ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Quadrilaterals) – ಭಾಗ 1

ನಾವು ದಿನಾಲೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಆಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿರುತ್ತೇವೆ (Quadrilateral shaped objects), ಅವುಗಳೆಂದರೆ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಕಟ್ಟಡಗಳು, ಆಟದ ಸಾಮಾನುಗಳು, ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಮೇಜುಗಳು, ಕಪಾಟುಗಳು, ಗಾಳಿಪಟಗಳು, ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಗುರುತುಗಳು. ಮರೆತು ಬಿಡಬೇಡಿ, ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಚಾಕಲೇಟುಗಳೂ ಕೂಡ ಇವೆ!.

Image1 Qu

ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಬಗೆ ಬಗೆಯಾದ ನಾಲ್ಬದಿ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹಿರಿಮೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.

  • ನಾಲ್ಬದಿ ಎನ್ನುವುದು ಕೇವಲ ನಾಲ್ಕು ಗೆರೆಗಳಿಂದ ಏರ್ಪಟ್ಟ ಸಮತಟ್ಟಾದ (planar) ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (Closed Shape).
  • ನಾಲ್ಬದಿಯು ಅದರ ಬದಿಗಳು ಹಾಗು ಮೂಲೆಗಳ ಅಳತೆಗೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಅದರ ಆಕಾರ ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.
  • ನಾಲ್ಬದಿಯು ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳು (Sides), ನಾಲ್ಕು ತುದಿಗಳು (Vertices) ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು (Angles) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಗಳು.

  • ಬದಿ(Side):  ನಾಲ್ಬದಿ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಬದಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
  • ತುದಿ(Vertex): ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸೇರುವೆಡೆಯನ್ನು ತುದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
  • ಮೂಲೆಗೆರೆ(Diagonal): ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಅದರ ಎದುರು ಮೂಲೆಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯೇ ಮೂಲೆಗೆರೆ.
  • ಸುತ್ತಳತೆ(Perimeter): ನಾಲ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವನ್ನು ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
  • ಮೂಲೆ(Angle): ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಜೋಡಿ ಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸೇರಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಎಡೆಯನ್ನು ಮೂಲೆ ಇಲ್ಲವೇ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
  • ನಡು(Centre or Centroid): ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಸೇರುವ ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ನಡು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ನಡುವಿನ ಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image2 Qu

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳು.

ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಬದಿ, ಮೂಲೆ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳ ಮಾರ್ಪಾಟುಗಳ ಮೇಲೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಲವು ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಒಳ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತಿಳಿಯೋಣ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಏರ್ಪಾಟುಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಗುರುತು  ಹುರುಳು
  = ಸರಿಯಾಗಿದೆ (Equal to )
  ≠ ಸರಿಯಾಗಿಲ್ಲ (Not equal to)
  || ಸಾಟಿಯಾಗಿದೆ (Parallel to )
  ∦ ಸಾಟಿಯಾಗಿಲ್ಲ (Not parallel to)
  ∠ ಮೂಲೆ (Angle)
   ° ಮೂಲೆಯಳತೆ (Angle measurement)

 I. ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Simple Quadrilaterals)

ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಸುಳುವಾಗಿ (Simple) ಜೋಡಿಸಿದಂತೆ ಕಂಡುಬಂದರೆ ಅದು ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಟಿಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು (Parallelogram) ನೋಡಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಬದಿಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಅಡೆತಡೆ ಇಲ್ಲದೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

 Image7 Qu

 ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಎರಡು ಬಗೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಉಬ್ಬು ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Convex Quadrilateralsಮತ್ತು ತಗ್ಗು ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Concave Quadrilaterals).

 A. ಉಬ್ಬು ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Convex Quadrilaterals)

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಒಳ ಮೂಲೆಯೂ 180° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದು ಉಬ್ಬು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉಬ್ಬು ನಾಲ್ಬದಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅವುಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೂಲೆಯು 180° ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ.

1. ಸಾಟಿಯಿರದ ನಾಲ್ಬದಿ (trapezium or Irregular quadrilateral)

Image4 Qu

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಾಟಿಯಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (Non-Parallel) ಅದನ್ನು ಸಾಟಿಯಿರದ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುವವರು ಹಾಗು ಇದರ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಶೇಷತೆ ಎಂದರೆ ಇದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯನ್ನು (Un-equal lengths) ಹೊಂದಿವೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ:  AB BC CD DA, AD BC, AB CD

 2. ಸಾಟಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿ (trapezoid (US) or Trapezium(UK))

Image5 Qu

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಂದು ಜೊತೆ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಾಟಿಯಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಾಟಿ-ಇಬ್ಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುವವರು.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆAD || BC, AB CD

3. ಸರಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿ (Isosceles trapezoid)

image6 Qu

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಾಟಿಯಿದ್ದು ಮತ್ತು ಅದರ ಬುಡದ ಮೂಲೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಿ-ಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುವರು.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AB = DC, AD || BC, AB CD

ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು: AC = DB

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: BAD = CDA, AEB = DEC, AED = BEC

4. ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿ (Parallelogram)

Image7 Qu

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಾಟಿಯಿದ್ದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುವರು.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD = BC, AB = DC, AD || BC, AB || DC

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: BAD = BCD, ABC= ADC

5. ಹರಳಾಕೃತಿ (Rombus)

Image8 Qu

ಹರಳಾಕೃತಿ ಅಥವಾ ವಜ್ರಾಕೃತಿ ಎಂದರೆ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತವೆ (Diagonals are perpendicularly bisect each other).

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD = BC = AB = DC, AD || BC, AB || DC.

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: AOB = BOC = AOD = DOC = 90°, ABC= ADC, BAD = BCD.

 6. ಬದಿಬೇರ್ಮೆ ಹರಳಾಕೃತಿ (Rhomboid)

Image9 Qu

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಾಟಿಯಿದ್ದು ಮತ್ತು ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಹಾಗು ಅದರ ಮೂಲೆಗಳು ಸರಿಮೂಲೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ (Non-Right Angle) ಅದು ಬದಿಬೇರ್ಮೆ ಹರಳಾಕೃತಿಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD || BC, AB || DC , AB BC, CD DA, AD = BC, AB = DC

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ABC 90°, ADC 90°, BAD 90°, BCD 90°

7. ಆಯತ ಅಥವಾ ನೇರಡ್ಡಸಾಟಿ ನಾಲ್ಬದಿ (Rectangle)

Image10 Qu

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿ-ಸಾಟಿಯಿದ್ದು (Opposite sides are equal and parallel) ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲೆಗಳು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿದ್ದರೆ (Right Angle) ಅದು ಆಯತವಾಗುತ್ತದೆ. ಆಯತಕ್ಕೆ ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿ ನೇರಡ್ಡಸಾಟಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD || BC, AB || DC , AD = BC, AB = DC

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ABC = ADC = BAD = BCD = 90°

8. ಚೌಕ ಅಥವಾ ಸರಿ ನಾಲ್ಬದಿ (Square)

Image11 Qu

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಸಾಟಿಯಾಗಿದ್ದು (Sides are Equal and Parallel) ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲೆಗಳು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿದ್ದರೆ (Right Angle) ಅದು ಚೌಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಚೌಕಕ್ಕೆ ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿ ಸರಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD || BC, AB || DC, AD = BC = AB = DC

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ABC = ADC = BAD = BCD = 90°

(ಚೌಕದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿ ತಿಳಿಸುವ ಅರಿಮೆಯ ಬರಹ : http://arime.org/ಚೌಕ )

9. ಗಾಳಿಪಟ (Kite)

Image12 Qu

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಜೊತೆಯ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯನ್ನು (Pair of adjacent sides are equal to each other) ಹೊಂದಿದ್ದು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ (Diagonals are perpendicularly bisect each other) ಅದು ಗಾಳಿಪಟಾಕೃತಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣುವಂತೆ ಜೋಡಿ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾಗಿವೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AB = AD, BC = CD.

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: AOB = BOC = COD = DOA = 90°

10. ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿ (Tangential quadrilateral)

Image13 Qu

ಒಂದು ದುಂಡುಕದ (Circle) ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ತಗಲುಗೆರೆಗಳು (Tangent lines) ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಾಗ ಅದು ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಇನ್ನೊಂದು ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ತಗಲುಗೆರೆಗಳು: AB, BC, CD, DA

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD + BC = AB + DC.

ದುಂಡುಕ: ದುಂಡುಕದ ನಡುವು ನಾಲ್ಬದಿಗೆ ಒಳನಡು O (Incentre) ಆಗುತ್ತದೆ

11. ತಗಲು ಸಾಟಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿ (Tangential trapezoid)

Image14 Qu

ಒಂದು ದುಂಡುಕದ (Circle) ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ತಗಲುಗೆರೆಗಳು (Tangent lines) ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟು ಮತ್ತು ಒಂದು ಜೊತೆ ಎದುರುಬದಿಗಳು ಸಾಟಿಯಾದಾಗ (Opposite sides are parallel to each other) ಅದು ತಗಲು ಸಾಟಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದೆನೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸಾಟಿಬದಿಗಳನ್ನು (Parallel Sides) ಬುಡ (Base) ಎಂದು ಮತ್ತು ಉಳಿದೆರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಕಾಲು (Leg) ಎಂದು ಕರೆಯುವರು

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ತಗಲುಗೆರೆಗಳು: AB, BC, CD, DA

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD + BC = AB + DC, AD || BC, ಬುಡ =AD, BC ಮತ್ತು ಕಾಲು = AB, DC

ದುಂಡುಕ: ದುಂಡುಕದ ನಡುವು ನಾಲ್ಬದಿಗೆ ಒಳನಡು (Incentre) ಆಗುತ್ತದೆ

 12. ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ (Cyclic quadrilateral)

Image15 Qu

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ತುದಿಗಳು (Vertices) ದುಂಡುಕದ ಮಯ್ಯನ್ನು (Circumference) ತಗಲಿದಾಗ ಅದು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಹಾಗು ಯಾವುದೇ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ತುದಿಗಳು: A, B, C, D

ಬದಿಗಳು: AD, BC, AB, DC.

ದುಂಡುಕ: ದುಂಡುಕದ ನಡುವು ನಾಲ್ಬದಿಗೆ ಒಳನಡು O (Incentre) ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: BAD + BCD = ABC + ADC = 180°

13. ನೇರಡ್ಡಬದಿ ಗಾಳಿಪಟ (Right Kite)

Image16 Qu

ನಾಲ್ಬದಿಯು ಸರಿಯಳತೆಯ ಜೋಡಿ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದ್ದಿದ್ದು ಹಾಗು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯ ಬದಿಗಳು ಕೂಡುವೆಡೆಗಳು ನೇರಡ್ಡಗಳಾಗಿದ್ದರೆ (Perpendicular) ಅದು ನೇರಡ್ಡಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಅಥವಾ ನೇರಡ್ಡಬದಿ ಗಾಳಿಪಟವಾಗುತ್ತದೆ. ನೇರಡ್ಡಬದಿ ಗಾಳಿಪಟವನ್ನು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ದುಂಡುಸುತ್ತು (Cyclic Quadrilaterals) ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಂದು ಬಗೆಯಾಗಿದೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AB = BC, AD = DC.

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: DAB = BCD = 90° ಮತ್ತು AOB = BOC = COD = DOA = 90° , ABC + ADC = 180° ( ಇದು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ (Cyclic Quadrilaterals) ಕೂಡ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ)

 14. ಎರಡುನಡು ನಾಲ್ಬದಿ (Bicentric quadrilateral)

Image17 Qu

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು (Sides) ಒಳದುಂಡುಕಕ್ಕೆ (incircle) ತಗಲಿದ್ದು ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ತುದಿಗಳು (Vertices) ಹೊರದುಂಡುಕಕ್ಕೆ (circumcircle) ತಗಲಿದ್ದು, ಒಳದುಂಡುಕದ ನಡುವು ಒಳದುಂಡುನಡು (incentre) ಮತ್ತು ಹೊರದುಂಡುಕದ ನಡುವು ಹೊರದುಂಡುನಡುವನ್ನು (circumcentre) ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಹಾಗು ಯಾವುದೇ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಂತಹ ನಾಲ್ಬದಿಗಳನ್ನು ಎರಡುನಡು ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ತುದಿಗಳು: A, B, C, D

ಬದಿಗಳು: AD, BC, AB,DC.

ದುಂಡುಕ: ಒಳದುಂಡುಕದ ನಡುವು ನಾಲ್ಬದಿಗೆ ಒಳದುಂಡುನಡು O1 (Incentre) ಆಗುತ್ತದೆ ಹಾಗು ಹೊರದುಂಡುಕದ ನಡುವು ನಾಲ್ಬದಿಗೆ ಹೊರದುಂಡುನಡು O2 (circumcentre) ಆಗುತ್ತದೆ,

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: BAD + BCD = ABC + ADC = 180°

15. ನೇರಡ್ಡಮೂಲೆಗೆರೆ ನಾಲ್ಬದಿ (Orthodiagonal quadrilateral)

Image18 Qu

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ (Diagonals are orthogonal) ಅದು ನೇರಡ್ಡಮೂಲೆಗೆರೆ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹಿರಿಮೆ ಏನೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಎದುರುಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ (Sum of the squares of opposite sides) ಮೊತ್ತವು ಉಳಿದ ಎದುರುಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಬದಿಗಳ ಕೆಂಪುಬಣ್ಣದ ಒಟ್ಟು ಹರವು ನೀಲಿಬಣ್ಣದ ಒಟ್ಟು ಹರವಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗೆ dಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುವ ಚೌಕ (Square), ಗಾಳಿಪಟ (Kite) ಮತ್ತು ಹರಳಾಕೃತಿಗಳು (Rhombus) ನೇರಡ್ಡಮೂಲೆಗೆರೆ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರುತ್ತವೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AD2 + BC2 = DC2 + AB2

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: AOB = BOC = COD = DOA = 90°

16. ಸರಿಮೂಲೆಗೆರೆ ನಾಲ್ಬದಿ (Equidiagonal quadrilateral)

Image19 Qu

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು (Diagonals are in equal length) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಸರಿಮೂಲೆಗೆರೆ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳೊತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕ (Square), ಆಯತ (Rectangle) ಮತ್ತು ಸರಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿ (Isosceles trapezoid) ಸರಿಮೂಲೆಗೆರೆ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರುತ್ತವೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಗಳು: AD, BC, AB, DC.

ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು: AC = DB

 17. ಹೊರತಗಲುಗೆರೆ ನಾಲ್ಬದಿ (Extangential quadrilateral)

Image20 Qu

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳ ಮುಂಗೆರೆಗಳು (Extended Lines) ಒಂದು ಹೊರ ದುಂಡುಕದ (excircle) ಮೇಲ್ಮಯ್ಯನ್ನು ತಗಲಿದರೆ (Tangent) ಅದು ಹೊರತಗಲುಗೆರೆ (Ex-tangential) ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AB + BC = AD + DC ಹಾಗು AB + CD = BC + AD

ಹೊರತಗಲುಗೆರೆ: BF, DG, CF, CG

18. ಜೇಮ್ಸ್ಲೇವ್ ನಾಲ್ಬದಿ (Hjelmslev quadrilateral)

Image21 Qu

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯು ಎದುರುಬದರು ಸರಿಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಜೇಮ್ಸ್ಲೇವ್ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ನೇರಡ್ಡಬದಿ ಗಾಳಿಪಟ (Right Kite) ಕೂಡ ಒಂದು ಜೇಮ್ಸ್ಲೇವ್ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿದೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಗಳು: AD, BC, AB, DC.

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: BAD = BCD = 90° ಮತ್ತು ABC + ADC = 180°

B. ತಗ್ಗು ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Concave Quadrilaterals)

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಒಳ ಮೂಲೆಯೂ 180° ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅದು ತಗ್ಗು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ತಗ್ಗು ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

 ಈಟಿ ನಾಲ್ಬದಿ (Dart Quadrilateral)

Image22 Qu

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಜೋಡಿಗೆರೆಗಳು (Pair of adjacent sides are equal) ಒಂದೇ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿದ್ದು ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಮೂಲೆಯೂ 180° ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅದು ಈಟಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯು ಈಟಿ ತುದಿಯನ್ನು (Dart) ಹೋಲುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಈಟಿ ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಒಂದು ಮೂಲೆಯೂ 210° ಆಗಿದೆ, ಇದು 180° ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ತಗ್ಗು ನಾಲ್ಬದಿಯ (Concave Quadrilateral) ಒಂದು ಬಗೆಯಾಗಿದೆ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: AB = AD, BC = CD

ಮೂಲೆಕಟ್ಟಳೆ: ABC = ADC, BCD = 210° > 180°.

 II. ಸುಳುವಲ್ಲದ ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Complex Quadrilaterals).

ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿಯುವ ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯ (Simple Quadrilateral) ಮಾರ್ಪಾಟಿಗಿಂತ ಬೇರೆಯದಾದ ಮಾರ್ಪಾಟನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಾಲ್ಬದಿಗಳನ್ನು ಸುಳುವಲ್ಲದ ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Complex Quadrilateral) ಎಂದು ಕರೆಯುವರು. ಇಂತಹ ಸುಳುವಲ್ಲದ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಯು (self-intersecting Quadrilaterals) ಒಂದು ಬಗೆಯಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ತಿರುಚಿದಾಗ (Crossed) ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಗಳನ್ನು ಚಿಟ್ಟೆ ನಾಲ್ಬದಿ (Butterfly Quadrilateral), ಬಿಲ್ಲುಗಂಟು ನಾಲ್ಬದಿ (BowTie Quadrilateral) ಎಂದೂ ಕರೆಯುವವರು. ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಕೆಲವು ಈ ಸುಳುವಲ್ಲದ ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ತಿರುಚು ಆಯತ (Crossed Rectangle)

Image24 Qu

ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು (Rectangle) ಎರಡು ಸರಿಪಾಲನ್ನಾಗಿ ತಿರುಚಿ ಮತ್ತು ತಿರುಚಿದ ತುದಿಗಳು (Vertices) ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ತಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ತಿರುಚು ಆಯತ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಸರಿಸಾಟಿ ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಗಳು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿದೆ (Cyclic Quadrilaterals) ಕೂಡ.

ಈ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಬದಿಕಟ್ಟಳೆ: ABCD ಆಯತದಲ್ಲಿ AB ಬದಿಯನ್ನು ತಿರುಚಿದಾಗ ಅದು BA ಆಗುತ್ತದೆ ಹಾಗು AB =CD ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು: BC, DA ಎಂಬ ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಏರ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಹಾಗು BC = DA ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ತಿರುಚು ನಡುವು X ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಹಾಗು AX = XD, CX =XB ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸುಳುವಲ್ಲದ ನಾಲ್ಬದಿಗಳಿಗೆ (Complex Quadrilaterals) ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ತಿರುಚು ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿ (Antiparallelogram) ಮತ್ತು ತಿರುಚು ಚೌಕ (Crossed Square).

ತಿರುಚು ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿ (Antiparallelogram)             

Image23 Qu

ತಿರುಚು ಚೌಕ  (Crossed Square)

Image25 Qu

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಗುಣಗಳು:

1. ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಗುಣಗಳು (Properties of simple quadrilaterals)

  • ಯಾವುದೇ ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಯ ಮೊತ್ತವು 360°ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳನ್ನು (Diagonals) ಎಳೆಯಬಹುದು.
  • ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದ ಹೆಚ್ಚುಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ (Proportion) ಅದರ ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದವು ಹೆಚ್ಚುಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ.
  • ಉಬ್ಬು ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Convex Quadrilateral) ಎಲ್ಲಾ ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು (Diagonals) ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಉಬ್ಬು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.
  • ತಗ್ಗು ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Concave Quadrilateral) ಒಂದು ಮೂಲೆಗೆರೆ (Diagonal) ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹೊರಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೇಲಿನ ಈಟಿ ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು (Dart Quadrilateral) ನೋಡಬಹುದು.
  • ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅವುಗಳ ಬದಿ, ಮೂಲೆ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾರ್ಪಾಟು ಹೊಂದುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಬಗೆಯ ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ತಿಳಿಯಿರಿ.
  • ಯಾವುದೇ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ (Cyclic Quadrilaterals) ಎದುರು ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ (Sum of opposite angles) 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿ ತಿಳಿಯಲು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿರುವ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ನೋಡಿ.

 2. ಸುಳುವಲ್ಲದ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಗುಣಗಳು (Properties of complex quadrilaterals).

  • ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಯು (Crossed Quadrilaterals) ಒಂದು ಸುಳುವಲ್ಲದ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿದೆ.
  • ಯಾವುದೇ ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಯು ಒಂದು ಜೊತೆ ಕಿರಿಮೂಲೆ (Acute Angle) ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಜೊತೆ ಮೀರುಮೂಲೆ (Reflex Angle) ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
  • ಯಾವುದೇ ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ 720° ಆಗಿರುತ್ತದೆ
  • ಯಾವುದೇ ತಿರುಚು ನಾಲ್ಬದಿಯು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Cyclic Quadrilaterals), ಕೆಳಗಿನ ಓಡುಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

 (ಸೆಲೆಗಳುhttp://www.bbc.co.ukhttps://www.mathsisfun.comhttp://byjus.com/cbsehttp://www.mbacrystalballhttp://www.ask-math.comhttp://www.lavcmath.com, Wikipedia)

facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail
Bookmark the permalink.

818 Comments

  1. Pingback: Buy viagra low price

  2. Pingback: canadian cialis

  3. Pingback: cialis 20

  4. Pingback: generic cialis canada

  5. Pingback: Price viagra

  6. Pingback: Free viagra sample

  7. Pingback: buy albuterol

  8. Pingback: lowest price generic viagra 100mg

  9. Pingback: cialis generic

  10. Pingback: cipro without a doctor prescription

  11. Pingback: cialis savings card

  12. Pingback: naltrexone otc

  13. Pingback: buy cialis canada

  14. Pingback: buy generic cialis online

  15. Pingback: how long does viagra last

  16. Pingback: bimatoprost ophthalmic solution online prescription

  17. Pingback: buy tylenol

  18. Pingback: buy generic 100mg viagra online

  19. Pingback: chloroquine 150 mg

  20. Pingback: viagra 50mg

  21. Pingback: viagra 50mg

  22. Pingback: viagra for sale

  23. Pingback: new ed pills

  24. Pingback: male erection pills

  25. Pingback: hydroxychloroquine brand name india

  26. Pingback: canada online pharmacy

  27. Pingback: canadian pharmacy online

  28. Pingback: best online pharmacy

  29. Pingback: Real cialis online

  30. Pingback: cialis online

  31. Pingback: levitra usa

  32. Pingback: cheap levitra

  33. Pingback: levitra for sale

  34. Pingback: best place to buy generic viagra

  35. Pingback: online casino real money no deposit

  36. Pingback: cialis buy online

  37. Pingback: slots online

  38. Pingback: order viagra

  39. Pingback: play for real online casino games

  40. Pingback: real viagra without prescription

  41. Pingback: cash advance

  42. Pingback: buy careprost in the usa

  43. Pingback: tadalafil without a doctor's prescription

  44. Pingback: instant loans

  45. Pingback: cash advance online

  46. Pingback: Top 10 Best Sellers Health, Fitness

  47. Pingback: Tighten Your Vagina at Home

  48. Pingback: buy viagra com

  49. Pingback: Full-Body Dance Fitness Classes

  50. Pingback: dr oz weight loss

  51. Pingback: health and medical resources

  52. Pingback: generic for cialis

  53. Pingback: generic viagra 100mg pills erections

  54. Pingback: free slots

  55. Pingback: buy chloroquine phosphate

  56. Pingback: best online casino real money

  57. Pingback: viagra from india

  58. Pingback: cialis 5 mg

  59. Pingback: play online casino real money

  60. Pingback: cialis no prescription

  61. Pingback: rx tadalafil

  62. Pingback: cialis professional

  63. Pingback: viagra substitute

  64. Pingback: Google

  65. Pingback: viagra cost

  66. Pingback: Pug Puppies For Sale near me

  67. Pingback: Puppies for sale near me

  68. Pingback: THC VAPE OIL

  69. Pingback: Authorized users is a scam

  70. Pingback: viagra prescription

  71. Pingback: find a builder

  72. Pingback: dinh cu canada

  73. Pingback: viagra price

  74. Pingback: bodrum rodos feribot

  75. Pingback: cach an hat mac ca

  76. Pingback: hat macca

  77. Pingback: Google

  78. Pingback: viagra kennels

  79. Pingback: good vibrator for beginners

  80. Pingback: blogcaodep.com

  81. Pingback: cialis south africa

  82. Pingback: cell phone

  83. Pingback: vape shops near me

  84. Pingback: mahna mahna

  85. Pingback: buy weed online

  86. Pingback: tabaksvervanger

  87. Pingback: viagra price in pakistan

  88. Pingback: types of irrigation

  89. Pingback: https://www.telocard.com/

  90. Pingback: Tierfutter

  91. Pingback: best buying

  92. Pingback: Australian Shepherd Puppy For sale

  93. Pingback: cialis young men

  94. Pingback: havuz kimyasallarý

  95. Pingback: havuz malzemeleri

  96. Pingback: granül klor

  97. Pingback: sehpa takýmý

  98. Pingback: capath.vn

  99. Pingback: useful link ΑΠΟΦΡΑΞΕΙΣ

  100. Pingback: kamado grill 2020

  101. Pingback: sweetiehouse.vn

  102. Pingback: German shepherd puppies for sale Near Me

  103. Pingback: Beretta A400 Xtreme Plus Max 5

  104. Pingback: 308 sniper rifle for sale

  105. Pingback: Glock 28

  106. Pingback: fluorococaine

  107. Pingback: generic cialis from india

  108. Pingback: buy penis envy online

  109. Pingback: Computer hilfe kempraten

  110. Pingback: BERETTA M9A3 FOR SALE

  111. Pingback: Used guns for sale

  112. Pingback: Guns For Sale

  113. Pingback: Magic Mush Rooms

  114. Pingback: fluffy kittens for sale

  115. Pingback: REAL COUNTERFEIT MONEY FOR SALE ONLINE

  116. Pingback: purebred pitbull puppies for sale near me

  117. Pingback: viagra spain over the counter

  118. Pingback: virtual credit card buy

  119. Pingback: Gulberg Greens

  120. Pingback: dinhcucandadientaynghe.mystrikingly.com

  121. Pingback: do an vat kho

  122. Pingback: thc vape juice

  123. Pingback: mont

  124. Pingback: virtual card buy for make payment virtual credit card buy

  125. Pingback: karın germe

  126. Pingback: onaylanmış kişi statü belgesi

  127. Pingback: https://apnews.com/press-release/newmediawire/lifestyle-diet-and-exercise-exercise-2d988b50b0b680bee24da8e46047df20

  128. Pingback: endüstriyel su arıtma cihazı

  129. Pingback: vibrating cock rings

  130. Pingback: ptt internet bankacılığı

  131. Pingback: haberler son dakika

  132. Pingback: Yapı Kredi Müşteri Hizmetleri Bağlanma Kolay Yolu

  133. Pingback: Muha Meds Orange Cookies 1000mg

  134. Pingback: google marketing hrdf claimable

  135. Pingback: Reformhaus Wien

  136. Pingback: buy facebook followers

  137. Pingback: canada pharmacy

  138. Pingback: digital marketing Hrdf training

  139. Pingback: online pharmacy usa

  140. Pingback: viagra questions

  141. Pingback: o-dsmt

  142. Pingback: Pure Colombian Cocaine

  143. Pingback: Fish scale cocaine

  144. Pingback: Change DMT

  145. Pingback: Maltipoo puppies for sale near me

  146. Pingback: k2 spray on paper

  147. Pingback: Fire Herbal Incense

  148. Pingback: Buy Hydrocodone HCL online

  149. Pingback: Dank Vapes

  150. Pingback: brazzers

  151. Pingback: canadian pharmacy

  152. Pingback: film

  153. Pingback: Buy pfizer viagra online

  154. Pingback: film

  155. Pingback: personalised t shirt UK

  156. Pingback: online viagra sales

  157. Pingback: pharmacies in canada

  158. Pingback: Celebrity rings yellow gold

  159. Pingback: Relevant

  160. Pingback: games for pc download

  161. Pingback: buy bitcoin with credit card

  162. Pingback: pubg hileleri

  163. Pingback: buy viagra las vegas

  164. Pingback: mylan generic viagra update

  165. Pingback: Best Free Video Editing Software for PC

  166. Pingback: viagra overnight delivery usa

  167. Pingback: buy btc canada

  168. Pingback: Buy Adderall Capsules

  169. Pingback: how much is a fennec fox

  170. Pingback: cockatoo lifespan

  171. Pingback: parrots for sale near me

  172. Pingback: toucan tongue

  173. Pingback: ceren yaldız

  174. Pingback: Buy Codeine 30/500mg online

  175. Pingback: daily use cialis

  176. Pingback: generic cialis

  177. Pingback: VOITURE AMERICAINE 4X4

  178. Pingback: ADDERALL CAPSULES

  179. Pingback: learn more online

  180. Pingback: viagra professional vs viagra super active

  181. Pingback: https://writemypaperbuyhrd.com

  182. Pingback: https://customessaywriterbyz.com/

  183. Pingback: dissertation writing service reviews

  184. Pingback: help with writing an essay

  185. Pingback: essay editor service

  186. Pingback: buy runtz online

  187. Pingback: help writing research papers

  188. Pingback: thesis review

  189. Pingback: phd thesis writing services

  190. Pingback: ceza avukatý

  191. Pingback: how to enjoy thick dildo

  192. Pingback: 우리카지노

  193. Pingback: 샌즈카지노

  194. Pingback: 메리트카지노

  195. Pingback: xero accounting

  196. Pingback: 코인카지노

  197. Pingback: BUY RESEARCH CHEMICALS

  198. Pingback: کوس

  199. Pingback: Evergreen medical marijuana

  200. Pingback: help me write an essay

  201. Pingback: jungle-boys

  202. Pingback: 퍼스트카지노

  203. Pingback: Buy Percocet 10/325mg

  204. Pingback: guaranteed signups

  205. Pingback: детские аудиокниги слушать

  206. Pingback: Buy Percocet online

  207. Pingback: magic mushroom spores for sale

  208. Pingback: rehabilitation

  209. Pingback: Buy Hydrocodone online

  210. Pingback: loan broker singapore

  211. Pingback: viagra samples overnight

  212. Pingback: خرید لایک خارجی

  213. Pingback: canada pharma limited

  214. Pingback: detective privado

  215. Pingback: detectives in spain

  216. Pingback: Gelato Strain

  217. Pingback: the peoples pharmacy

  218. Pingback: Lisa Ann Porn

  219. Pingback: Victoria Cakes Kenzie Reeves Lesbian Sex

  220. Pingback: buy pfizer viagra without prescription

  221. Pingback: Women’s Crocodile Leather Shoulder Bag

  222. Pingback: printing of gifts

  223. Pingback: Microblading

  224. Pingback: False Eyelashes Set

  225. Pingback: Mink Eyelashes Set

  226. Pingback: Women`s Professional Make up Tool Set

  227. Pingback: Mink Individual Lashes

  228. Pingback: Waterproof Silicone Face Cleansing Brush

  229. Pingback: Reusable Natural 3D Mink Eyelashes

  230. Pingback: Makeup Brushes 12 pcs Set

  231. Pingback: Waterproof Eyebrow Pen

  232. Pingback: Soft Makeup Brushes

  233. Pingback: Professional Champagne Color Makeup Brushes

  234. Pingback: Waterproof Eyelash Glue

  235. Pingback: Champagne Color Makeup Brushes Set

  236. Pingback: 3D Natural Soft Mink Eyelashes 10 set

  237. Pingback: Magnetic False Eyelashes and Eyeliner Set

  238. Pingback: Nail Polish Remover Cotton Wipes Set

  239. Pingback: Mink Magnetic Eyelashes

  240. Pingback: Professional Ceramic Hair Curler

  241. Pingback: Colorful Nail Art Dotting Pens Set

  242. Pingback: Eyeshadow Palette Makeup

  243. Pingback: 3D Faux Eyelashes Set

  244. Pingback: Felsefe Konu Anlatýmý

  245. Pingback: mechanism of action of viagra

  246. Pingback: Women’s Aloe Lip Balm

  247. Pingback: Velvet Waterproof Lipstick 5 Pcs Set

  248. Pingback: Flower Nail Stickers

  249. Pingback: Anti Aging Face Steamer

  250. Pingback: Colorful UV and LED Nail Gel

  251. Pingback: Waterproof Shimmer Lipstick

  252. Pingback: Disposable Eyelash Brushes 50 pcs Set

  253. Pingback: Goat Hair Eye Makeup Brushes Set

  254. Pingback: Pearls Hairband for Women

  255. Pingback: Double-headed Gradient Color Nail Art Brush

  256. Pingback: Set of 50 Metal Alligator Hair Clips

  257. Pingback: Black and White Disposable Lipgloss Brush 50 Pcs Set

  258. Pingback: Mink Hair False Eyelashes Set

  259. Pingback: Y-Shaped Facial Massage Roller

  260. Pingback: Aluminium Foil Nail Polish Remover

  261. Pingback: Eyelash Brushes Disposable

  262. Pingback: Crystal Nail Art Brushes

  263. Pingback: cialis soft tabs vs cialis

  264. Pingback: buy viagra with amex

  265. Pingback: nytimes

  266. Pingback: norwaytoday

  267. Pingback: dutchnews

  268. Pingback: cphpost

  269. Pingback: aftonbladet

  270. Pingback: cialis usa

  271. Pingback: spiegel

  272. Pingback: postimees

  273. Pingback: lemonde

  274. Pingback: best price on viagra

  275. Pingback: gayhub

  276. Pingback: helsinkitimes

  277. Pingback: 1xbet android

  278. Pingback: best thrusting dildo

  279. Pingback: icelandreview

  280. Pingback: anal lube

  281. Pingback: thesouthafrican

  282. Pingback: mature porn

  283. Pingback: أهم مباريات اليوم

  284. Pingback: how to enjoy g spot sex toys

  285. Pingback: Japanese Porn Land

  286. Pingback: Trans Hub Porn

  287. Pingback: xnnx

  288. Pingback: cialis prices in ontario

  289. Pingback: Buy adderall Online

  290. Pingback: langley plumber

  291. Pingback: generic viagra on line

  292. Pingback: rottweiler puppies for sale

  293. Pingback: GayHub

  294. Pingback: Havanese puppies for sale

  295. Pingback: weed online store

  296. Pingback: when will there be a generic for cialis

  297. Pingback: Mining

  298. Pingback: Mining

  299. Pingback: 141generic2Exare

  300. Pingback: rjwrqgkc

  301. Pingback: Twink Gay Porn

  302. Pingback: MILF Porn

  303. Pingback: Online Advertising

  304. Pingback: Mountain bike clothing

  305. Pingback: vxqtthsd

  306. Pingback: where do i buy viagra

  307. Pingback: when to take viagra for best results

  308. Pingback: wat kost cialis 10 mg

  309. Pingback: waar kan ik viagra kopen

  310. Pingback: what is ivermectin for deer

  311. Pingback: how much does zithromax cost without insurance at walmart

  312. Pingback: viagra with dapoxetine review

  313. Pingback: Diplomat

  314. Pingback: OG KUSH DANK VAPES

  315. Pingback: 샌즈카지노

  316. Pingback: 우리카지노

  317. Pingback: 메리트카지노

  318. Pingback: 퍼스트카지노

  319. Pingback: 코인카지노

  320. Pingback: Buy marijuana online

  321. Pingback: check out canada immigration news

  322. Pingback: anaimmi

  323. Pingback: cargo ship for sale

  324. Pingback: best cbd oil

  325. Pingback: buy cbd oil

  326. Pingback: comprar cialis

  327. Pingback: cbd for depression

  328. Pingback: best cbd for dogs

  329. Pingback: best cbd gummies

  330. Pingback: cialis online usa

  331. Pingback: best cbd for dogs

  332. Pingback: best cbd oil for dogs

  333. Pingback: can i buy viagra over the counter

  334. Pingback: work out sex

  335. Pingback: best cbd gummies

  336. Pingback: sphynx cat for sale

  337. Pingback: hdb studio apartment for sale singapore

  338. Pingback: red maeng da kratom

  339. Pingback: prostate milking vibrators

  340. Pingback: green maeng da kratom

  341. Pingback: white maeng da kratom

  342. Pingback: comprar viagra

  343. Pingback: viagra you raise me up

  344. Pingback: dependent visa hong kong

  345. Pingback: buy instagram followers

  346. Pingback: cbd for sale

  347. Pingback: cheap essay writing service

  348. Pingback: virtual visa and MasterCard buy

  349. Pingback: writing a research question

  350. Pingback: where do i write my name on an essay

  351. Pingback: help me edit my essay

  352. Pingback: business ethics case analysis essay

  353. Pingback: 레플리카 쇼핑몰

  354. Pingback: Free Classified Ads in Comoros

  355. Pingback: masturbating men

  356. Pingback: female vibrator

  357. Pingback: Massachusetts Fake driver's license

  358. Pingback: 4-AcO DMT For Sale

  359. Pingback: Gay Porn

  360. Pingback: Can I buy Tramadol online

  361. Pingback: kratom back pain

  362. Pingback: kratom for sale

  363. Pingback: kratom for sleep

  364. Pingback: personal finance budgeting

  365. Pingback: clit stimulation toys

  366. Pingback: BUY OG KUSH VAPE

  367. Pingback: Buy Marijuana Online

  368. Pingback: hardrock online casino

  369. Pingback: Car detailing services

  370. Pingback: Pornhome

  371. Pingback: pit bull puppies for sale

  372. Pingback: where can i buy amoxicillin 500mg

  373. Pingback: lasix 40 mg price

  374. Pingback: buy zithromax online without a prescription

  375. Pingback: Real Estate/Construction Recruitment Firm

  376. Pingback: ivermectin 4

  377. Pingback: can i buy ventolin over the counter in usa

  378. Pingback: safestore auto

  379. Pingback: safestore auto

  380. Pingback: apps for pc download

  381. Pingback: free app for laptop

  382. Pingback: apps apk free download for windows 8

  383. Pingback: pc games for windows 10

  384. Pingback: games for pc download

  385. Pingback: safestore auto

  386. Pingback: iv doxycycline

  387. Pingback: prednisolone pharmacology

  388. Pingback: clomid ovulation day

  389. Pingback: singapore divorce lawyer

  390. Pingback: singapore divorce lawyer

  391. Pingback: priligy dapoxetine usa

  392. Pingback: christiandogma

  393. Pingback: diflucan drugs

  394. Pingback: grapefruit synthroid

  395. Pingback: Michigan Fake driver's license

  396. Pingback: essayhelpof.com

  397. Pingback: cheap canvas wall art

  398. Pingback: buy Flexeril online

  399. Pingback: psychedelic mushroom growing kit usa

  400. Pingback: dissertation binding service

  401. Pingback: Andre Nieri

  402. Pingback: doctoral thesis help

  403. Pingback: https://trippydelics.ca

  404. Pingback: buy herbal incense online

  405. Pingback: click here

  406. Pingback: Webdesign pfäffikon

  407. Pingback: propecia cvs

  408. Pingback: liquid herbal incense

  409. Pingback: thc vape juice

  410. Pingback: about canada

  411. Pingback: buy cheap paper

  412. Pingback: canada cialis for sale

  413. Pingback: Shoes

  414. Pingback: for sale pinball machines

  415. Pingback: guns for sale near me

  416. Pingback: shipping containers for sale

  417. Pingback: viagra cialis comparison

  418. Pingback: canada pharmacy

  419. Pingback: crypto news

  420. Pingback: Methenolone Acetate Powder

  421. Pingback: pharmacy in canada

  422. Pingback: virtual visa card buy with bitcoin

  423. Pingback: vcc buy

  424. Pingback: neurontin urinary retention

  425. Pingback: metformin and exercise

  426. Pingback: pinball machine for sale

  427. Pingback: Weed Delivery In Ireland

  428. Pingback: paxil and sweating

  429. Pingback: shipping container garage

  430. Pingback: Mobile Home For Sale

  431. Pingback: 24 awg wire

  432. Pingback: plaquenil manufacture coupon

  433. Pingback: vape pens for sale canada

  434. Pingback: telegram bots

  435. Pingback: pharmacy canada online

  436. Pingback: buy delta 8

  437. Pingback: where to buy delta 8

  438. Pingback: Servicetech

  439. Pingback: tonico re chinfield

  440. Pingback: sig sauer p320

  441. Pingback: heroin for sale USA

  442. Pingback: VeChain (VET)

  443. Pingback: Vidalista 40mg

  444. Pingback: shroom supply

  445. Pingback: taurus g2c

  446. Pingback: buy guns online

  447. Pingback: siamese kittens for sale near me

  448. Pingback: Commercial Carpet Cleaning Services UK

  449. Pingback: Guns for sale

  450. Pingback: End Of Tenancy Cleaning Warrington

  451. Pingback: Web Design and SEO Company In Samoa

  452. Pingback: Containers for sale

  453. Pingback: Cannabis Oil

  454. Pingback: buy Instagram followers

  455. Pingback: buy cialis online viagra

  456. Pingback: Buy dmt online

  457. Pingback: container for sale

  458. Pingback: cost of furosemide uk

  459. Pingback: buy cbd hemp flowers in Europe

  460. Pingback: Aldactone

  461. Pingback: Black Nitrile Gloves

  462. Pingback: ktm duke 390

  463. Pingback: dexedrine for sale

  464. Pingback: generic cialis daily pricing

  465. Pingback: aka ms

  466. Pingback: seo company

  467. Pingback: canadian pharmacy online

  468. Pingback: Zakhar Berkut hd

  469. Pingback: 4569987

  470. Pingback: wireless vibrator

  471. Pingback: buy voucher for cialis daily online

  472. Pingback: QUEBEC BLUE STRAIN INFO

  473. Pingback: generate password

  474. Pingback: generic 20 mg tadalafil

  475. Pingback: their info

  476. Pingback: visit

  477. Pingback: cash in advance bossier city

  478. Pingback: موقع سكس

  479. Pingback: Strap on sex toy

  480. Pingback: projectio-freid

  481. Pingback: best sex toys for men

  482. Pingback: retin a online no scrip

  483. Pingback: crypto currency virtual card

  484. Pingback: service in canada

  485. Pingback: vancouverbitcoinatm.net

  486. Pingback: Web design Los Angeles

  487. Pingback: deactivate tinder plus

  488. Pingback: payday loan consolidation pontiac

  489. Pingback: Batman 66

  490. Pingback: kinoteatrzarya.ru

  491. Pingback: topvideos

  492. Pingback: visit website

  493. Pingback: video

  494. Pingback: rechargeable vibrators

  495. Pingback: in nanaimo

  496. Pingback: canada viagra

  497. Pingback: best kegel balls

  498. Pingback: Glock 17 Magazine

  499. Pingback: buy rush

  500. Pingback: gas fireplace

  501. Pingback: Bàn học thông minh

  502. Pingback: buy rush

  503. Pingback: free dating sites for lesbians

  504. Pingback: afisha-kinoteatrov.ru

  505. Pingback: tranny free dating

  506. Pingback: Ukrainskie-serialy

  507. Pingback: site

  508. Pingback: when does cialis become generic

  509. Pingback: looking for cialis 60mg

  510. Pingback: where to buy ativan online

  511. Pingback: top

  512. Pingback: max dose of cialis

  513. Pingback: consumer reports canadian pharmacies

  514. Pingback: شركة كشف تسربات المياه بالرياض

  515. Pingback: best sex toys

  516. Pingback: Realistic Dildo

  517. Pingback: eskort bayan umraniye

  518. Pingback: kinky bondage

  519. Pingback: vibrator

  520. Pingback: heavy water for sale

  521. Pingback: נערות ליווי בחיפה

  522. Pingback: best thrusting dildo

  523. Pingback: ejaculating strap ons

  524. Pingback: mobile homes for sale in westmoreland county pa

  525. Pingback: nearest phone repair shop

  526. Pingback: porn

  527. Pingback: Micro draco for sale

  528. Pingback: new homes for sale belpre,oh

  529. Pingback: adam and eve promo codes

  530. Pingback: women using bizarre sex toys

  531. Pingback: clit sex toy

  532. Pingback: pharmacy canada

  533. Pingback: homemade fleshlight

  534. Pingback: Glock 45

  535. Pingback: sako s20

  536. Pingback: virtual card buy

  537. Pingback: eskort maltepe

  538. Pingback: turk escort

  539. Pingback: buy sig sauer guns online

  540. Pingback: canadapharmacy.com

  541. Pingback: Dental insurance Alberta

  542. Pingback: slot online

  543. Pingback: best delta 8 gummies

  544. Pingback: ipad repair

  545. Pingback: electric motorbike canada

  546. Pingback: sex life

  547. Pingback: closet tour

  548. Pingback: buy kratom

  549. Pingback: anal vibrator

  550. Pingback: sex toy review

  551. Pingback: Irvine Hair Salons

  552. Pingback: Buy Weed Online

  553. Pingback: strapon pegging

  554. Pingback: male prostate vibrator

  555. Pingback: top sex toys

  556. Pingback: powerful g spot vibrator

  557. Pingback: g spot vibrator

  558. Pingback: nba hoop troop arcade game

  559. Pingback: order alligator meat

  560. Pingback: Pinball machines

  561. Pingback: GOLDEN RETRIEVER PUPPIES FOR SALE

  562. Pingback: Guns for Sale

  563. Pingback: PARROTS FOR SALE

  564. Pingback: Rszk Login

  565. Pingback: latest technology. news

  566. Pingback: DUBBAL STAGE PULVERIZER

  567. Pingback: soderzhanki-3-sezon-2021.online

  568. Pingback: buy kratom online

  569. Pingback: kratom capsules

  570. Pingback: best kratom

  571. Pingback: buy real Instagram likes

  572. Pingback: best delta 8

  573. Pingback: best delta 8 THC vape cartridges

  574. Pingback: buy Instagram likes

  575. Pingback: best delta 8 thc gummies

  576. Pingback: iphone screen repair

  577. Pingback: large sex toys

  578. Pingback: tides today at tides.today

  579. Pingback: Food License Hyderabad

  580. Pingback: blogery_i_dorogi

  581. Pingback: vibrating strap on dildo

  582. Pingback: Kitsap Daily News

  583. Pingback: Observer

  584. Pingback: best cbd gummies for anxiety

  585. Pingback: delta 8 THC

  586. Pingback: bachelor's degree

  587. Pingback: pocket pussy review

  588. Pingback: clit vibrating massager

  589. Pingback: top vibrators for women

  590. Pingback: pocket vibrator

  591. Pingback: generic priligy no prescription needed

  592. Pingback: buy weed online

  593. Pingback: dispensaries near me

  594. Pingback: Seattle Weekly

  595. Pingback: weed near me

  596. Pingback: buy weed online

  597. Pingback: buy weed online

  598. Pingback: tiktok followers

  599. Pingback: Ruger Pistols

  600. Pingback: glock 32

  601. Pingback: live resin cartridges for sale

  602. Pingback: shop ruger guns online

  603. Pingback: Kelowna moving company

  604. Pingback: Surat utang obligasi

  605. Pingback: Glock Guns for sale

  606. Pingback: Restaurants

  607. Pingback: MURANG'A UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

  608. Pingback: hydroxychloroquine and zinc update

  609. Pingback: MILF Porn

  610. Pingback: azithromycin hydroxychloroquine study

  611. Pingback: sultanbeyli escort

  612. Pingback: istanbul eskortlar

  613. Pingback: Roofers

  614. Pingback: canadian pharmacies

  615. Pingback: Sig P938

  616. Pingback: bohemian coffee table

  617. Pingback: Canadian Marble Fox

  618. Pingback: Thc Cartridge

  619. Pingback: nautilus counter

  620. Pingback: bulk 30 30 ammo

  621. Pingback: whole crab for sale

  622. Pingback: how to lose belly fat

  623. Pingback: insulated shed

  624. Pingback: which countries use hydroxychloroquine

  625. Pingback: will hydroxychloroquine kill malarial

  626. Pingback: best sex toys for men

  627. Pingback: laser hair removal near me

  628. Pingback: hydroxychloroquine patient reviews

  629. Pingback: learn more

  630. Pingback: software buy

  631. Pingback: HBCUC

  632. Pingback: mango juul pods for sale usa

  633. Pingback: Buy Guns Online USA

  634. Pingback: معرفة هوية المتصل

  635. Pingback: Canada pharmacy

  636. Pingback: shop marijuana online

  637. Pingback: buy kush online

  638. Pingback: buy glo carts online

  639. Pingback: buy ruger rifles

  640. Pingback: canada pharmacy canada pharmacy canada pharmacy

  641. Pingback: past trauma memory healing

  642. Pingback: Buy Peruvian Cocaine Online

  643. Pingback: hydroxychloroquine dosing for coronavirus

  644. Pingback: click here

  645. Pingback: pocket masturbator

  646. Pingback: Knee Pain

  647. Pingback: g spot vibrator review

  648. Pingback: cialis 20 mg price walgreens

  649. Pingback: hands-free penis pumping

  650. Pingback: erotic audio reddit

  651. Pingback: substitutes for viagra

  652. Pingback: sariyer escort

  653. Pingback: pharmacy in canada pharmacy in canada

  654. Pingback: Where To Buy Cocaine

  655. Pingback: US Trending News

  656. Pingback: happyluke ฟรี300

  657. Pingback: rechargeable wand vibrator

  658. Pingback: ????? happyluke

  659. Pingback: https://regcialist.com

  660. Pingback: male adult products

  661. Pingback: best pocket pussy

  662. Pingback: best way to clean sex toys

  663. Pingback: halkali escort

  664. Pingback: goztepe escort

  665. Pingback: best ben wa balls

  666. Pingback: Magic Mushroom Edibles

  667. Pingback: what ivermectil head lice tablets used for

  668. Pingback: rechargeable thrusting rabbit toy

  669. Pingback: canadapharmacycanada.com

  670. Pingback: gay sex

  671. Pingback: anal sex toys

  672. Pingback: mersin escort

  673. Pingback: stromectol and birth control

  674. Pingback: Vietnamese Food Nanaimo

  675. Pingback: buy weed in North Carolina

  676. Pingback: fun88

  677. Pingback: remote control vibrating panties

  678. Pingback: thrusting male p spot vibe

  679. Pingback: battery vibrators

  680. Pingback: male pocket masturbator

  681. Pingback: Devilbiss oxygen concentrator

  682. Pingback: powerful vibrator

  683. Pingback: Realistic Masturbator

  684. Pingback: learn more

  685. Pingback: lottovip

  686. Pingback: has priligy gone generic yet

  687. Pingback: web hosting reviews

  688. Pingback: ground lease

  689. Pingback: lotto vip

  690. Pingback: ruay

  691. Pingback: prostate milking toys

  692. Pingback: pocket masturbator

  693. Pingback: realistic suction cup dildo

  694. Pingback: thick dildo

  695. Pingback: سکس با دکتر

  696. Pingback: Peer-to-Peer crypto platfrom

  697. Pingback: kaynarca escort

  698. Pingback: streamcomplet

  699. Pingback: vehicle repatriation

  700. Pingback: site de streaming

  701. Pingback: film streaming 2021

  702. Pingback: side affects of atorvastatin

  703. Pingback: Trade popular cryptocurrency

  704. Pingback: download a twitter video

  705. Pingback: lamictal and prozac

  706. Pingback: pocket pussy

  707. Pingback: stromectol 1 gram

  708. Pingback: interesting sex facts

  709. Pingback: best way to masturbate

  710. Pingback: how to use a penis ring

  711. Pingback: wean off zoloft

  712. Pingback: 50 mg quetiapine

  713. Pingback: best penis pump

  714. Pingback: male stroker

  715. Pingback: w88ok

  716. Pingback: side effects for escitalopram

  717. Pingback: best in ottawa

  718. Pingback: sildenafil coupon

  719. Pingback: ruger 22/45 lite for sale

  720. Pingback: 토토사이트

  721. Pingback: 머니상

  722. Pingback: losartan potassium hydrochlorothiazide side effects

  723. Pingback: canadian generic viagra

  724. Pingback: what is atorvastatin for

  725. Pingback: buy stromectol cvs

  726. Pingback: viagra prescription

  727. Pingback: learning numbers workbooks

  728. Pingback: free viagra

  729. Pingback: uganda safari murchison falls national park

  730. Pingback: viagra alternative

  731. Pingback: ivermectin 12 mg capsule

  732. Pingback: libresse

  733. Pingback: Thc juul pods

  734. Pingback: cialis sex pill

  735. Pingback: escitalopram 20 mg no insurance

  736. Pingback: purchase cialis online

  737. Pingback: big chief extracts blue dream

  738. Pingback: rx cialis

  739. Pingback: African gray for sale

  740. Pingback: Golden Retriever For Sale

  741. Pingback: generic cialis canada

  742. Pingback: viagra pill

  743. Pingback: cheap cialis new zealand

  744. Pingback: canadian pharmacies

  745. Pingback: Maplesden Noakes School

  746. Pingback: male sex toys

  747. Pingback: sildenafil citrate 100mg

  748. Pingback: dildos

  749. Pingback: duloxetine sexual side effects in men

  750. Pingback: برنامج تروكولر

  751. Pingback: projektant wnętrz Gdynia

  752. Pingback: free download for windows 7

  753. Pingback: viagra price

  754. Pingback: apps for pc download

  755. Pingback: free download for pc

  756. Pingback: pc games for windows 8

  757. Pingback: free full download for windows

  758. Pingback: free download for windows 8

  759. Pingback: discount cialis online

  760. Pingback: download music mp3 player

  761. Pingback: pc apk free download for windows

  762. Pingback: generic viagra 100mg

  763. Pingback: sugar gliders for sale

  764. Pingback: viagra uk paypal

  765. Pingback: Devis site Wordpress

  766. Pingback: IT Support Bridgwater

  767. Pingback: Sig Sauer Pistols For Sale

  768. Pingback: buy amoxil

  769. Pingback: where to buy viagra without prescription

  770. Pingback: ivermecta clav 875 uses

  771. Pingback: cialis ingredients

  772. Pingback: viagra online generic

  773. Pingback: GOLF CARTS FOR SALE

  774. Pingback: buy propecia 5mg online

  775. Pingback: womens viagra

  776. Pingback: Livestock for sale

  777. Pingback: 3 Days Murchison falls tour

  778. Pingback: Macbook pro akku schnell leer zürich

  779. Pingback: cialis soft

  780. Pingback: prednisone 5mg price in india

  781. Pingback: best sex toys

  782. Pingback: shipping containers for sale

  783. Pingback: generic for viagra

  784. Pingback: Serengeti safari tour

  785. Pingback: ارقام بنات

  786. Pingback: cialis 20mg usa

  787. Pingback: aromatherapy shop

  788. Pingback: human ivermectin dose

  789. Pingback: 120 mg sildenafil online

  790. Pingback: can i buy ivermectin online

  791. Pingback: how to buy viagra from canada

  792. Pingback: can i buy cialis without a prescription

  793. Pingback: sildenafil cost comparison

  794. Pingback: web development

  795. Pingback: mylowes

  796. Pingback: ivermectin horse paste humans

  797. Pingback: eli lilly cialis

  798. Pingback: z pack urinary tract infection

  799. Pingback: generic viagra versus viagra

  800. Pingback: savage impulse hog hunter 300 win

  801. Pingback: springfield edge

  802. Pingback: viagra 100mg tablet picture

  803. Pingback: landor arms tx 801

  804. Pingback: invaders from the planet moolah slot machine for sale

  805. Pingback: mossberg patriot 308 for sale

  806. Pingback: Buy STIIIZY BATTERY(BLUE)

  807. Pingback: buy pentobarbital

  808. Pingback: cialis no prescription

  809. Pingback: cialis pills price

  810. Pingback: cialis pay pal

  811. Pingback: can i buy zithromax at a local drugstore

  812. Pingback: cheap 100mg viagra

  813. Pingback: buy and purchase viagra online

  814. Pingback: background check service

  815. Pingback: generic cialis 20mg

  816. Pingback: buy exotic weed online

  817. Pingback: best over the counter erection pills

  818. Pingback: mango juul pods

Comments are closed

  • ಹಂಚಿ

    facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail