ಉದ್ದದುಂಡು

ನಾವು ದಿನಾಲೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ದದುಂಡು (Ellipse) ಆಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿರುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳು ಉದ್ದದುಂಡು  ಆಕಾರದ  ಗಡಿಯಾರಗಳು, ಕನ್ನಡಿಗಳು, ಚೆಂಡುಗಳು, ಕಲ್ಲುಗಳು, ತಟ್ಟೆಗಳು, ಕುಂಬಳಕಾಯಿ, ಕ್ಯಾಪ್ಸೂಲ್ ಮಾತ್ರೆಗಳು ಇನ್ನಿತರ ಹತ್ತು ಹಲವಾರು ವಸ್ತುಗಳಾಗಿರಬಹುದು.

Image1 EL

ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರ ಎಂದರೇನು?.

ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರವೆಂದರೆ ನಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಳೆಯುವುದೇನೆಂದರೆ.

  • ಸ್ವಲ್ಪ ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ದುಂಡಾಕಾರದ ವಸ್ತು.
  • ಒಂದು ದುಂಡಾಕಾರದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹಿಗ್ಗಿಸಿದಂತೆ ಇಲ್ಲವೇ ಎಳೆದಂತೆ ಕಂಡು ಬರುವ ಆಕಾರ.
  • ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ಮೊಟ್ಟೆಯನ್ನು ಹೋಲುವ ಆಕಾರ.

ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ (ಗಣಿತ) ಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಹೇಳಬಹುದು.

  • ಹೇಳಿಕೆ 1: ಉದ್ದದುಂಡು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (Closed Shape), ಇದರ ಒಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus Points) ಅದರ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆಗೆ (Loucs Points) ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Constant value).

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image2 EL

  • ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವು ಒಂದು ಉದ್ದದುಂಡು (ellipse) ಆಗಿದೆ.
  • ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಒಳಗೆ F1 ಮತ್ತು F2 ಎಂಬ  ಎರಡು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿವೆ (Focal points)
  • ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಮೇಲೆ Q, P ಮತ್ತು C ಎಂಬ ಮೂರು ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು (Locus Points) ಇಡಲಾಗಿದೆ.
  • ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ Q ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1Q ಮತ್ತು F2Q ಆಗಿವೆ.
  • ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ P ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1P ಮತ್ತು F2P ಆಗಿವೆ.
  • ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ C ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1C ಮತ್ತು F2C ಆಗಿವೆ.
  • ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯಂತೆ F1Q + F2Q = F1P + F2P = F1C + F2C = 2a ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ a ಎಂಬುವುದು ಒಂದ್ದು ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Constant value).

 

ಹೇಳಿಕೆ 2: ಲಾಳಿಕೆ ಆಕೃತಿಯನ್ನು (Cone shape) ಓರೆಯಾಗಿ ಸೀಳಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವುದೇ ಉದ್ದದುಂಡು. ಹೇಗೆ ಅಂತೀರಾ !?, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

image3 ELಮೇಲಿನ ಲಾಳಿಕೆಯಾಕೃತಿಯನ್ನು (Cone shape) ಓರೆಯಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಉದ್ದದುಂಡು (Ellipse) ಉಂಟಾಗಿದ್ದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು !.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಭಾಗಗಳು (Parts of Ellipse):

Image4 ELಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Major axis): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವೆ ಹಾದುಹೊದ ಹಿರಿದಾದ ನಡುಗೆರೆ.

ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Minor axis): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಗೆ ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ (Perpendicular) ಹಾದುಹೊದ ಕಿರಿದಾದ ನಡುಗೆರೆ.

ನಡು (Centre):  ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ ಮತ್ತು ಕಿರುನಡುಗೆರೆಗಳು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುವೆಡೆಯಲ್ಲಿ ನಡು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ..

ತುದಿ (Vertex): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಂದ ಹಾದುಹೊದ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ತುದಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಒಡತುದಿ (Co-Vertex): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಂದ ಹಾದುಹೊದ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಡತುದಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆ (Focus points): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಒಳಗೆ ಯಾವುದೇ ನೆಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಚುಕ್ಕೆ, ಉದ್ದದುಂಡುವಿನಲ್ಲಿ ಈ ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳು ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯ (Major axis) ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿನಿಂದ ಈ ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಸರಿದೂರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

ತಿರುಗು ಚುಕ್ಕೆ (Locus Points): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತಿರುವ ಯಾವುದೇ ಚುಕ್ಕೆ,

ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter)

ನಾವು ಹಲವಾರು ಆಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಆದರೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಇವೆ.

Image5 EL

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 1:

Image6 EL

  • ಇಲ್ಲಿ h = (a – b)2 /(a + b)2
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.

ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಿಡಿಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

Image7 ELಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲೆಯಿಲ್ಲದ ಮೊತ್ತದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Infinite Sum formula) ಎಂದು ಕರೆಯುವರು,ಇದು ಹೆಚ್ಚು ದಿಟವಾದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 2:

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಎಣಿಕೆಯರಿಗ (Mathematician) ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದರು.

Image8 EL

  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 3:

ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹೆಚ್ಚು ದಿಟವಾದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

Image9 EL

  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 4:

  • ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis) ಉದ್ದವು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯ (Semi Minor axis) ಮೂರುಪಟ್ಟಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. i.e a < 3b, ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಸುಲಭವಾಗಿ ಉದ್ದ ದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುವುಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸುತ್ತಳತೆಯ ದಿಟಬೆಲೆಗಿಂತ 5% ಹೆಚ್ಚು-ಕಡಿಮೆ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

Image10 EL

  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • a < 3b
  • π = 3.14159.
  • e a < 3b
  • ಉದಾಹರಣೆಗೆ: b = 5, a = 10 => 10 < 3 x 5 => 10 < 15 ಆದಾಗ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

 

ಉದಾಹರಣೆ : ಒಂದು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯು (Semi Major Axis) 19 ft ಮತ್ತು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯು (Semi Minor Axis) 9 ft  ಆದಾಗ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು (Perimeter) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Image11 EL

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೇಲಿನ ಯಾವುದಾರೂ ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ 2 ನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image12 EL

  • ಇಲ್ಲಿ a = 19ft  ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿ b = 9 ft  ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.
  • ಸುತ್ತಳತೆ p = 14159 [ 3(19 + 9) – √(3 x 19 + 9)(19 + 3 x 9)]

              p = 3.14159 [84 – √(66)(46)]

p = 3.14159 [84 -√3036]

p = 3.14159 [84 – 55.1] = 3.14159 x 28.9 = 90.791951 ft

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆ 90.791951 ft ಆಗಿದೆ

 

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವು(Area of an Ellipse):

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವನ್ನು A = πab ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

  • ಉದಾಹರಣೆ : ಕೆಳಗಡೆ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಸ್ನಾನ ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಒಂದು ಸೋಪನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis line) a = 10cm ಮತ್ತು ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Semi Minor axis line) b = 7cm ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಅದರ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಸೋಪಿನ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ಹರವೆಷ್ಟು?

Image13 EL

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವು A = πab.

                                    A = 3.14159 x 10 x 7 = 219.911 cm2

ಸೋಪಿನ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಹರವು 219.911 cm2  ಆಗಿದೆ.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Equation of ellipse):

ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕಾರವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಆಕಾರವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಲು ನಾವು ಚುಕ್ಕೆಗುರುತನ್ನು(Coordinate system) ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

Image14 ELಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ  ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸೋಣ.

Image15 EL

  • ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis line) a = 2 ಮತ್ತು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Semi Minor axis line) b = 1 ಆಗಿದೆ.
  • ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಬರೆದಾಗ y = (1/a) x  √ (a2 b2  – x2 b2) ಆಗುತ್ತದೆ.
  • ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಮಾರ್ಪುಕಗಳಾಗಿವೆ (Variables).
  • ಚುಕ್ಕೆಗುರುತಿನ (Coordinates graph) ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ a=2, b=1 ಆದಾಗ x = [ -2, -1, 0, 1, 2 ] ಬೆಲೆಗಳನ್ನು y = (1/a) x  √ (a2 b2  – x2 b2) ಯಲ್ಲಿ  ಹಾಕಿ y ನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡು ಮೇಲಿನ ಉದ್ದದುಂಡುಕವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ದುಂಡುತನ (Eccentricity):

ಒಂದು ಬಾಗಿದ ಆಕೃತಿಯು (Curved shapes) ಎಷ್ಟು ದುಂಡಾಗಿದೆ ಎಂಬುವುದನ್ನು ದುಂಡುತನ (Eccentricity) ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಡುಬೇರ್ಮೆಯಳತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು.

Image17 ELಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ದುಂಡುತನವನ್ನು (Eccentricity of the Ellipse) ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು,

e = c/a

  • e ಎಂಬುವುದು ದುಂಡುತನದ ಗುರುತಾಗಿದೆ.
  • c ಎಂಬುವುದು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಗೆ (Centre of the Ellipse) ಇರುವ ದೂರ
  • a ಎಂಬುವುದು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ತುದಿಗೆ ಇರುವ, ಇಲ್ಲಿ ತುದಿಗೆ (Vertex) ಇರುವ ದೂರ.
  • ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ: ದುಂಡುಕದಲ್ಲಿ (Circle) ದುಂಡುತನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (e = 0), ಆದರೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ದುಂಡುತನವು ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಜಾಸ್ತಿ ಇದ್ದು, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಮ್ಮಿ ಇರುತ್ತದೆ. 1 > e > 0.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹಳಮೆ:

  • 380–320 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಮೆನಚ್ಮ್ಯಾಸ್ (Menaechmus) ಎಂಬ  ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಉದ್ದ  ದುಂಡುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆಮಾಡಿದ್ದನು.

Image18 EL

  • ಸುಮಾರು 300 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಮತ್ತು ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ಅರಕೆಗಳನ್ನುಮಾಡಿದ್ದರು.
  • 290 -.350 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಪಾಪಸ್ (Pappus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯ (Foci of the Ellipse) ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆ ಮಾಡಿದ್ದನು.
  • 1602 CE ಯಲ್ಲಿ ಜೋಹಾನ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್ (Johannes Kepler) ನೇಸರನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವ ಮಂಗಳ ಗ್ರಹದ ಸುತ್ತುದಾರಿಯು (Orbit) ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದನು.

ಚಟುವಟಿಕೆ:

  1. ಮೊಟ್ಟೆಯಾಕಾರ (Oval shape) ಮತ್ತು ಉದ್ದದುಂಡು Ellipse shape) ಆಕಾರಕ್ಕೂ ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.
  2. ದುಂಡುಕದಲ್ಲಿ (Circle) ದುಂಡುತನವು (Eccentricity) ಏಕೆ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ.

(ಸೆಲೆ: askiitians.com, mathsisfun.com, mathopenref.com/ellipseeccentricity, mathsisfun.com/geometry, Wikipedia)

facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail
Bookmark the permalink.

465 Comments

  1. Pingback: Cheap NHL 18 Coins

  2. Pingback: PoE orbs

  3. Pingback: buy Cheap PoE orbs

  4. Pingback: Cheap NHL 18 Coins for sale

  5. Pingback: viagra no rx required

  6. Pingback: cialis for sale

  7. Pingback: cialis otc

  8. Pingback: cialis coupon cvs

  9. Pingback: cialis savings card

  10. Pingback: Buy cheap viagra online us

  11. Pingback: Buy viagra internet

  12. Pingback: ciproxin 500 mg

  13. Pingback: buy cialis canada

  14. Pingback: prices of cialis

  15. Pingback: generic cialis india

  16. Pingback: best place to buy cialis online reviews

  17. Pingback: cheap viagra

  18. Pingback: viagra generic

  19. Pingback: viagra 100mg

  20. Pingback: online ed pills

  21. Pingback: ed drugs

  22. Pingback: best over the counter ed pills

  23. Pingback: cialis online

  24. Pingback: rx pharmacy

  25. Pingback: cvs pharmacy

  26. Pingback: pharmacy online

  27. Pingback: Get cialis

  28. Pingback: cialis online

  29. Pingback: vardenafil cost

  30. Pingback: order levitra

  31. Pingback: online casino real money no deposit

  32. Pingback: discount viagra without prescription

  33. Pingback: online cialis

  34. Pingback: overnight canadian viagra

  35. Pingback: buy viagra internet

  36. Pingback: 5 mg cialis

  37. Pingback: cialis 5 mg

  38. Pingback: buy chloroquine phosphate

  39. Pingback: ed pills for sale online

  40. Pingback: buy viagra online

  41. Pingback: droga5.net

  42. Pingback: http://cialistodo.com

  43. Pingback: coupon for viagra 100mg

  44. Pingback: generic sildenafil

  45. Pingback: viagra without a doctor prescription

  46. Pingback: cialis price per pill

  47. Pingback: generic viagra pills

  48. Pingback: buy cheap sildenafil

  49. Pingback: tadalafil

  50. Pingback: cialis

  51. Pingback: generic viagra cost

  52. Pingback: viagra

  53. Pingback: buy cheap sildenafil

  54. Pingback: generic viagra without prescription

  55. Pingback: buying prescription drugs from canada

  56. Pingback: cheapest generic viagra

  57. Pingback: buy viagra

  58. Pingback: sildenafil 50 mg sans ordonnance

  59. Pingback: viagra pills 100mg

  60. Pingback: cialis for sale

  61. Pingback: cipla cialis review

  62. Pingback: buy generic pills

  63. Pingback: buy viagra for men

  64. Pingback: generic cialis usa

  65. Pingback: mexican viagra

  66. Pingback: cialis soft tabs

  67. Pingback: viagra tolerance

  68. Pingback: generic cialis

  69. Pingback: viagra for sale

  70. Pingback: ed medication

  71. Pingback: buy viagra online

  72. Pingback: Cheap Erection Pills

  73. Pingback: male enhancement pills viagra cheap

  74. Pingback: generic cialis for sale

  75. Pingback: ed remedies that really work

  76. Pingback: prescription drugs

  77. Pingback: 875 mg amoxicillin cost

  78. Pingback: buy viagra china

  79. Pingback: payday loans no credit check

  80. Pingback: online viagra

  81. Pingback: generic cialis legal

  82. Pingback: help on college essay

  83. Pingback: viagra quotes

  84. Pingback: essaywritingservicesjy.com

  85. Pingback: quality custom essay

  86. Pingback: choosing a dissertation topic

  87. Pingback: argument essay help

  88. Pingback: buy viagra generic

  89. Pingback: buy cheap research paper

  90. Pingback: thesis proposal format

  91. Pingback: can you write my paper for me

  92. Pingback: buy a thesis

  93. Pingback: viagra for sale

  94. Pingback: best canadian pharmacy

  95. Pingback: buy Amoxil

  96. Pingback: help with writing essays for college applications

  97. Pingback: erectile dysfunction treatment

  98. Pingback: tadalafil for sale

  99. Pingback: how long does it take for cialis to work

  100. Pingback: tadalafil cheap

  101. Pingback: roman viagra

  102. Pingback: buy real viagra online

  103. Pingback: generic viagra online

  104. Pingback: buy cialis in canada online

  105. Pingback: zithromax capsules

  106. Pingback: order viagra generic

  107. Pingback: generic pills

  108. Pingback: generic viagra suppliers

  109. Pingback: ed meds

  110. Pingback: canadian online pharmacy

  111. Pingback: generic Aciclovir

  112. Pingback: Voveran

  113. Pingback: canadian online pharmacies

  114. Pingback: approved canadian online pharmacies

  115. Pingback: viagra cheapest price

  116. Pingback: buy viagra online

  117. Pingback: viagra

  118. Pingback: how much does viagra cost in ireland

  119. Pingback: amoxicillin online pharmacy

  120. Pingback: doxylin

  121. Pingback: zyrtec 24 hour

  122. Pingback: allegra 180 mg coupon

  123. Pingback: where to get viagra

  124. Pingback: vardenafil dosage

  125. Pingback: fucking after taking cialis pills

  126. Pingback: how to buy viagra

  127. Pingback: viagra mixup

  128. Pingback: photos after taking viagra

  129. Pingback: buy cialis online usa

  130. Pingback: generic cialis at walmart

  131. Pingback: order zithromax over the counter

  132. Pingback: healthy man viagra

  133. Pingback: azithromycin amoxicillin

  134. Pingback: over the counter viagra

  135. Pingback: pseudoephedrine vs cialis

  136. Pingback: canadian drug pharmacy

  137. Pingback: accientally takes viagra

  138. Pingback: viagra for sale

  139. Pingback: cialis dapoxetine overnight shipping canada

  140. Pingback: cheap cialis

  141. Pingback: cialis

  142. Pingback: buy viagra doctor in california in person

  143. Pingback: viagra only 0.2$

  144. Pingback: cialis profesional vs. super active vs. cialis

  145. Pingback: sildenafil tablets 100mg india

  146. Pingback: when to take amoxicillin

  147. Pingback: alternative to azithromycin

  148. Pingback: prednisone with celebrex

  149. Pingback: keflex and severe leg pain

  150. Pingback: how to buy viagra online over the counter

  151. Pingback: buy sildenafil

  152. Pingback: can cymbalta gas bloating

  153. Pingback: half life amoxicillin

  154. Pingback: can i buy cialis over the counter at walgreens

  155. Pingback: buy cialis

  156. Pingback: ajrezbfv

  157. Pingback: male ed drugs

  158. Pingback: azithromycin z pak

  159. Pingback: ed pill

  160. Pingback: aowbsipf

  161. Pingback: ed pills that work

  162. Pingback: why is celebrex not covered

  163. Pingback: keflex cause upset stomach

  164. Pingback: generic ed drugs

  165. Pingback: how viagra works for men

  166. Pingback: how much viagra should a woman take

  167. Pingback: where can i buy viagra over the counter

  168. Pingback: wat doet sildenafil

  169. Pingback: waar kan je viagra kopen

  170. Pingback: duloxetine dosage

  171. Pingback: how to dose ivermectin pour on for dogs with fleas

  172. Pingback: how to use azithromycin for chlamydia

  173. Pingback: buy furosemide online

  174. Pingback: generic viagra buy

  175. Pingback: generic cephalexin

  176. Pingback: cefadroxil generic

  177. Pingback: order bactrim online

  178. Pingback: coupons for sildenafil

  179. Pingback: how is cialis dose

  180. Pingback: buy bactrim

  181. Pingback: cialis diario opinion

  182. Pingback: 40mg cialis

  183. Pingback: buy viagra online cheap

  184. Pingback: is cialis generic available

  185. Pingback: comprar viagra en valencia

  186. Pingback: liquid cialis source reviews

  187. Pingback: shop price viagra plus

  188. Pingback: best resume writing service

  189. Pingback: research paper writing help

  190. Pingback: my relationship with writing essay

  191. Pingback: pelase help me revise my essay

  192. Pingback: business ethics argumentative essay topics

  193. Pingback: viagra wiki

  194. Pingback: india pharmacy drugs

  195. Pingback: viagra over the counter walmart

  196. Pingback: how to purchase amoxicillin online

  197. Pingback: over the counter lasix drug

  198. Pingback: lasix 80 mg price

  199. Pingback: 1000 mg zithromax online

  200. Pingback: buy viagra online canada

  201. Pingback: ivermectin coronavirus

  202. Pingback: athsma inhalers no prescription

  203. Pingback: viagra online usa

  204. Pingback: viagra cost

  205. Pingback: buy zithromax without presc

  206. Pingback: viagra from canada

  207. Pingback: generic for doxycycline

  208. Pingback: prednisolone for eczema

  209. Pingback: prednisolone pediatric dose

  210. Pingback: clomid citrate

  211. Pingback: priligy prescripciГіn es

  212. Pingback: diflucan online usa

  213. Pingback: b12 and synthroid

  214. Pingback: college essay writing help

  215. Pingback: cheap ed pills from india

  216. Pingback: research paper thesis

  217. Pingback: good customer service essay

  218. Pingback: write a dissertation

  219. Pingback: zithromax z-pak price without insurance

  220. Pingback: write my essay reviews

  221. Pingback: neurontin 300 mg buy

  222. Pingback: zithromax cost

  223. Pingback: phd dissertation writing service

  224. Pingback: propecia 5mg price

  225. Pingback: propecia celebrities

  226. Pingback: essay writer program

  227. Pingback: viagra and cialis discount

  228. Pingback: cialis for sale canada

  229. Pingback: buy prescriptions from india pharmacy

  230. Pingback: united pharmacy india

  231. Pingback: neurontin abuse potential

  232. Pingback: metformin and phentermine

  233. Pingback: paxil and dementia

  234. Pingback: paxil blood thinner

  235. Pingback: plaquenil coupon

  236. Pingback: plaquenil blindness

  237. Pingback: best male erectile dysfunction pill

  238. Pingback: canada pharmaceutical online ordering

  239. Pingback: medical information online

  240. Pingback: buy viagra without prescription

  241. Pingback: cialis for daily use disount

  242. Pingback: clomiphene tablets

  243. Pingback: female cialis wiki

  244. Pingback: sildenafil 10 mg price

  245. Pingback: where can i buy cialis in the us

  246. Pingback: amoxicillin 500mg capsules uk

  247. Pingback: canadian metformin price

  248. Pingback: sildenafil online coupon

  249. Pingback: combining cialis and otc ed pills

  250. Pingback: sildenafil buy canada

  251. Pingback: cialis copay card

  252. Pingback: acheter viagra wikipedia

  253. Pingback: mom son viagra south africa

  254. Pingback: propecia buy

  255. Pingback: sildenafil soft

  256. Pingback: comprar viagra online amazon

  257. Pingback: buy generic levitra online

  258. Pingback: cialis generic from mexico

  259. Pingback: buy propecia usa

  260. Pingback: compro sildenafilo

  261. Pingback: viagra gif australia

  262. Pingback: ivy secret viagra

  263. Pingback: side effects of sildenafil

  264. Pingback: generic cialis name australia

  265. Pingback: buy real viagra online india

  266. Pingback: cialis online paypal accepted

  267. Pingback: buy real viagra online south africa

  268. Pingback: sildenafil 50 mg price in india

  269. Pingback: walmart tadalafil otc

  270. Pingback: generic viagra us pharmacy

  271. Pingback: cialis online fast shipping

  272. Pingback: buy cialis online in canada

  273. Pingback: sildenafil 20 mg online canada

  274. Pingback: online ed medications

  275. Pingback: 1 furosemide

  276. Pingback: Allegra

  277. Pingback: the best ed pills

  278. Pingback: reputable canadian online pharmacy

  279. Pingback: order pharmacy online egypt

  280. Pingback: cialis tadalafil portugal

  281. Pingback: Zakhar Berkut hd

  282. Pingback: cialis soft

  283. Pingback: 4569987

  284. Pingback: cialis 5mg tablet

  285. Pingback: generic cialis pills us online pharmacy

  286. Pingback: buy cialis with paypal

  287. Pingback: Cialis Soft Flavored

  288. Pingback: buy drug

  289. Pingback: psy

  290. Pingback: projectio-freid

  291. Pingback: viagra professional

  292. Pingback: buy sildenafil citrate medication

  293. Pingback: was kostet viagra in italien

  294. Pingback: http://Tinderentrar.com

  295. Pingback: faxless cash advance huntersville

  296. Pingback: 100mg viagra

  297. Pingback: kinoteatrzarya.ru

  298. Pingback: topvideos

  299. Pingback: video

  300. Pingback: lisinopril without prescription

  301. Pingback: lisinopril 40 mg generic

  302. Pingback: afisha-kinoteatrov.ru

  303. Pingback: Ukrainskie-serialy

  304. Pingback: site

  305. Pingback: best free hispanic dating sites

  306. Pingback: ordering cialis online australia

  307. Pingback: is it illegal to order drugs from canada

  308. Pingback: top

  309. Pingback: pharmacy cost comparison

  310. Pingback: phentermine canadian pharmacy online

  311. Pingback: take cialis the correct way

  312. Pingback: buy cialis online europe

  313. Pingback: buy cialis tadalafil uk

  314. Pingback: generic cialis canadian

  315. Pingback: ordering cialis online australia

  316. Pingback: buy cheap cialis overnight

  317. Pingback: canada cialis online

  318. Pingback: ed meds online

  319. Pingback: order valtrex online usa

  320. Pingback: tadalafil generic pills

  321. Pingback: 1000 mg valtrex daily

  322. Pingback: rush limbaugh viagra

  323. Pingback: tadalafil canadian pharmacy

  324. Pingback: tadalafil 5 mg

  325. Pingback: ed pill

  326. Pingback: cheap viagra canada

  327. Pingback: erection pills online

  328. Pingback: cialis com coupons

  329. Pingback: buy viagra online canada

  330. Pingback: canada viagra

  331. Pingback: cialis 20mg precautions

  332. Pingback: sildenafil cost

  333. Pingback: soderzhanki-3-sezon-2021.online

  334. Pingback: cialis online purchase

  335. Pingback: viagra cheapest online

  336. Pingback: generic doxycycline

  337. Pingback: gabapentin controlled substance

  338. Pingback: cialis paypal australia

  339. Pingback: levitra india generic

  340. Pingback: what dose viagra

  341. Pingback: amlodipine and simvastatin

  342. Pingback: lipitor

  343. Pingback: doxycycline 100 mg

  344. Pingback: podolsk-region.ru

  345. Pingback: meloxicam for dogs

  346. Pingback: metoprolol succinate precautions

  347. Pingback: losartan

  348. Pingback: viagra best price

  349. Pingback: cialis cost cvs

  350. Pingback: levitra prices usa

  351. Pingback: generic viagra walmart

  352. Pingback: what is duloxetine

  353. Pingback: prednisone dose pack

  354. Pingback: interactions for amitriptyline

  355. Pingback: cymbalta for pain

  356. Pingback: hydrochlorothiazide tablets

  357. Pingback: cytotmeds.com

  358. Pingback: why is metformin dangerous

  359. Pingback: mirtazapine 30mg tablet

  360. Pingback: viagra over the counter walmart

  361. Pingback: wellbutrin 150 mg

  362. Pingback: buspar pill

  363. Pingback: what is celexa

  364. Pingback: zanaflex cost

  365. Pingback: wellbutrin overdose

  366. Pingback: diclofenac side effects

  367. Pingback: ed meds

  368. Pingback: ed cures that actually work

  369. Pingback: clonidine overdose

  370. Pingback: finasteride side effects

  371. Pingback: carvedilol moa

  372. Pingback: flagyl 500 mg tablet

  373. Pingback: cure ed

  374. Pingback: tadalafil 100mg

  375. Pingback: cvs viagra cost

  376. Pingback: tadalafil citrate

  377. Pingback: viagra triangle chicago

  378. Pingback: levitra tablet in india

  379. Pingback: prednisone 10 mg tablet directions

  380. Pingback: ed cures that actually work

  381. Pingback: stock name for hydroxychloroquine

  382. Pingback: ivermectin tablets uk

  383. Pingback: where to get priligy

  384. Pingback: free christan dating

  385. Pingback: ivermectin lice oral

  386. Pingback: acyclovir for shingles

  387. Pingback: dosage for amoxicillin

  388. Pingback: aricept

  389. Pingback: generic augmentin

  390. Pingback: azithromycin penicillin

  391. Pingback: hydroxychloroquine sulfate tab 200 mg

  392. Pingback: genericsbb cefdinir antibiotic

  393. Pingback: genericsbb keflex 500 mg

  394. Pingback: clindamycin hcl 150mg capsule

  395. Pingback: erythromycin 250mg capsules

  396. Pingback: plaquenil 200 mg cost

  397. Pingback: discount cialis 5mg

  398. Pingback: tadalafil 6mg capsule

  399. Pingback: free trial priligy

  400. Pingback: viagra price walmart

  401. Pingback: 20mg sildenafil

  402. Pingback: ivermectin over the counter canada

  403. Pingback: cialis 60 mg price

  404. Pingback: levitra tablet price

  405. Pingback: free viagra

  406. Pingback: proventil inhaler vs proair inhaler

  407. Pingback: ivermectin price canada

  408. Pingback: ivermectin brand name

  409. Pingback: hydroxychloroquine how to get

  410. Pingback: real viagra without a doctor prescription usa

  411. Pingback: cheap drugs

  412. Pingback: daily cialis coupon

  413. Pingback: mexican viagra

  414. Pingback: viagra for sale cheap

  415. Pingback: chewable sildenafil

  416. Pingback: pfizer viagra 100mg

  417. Pingback: ed prescription drugs

  418. Pingback: sildenafil vs tadalafil

  419. Pingback: 200 mg viagra

  420. Pingback: how is hydroxychloroquine produced

  421. Pingback: norvasc dosage

  422. Pingback: cialis 50mg generic

  423. Pingback: cheap vardenafil

  424. Pingback: metformin recall 2020 list

  425. Pingback: cialis 2019

  426. Pingback: viagra amazon

  427. Pingback: best place to buy viagra online

  428. Pingback: amoxicillin interactions

  429. Pingback: doxycycline acne

  430. Pingback: lasix tablets for sale

  431. Pingback: xenical medication

  432. Pingback: priligy singapore

  433. Pingback: finasteride 5mg nz

  434. Pingback: taking cialis soft tabs

  435. Pingback: careprost usa seller

  436. Pingback: clomid therapy

  437. Pingback: fluconazole side effects eyes

  438. Pingback: is domperidone fda approved

  439. Pingback: monthly cost of cialis without insurance

  440. Pingback: hydroxychloroquine on ebay 50ml

  441. Pingback: where can i purchase hydroxychloroquine online

  442. Pingback: tamoxifen citrate brand

  443. Pingback: prednisolone hnmr peaks

  444. Pingback: naltrexone oral dose

  445. Pingback: hsv 1 valtrex dosage

  446. Pingback: buy cialis canadian

  447. Pingback: zanaflex max dosage

  448. Pingback: cialis ingredient

  449. Pingback: cialis 5mg singapore

  450. Pingback: uti ciprofloxacin symptons

  451. Pingback: cialis patent expiration

  452. Pingback: liquid cialis

  453. Pingback: cialis online price

  454. Pingback: viagra for females

  455. Pingback: best online viagra

  456. Pingback: best viagra prices

  457. Pingback: hydroxychloroquine sulfate 200mg

  458. Pingback: cialis south africa

  459. Pingback: companies that manufacture hydroxychloroquine

  460. Pingback: no prescription canadian cialis

  461. Pingback: cialis uk no prescription

  462. Pingback: american doctors and hydroxychloroquine

  463. Pingback: generic tadalafil 20 mg

  464. Pingback: how long does 100mg of viagra last

  465. Pingback: viagra in peru

Comments are closed

  • ಹಂಚಿ

    facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail