ಉದ್ದದುಂಡು

ನಾವು ದಿನಾಲೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ದದುಂಡು (Ellipse) ಆಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿರುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳು ಉದ್ದದುಂಡು  ಆಕಾರದ  ಗಡಿಯಾರಗಳು, ಕನ್ನಡಿಗಳು, ಚೆಂಡುಗಳು, ಕಲ್ಲುಗಳು, ತಟ್ಟೆಗಳು, ಕುಂಬಳಕಾಯಿ, ಕ್ಯಾಪ್ಸೂಲ್ ಮಾತ್ರೆಗಳು ಇನ್ನಿತರ ಹತ್ತು ಹಲವಾರು ವಸ್ತುಗಳಾಗಿರಬಹುದು.

Image1 EL

ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರ ಎಂದರೇನು?.

ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರವೆಂದರೆ ನಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಳೆಯುವುದೇನೆಂದರೆ.

  • ಸ್ವಲ್ಪ ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ದುಂಡಾಕಾರದ ವಸ್ತು.
  • ಒಂದು ದುಂಡಾಕಾರದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹಿಗ್ಗಿಸಿದಂತೆ ಇಲ್ಲವೇ ಎಳೆದಂತೆ ಕಂಡು ಬರುವ ಆಕಾರ.
  • ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ಮೊಟ್ಟೆಯನ್ನು ಹೋಲುವ ಆಕಾರ.

ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ (ಗಣಿತ) ಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಹೇಳಬಹುದು.

  • ಹೇಳಿಕೆ 1: ಉದ್ದದುಂಡು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (Closed Shape), ಇದರ ಒಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus Points) ಅದರ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆಗೆ (Loucs Points) ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Constant value).

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image2 EL

  • ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವು ಒಂದು ಉದ್ದದುಂಡು (ellipse) ಆಗಿದೆ.
  • ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಒಳಗೆ F1 ಮತ್ತು F2 ಎಂಬ  ಎರಡು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿವೆ (Focal points)
  • ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಮೇಲೆ Q, P ಮತ್ತು C ಎಂಬ ಮೂರು ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು (Locus Points) ಇಡಲಾಗಿದೆ.
  • ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ Q ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1Q ಮತ್ತು F2Q ಆಗಿವೆ.
  • ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ P ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1P ಮತ್ತು F2P ಆಗಿವೆ.
  • ತಿರುಗುಚುಕ್ಕೆ C ಯಿಂದ F1 ಮತ್ತು F2 ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಗೆರೆಗಳು F1C ಮತ್ತು F2C ಆಗಿವೆ.
  • ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯಂತೆ F1Q + F2Q = F1P + F2P = F1C + F2C = 2a ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ a ಎಂಬುವುದು ಒಂದ್ದು ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (Constant value).

 

ಹೇಳಿಕೆ 2: ಲಾಳಿಕೆ ಆಕೃತಿಯನ್ನು (Cone shape) ಓರೆಯಾಗಿ ಸೀಳಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವುದೇ ಉದ್ದದುಂಡು. ಹೇಗೆ ಅಂತೀರಾ !?, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

image3 ELಮೇಲಿನ ಲಾಳಿಕೆಯಾಕೃತಿಯನ್ನು (Cone shape) ಓರೆಯಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಉದ್ದದುಂಡು (Ellipse) ಉಂಟಾಗಿದ್ದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು !.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಭಾಗಗಳು (Parts of Ellipse):

Image4 ELಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Major axis): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವೆ ಹಾದುಹೊದ ಹಿರಿದಾದ ನಡುಗೆರೆ.

ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Minor axis): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಗೆ ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ (Perpendicular) ಹಾದುಹೊದ ಕಿರಿದಾದ ನಡುಗೆರೆ.

ನಡು (Centre):  ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ ಮತ್ತು ಕಿರುನಡುಗೆರೆಗಳು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುವೆಡೆಯಲ್ಲಿ ನಡು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ..

ತುದಿ (Vertex): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಂದ ಹಾದುಹೊದ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ತುದಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಒಡತುದಿ (Co-Vertex): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಂದ ಹಾದುಹೊದ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಡತುದಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆ (Focus points): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಒಳಗೆ ಯಾವುದೇ ನೆಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಚುಕ್ಕೆ, ಉದ್ದದುಂಡುವಿನಲ್ಲಿ ಈ ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಗಳು ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯ (Major axis) ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿನಿಂದ ಈ ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಸರಿದೂರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

ತಿರುಗು ಚುಕ್ಕೆ (Locus Points): ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತಿರುವ ಯಾವುದೇ ಚುಕ್ಕೆ,

ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter)

ನಾವು ಹಲವಾರು ಆಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಆದರೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಇವೆ.

Image5 EL

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 1:

Image6 EL

  • ಇಲ್ಲಿ h = (a – b)2 /(a + b)2
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.

ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಿಡಿಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

Image7 ELಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲೆಯಿಲ್ಲದ ಮೊತ್ತದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Infinite Sum formula) ಎಂದು ಕರೆಯುವರು,ಇದು ಹೆಚ್ಚು ದಿಟವಾದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 2:

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಎಣಿಕೆಯರಿಗ (Mathematician) ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದರು.

Image8 EL

  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 3:

ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹೆಚ್ಚು ದಿಟವಾದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

Image9 EL

  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 4:

  • ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis) ಉದ್ದವು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯ (Semi Minor axis) ಮೂರುಪಟ್ಟಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. i.e a < 3b, ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಸುಲಭವಾಗಿ ಉದ್ದ ದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುವುಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸುತ್ತಳತೆಯ ದಿಟಬೆಲೆಗಿಂತ 5% ಹೆಚ್ಚು-ಕಡಿಮೆ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

Image10 EL

  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • a < 3b
  • π = 3.14159.
  • e a < 3b
  • ಉದಾಹರಣೆಗೆ: b = 5, a = 10 => 10 < 3 x 5 => 10 < 15 ಆದಾಗ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

 

ಉದಾಹರಣೆ : ಒಂದು ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯು (Semi Major Axis) 19 ft ಮತ್ತು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯು (Semi Minor Axis) 9 ft  ಆದಾಗ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು (Perimeter) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Image11 EL

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೇಲಿನ ಯಾವುದಾರೂ ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ 2 ನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image12 EL

  • ಇಲ್ಲಿ a = 19ft  ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Major axis line)
  • ಇಲ್ಲಿ b = 9 ft  ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ (Semi Minor axis line)
  • π = 3.14159.
  • ಸುತ್ತಳತೆ p = 14159 [ 3(19 + 9) – √(3 x 19 + 9)(19 + 3 x 9)]

              p = 3.14159 [84 – √(66)(46)]

p = 3.14159 [84 -√3036]

p = 3.14159 [84 – 55.1] = 3.14159 x 28.9 = 90.791951 ft

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸುತ್ತಳತೆ 90.791951 ft ಆಗಿದೆ

 

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವು(Area of an Ellipse):

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವನ್ನು A = πab ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

  • ಉದಾಹರಣೆ : ಕೆಳಗಡೆ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಸ್ನಾನ ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಒಂದು ಸೋಪನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಅರೆ ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis line) a = 10cm ಮತ್ತು ಅರೆ ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Semi Minor axis line) b = 7cm ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಅದರ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಸೋಪಿನ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ಹರವೆಷ್ಟು?

Image13 EL

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹರವು A = πab.

                                    A = 3.14159 x 10 x 7 = 219.911 cm2

ಸೋಪಿನ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಯ ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದ ಹರವು 219.911 cm2  ಆಗಿದೆ.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Equation of ellipse):

ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕಾರವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಆಕಾರವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಲು ನಾವು ಚುಕ್ಕೆಗುರುತನ್ನು(Coordinate system) ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

Image14 ELಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ  ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸೋಣ.

Image15 EL

  • ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಅರೆ-ಹಿರಿನಡುಗೆರೆ (Semi Major axis line) a = 2 ಮತ್ತು ಅರೆ-ಕಿರುನಡುಗೆರೆ (Semi Minor axis line) b = 1 ಆಗಿದೆ.
  • ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಬರೆದಾಗ y = (1/a) x  √ (a2 b2  – x2 b2) ಆಗುತ್ತದೆ.
  • ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಮಾರ್ಪುಕಗಳಾಗಿವೆ (Variables).
  • ಚುಕ್ಕೆಗುರುತಿನ (Coordinates graph) ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ a=2, b=1 ಆದಾಗ x = [ -2, -1, 0, 1, 2 ] ಬೆಲೆಗಳನ್ನು y = (1/a) x  √ (a2 b2  – x2 b2) ಯಲ್ಲಿ  ಹಾಕಿ y ನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡು ಮೇಲಿನ ಉದ್ದದುಂಡುಕವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ದುಂಡುತನ (Eccentricity):

ಒಂದು ಬಾಗಿದ ಆಕೃತಿಯು (Curved shapes) ಎಷ್ಟು ದುಂಡಾಗಿದೆ ಎಂಬುವುದನ್ನು ದುಂಡುತನ (Eccentricity) ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಡುಬೇರ್ಮೆಯಳತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು.

Image17 ELಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ದುಂಡುತನವನ್ನು (Eccentricity of the Ellipse) ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು,

e = c/a

  • e ಎಂಬುವುದು ದುಂಡುತನದ ಗುರುತಾಗಿದೆ.
  • c ಎಂಬುವುದು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನಡುವಿಗೆ (Centre of the Ellipse) ಇರುವ ದೂರ
  • a ಎಂಬುವುದು ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ (Focus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ತುದಿಗೆ ಇರುವ, ಇಲ್ಲಿ ತುದಿಗೆ (Vertex) ಇರುವ ದೂರ.
  • ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ: ದುಂಡುಕದಲ್ಲಿ (Circle) ದುಂಡುತನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (e = 0), ಆದರೆ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ದುಂಡುತನವು ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಜಾಸ್ತಿ ಇದ್ದು, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಮ್ಮಿ ಇರುತ್ತದೆ. 1 > e > 0.

ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಹಳಮೆ:

  • 380–320 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಮೆನಚ್ಮ್ಯಾಸ್ (Menaechmus) ಎಂಬ  ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಉದ್ದ  ದುಂಡುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆಮಾಡಿದ್ದನು.

Image18 EL

  • ಸುಮಾರು 300 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಮತ್ತು ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ಅರಕೆಗಳನ್ನುಮಾಡಿದ್ದರು.
  • 290 -.350 BCE ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಪಾಪಸ್ (Pappus) ಉದ್ದದುಂಡುವಿನ ನೆಲೆಚುಕ್ಕೆಯ (Foci of the Ellipse) ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆ ಮಾಡಿದ್ದನು.
  • 1602 CE ಯಲ್ಲಿ ಜೋಹಾನ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್ (Johannes Kepler) ನೇಸರನ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವ ಮಂಗಳ ಗ್ರಹದ ಸುತ್ತುದಾರಿಯು (Orbit) ಉದ್ದದುಂಡು ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದನು.

ಚಟುವಟಿಕೆ:

  1. ಮೊಟ್ಟೆಯಾಕಾರ (Oval shape) ಮತ್ತು ಉದ್ದದುಂಡು Ellipse shape) ಆಕಾರಕ್ಕೂ ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.
  2. ದುಂಡುಕದಲ್ಲಿ (Circle) ದುಂಡುತನವು (Eccentricity) ಏಕೆ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ.

(ಸೆಲೆ: askiitians.com, mathsisfun.com, mathopenref.com/ellipseeccentricity, mathsisfun.com/geometry, Wikipedia)

facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail
Bookmark the permalink.

193 Comments

  1. Pingback: Cheap NHL 18 Coins

  2. Pingback: PoE orbs

  3. Pingback: buy Cheap PoE orbs

  4. Pingback: Cheap NHL 18 Coins for sale

  5. Pingback: viagra no rx required

  6. Pingback: cialis for sale

  7. Pingback: cialis otc

  8. Pingback: cialis coupon cvs

  9. Pingback: cialis savings card

  10. Pingback: Buy cheap viagra online us

  11. Pingback: Buy viagra internet

  12. Pingback: ciproxin 500 mg

  13. Pingback: buy cialis canada

  14. Pingback: prices of cialis

  15. Pingback: generic cialis india

  16. Pingback: best place to buy cialis online reviews

  17. Pingback: cheap viagra

  18. Pingback: viagra generic

  19. Pingback: viagra 100mg

  20. Pingback: online ed pills

  21. Pingback: ed drugs

  22. Pingback: best over the counter ed pills

  23. Pingback: cialis online

  24. Pingback: rx pharmacy

  25. Pingback: cvs pharmacy

  26. Pingback: pharmacy online

  27. Pingback: Get cialis

  28. Pingback: cialis online

  29. Pingback: vardenafil cost

  30. Pingback: order levitra

  31. Pingback: online casino real money no deposit

  32. Pingback: discount viagra without prescription

  33. Pingback: online cialis

  34. Pingback: overnight canadian viagra

  35. Pingback: buy viagra internet

  36. Pingback: 5 mg cialis

  37. Pingback: cialis 5 mg

  38. Pingback: buy chloroquine phosphate

  39. Pingback: ed pills for sale online

  40. Pingback: buy viagra online

  41. Pingback: droga5.net

  42. Pingback: http://cialistodo.com

  43. Pingback: coupon for viagra 100mg

  44. Pingback: generic sildenafil

  45. Pingback: viagra without a doctor prescription

  46. Pingback: cialis price per pill

  47. Pingback: generic viagra pills

  48. Pingback: buy cheap sildenafil

  49. Pingback: tadalafil

  50. Pingback: cialis

  51. Pingback: generic viagra cost

  52. Pingback: viagra

  53. Pingback: buy cheap sildenafil

  54. Pingback: generic viagra without prescription

  55. Pingback: buying prescription drugs from canada

  56. Pingback: cheapest generic viagra

  57. Pingback: buy viagra

  58. Pingback: sildenafil 50 mg sans ordonnance

  59. Pingback: viagra pills 100mg

  60. Pingback: cialis for sale

  61. Pingback: cipla cialis review

  62. Pingback: buy generic pills

  63. Pingback: buy viagra for men

  64. Pingback: generic cialis usa

  65. Pingback: mexican viagra

  66. Pingback: cialis soft tabs

  67. Pingback: viagra tolerance

  68. Pingback: generic cialis

  69. Pingback: viagra for sale

  70. Pingback: ed medication

  71. Pingback: buy viagra online

  72. Pingback: Cheap Erection Pills

  73. Pingback: male enhancement pills viagra cheap

  74. Pingback: generic cialis for sale

  75. Pingback: ed remedies that really work

  76. Pingback: prescription drugs

  77. Pingback: 875 mg amoxicillin cost

  78. Pingback: buy viagra china

  79. Pingback: payday loans no credit check

  80. Pingback: online viagra

  81. Pingback: generic cialis legal

  82. Pingback: help on college essay

  83. Pingback: viagra quotes

  84. Pingback: essaywritingservicesjy.com

  85. Pingback: quality custom essay

  86. Pingback: choosing a dissertation topic

  87. Pingback: argument essay help

  88. Pingback: buy viagra generic

  89. Pingback: buy cheap research paper

  90. Pingback: thesis proposal format

  91. Pingback: can you write my paper for me

  92. Pingback: buy a thesis

  93. Pingback: viagra for sale

  94. Pingback: best canadian pharmacy

  95. Pingback: buy Amoxil

  96. Pingback: help with writing essays for college applications

  97. Pingback: erectile dysfunction treatment

  98. Pingback: tadalafil for sale

  99. Pingback: how long does it take for cialis to work

  100. Pingback: tadalafil cheap

  101. Pingback: roman viagra

  102. Pingback: buy real viagra online

  103. Pingback: generic viagra online

  104. Pingback: buy cialis in canada online

  105. Pingback: zithromax capsules

  106. Pingback: order viagra generic

  107. Pingback: generic pills

  108. Pingback: generic viagra suppliers

  109. Pingback: ed meds

  110. Pingback: canadian online pharmacy

  111. Pingback: generic Aciclovir

  112. Pingback: Voveran

  113. Pingback: canadian online pharmacies

  114. Pingback: approved canadian online pharmacies

  115. Pingback: viagra cheapest price

  116. Pingback: buy viagra online

  117. Pingback: viagra

  118. Pingback: how much does viagra cost in ireland

  119. Pingback: amoxicillin online pharmacy

  120. Pingback: doxylin

  121. Pingback: zyrtec 24 hour

  122. Pingback: allegra 180 mg coupon

  123. Pingback: where to get viagra

  124. Pingback: vardenafil dosage

  125. Pingback: fucking after taking cialis pills

  126. Pingback: how to buy viagra

  127. Pingback: viagra mixup

  128. Pingback: photos after taking viagra

  129. Pingback: buy cialis online usa

  130. Pingback: generic cialis at walmart

  131. Pingback: order zithromax over the counter

  132. Pingback: healthy man viagra

  133. Pingback: azithromycin amoxicillin

  134. Pingback: over the counter viagra

  135. Pingback: pseudoephedrine vs cialis

  136. Pingback: canadian drug pharmacy

  137. Pingback: accientally takes viagra

  138. Pingback: viagra for sale

  139. Pingback: cialis dapoxetine overnight shipping canada

  140. Pingback: cheap cialis

  141. Pingback: cialis

  142. Pingback: buy viagra doctor in california in person

  143. Pingback: viagra only 0.2$

  144. Pingback: cialis profesional vs. super active vs. cialis

  145. Pingback: sildenafil tablets 100mg india

  146. Pingback: when to take amoxicillin

  147. Pingback: alternative to azithromycin

  148. Pingback: prednisone with celebrex

  149. Pingback: keflex and severe leg pain

  150. Pingback: how to buy viagra online over the counter

  151. Pingback: buy sildenafil

  152. Pingback: can cymbalta gas bloating

  153. Pingback: half life amoxicillin

  154. Pingback: can i buy cialis over the counter at walgreens

  155. Pingback: buy cialis

  156. Pingback: ajrezbfv

  157. Pingback: male ed drugs

  158. Pingback: azithromycin z pak

  159. Pingback: ed pill

  160. Pingback: aowbsipf

  161. Pingback: ed pills that work

  162. Pingback: why is celebrex not covered

  163. Pingback: keflex cause upset stomach

  164. Pingback: generic ed drugs

  165. Pingback: how viagra works for men

  166. Pingback: how much viagra should a woman take

  167. Pingback: where can i buy viagra over the counter

  168. Pingback: wat doet sildenafil

  169. Pingback: waar kan je viagra kopen

  170. Pingback: duloxetine dosage

  171. Pingback: how to dose ivermectin pour on for dogs with fleas

  172. Pingback: how to use azithromycin for chlamydia

  173. Pingback: buy furosemide online

  174. Pingback: generic viagra buy

  175. Pingback: generic cephalexin

  176. Pingback: cefadroxil generic

  177. Pingback: order bactrim online

  178. Pingback: coupons for sildenafil

  179. Pingback: how is cialis dose

  180. Pingback: buy bactrim

  181. Pingback: cialis diario opinion

  182. Pingback: 40mg cialis

  183. Pingback: buy viagra online cheap

  184. Pingback: is cialis generic available

  185. Pingback: comprar viagra en valencia

  186. Pingback: liquid cialis source reviews

  187. Pingback: shop price viagra plus

  188. Pingback: best resume writing service

  189. Pingback: research paper writing help

  190. Pingback: my relationship with writing essay

  191. Pingback: pelase help me revise my essay

  192. Pingback: business ethics argumentative essay topics

  193. Pingback: viagra wiki

Comments are closed

  • ಹಂಚಿ

    facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail