ಚೌಕ

ನಾವಾಡುವ ಚೆಸ್ ಆಟದ ಮಣೆ, ಮನೆಯ ಟೈಲ್ಸ್ ಗಳು, ಹಾವು ಏಣಿ ಆಟದ ದಾಳ, ಅಂಚೆ ಚೀಟಿಗಳು ಇವೆಲ್ಲವೂ ‘ಚೌಕ’ಗಳಾಗಿವೆ (Square).

 

dice square-tiles

ನಮ್ಮ ದಿನದ ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ಹಾಸುಹೊಕ್ಕಾಗಿರುವ ಚೌಕದ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಚೌಕವು ನಾಲ್ಕು ಸರಿಯಳತೆಯ (Congruent) ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಒಂದು ಆಕೃತಿ.

Image1 sqಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿದ ಚೌಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳಾದ EF, FG, GH ಮತ್ತು HE ಗೆರೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸಮ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಹಾಗೆನೇ ಚೌಕವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

  • ಚೌಕವು ಸಮತಟ್ಟಾದ (planar) ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (Closed Shape)
  • ಚೌಕವು ನಾಲ್ಬದಿ (Quadrilateral) ಆಕೃತಿಯ ಒಂದು ಬಗೆಯಾಗಿದೆ.
  • ಚೌಕದ ಜೋಡಿ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿರುತ್ತವೆ (Perpendicular to each other)

ಚೌಕದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಗಳು.

ಬದಿ (Side):  ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಬದಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ತುದಿ (Vertex): ಚೌಕದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸೇರುವೆಡೆಯನ್ನು ತುದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೂಲೆಗೆರೆ (Diagonal): ಚೌಕದ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಅದರ ಎದುರು ಮೂಲೆಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯೇ ಮೂಲೆಗೆರೆ.

ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter): ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವನ್ನು ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೂಲೆ (Angle): ಎರಡು ಜೋಡಿ ಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸೇರಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಎಡೆಯನ್ನು ಮೂಲೆ ಇಲ್ಲವೇ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ನಡು (Centre): ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಸೇರುವ  ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ನಡು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಚೌಕದ ನಟ್ಟನಡುವಿನ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲ ಮೂಲೆಗಳಿಂದ ಸಮದೂರಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

Image2 sqಚೌಕದ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷತೆಗಳು:

  • ಎರಡು ಜೋಡಿಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಮೂಲೆಗಳ ಕೋನ (Angle) 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನಡುವಿನಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಕೋನವೂ (Angle) 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಎರಡು ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು.
  • ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ (congruent).
  • ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಅದರ ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
  • ಚೌಕದ ಮೂಲೆಗೆರೆಯು ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಗಿಂತ 2 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಸುಮಾರು 1.414 ಪಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿ (Quadrilateral) ಆಕೃತಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ ಚೌಕದ ಸುತ್ತಳತೆಗೆ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಚೌಕದ ಹರವು (Area) ನಾಲ್ಬದಿ ಆಕೃತಿಯ ಹರವಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುತ್ತದೆ.
  • ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಸೀಳಿದಾಗ ಅದರ ಒಳಪಾಲುಗಳೂ ಚೌಕ ಆಕೃತಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಚೌಕ EFGH ನ್ನು ಅಡ್ಡ ಮತ್ತು ಉದ್ದವಾಗಿ ಐದು ಪಾಲು ಮಾಡೋಣ. ನಾವೀಗ ಇದರಲ್ಲಿ 25 ಚಿಕ್ಕ ಚಿಕ್ಕ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

Image3 sq

  • ಚೌಕವು ಆಯತದ (Rectangle) ಒಂದು ಬಗೆಯೂ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಳತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಆಯತವು ಚೌಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ಚೌಕವು ಒಂದು ನಾಲ್ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ (Parallelogram), ಅಂದರೆ ಅದರ ಎದುರು ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮನಾಂತರವಾಗಿವೆ (Parallel to each other).
  • ಚೌಕವನ್ನು ಓರೆಯಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಹರಳಾಕೃತಿಯಾಗುತ್ತದೆ (Rhombus).Image4 sq
  • ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ಮೂಲೆಯೊಂದರ ಕೋನ 90° ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಇದರ ಮೂಲೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಕೋನ 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

1. ಚೌಕದ ಸುತ್ತಳತೆ (perimeter):

ಈಗ ಚೌಕದ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

 ಚೌಕದ ಬದಿ (Side) = a,  ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter) = P ಎಂದಾಗಿರಲಿ,

Image5 sqಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಚೌಕವು ಒಟ್ಟು ನಾಲ್ಕು ಸರಿಯಳತೆಯುಳ್ಳ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ

P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = HE + EF + FG + GH = a + a + a + a + a = 4 x a = 4a

ಸುತ್ತಳತೆ  P = 4a

ಉದಾಹರಣೆ:  ಚೌಕ EFGH ಬದಿಯ ಉದ್ದ a = 7cm ಆಗಿರಲಿ, ನಾವೀಗ ಇದರ ಸುತ್ತಳತೆ P ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

Image6 sqಸುತ್ತಳತೆ P = 4a = 4 x a = 4 x 7 = 28cm;

ಸುತ್ತಳತೆ P = 28cm

 2.ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

Image7 sqಮೂಲೆಗೆರೆ (Diagonal) = EG = d , ಬದಿಗಳು (Sides) = EF + FG = GH = HE = a ಆಗಿರಲಿ.

ಮೂಲೆಗೆರೆ EG ಯು ಚೌಕವನ್ನು ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳನ್ನಾಗಿ (Triangle) ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ನಮಗೆ EGH ಮತ್ತು EFG ಎಂಬ ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳು ಕಾಣಸಿಗುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಇದರಲ್ಲಿ EFG ಮೂರ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಈ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಬದಿ EF = a, FG = a ಮತ್ತು GE = d ಆಗಿವೆ.

ನಾವಿಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ ಏನೆಂದರೆ EF ಮತ್ತು FG ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ನೇರಡ್ಡವಾಗಿವೆ (Perpendicular), ಆದ್ದರಿಂದ EFG ಒಂದು ಸರಿಮೂಲೆಯ ಮೂರ್ಬದಿಯಾಗಿದೆ (Right Angle Triangle). ಇದರಲ್ಲಿ GE ಯು ಉದ್ದಬದಿ (Hypotenuse)=d ಆಗಿದೆ.

ಈಗ ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯ (Pythagoras Theoram) ಮೂಲಕ ಮೂರ್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆ (Pythagoras Theorem):

ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ (right angle triangle), ಉದ್ದಬದಿಯ ಇಮ್ಮಡಿಯು (Square of hypotenuse) ಉಳಿದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಇಮ್ಮಡಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

 

ಅಂದರೆ GE= EF2 + FG2

d=  a2 + a2   = 2 a2

ಎರಡು ಕಡೆ ಇಮ್ಮಡಿ ಮೂಲವನ್ನು (Square root) ತೆಗೆದಾಗ d = √2 x a=√2a ಆಗುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ EFG ಮೂರ್ಬದಿಯ ಉದ್ದಬದಿಯು (Hypotenuse of a triangle) ಚೌಕದ ಮೂಲೆಗೆರೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ (Diagonal of a Square) ಮೂಲೆಗೆರೆ GE ಯ ಉದ್ದ d = √2a ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:

EFGH ಎಂಬ ಚೌಕದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದ EF = a = 17cm ಆಗಿರಲಿ, ಇದರಿಂದ ಮೂಲೆಗೆರೆ GEಯ ಉದ್ದ d ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

Image8 sqಮೂಲೆಗೆರೆ GE ಯ ಉದ್ದ d = √2 x a = √2 x 17  = 1.41  x 17= 24.04 cm

 3. ಚೌಕದ ಹರವನ್ನು (area) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ಅಗಲವನ್ನು ಉದ್ದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಆಯತದ (rectangle) ಹರವು ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಚೌಕವೂ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚೌಕದ ಹರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

Image9 sqಬದಿ EH = a ಚೌಕದ ಅಗಲವಾಗಿರಲಿ , HG = a ಚೌಕದ ಉದ್ದವಾಗಿರಲಿ, ಹರವು (Area)=A ಆಗಿರಲಿ.

ಹರವು (Area) = A = ಉದ್ದ x ಅಗಲ = HG x EH = a x a = a2

ಹರವು A = a2

ಉದಾಹರಣೆ 1:

ಒಂದು ಚೌಕ ಆಕಾರದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ಬಿಡಿ ಹಾಸುಗಲ್ಲಿನ ಬದಿ a = 11mm ಆದಾಗ ಚೌಕದ ಹರವು A ಅನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯೋಣ.

Image10 sqಹರವು A = a2  = 112   = 121 mm2    

ಉದಾಹರಣೆ 2:

ಚೌಕ ಆಕಾರದ EFGH ಎಂಬ ಒಂದು ಹಸಿರು ಹುಲ್ಲಿನ ಗದ್ದೆಯ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲೆಗೆ 10 ಮೀಟರ್ ಉದ್ದವಿದೆ, ಇದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಗದ್ದೆಯು ಎಷ್ಟು ಹರವಿಕೊಂಡಿದೆ (Area occupied) ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image11 sqಮೂಲೆಗೆರೆ GE = d = 10m ಆಗಿದೆ.

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಮೂಲೆಗೆರೆಯ ಉದ್ದ d = √2a ಆಗಿರುತ್ತದೆ

ಮೇಲಿನ ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಕಟ್ಟಲೆಯಿಂದ GE= EF2 + FG2  = d= 2 a2    ಆಗುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ a= d2 /2 , ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ಹರವು A = a2

ಆದ್ದರಿಂದ ಹಸಿರು ಹುಲ್ಲಿನ ಗದ್ದೆಯ ಹರವು A = a= d2 /2   = 102 /2 = 100/2 = 50 m2  ಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 3:

EFGH ಚೆಸ್ ಆಟದ ಮಣೆಯ ಒಂದು ಮನೆಯ ಬದಿಯ ಉದ್ದ 2cm, ಇದರಿಂದ ನಾವು ಇಡೀ ಚೆಸ್ ಆಟದ ಮಣೆಯ ಹರವನ್ನು (Area) ಕಂಡು ಹಿಡಿಯೋಣ.

Image12 sqಮನೆಯ ಒಂದು ಬದಿ = a = 2cm ಹರವು  = A ಆಗಿರಲಿ.

ಚೆಸ್ ಮಣೆಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮನೆಗಳು ಮತ್ತು ಇಡೀ ಚೆಸ್ ಮಣೆ ಚೌಕ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ. ಚೆಸ್ ಮಣೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯು ಒಟ್ಟು 8 ಮನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಚೌಕದ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದ ಎಲ್ಲಾ ಎಂಟು ಮನೆಗಳ ಒಂದು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬದಿ EF = FG = GH = HE = 8 x a =  8a =  8 x 2 = 16 cm  ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವಂತೆ ಚೌಕದ ಹರವು A = (ಬದಿ) 2 = 162 = 256 cm2

ಆದ್ದರಿಂದ ಚೌಕದ ಹರವು A = 256 cm2

ಚೌಕ ಬಿಡಿಸುವ ಆಟ:

ನೀವು ಚಂದವಾದ ಮತ್ತು ಕರಾರುವಕ್ಕಾದ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಬಿಡಿಸಬೇಕೇ? ಹಾಗಾದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಂತೆ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಮೂಡಿಸಿ ನೋಡಿ.

Image13 sqಮೂಡಿಸುವ ಬಗೆ:

  1. ಕಯ್ವಾರವನ್ನು (Geometric Compass) ಒಂದು ಸುತ್ತುಹಾಕಿ ಒಂದು ದುಂಡುಕವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ, ನಂತರದಲ್ಲಿ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಒಂದು ದುಂಡಗಲದ (Diameter) ಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದರ ನಡು (ಕೈವಾರದ ಮುಳ್ಳು ಚುಚ್ಚಿಸಿದ ಚುಕ್ಕೆ) O ಆಗಿರಲಿ, ದುಂಡಗಲದ ಒಂದು ಬದಿಗಳು A ಮತ್ತು B ಆಗಿರಲಿ. (ದುಂಡುಕ1 ನೋಡಿ)
  2. ಕಯ್ವಾರದ ಮುಳ್ಳನ್ನು A ಚುಕ್ಕೆಯಲ್ಲಿಟ್ಟು ಕಯ್ವಾರದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ಲಿನಿಂದ ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನ ನಂತರದ ಮೇಲ್ಬಾಗದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಬಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾದರೂ ಒಂದು ಕಮಾನನ್ನು (Arc) ಎಳೆಯಿರಿ. ಕಯ್ವಾರದ ಅದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಅದೇ ರೀತಿ ಎದುರುಬದಿ C ಯಿಂದ ಮೇಲೆಕೆಳೆಗೆ ಇನ್ನೆರಡು ಕಮಾನುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. (ದುಂಡುಕ2, ದುಂಡುಕ3, ದುಂಡುಕ4 ನೋಡಿ)
  3. ಕಮಾನು ಕತ್ತರಿಸುವ ನಡುವಿಂದ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲಿಂದ ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಈಗ ನಮಗೆ ದುಂಡುಕದ ಮೇಲೆ A,B,C,D ನಾಲ್ಕು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಮೂಡಿವೆ, ನಂತರದಲ್ಲಿ ದುಂಡುಕದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಚುಕ್ಕೆಗೆ ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಹೀಗೆ ನಮಗೊಂದು ಚೆಂದವಾದ ಚೌಕವು ಸಿಗುತ್ತದೆ. (ದುಂಡುಕ5, ದುಂಡುಕ6, ದುಂಡುಕ7 ನೋಡಿ)

ಚೌಕದ ಹಳಮೆ:

  • ಸುಮಾರು 4000 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಈಜಿಪ್ಟಿಯನ್ನರು ಹಲಾವಾರು ಮಟ್ಟಾಕೃತಿಯ (Frustum) ಪಿರಮಿಡ್ ಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುತ್ತಿದ್ದರು, ಮಟ್ಟಾಕೃತಿ ಅಂದರೆ ಬುಡದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಆಕಾರವಿರುತ್ತದೋ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಮಟ್ಟವಾದ ಅದೇ ಆಕಾರವಿರುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಚೌಕದ ಮಟ್ಟಾಕೃತಿ (Square Frustum).Image14 sq
  • ಪೈತಾಗೋರಸ್ ಗ್ರೀಕಿನ ಒಬ್ಬ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರು, ಅವರ ಕಾಲ ಸುಮಾರು 500 BC. ಅವರು ತಮ್ಮ ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ (Right Angle Triangle) ಕಟ್ಟಲೆಯನ್ನು ಒರೆಹಚ್ಚಲು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರು.Image15 sq

(ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು: mathopenref.comWikipedianewworldencyclopedia.org)

facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail
Bookmark the permalink.

317 Comments

  1. Pingback: viagra online

  2. Pingback: buy cialis

  3. Pingback: cialis coupons

  4. Pingback: Discount viagra no rx

  5. Pingback: Real viagra pharmacy prescription

  6. Pingback: albuterol inhaler generic walmart

  7. Pingback: viagra for sale

  8. Pingback: best generic cialis pharmacy

  9. Pingback: ciprofloxacin uk

  10. Pingback: buy generic cialis

  11. Pingback: buy viagra

  12. Pingback: cialis

  13. Pingback: buy naltrexone

  14. Pingback: cialis 20 mg

  15. Pingback: cialis from india

  16. Pingback: buy careprost in the usa

  17. Pingback: cialis for sale

  18. Pingback: viagra online canadian pharmacy

  19. Pingback: buy tylenol

  20. Pingback: chloroquine mexico

  21. Pingback: viagra for sale

  22. Pingback: sildenafil online

  23. Pingback: cheap viagra

  24. Pingback: mens ed pills

  25. Pingback: erectile dysfunction medication

  26. Pingback: medicine erectile dysfunction

  27. Pingback: rx pharmacy

  28. Pingback: generic cialis

  29. Pingback: levitra canada

  30. Pingback: canadian discount generic ed medications

  31. Pingback: cialis online no prescription

  32. Pingback: female viagra

  33. Pingback: how to get viagra

  34. Pingback: cheap cialis

  35. Pingback: generic latisse bimatoprost

  36. Pingback: installment loans

  37. Pingback: canada viagra generic

  38. Pingback: order viagra online

  39. Pingback: cialis 20

  40. Pingback: viagra pills

  41. Pingback: buy chloroquine phosphate

  42. Pingback: viagra for sale

  43. Pingback: generic viagra without subscription walmart

  44. Pingback: best online pharmacy for viagra

  45. Pingback: can i buy viagra online

  46. Pingback: cialis online pharmacy

  47. Pingback: viagra canada

  48. Pingback: viagra samples

  49. Pingback: canadian pharmacy viagra

  50. Pingback: buy cialis

  51. Pingback: buy viagra online cheap no prescription

  52. Pingback: http://droga5.net/

  53. Pingback: tadalafil reviews

  54. Pingback: buy sildenafil

  55. Pingback: viagra cheap

  56. Pingback: buy cialis online

  57. Pingback: viagra buy

  58. Pingback: cheap viagra

  59. Pingback: order viagra

  60. Pingback: cialis coupon 2020

  61. Pingback: buy viagra generic

  62. Pingback: cheap cialis

  63. Pingback: order viagra online

  64. Pingback: generic viagra names

  65. Pingback: viagra price

  66. Pingback: buy cialis

  67. Pingback: shop pharmacie

  68. Pingback: viagra

  69. Pingback: levitra vs viagra

  70. Pingback: cialis generic reviews

  71. Pingback: buy viagra 50mg online

  72. Pingback: sildenafil cost walmart

  73. Pingback: cialis spray

  74. Pingback: cialis 40 mg

  75. Pingback: viagra without prescription

  76. Pingback: can you buy viagra over the counter

  77. Pingback: tadalafil 20 mg

  78. Pingback: cialis dosage

  79. Pingback: cheap ed pills

  80. Pingback: legal to buy prescription drugs without prescription

  81. Pingback: viagra las vegas

  82. Pingback: cheap cialis

  83. Pingback: how to order viagra online safely

  84. Pingback: cialis malaysia

  85. Pingback: where can i get amoxicillin 500 mg

  86. Pingback: female viagra sildenafil

  87. Pingback: payday loans online

  88. Pingback: viagra generic date

  89. Pingback: cialis headache remedy

  90. Pingback: essay on customer service

  91. Pingback: generic cialis

  92. Pingback: buying viagra in germany

  93. Pingback: help to write a research paper

  94. Pingback: customessaywriterbyz.com

  95. Pingback: write dissertation

  96. Pingback: essay help forum

  97. Pingback: us essay writing services

  98. Pingback: help writing a thesis statement

  99. Pingback: thesis editors

  100. Pingback: find someone to write my college paper

  101. Pingback: buy viagra generic

  102. Pingback: canada drug pharmacy

  103. Pingback: cheap Amoxil

  104. Pingback: ed meds online

  105. Pingback: viagra walgreens

  106. Pingback: canadian pharmacy viagra

  107. Pingback: zithromax generic cost

  108. Pingback: generic pills

  109. Pingback: generic pills

  110. Pingback: how much is viagra in ireland

  111. Pingback: canadian pharmacy cialis

  112. Pingback: ed meds

  113. Pingback: online pharmacy no prescription

  114. Pingback: Florinef

  115. Pingback: Aciclovir for sale

  116. Pingback: generic viagra from england

  117. Pingback: fda approved canadian online pharmacies

  118. Pingback: canada online pharmacy

  119. Pingback: generic viagra online

  120. Pingback: price of viagra

  121. Pingback: viagra pro online

  122. Pingback: best antibiotic for kidney infections

  123. Pingback: 60 mg generic allegra

  124. Pingback: buy periactin 4mg

  125. Pingback: viagra patent

  126. Pingback: viagra doses 200 mg

  127. Pingback: generic viagra cost

  128. Pingback: eli lilly and company cialis savings

  129. Pingback: viagra sex vids

  130. Pingback: amateur viagra

  131. Pingback: buy cialis near me no prescription

  132. Pingback: how to stop taking cialis

  133. Pingback: canadian pharmacy viagra

  134. Pingback: zithromax online no prescription

  135. Pingback: walmart viagra

  136. Pingback: amoxicillin 200 mg tablet

  137. Pingback: ordering viagra prices

  138. Pingback: when is cialis off patent

  139. Pingback: xhewable viagra

  140. Pingback: canadian drug pharmacy

  141. Pingback: buy viagra online

  142. Pingback: cialis 5mg tablets

  143. Pingback: cialis at canadian pharmacy

  144. Pingback: generic cialis

  145. Pingback: cialis canada

  146. Pingback: generic viagra in canada

  147. Pingback: generic viagra without doctor's prescription

  148. Pingback: sildenafil 20mg online prescription

  149. Pingback: amoxicillin warfarin

  150. Pingback: azithromycin ear infection

  151. Pingback: celebrex and heart issues

  152. Pingback: keflex dose for uti treatment

  153. Pingback: generic viagra effectiveness

  154. Pingback: cymbalta with sertraline

  155. Pingback: generic viagra

  156. Pingback: amoxicillin tablets

  157. Pingback: levitra vs viagra vs cialis

  158. Pingback: evnhjfct

  159. Pingback: generic tadalafil 20mg

  160. Pingback: new ed drugs

  161. Pingback: azithromycin fish

  162. Pingback: new treatments for ed

  163. Pingback: jxpsiuwh

  164. Pingback: non prescription ed pills

  165. Pingback: best otc ed pills

  166. Pingback: is celebrex dulfa

  167. Pingback: keflex cephalosporin

  168. Pingback: what happens if you take too much viagra

  169. Pingback: when not to take viagra

  170. Pingback: waar cialis kopen

  171. Pingback: wat is het verschil tussen viagra en cialis

  172. Pingback: what does duloxetine do

  173. Pingback: how long does ivermectin stay in manure after dosing

  174. Pingback: where can i buy azithromycin 500mg tablets

  175. Pingback: walmart viagra

  176. Pingback: can you buy viagra without prescription

  177. Pingback: lasix online

  178. Pingback: minocycline capsules

  179. Pingback: generic augmentin

  180. Pingback: buy minocin generic

  181. Pingback: sildenafil dosage for women

  182. Pingback: minomycin for sale

  183. Pingback: comprar cialis sin receta

  184. Pingback: cheap cialis online

  185. Pingback: viagra 100

  186. Pingback: cialis 20mg price

  187. Pingback: cialis 30 day trial voucher

  188. Pingback: viagra dosage instructions

  189. Pingback: comprar viagra generico online

  190. Pingback: university essay writing service

  191. Pingback: how to write a research introduction

  192. Pingback: my essay writing

  193. Pingback: help writing an essay for college

  194. Pingback: essay on ethics and etical considerations in business management

  195. Pingback: got a viagra txt message

  196. Pingback: india pharmacy

  197. Pingback: amoxicillin 500mg capsule cost

  198. Pingback: lasix over the counter australia

  199. Pingback: azithromycin 250 price

  200. Pingback: order azithromycin online usa

  201. Pingback: where to buy viagra

  202. Pingback: п»їviagra pills

  203. Pingback: generic ivermectin for humans

  204. Pingback: cheap albuterol inhalers

  205. Pingback: buy real viagra online

  206. Pingback: zithromax cost australia

  207. Pingback: best place to buy viagra online

  208. Pingback: doxycycline and coffee

  209. Pingback: doxycycline symptoms

  210. Pingback: prednisolone and alcohol

  211. Pingback: prednisolone bodybuilding

  212. Pingback: clomid half life

  213. Pingback: dapoxetine tablets

  214. Pingback: iv diflucan

  215. Pingback: synthroid prescribing information

  216. Pingback: essay about helping others

  217. Pingback: ed pills online

  218. Pingback: essay writer service review

  219. Pingback: proquest dissertations search

  220. Pingback: zithromax cost australia

  221. Pingback: help in thesis writing

  222. Pingback: neurontin 204

  223. Pingback: custome essay

  224. Pingback: zithromax generic price

  225. Pingback: propecia mdl

  226. Pingback: buy prescriptions from india pharmacy

  227. Pingback: lamictal vs neurontin

  228. Pingback: medication metformin

  229. Pingback: gabapentin and paxil

  230. Pingback: paxil and hydrocodone

  231. Pingback: plaquenil autoimmune

  232. Pingback: indian online pharmacies review

  233. Pingback: male erectile pills

  234. Pingback: no prescription viagra

  235. Pingback: clomid treats

  236. Pingback: tadalafil pills

  237. Pingback: cheap amoxicillin 500mg

  238. Pingback: buy propecia without prescription

  239. Pingback: cheap finasteride

  240. Pingback: Protonix

  241. Pingback: cialis soft tablet

  242. Pingback: ed drugs list

  243. Pingback: buy lasix cheap

  244. Pingback: canada pharmacy

  245. Pingback: safe buy cialis

  246. Pingback: Zakhar Berkut hd

  247. Pingback: canadian pharmacy world coupons

  248. Pingback: 4569987

  249. Pingback: cialis soft tablet

  250. Pingback: buy cialis online at lowest price

  251. Pingback: where can u buy cialis

  252. Pingback: buy 36 hour online

  253. Pingback: magnum cash advance campbell

  254. Pingback: psy

  255. Pingback: projectio-freid

  256. Pingback: viagra cost

  257. Pingback: retin a cream to buy

  258. Pingback: he updated his tinder profile

  259. Pingback: fast cash advance longmont

  260. Pingback: kinoteatrzarya.ru

  261. Pingback: topvideos

  262. Pingback: video

  263. Pingback: natural alternatives to viagra

  264. Pingback: online without prescription

  265. Pingback: lisinopril sale

  266. Pingback: online without prescription

  267. Pingback: lisinopril 2.5 pill

  268. Pingback: afisha-kinoteatrov.ru

  269. Pingback: Ukrainskie-serialy

  270. Pingback: site

  271. Pingback: mingle2 free dating

  272. Pingback: when will cialis be available over the counter

  273. Pingback: buy lorazepam ativan

  274. Pingback: canadian pharmacy online reviews

  275. Pingback: top

  276. Pingback: www canadian pharmacies com

  277. Pingback: cialis soft tablet

  278. Pingback: super active cialis with no prescription

  279. Pingback: buy cialis now

  280. Pingback: cialis 20mg low price

  281. Pingback: buy cialis online at lowest price

  282. Pingback: canada cialis online

  283. Pingback: buy cialis 36 hour

  284. Pingback: online meds for ed

  285. Pingback: valtrex medicine purchase

  286. Pingback: valtrex script online

  287. Pingback: erectile dysfunction medicines

  288. Pingback: ed supplements

  289. Pingback: buying viagra online

  290. Pingback: soderzhanki-3-sezon-2021.online

  291. Pingback: podolsk-region.ru

  292. Pingback: doxycycline 500mg

  293. Pingback: doxycycline online

  294. Pingback: natural treatments for ed

  295. Pingback: blogery_i_dorogi

  296. Pingback: treatment of ed

  297. Pingback: prescription drugs online without doctor

  298. Pingback: ivermectin online

  299. Pingback: stromectol otc

  300. Pingback: hydroxychloroquine generic

  301. Pingback: generic priligy forum

  302. Pingback: ivermectin 1 cream

  303. Pingback: buy stromectol

  304. Pingback: mens erection pills

  305. Pingback: stock for hydroxychloroquine

  306. Pingback: cheap ed pills

  307. Pingback: hydroxychloroquine tablets 10 mg

  308. Pingback: how much is viagra

  309. Pingback: cost of viagra

  310. Pingback: canadian pharmacy cialis 20mg

  311. Pingback: can i buy cialis in toronto

  312. Pingback: hydroxychloroquine dosage calculator

  313. Pingback: hydroxychloroquine vietnam war

  314. Pingback: cialis france

  315. Pingback: cialis in canada fast shipping

  316. Pingback: hydroxychloroquine in canada

  317. Pingback: https://regcialist.com

Comments are closed

  • ಹಂಚಿ

    facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail