್ಲಿಗೆ ನಾವು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದಂತಾಯ್ತು.

 ಉದಾಹರಣೆ 2: BADC ಎಂಬ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ (Parallelogram) ಒಂದು ಮೂಲೆ ∠ABC = 120°  ಆದಾಗ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಯಾವುದೇ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಮೂಲೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.

∴∠ABC = ∠CDA ಮತ್ತು ∠DAB = ∠BCD

ಇಲ್ಲಿ ∠ABC =120°  ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ∠CDA = ∠ABC =120°  ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವುಗಳು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

 ∴∠ABC + ∠CDA + ∠DAB + ∠BCD =360°

∴120°  + 120°  + ∠DAB + ∠BCD =360°

∠DAB + ∠BCD = 360° – 120° -120° = 120°

ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ  ∠DAB = ∠BCD ಆಗಿದೆ.

∴∠DAB+ ∠DAB = 120° = 2 x ∠DAB = 120°

∴ ∠DAB = 120°/2 = 60 ° ಮತ್ತು  ∠BCD = ∠DAB = 60°

∴ BADC ಎಂಬ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳು ∠ABC  = 120° , ∠CDA = 120° , ∠DAB = 60° , ∠BCD = 60°   ಆಗಿವೆ.

 3. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ (Area of Quadrilateral)

ನಾವು ಹಿಂದೆ ಚೌಕ ಎಂಬ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಚೌಕದ ಹರವಿನ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದೆವು, ಚೌಕದ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಹರವನ್ನು ಬದಿ x ಬದಿ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಆಯತದ ಹರವನ್ನು ಉದ್ದ x ಅಗಲ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬಗೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬದಿಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾಗ ಚೌಕ ಮತ್ತು ಆಯತದಂತೆ ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗದು. ಹಾಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸರಿಹೋಗುವಂತೆ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Equation) ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ನಾಲ್ಬದಿ (Quadrilateral): ABCD

ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು (Diagonals): p,q

ಬದಿಗಳು: AD = d, DC = c, CB = b, BA = a

ಅರೆಸುತ್ತಳತೆ (Semi-Perimeter) s = 1/2 x (a + b + c + d ). 

ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಮೂಲೆ: θ

ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬಗೆಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳ ಬದಿಗಳು, ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಆಯಾ ನಾಲ್ಬದಿಗೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Equation) ಸರಳವಾಗಿಸಿ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಹಾಗು ಅವುಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಬಳಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ABCD ಸಾಟಿ ಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Trapezoid) ಸಾಟಿಬದಿಗಳು (Parallel sides) b1 = 10cm, b2 = 8cm ಆಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರ h = 5cm ಆದಾಗ ಅದರ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಸಾಟಿ ಬದಿಗಳು (Parallel side) b1 = 10cm, b2 = 8cm , ಎತ್ತರ h = 5cm

ಸಾಟಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು A = 1/2  x ಎತ್ತರ x (ಸಾಟಿಬದಿ1 + ಸಾಟಿಬದಿ2) = 1/2  x h x (b1 + b2)

A = 1/2  x 5 x (10 + 8) = 1/2  x 5 x (18) = 90/2 = 45 cm²

 ∴ ABCD ಸಾಟಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು 45 cm²  ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಟ್ಟಡವು ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿದೆ (Parallelogram), ಅದರ ಒಂದು ಗೋಡೆಯ (wall) ಸಾಟಿಬದಿಯ ಬುಡವು (Parallel base) 25m  ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 15m ಆದಾಗ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಗೋಡೆಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಟ್ಟಡದ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುವ ಗೋಡೆಯನ್ನು ABCD ಎಂದು ಗುರುತಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ,

ಸಾಟಿಬದಿಯ ಬುಡ BC = AD = 25m, ಎತ್ತರ = 15m.

ಸಾಟಿಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು A = ಬುಡ x ಎತ್ತರ = b x h.

A = 25 x 15 = 375 m²

∴ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಟ್ಟಡದ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುವ ಗೋಡೆ ABCD ಯ ಹರವು 375 m² ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಗಾಳಿಪಟದ ಎದುರು ತುದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಉದ್ದಗಳು AC = 2 ft ಮತ್ತು BD = 1.5 ft ಆಗಿವೆ, ಬಾನಂಗಳದಲ್ಲಿ ಹಾರುತ್ತಿರುವ ಈ ಅಂದವಾದ ಬಣ್ಣ ಬಣ್ಣದ ಗಾಳಿಪಟದ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಗಾಳಿಪಟವನ್ನು ABCD ಎಂದು ಗುರುತಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಗಾಳಿಪಟದ ಎದುರು ತುದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಉದ್ದಗಳು AC = d1 =2 ft ಮತ್ತು BD = d2 =1.5 ft ಅದರ ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳಾಗಿವೆ (Diagonals).

ಗಾಳಿಪಟದ ಹರವು A = 1/2 x ಮೂಲೆಗೆರೆ1 x ಮೂಲೆಗೆರೆ2 = 1/2 x d1 x d2

A = 1/2 x d1 x d2 = 1/2 x 2 x 1.5 = 1.5 ft²

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಈ ಅಂದವಾದ ಬಣ್ಣ ಬಣ್ಣದ ಗಾಳಿಪಟ ABCD ಯ ಹರವು 1.5 ft²  ಆಗಿದೆ.

 ಉದಾಹರಣೆ 4:  ABCD ಎಂಬ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ (Cyclic Quadrilateral) ಬದಿಗಳು AB = 3.5cm, BC = 3cm, CD = 2.5cm, DA = 1.5cm ಆಗಿವೆ, ಇದರ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ತುದಿಗಳು (Vertices) ದುಂಡುಕದ ಮಯ್ಯನ್ನು (Circumference) ತಗಲಿದಾಗ ಅದು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB = a = 3.5cm, BC = b = 3cm, CD = c = 2.5cm, DA = d = 1.5cm ಆಗಿವೆ.

ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು A = √(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)

ಇಲ್ಲಿ s ಎಂಬುದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಅರೆಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿದೆ (Semi-Perimeter), ಹಾಗು s = 1/2 x (a + b + c + d)

s = 1/2 x (3.5 + 3 + 2.5 + 1.5) = 10.5/2 = 5.25cm

A = √( s−a)(s−b)(s−c)(s−d) = √(5.25 – 3.5)(5.25 − 3)(5.25 – 2.5)(5.25 – 1.5) = √(1.75)(2.25)(2.75)(3.75)

A = √40.60546875 = 6.37225 cm ²

 ∴ ABCD ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು 6.37225 cm ² ಆಗಿದೆ.

 ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹಳಮೆ

• ಸುಮಾರು 300 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕಿನ ಹೆಸರಾಂತ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ (Mathematician) ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಹೊತ್ತಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಡಕದಲ್ಲಿ (Euclid’s Elements) ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

(ಯೂಕ್ಲಿಡ್)

• ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು (Babylonians) ಹಲವು ಬಗೆಯ ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಹರವನ್ನು (Area of Quadrilatreal) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತಿದ್ದರು.
• ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪೆರೋ (Pharaoh) ಅರಸರು ಸುಮಾರು 2700 BC ಇಂದ 500 BC ಗಳವರೆಗೆ ಪಿರಮಿಡ್ಡುಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟಲು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಬುಡವನ್ನು (Quadrilateral Base) ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು,
• ಉಜ್ಜಯಿನಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನು (~500 A.D) ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವಿನ ( Area of Cyclic Quadrilateral) ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆಮಾಡಿದ್ದನು.

• ಪೈತಾಗೋರಸ್ (500 B.C) ಒಬ್ಬ ಗ್ರೀಕಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ. ಅವನು ತನ್ನ ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ (Right Angle Triangle) ಕಟ್ಟಲೆಯನ್ನು ಒರೆಹಚ್ಚಲು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದ.

 ಚಟುವಟಿಕೆ:

ನೀವು ದಿನಾಲೂ ಕಾಣುವ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕರಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಯಾವ ಬಗೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿರಿ. ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

  (ಸೆಲೆಗಳು: socratic.org, thefamouspeople.com, cgm.cs.mcgill.ca, mathsisfun.com, wikipedia.org, geom.uiuc.edu, staff.argyll.epsb.ca)