ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು?

ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ (Mathematics) ಅಥವಾ ಗಣಿತವನ್ನು ಒಂದನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Algebra) ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಲಿಯುವ ಬಗೆಯನ್ನು ಏಳನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ, ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆದು ಹತ್ತನೇ ತರಗತಿಯವರೆಗೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗಣಿತದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಶಾಲೆಯ ಕಲಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆಯಾಯ್ತು, ಇನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ (Fields of science) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು ?

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂಬುವುದು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಲ್ಲಿ (Equation)  ಬರಿಗೆಗಳು (Letters) ಮತ್ತು ಹಲವು ಗುರುತುಗಳನ್ನು (Symbols) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಕೆ ಮತ್ತು ಬೆಲೆಯನ್ನು (numbers and quantities/values) ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದು.

ಇನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ,

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂಬುವುದು ಬರಿಗೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು.

ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬರಿಗೆಗಳನ್ನು (Letters/ ಅಕ್ಷರ) ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ x,y,z,a,b,c,d,α,β, , , ಇಲ್ಲಿ ಗುರುತುಗಳೆಂದರೆ ಕೂಡು (+), ಕಳೆ (-), ಭಾಗಿಸು (/), ಗುಣಿಸು (*, x), ಸರಿ (=) ಹಾಗು ಇತರೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳು. ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಬರಿಗೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುವುದನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು ಎಂಬುವುದನ್ನು ಮೊದಲು ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂಬುವುದು ದಿನದ ಬದುಕಿನ ಹಲವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ನೆರವಾಗುತ್ತದೆ:

ನಾವುಗಳು ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲಾ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾ ಇರುತ್ತೇವೆ, ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿಸಿದರೆ ನಮಗೆ ಒಂದಿಷ್ಟು ತಲೆಬಿಸಿ ತಪ್ಪುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲವೇ? :-)  ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿಕೆಳಗಿನ ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ನೀವು ಒಂದು ವಾರದಲ್ಲಿ ಶನಿವಾರ 2 ಲೀಟರ್ ಹಾಲು ಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಭಾನುವಾರ 3 ಲೀಟರ್ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಐದು ದಿನವೂ 1 ಲೀಟರ್ ಹಾಲು ಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಒಂದು ಲೀಟರ್ ಹಾಲಿನ ಬೆಲೆ 30 ರೂಪಾಯಿಗಳು ಆಗಿರಲಿ, ಹಾಗಾದರೆ ಒಂಬತ್ತು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲಿನ ಮೊತ್ತವೆಷ್ಟು?.

Image1 ALG

ಮೊದಲನೇ ವಾರದಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲು = ಶನಿವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಭಾನುವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಉಳಿದ ಐದು ದಿನಗಳು ಕೊಂಡ ಹಾಲು = 2 + 3 + 5 x 1 = 2 + 3 + 5 = 10 ಲೀಟರ್ ಗಳು.

ಎರಡು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲು = ಎರಡು ಶನಿವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಎರಡು  ಭಾನುವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಐದು ದಿನಗಳಂತೆ ಎರಡು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲು = 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 5 x 1 = 4 +6 + 10 = 20 ಲೀಟರ್ ಗಳು.

ಹೀಗೆ ಹಲವು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಒಟ್ಟು ಹಾಲು = 2n+3n + 5n x 1 = 10n ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬ ಬರಿಗೆಯು (Letter/Alphabet) ಮಾರ್ಪುಕವಾಗಿದೆ (Variable), ಅಂದರೆ ಅದು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯಾಗಿರದೇ, ಮಾರ್ಪಾಟು ಹೊಂದುವಂತಹ ಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ. ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ವಾರಗಳನ್ನು n ಗೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ10 ಎಂಬುವುದು ಒಡಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ (Coefficient).

ಒಂಬತ್ತು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲನ್ನು n = 9 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, 10n = 10 x 9 = 90 ಲೀಟರ್ ಗಳು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

∴ ಒಂಬತ್ತು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಒಟ್ಟು ಹಾಲಿನ ಬೆಲೆ = 90 x 30 = 2700 ರೂಪಾಯಿಗಳು.

 ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ X ಬರಿಗೆಯನ್ನು (Letter) ತೋರಿಸಲು ನಮಗೆ 4 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.

Image2 ALG

ಅದೇ ರೀತಿ XXನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4 + 4 = 8 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು XXXನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4 + 4 + 4 = 12  ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಹೀಗೆ ಒಂದಿಷ್ಟು X ಬರಿಗೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4 + 4 + 4 + 4 …..+ 4 = 4n  ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ XXXXXXXರಲ್ಲಿ ಏಳು X ಬರಿಗೆಗಳಿವೆ, ಹೀಗಾಗಿ XXXXXXX ನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4n ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Algebraic Equation) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಮಗೆ 4 x 7 = 28 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

Image3 ALG

4n ರಲ್ಲಿ 4 ಎಂಬುದು ಒಂದು ಬರಿಗೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಬೇಕಾದ ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು, “n ಬರಿಗೆ (Letter) ಎಂಬುದು ಎಷ್ಟು ಸಲ ನಾವು X ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು, 4n ಎಂಬುದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ X ಬರಿಗೆಗಳಿಗೆ ಬೇಕಾದ ಒಟ್ಟು ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು.

-> 4 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು    -> 4n = 4 x 7 = 28 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು

ಸೂಚನೆ: 4n  ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು(equation) ಒಂದೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿದೆ (Linear equation) ಮುಂದೆ ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅರಿಯಲು:

ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ತಿಳಿಯುವುದಕ್ಕೂ ಈ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಗೂ ಏನಪ್ಪಾ ನಂಟು ಅಂದ್ಕೊಂಡ್ಬಿಟ್ರಾ!?

ಬನ್ನಿ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ತಿಳಿಯೋಣ!

ಉದಾಹರಣೆ 3: ನೀವು 2 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರವಿದ್ದೀರಿ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ ಹಾಗು ನೀವು ಒಂದು ಕಲ್ಲನ್ನು 14 m/s ವೇಗದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯುತ್ತೀರ, ಆ ಕಲ್ಲು ನೆಲಕ್ಕೆ ಬೀಳಲು ಎಷ್ಟು ಹೊತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿದುಬರುವುದೇನೆಂದರೆ ನಮ್ಮ ನೆಲದ ರಾಶಿಸೆಳೆತವು g =9.8 m/s2 ರಷ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎಸೆದ ವಸ್ತುವು ತಲುಪುವ ಎತ್ತರವನ್ನು h = h1 + ut 1/2(gt2) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದಾಗಿದೆ. ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ h1 = ನಿಮ್ಮ ಎತ್ತರ = 2 m, u = ಎಸೆದ ಮೊದಲ ವೇಗ (Initial velocity) = 14 m/s, ಕಲ್ಲು ನೆಲಕ್ಕೆ ಬೀಳುವಾಗ ಎತ್ತರ h = 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Equation) h = h1 + ut 1/2(gt2) ಯನ್ನು 0 = 2 + 14t 1/2(9.8 t2 ) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು

2 + 14t -1/2(9.8 t2 ) = 2 + 14t -4.9 t2  =  0 ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ ನಮಗೆ t= 3.058 seconds ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಸೆದ ಕಲ್ಲು ನೆಲವನ್ನು ತಲುಪಲು 3.058 ಸೆಕೆಂಡ್‍ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು!

ಸೂಚನೆ: 2 + 14t -4.9 t2  ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು(equation) ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿದೆ (Quadratic equation) ಮುಂದೆ ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಹಾಗು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ಬಗೆಯನ್ನು ಮುಂದಿನ ಬರಹಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

 ಗಣಿತದ ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು (Higher Education) ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿಯಲು:

ನಾವು ಯಾವುದೇ ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಮೊದಲಹಂತದ ಅರಿವು ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲೇ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದರೆ ನಂತರದ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಕಲಿಕೆಯು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೆರೆಯರಿಮೆ (Geometry) ಮತ್ತು ಅಂಕೆಯರಿಮೆಯಲ್ಲಿ (Arithmetic) ಕೂಡ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ 1 ರಿಂದ n ವರೆಗೆ ಎಣಿಯನ್ನು(ಅಂಕೆ) ಸುಲಭವಾಗಿ ಕೂಡಲು S =  (n2+n)/2 ಎಂಬ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು(Algebraic Equation) ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುವುದು ಮಾರ್ಪುಕವಾಗಿದೆ (Variable), ಅಂದರೆ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಅಂಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಾವು 1 ರಿಂದ 100 ರ ವರೆಗೆ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಕೂಡೋಣ, ಇಲ್ಲಿ S ಎಂಬುವುದು ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ

S = (n2+n)/2  = (1002 +100)/2 = (10000+100)/2 = (10100)/2 = 5050 ಆಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಹಲವಾರು ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು:

ಯಾವುದೇ ಅರಿಮೆಯ ಅರಕೆಗಳು(ಸಂಶೋಧನೆಗಳು) ಹೊಸತನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತವೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳು ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಅರಕೆಯಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಭೂಮಿಯ ಮತ್ತು ಅದರ  ಸುತ್ತ ತಿರುಗುತ್ತಿರುವ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲಿನ ಬಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹೀಗೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Algebraic Equation) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಲ (Force) F = GMm1/(R+h)2 

M = ನೆಲದ ರಾಶಿ

 m2 = ವಸ್ತುವಿನ ರಾಶಿ

G = ನೆಲೆಬೆಲೆ (Constant)

R = ನೆಲದ ದುಂಡಿ (Radius of Earth)

h = ನೆಲದ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಂದ ಅದರ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುತ್ತಿರುವ ವಸ್ತುವಿನ ನಡುವಿರುವ ದೂರ.

 ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಅಂಶಗಳು:

 1. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು (Algebraic Expression):

 Image4 ALG

ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(equation) 3x2 2xy + 6  ನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಏರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಎಳೆ ಎಳೆಯಾಗಿ ತಿಳಿಯೋಣ.

ಮಾರ್ಪುಕ (Variables): ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಲ್ಲಿ (equation) ಮಾರ್ಪಡುವ ಅಥವಾ ಬದಲಾಗುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬರಿಗೆಗೆ (Letters) ಮಾರ್ಪುಕ ಎಂದು ಕರೆಯುವರು.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ  ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ  3x2 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಗಳು ಮಾರ್ಪುಕಗಳಾಗಿವೆ. ಮಾರ್ಪುಕವೆನ್ನುವುದು ತಿಳಿಯದ ಬೆಲೆ (Unknown Value) ಅಥವಾ ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬೆಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದ್ದೇವಲ್ಲವೇ, ಅಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ 4n ಅಲ್ಲಿ n ಎಂಬುವುದು ಮಾರ್ಪುಕವಾಗಿದೆ.

ಒಡಬೆಲೆ (Coefficient): ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಪುಕಗಳ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಇರುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಒಡಬೆಲೆ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ  ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 3x2 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ x2   ಮಾರ್ಪುಕದ ಒಡನೆ ಇರುವ ಬೆಲೆ 3  ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು xy ಮಾರ್ಪುಕಗಳ ಒಡನೆ ಇರುವ ಬೆಲೆ 2 ಆಗಿದೆ. ಒಡಬೆಲೆಯು ಇಡಿಯಂಕೆ (whole number) ಅಥವಾ ಪಾಲುಗಳು (fractions) ಆಗಬಹುದು. ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ 1.5x2 – (2/3)xy + 8 , ಇಲ್ಲಿ ಒಡಬೆಲೆಗಳು 1.5  ಮತ್ತು 2/3 ಆಗಿವೆ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ (Algebraic Term): ಯಾವುದೇ ಒಡಬೆಲೆ(Coefficient) ಮತ್ತು ಮಾರ್ಪುಕದ(Variables) ಜೊತೆಯನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x2 – 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ 3x2  ಮತ್ತು 2xy ಎಂಬುದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳಾಗಿವೆ.

 ನೆಲೆಬೆಲೆ (Constant) :  ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಪುಕಗಳಿಲ್ಲದ (Without Variables) ಮತ್ತು ಬದಲಾಗದ ನೆಲೆಸಿರುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು (Constant Value) ನೆಲೆಬೆಲೆ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x2 – 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ 6  ಎಂಬುವುದು ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ. ನೆಲೆಬೆಲೆಯು ಇಡಿಯಂಕೆ (whole number) ಅಥವಾ ಪಾಲುಗಳು (fractions) ಆಗಬಹುದು. ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ 6x2 – 3.33xy + 7.8  ಇಲ್ಲಿ ನೆಲೆಬೆಲೆ 7.8 ಆಗಿವೆ. ನೆಲೆಬೆಲೆಯನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ನೆಲೆಬೆಲೆಪದ (Algebraic Constant Term) ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು.

ಎಣಿಕೆಬಳಕ (Mathematical Operator): ಯಾವುದೇ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳನ್ನು (Algebraic Terms) ಕೂಡಲು, ಕಳೆಯಲು, ಪಾಲುಮಾಡಲು(ಭಾಗಿಸು), ಪೆಚ್ಚಿಸಲು(ಗುಣಿಸು) ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳಾದ (Mathematical Operators) –, +, x, ÷ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ, 3x2 – 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ – ಮತ್ತು + ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿರುವುದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

 ಏರ್ಮಡಿ (Power/Exponent): ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಪುಕದ ತಲೆಯ ಬಲ ಬದಿಯ ಬೆಲೆಯು (Right top Value) ಏರ್ಮಡಿ ಆಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಏರ್ಮಡಿಯು ಮಾರ್ಪುಕವನ್ನು ಹಲಮಡಿಸುತ್ತದೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x2 – 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ (Algebraic Term) 3x2 ದಲ್ಲಿರುವ ಮಾರ್ಪುಕದ ತಲೆಯೆಣಿ 2 ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ x2  ನ್ನು (x) ಗುಣಿಸು (x)  ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Algebraic Expression):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ (equation) ಎಲ್ಲಾ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳು (Algebraic Terms), ನೆಲೆಬೆಲೆಗಳು (Constants)  ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳನ್ನು (Operators) ಒಟ್ಟಾಗಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ ಅದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x2 – 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ 3x2  ಮತ್ತು 2xy ಎಂಬುದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳಾಗಿವೆ, – ಮತ್ತು + ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳಾಗಿವೆ ಹಾಗು 6  ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ, ಇವೆಲ್ಲವನ್ನು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ ಎನ್ನಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ 3x2 2xy + 6  ಎಂಬುದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಇನ್ನು ಸುಳುವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ,

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ = ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ1 (- ಅಥವಾ +)ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ2 (- ಅಥವಾ +) …… (- ಅಥವಾ +) ನೆಲೆಬೆಲೆಗಳು.

ಪಟ್ಟುಕ (Factors): ಒಂದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದದ ಪಟ್ಟನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟುಕ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಮಾರ್ಪುಕಗಳು (Variables) ಮತ್ತು ಒಡಬೆಲೆಗಳು(Coefficients) ಪಟ್ಟುಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x2 – 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ 3x2  ನ ಪಟ್ಟುಕಗಳು 3, x, x ಮತ್ತು 2xy ನ  ಪಟ್ಟುಕಗಳು 2,x,y ಆಗಿವೆ. ನೆಲೆಬೆಲೆಯನ್ನು ಕೂಡ ಪಟ್ಟುಕಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾದ 6 ನ್ನು 2, 3 ಎಂದು ಪಟ್ಟುಕಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ1:  ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Algebraic Expression) 5x2 + 7xy – 10 ನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರೆದು ಅದರ ಅಡಕಗಳನ್ನು(ಅಂಶಗಳನ್ನು) ಗುರುತಿಸಿ.

5x2 + 7xy – 10 ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬಿಡಿಸಿ ಗುರುತಿಸೋಣ.

Image5 ALG

 1. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಬಗೆಗಳು (Types of algebraic Expression)

ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಒಂಟಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Monomial Algebraic Expressions).

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವನ್ನು(Single Term) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಒಂಟಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 4y2  ನ್ನುತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಮೇಲೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ (Algebraic Term) ಎಂದರೇನು ಅಂತ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, 4y2  ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಅಥವಾ ಒಂಟಿ (Mononomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು ಒಂದು ಅಥವಾ ಒಂಟಿ (Mononomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿವೆ.

5m4n, 2ax/3y, k5, 10ab3

ಎರಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Binomial Algebraic Expressions):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಎರಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 5y2 + 2x ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, 5y2 + 2x ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು 5y2  ಮತ್ತು  2x ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಎರಡು (Binomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಮೂರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Trinomial Algebraic Expressions):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಮೂರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 6y3 + 2xy + 1.5x ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, 6y3 + 2xy + 1.5x ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಮೂರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು 6y3 , 2xy  ಮತ್ತು 1.5x ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಮೂರು (Trinomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Polynomial Algebraic Expressions):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಹಲವು ಎಂಬುವುದು ಒಂಟಿ (Monomial), ಎರಡು (Binomial), ಮೂರು (Trinomial) ಹಾಗು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 5x3 + 6xy + 3y + 4.5x ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, 5x3 + 6xy + 3y + 4.5x ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು 5x3, 6xy, 3y   ಮತ್ತು 4.5x ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ(Polynomial Algebraic Equation).

ಉದಾಹರಣೆ2: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ (Algebraic Terms) ಪದಗಳು ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Algebraic Expressions).

4y2  –> ಒಂಟಿ (Monomial) ಮತ್ತು ಹಲವು (Polynomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ ಕೂಡ.

5y2 + 2x –> ಎರಡು (Binomial) ಮತ್ತು ಹಲವು (Polynomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ ಕೂಡ.

6y3 + 2xy + 1.5x  –> ಮೂರು (Trinomial) ಮತ್ತು ಹಲವು (Polynomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ ಕೂಡ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆಗಳು (Types of algebraic equations):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಗೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳನ್ನೆಲ್ಲಾ ಸೇರಿಸಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಮಟ್ಟ (Degree): ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಅದರ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿಯೊಂದಿಗೆ (Highest Exponent or Power)  ಅಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಈ ಅಳವನ್ನು ಮಟ್ಟ ಅಥವಾ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಮಟ್ಟ (Degree of an equation) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಬಗೆಯನ್ನು ನೋಡಬಹದು.

ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಹಲವೇರ್ಮಡಿ(Polynomial) ಎಂದು ಕರೆಯಬೇಕಾದಲ್ಲಿ ಅದರ ಏರ್ಮಡಿಯ(Exponent) ಮಟ್ಟ 0, 1, 2,3 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಇಡಿಯಂಕೆ (whole number) ಆಗಿರಲೇಬೇಕು , ಏರ್ಮಡಿಯು ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಕಮ್ಮಿ ಇದ್ದರೆ (Negative Number) ಅದು ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಹಲವು ಬಗೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಈ ಕೆಳಕಂಡ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ತಿಳಿಯೋಣ.

1. ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Polynomial Equation):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations) ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಮಟ್ಟ (Degree) ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು
1. ಹಲವೇರ್ಮಡಿ  ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ
(Polynomial Equation)
P(x) = 0, ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು. ಹಲಮಟ್ಟ
(Any Degree)
ಇಲ್ಲಿ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಏರ್ಮಡಿಯನ್ನು (Exponent) ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ, ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.
1.1 ಒಂದೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ
(Linear Equations)
ax + b = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0 1 2x + 3 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 1 ಆಗಿದೆ
1.2 ಎರಡೇರ್ಮಡಿ
(Quadratic Equations)
ax2 + bx + c = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0 2 x2 + 3x – 6 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 2 ಆಗಿದೆ
1.3 ಮೂರೇರ್ಮಡಿ
(Cubic Equations)
ax3 + bx2 + cx + d = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0 3 4X3 + 5x2 – 7x +8 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 3 ಆಗಿದೆ
1.4 ನಾಲ್ಕೇರ್ಮಡಿ
(Quartic Equations)
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0 4 7X4 – 3x3 + 4x2 – 2x +9 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent)
4 ಆಗಿದೆ
1.5 ಸರಿ-ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ

(Biquadratic Equations)

ax4 + bx2 + c = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0, t = x2 ಎಂದು ಹೊಂದಿಸಿ
ಬರೆದಾಗ at2 + bt + c ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಎರಡೇರ್ಮಡಿ(Quadratic Equations) ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ ಸಿಕ್ಕಿತು.
2 5x4 + 3x2 +7 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಏರ್ಮಡಿಗಳು 4 ಮತ್ತು 2 ಆಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೆಸವೆಣಿಕೆ ಏರ್ಮಡಿ (Odd number exponent) ಕಂಡುಬರುವದಿಲ್ಲ, ಇದನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸಿ ಬರೆದಾಗ  5t2 + 3t + 7 ನಲ್ಲಿ “t” ಯ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 2 ಆಗಿದೆ.

 

2. ಸುಳುವಾಗಿಸಬಲ್ಲ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Rational Polynomial Equation):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations) ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಮಟ್ಟ

(Degree)

ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು
2. ಸುಳುವಾಗಿಸಬಲ್ಲ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Rational Polynomial Equation) P(x)/Q(x) = 0, ಇಲ್ಲಿ P(x) ಮತ್ತು Q(x) ಹಲವೇರ್ಮಡಿ
ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation)
ಹಲಮಟ್ಟ
(Any Degree)
6x3/(1+ x2 ) + 2x/(3+ X4) = 0 ಈ ರೀತಿಯ  ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಸುಳುವಾಗಿಸಿ ಬರೆಯಬಹುದಾಗಿದೆ,
ಸುಳುವಾಗಿಸಿದ ನಂತರ ಇವುಗಳು ಯಾವುದೇ ಏರ್ಮಡಿಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ 6x3/(1+ x2 ) ಮತ್ತು 2x/(3+ X4) ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation).

3. ಸುಳುವಲ್ಲದ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Irrational Polynomial Equation):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations) ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಮಟ್ಟ (Degree) ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು
3. ಸುಳುವಲ್ಲದ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ
(Irrational Polynomial Equation)
p(x)/ (Q(x))1/n = 0, ಇಲ್ಲಿ P(x) ಮತ್ತು Q(x) ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation), n ಎಂಬುದು ಹಲಮಡಿ ಬೇರಾಗಿದೆ(nth root). ಹಲಮಟ್ಟ
(Any Degree)
8x3/(1+ x2 ) + √(2x/ (9+ X8)) = 0,ಈ ರೀತಿಯ  ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಅಷ್ಟು ಸುಳುವಾಗಿ ಬರೆಯಲು
ಬರುವುದಿಲ್ಲ ಹಾಗು ಇವುಗಳು ಯಾವುದೇ ಏರ್ಮಡಿಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ 8x3/(1+ x2 )
ಮತ್ತು √(2x/ (9+ X8))  ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation).

4. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಮೀರಿದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು (Transcendental Equations):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations) ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಮಟ್ಟ (Degree) ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು
4. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಮೀರಿದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು
( Transcendental Equations)
P(x) ಮತ್ತು Q(x) à ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ
(Polynomial Equation) 1.ಏರ್ಮಡಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(Equation of exponential algebraic expressions):P(x)Q(x
2.ಇಳಿಮಡಿ(inverse exponentiation) ಅಥವಾ ಲಾಗರಿದಮಿಕ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(Equations of logarithmic Algebraic Expressions): log(P(x)) 3. ಮುಕ್ಕೋನದರಿಮೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(Equation of Trigonometric algebraic expressions):Cos(P(x)), Sin(P(x)), tan(P(x))
ಹಲಮಟ್ಟ
(Any Degree)
1.ಏರ್ಮಡಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ: (2+x)(1+x)
2.ಇಳಿಮಡಿ(inverse exponentiation)ಅಥವಾ ಲಾಗರಿದಮಿಕ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ: log(3+x)
3.ಮುಕ್ಕೋನದರಿಮೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ: Cos(1+x), Sin(3+x), tan(4+x) ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 1+x, 2+x, 3+x, 4+x  ಗಳು ಒಂದೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

 ಉದಾಹರಣೆ1: ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿರುವ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

Image7 Algebraic Expressions Examples Saved from PPT format PNG

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಬಳಕೆಯ ಬಗೆಗಳು:

 ಕಲಿಕೆಯೇರ್ಪಾಡನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು.

1. ಮೊದಲ ಹಂತದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಸುಳುವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Elementary Algebra)

ಸುಮಾರು ಏಳನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಹತ್ತನೇ ತರಗತಿಯವರೆಗೆ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಕಲಿಸಬಹುದಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ.

2. ಸುಳುವಲ್ಲದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಮೇಲು ಹಂತದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Higher Level Algebra)

ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಯಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಹಲವು ಅರಿಮೆಗಳಲ್ಲಿ (Field of science) ಬಳಸಬಹುದಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ. ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಹಲವು ಕವಲುಗಳಾದ ಗೆರೆಯರಿಮೆ (Geometry), ಅಂಕೆಯರಿಮೆ(Arithmetic), ಮಾರ್ಪಡುವಿಕೆ (Differentiation), ಕೂಡಿಕೆ (Integration), ಒಗ್ಗೂಡಿಕೆಯರಿಮೆ (Combinatorics), ಹಿಡಿತದ ಕಟ್ಟಳೆ (Control theory) ಹಾಗು ಇನ್ನಿತರ ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳಾದ(Field of science) ಬಿಡಿ ಕಟ್ಟಲೆ (Quantum theory), ಬಿಡಿ ಕದಲರಿಮೆ(Quantum mechanics), ಕಾವರಿಮೆ (Thermodynamics), ಹೋಲು ಕಟ್ಟಲೆ (Relativity) ಹಾಗು ಇನ್ನಿತರ ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಬಳಕೆಯ ಮೇಲೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹಲವು ಬಗೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಕಂಡ ಬಗೆಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

1. ಸುಳುವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Elementary Algebra):

ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತವನ್ನು ತಿಳಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಸುಳುವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಆಯವಿಲ್ಲದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Abstract algebra):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗುಂಪರಿಮೆ (group theory), ಉಂಗುರ (Rings) , ನೆರಕೆ (Sets), ಅಣಿಮಣೆ(Matrix) ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ (Fields of mathematics) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3. ಒಮ್ಮಟ್ಟವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Linear Algebra):

ಈ ಬಗೆಯ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಒಂದೆರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Linear equation), ಅಣಿಮಣೆ (Matrix) ಮತ್ತು ತೂಗೆಡೆಗಳ (Vectors) ಕಲೆತವನ್ನು (Calculation) ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Computer Algebra):

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿಎಸಗುಬಗೆ (Algorithms) ಮತ್ತು ಹಮ್ಮುಗಾರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ (Programming)  ಬಳಸುವ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಬಗೆಯನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹದು.

5) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಗೆರೆಯರಿಮೆ (Algebraic Geometry):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಗೆರೆಯರಿಮೆಯು ಹಲವು ಬಗೆಯ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅರಕೆಮಾಡಲು, ಗೆರೆಯರಿಮೆಯ ಸುಳುವಲ್ಲದ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು (Complex Geometric problems) ಬಗೆಹರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಬಗೆಯಾಗಿದೆ

6). ನಂಟಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Relational Algebra):

ನಂಟಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಂಟಿನ ನೆರೆತಿಳಿಹದ (Relational Database) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಬಗೆಯಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಕಟ್ಟಳೆ (Group theory), ನೆರಕೆ(Sets), ನಂಟರಿಮೆ(Relation), ಕೇಳ್ವಿ ಎಣ್ಣುಕನುಡಿ (Query Language) ಗಳನ್ನು ಈ ಬಗೆಯ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಹಳಮೆ:

  • ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು (Babylonians) ಬರಿಗೆಯಣಿಕೆಯ ಕಲೆತವನ್ನು(Calculation) ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು, ಇದಕ್ಕೆ ಕುರುಹಾಗಿ 1800 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಬಳಕೆಮಾಡಿದ ಸ್ಟ್ರಾಸ್ಬರ್ಗ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್ (Strassburg tablet Inscription) ಮತ್ತು ಲಿಂಪ್ಟನ್322 (Plimpton 322) ಎಂಬ ಮಣ್ಣುಗಟ್ಟಿ ಬರಹ (Clay Tablet Inscription) ಸಿಕ್ಕಿರುತ್ತದೆ.

Image8 ALG

  • ಬರ್ಲಿನ್ ಪ್ಯಾಪಿರಸ್ 6619 (ಈಗಿನ ಹೆಸರು) ಎಂಬ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ನಡು ಅರಸೊತ್ತಿಗೆಯ(Middle Kingdom: 2055 B.C-1650 B.C) ಬರಹವು ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳ (Quadratic Equation) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
  • 800 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಬೌದಾಯನನ ಸುಲಭ ಸೂತ್ರವು ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳ (Quadratic Equation) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
  • 300 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಡಕದಲ್ಲಿ (Euclids Elemets) ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು (Quadratic Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
  • 100 B.C ಜಿಯುಜಾಂಗ್ ಸುವಾನ್ಶು (Jiuzhang suanshu) ಎಂಬ ಚೀನಿಯರ ಬರಹವು ಒಂದೇರ್ಮಡಿ (Linear), ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳ(Quadratic Equation) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
  • 100 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ(Mathematician) ಹೆರೋ(Hero/Heron) ಕಳೆತದೆಣಿಯ ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸೆಲೆಯ (Square root of negative number) ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆ ಮಾಡಿದ್ದನು.
  • 200 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಡಯೋಪಾಂಟಸ್ (Diophantus) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Algebraic Equation) ಮತ್ತು ಎಣಿಕಟ್ಟಳೆ (Number Theory) ಬಗ್ಗೆ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ ಅರಿತ್ಮೆಟಿಕಾದಲ್ಲಿ (Arithmetica) ತಿಳಿಸಿದ್ದನು.
  • 500 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಉಜ್ಜಯಿನಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನು ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು (Quadratic Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿದ್ದನು.
  • 800 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪರ್ಶಿಯಾದ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಅಲ್- ಕ್ವಾರಿಜ್ಮಿ (Al-Khwarizmi) ಒಂದೇರ್ಮಡಿ (Linear), ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು (Quadratic Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಹಲವಾರು ಇಟ್ಟಳ/ರಚನೆ (Fundamental of algebraic structure) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತಾನೆ. ಅವನನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ತಂದೆ (Father of Algebra) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

Image9 ALG (1)

  • ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತೇ?, ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾ (Algebra) ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಅಲ್- ಕ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಪುಸ್ತಕ ಅಲ್-ಕಿತಾಬ್ ಅಲ್-ಜಬರ್ ವಾ-ಅಲ್- ಮುಕಾಬಲ (Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala)ದಿಂದ ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ!. ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾಕ್ಕೆ ಮೊದಲಿಗಿದ್ದ ಹೆಸರು ಅಲ್-ಜಾಬ್ರ್ (Al-Jabr), ನಂತರದಲ್ಲಿ ಯೂರೋಪಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರು ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಎಂದು ಕರೆದರು. ‘ತುಂಡಾದ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಮರು ಸೇರಿಸುವುದು’ ಎಂಬುವುದು ಅಲ್-ಜಾಬ್ರ್ ಪದದ ಹುರುಳು.
  • 1000 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪರ್ಶಿಯಾದ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಅಬು ಸಹಲ್ ಅಲ್-ಕುಹಿ (Abū Sahl al-Qūhī) ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Polynomial Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ.
  • 1200 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಕರ್ನಾಟಕದ ವಿಜಯಪುರದ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯನು ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸೆಲೆಯನ್ನು (Two types of square root) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ.
  • 1200 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಇಟಲಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಪಿಬೊನಾಕಿ (Leonardo Fibonacci) ಹಲವಾರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು ತನ್ನದೇಯಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ.
  • 1540-1603 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪ್ರಾನ್ಸಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಪ್ರಾನ್ಸಿಸ್ಕಸ್ ವಿಯೆಸ್ಟಾ (Franciscus Vieta) ಎರ್ಮಡಿಗಳನ್ನು (Exponent) ಗುರುತಿಸಲು ಹಲವಾರು ಗುರುತುಗಳನ್ನು (Symbols) ಬಳಸುತ್ತಾನೆ.
  • 1596 -1650 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪ್ರಾನ್ಸಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ರೇನ್ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ (René Descartes) ಅರಿವುಮೀರಿದೆಣಿಯ (Imaginary Number i = √-1) ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲಬಾರಿಗೆ ದೊಡ್ಡಮಟ್ಟದ ಹಲವು ಅರಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾನೆ.
  • 1777-1855 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಜರ್ಮನಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಕಾರ್ಲ್ ಪ್ರೀಡ್ರಿಚ್ ಗಾಸ್ (Carl Friedrich Gauss) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಅಡಿಪಾಯದ ಕಟ್ಟಳೆ (Fundamental theorem of algebra)ಯ ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆಮಾಡುತ್ತಾನೆ.
  • 20 ನೂರರ ಹೊತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ಅರಕೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ನಡೆಯುತ್ತಲೇ ಇವೆ!.

(ಸೆಲೆಗಳು: study.comtutorvista.comvitutor.commath-only-math.combyjus.comen.wikipedia.org, 8. 7th standard Mathematics text book, Karnataka state syllabus, tutorial.math.lamar.edumath.stackexchange.com)

 

 

facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail
Bookmark the permalink.

598 Comments

  1. Pingback: Buy PoE Items

  2. Pingback: PoE Currency

  3. Pingback: buy madden 18 coins

  4. Pingback: Cheap NHL 18 Coins

  5. Pingback: freshamateurs712 abdu23na7514 abdu23na45

  6. Pingback: newtube sirius0 abdu23na7795 abdu23na21

  7. Pingback: fknjn544a429 afeu23na9513 abdu23na58

  8. Pingback: hd videos tubepla.net240 afeu23na7050 abdu23na73

  9. Pingback: download on mobile982 afeu23na987 abdu23na17

  10. Pingback: 61V5r4mMp8

  11. Pingback: hdmobilesex.me

  12. Pingback: ABrand

  13. Pingback: free bitcoin cash

  14. Pingback: movies

  15. Pingback: movies online

  16. Pingback: karan johar

  17. Pingback: Top Movies

  18. Pingback: Movies1

  19. Pingback: 11 10 2019

  20. Pingback: smotretonline2015.ru

  21. Pingback: Serial smotret

  22. Pingback: kinokrad

  23. Pingback: kinokrad 2020

  24. Pingback: ñïèñîê íîâûõ ôèëüìîâ

  25. Pingback: Watch Tv Series Online

  26. Pingback: casino

  27. Pingback: Kinokrad 2019 Kinokrad Hd

  28. Pingback: filmy-kinokrad

  29. Pingback: kinokrad-2019

  30. Pingback: filmy-2019-kinokrad

  31. Pingback: serial

  32. Pingback: cerialest.ru

  33. Pingback: dorama hdrezka

  34. Pingback: movies hdrezka

  35. Pingback: HDrezka

  36. Pingback: kinosmotretonline

  37. Pingback: LostFilm HD 720

  38. Pingback: trustedmdstorefy.com

  39. Pingback: bofilm ñåðèàë

  40. Pingback: bofilm

  41. Pingback: 1 seriya

  42. Pingback: Êîíñóëüòàöèÿ ïñèõîëîãà

  43. Pingback: topedstoreusa.com

  44. Pingback: hqcialismht.com

  45. Pingback: viagramdtrustser.com

  46. Pingback: canadianpharmacystorm.com

  47. Pingback: viagrawithoutdoctorspres.com

  48. Pingback: canpharmb3.com

  49. Pingback: 4serial.com

  50. Pingback: Evil-Season-1

  51. Pingback: Evil-Season-2

  52. Pingback: Evil-Season-3

  53. Pingback: Evil-Season-4

  54. Pingback: Dollface-Season-1

  55. Pingback: Queer-Eye-We-re-in-Japan-Season-1

  56. Pingback: nileriver

  57. Pingback: cupooftea

  58. Pingback: serial 2020

  59. Pingback: Dailymotion

  60. Pingback: Watch+movies+2020

  61. Pingback: Genfio.com

  62. Pingback: fioricet2020.com

  63. Pingback: serial-video-film-online

  64. Pingback: tvrv.ru

  65. Pingback: 1plus1serial.site

  66. Pingback: #1plus1

  67. Pingback: 1plus1

  68. Pingback: 2020

  69. Pingback: Watch Movies Online

  70. Pingback: Film

  71. Pingback: Film 2020

  72. Pingback: Film 2021

  73. Pingback: watch online TV LIVE

  74. Pingback: human design

  75. Pingback: dizajn cheloveka

  76. Pingback: human-design-space

  77. Pingback: koma 2020

  78. Pingback: The-Gentlemen

  79. Pingback: led-2

  80. Pingback: pod-vodoi

  81. Pingback: vk 2020

  82. Pingback: parazity-oskar-2020

  83. Pingback: human design human design

  84. Pingback: DSmlka

  85. Pingback: viagra

  86. Pingback: viagra online

  87. Pingback: +

  88. Pingback: ¯jak Son³k

  89. Pingback: astrolog

  90. Pingback: film-kalashnikov-watch

  91. Pingback: generic cialis

  92. Pingback: cialis 20mg

  93. Pingback: seasonvar

  94. Pingback: kinoxaxru.ru

  95. Pingback: viagra

  96. Pingback: pobachennya u vegas

  97. Pingback: Proshanie so Stalinym

  98. Pingback: buy cialis

  99. Pingback: strelcov 2020

  100. Pingback: film t-34

  101. Pingback: online pharmacy

  102. Pingback: online pharmacy canada

  103. Pingback: cialis

  104. Pingback: sildenafil citrate

  105. Pingback: generic cialis

  106. Pingback: cialis

  107. Pingback: sildenafil

  108. Pingback: viagra online

  109. Pingback: psiholog

  110. Pingback: cialis online

  111. Pingback: psyhelp_on_line

  112. Pingback: coronavirus

  113. Pingback: viagra pills

  114. Pingback: PSYCHOSOCIAL

  115. Pingback: cialis pills

  116. Pingback: Cialis order

  117. Pingback: viagra non prescription

  118. Pingback: Cherekasi film 2020

  119. Pingback: cialis online canada

  120. Pingback: coupon for cialis

  121. Pingback: cheap cialis online

  122. Pingback: Buy cheap viagra online us

  123. Pingback: Buy discount viagra

  124. Pingback: film doktor_liza

  125. Pingback: djoker onlajn

  126. Pingback: online pharmacy

  127. Pingback: generic viagra

  128. Pingback: buy viagra online

  129. Pingback: albuterol inhaler for sale generic

  130. Pingback: generic viagra sales

  131. Pingback: cialis online generic apothecary ca

  132. Pingback: ciprofloxacina 750

  133. Pingback: gidonline-filmix.ru

  134. Pingback: koronavirus-v-ukraine-doktor-komarovskiy

  135. Pingback: canada ed drugs

  136. Pingback: cialis on line

  137. Pingback: ldn prescription

  138. Pingback: generic cialis for sale

  139. Pingback: real viagra without a doctor prescription

  140. Pingback: price of cialis

  141. Pingback: viagra generic

  142. Pingback: careprost buy on line

  143. Pingback: is there a generic for cialis

  144. Pingback: buy tylenol online usa

  145. Pingback: how to use viagra

  146. Pingback: viagra 100mg

  147. Pingback: chloroquine price in india

  148. Pingback: viagra for sale

  149. Pingback: online pharmacy viagra

  150. Pingback: Canada Pharmacy

  151. Pingback: generic cialis online

  152. Pingback: best otc ed pills

  153. Pingback: erectile dysfunction medicines

  154. Pingback: viagra without a doctor prescription

  155. Pingback: ed meds

  156. Pingback: tadalafil

  157. Pingback: hydroxychloroquine tablet price in india

  158. Pingback: generic viagra coupon

  159. Pingback: rx pharmacy

  160. Pingback: t.me/psyhell

  161. Pingback: Ïñèõîëîã îíëàéí

  162. Pingback: canadian pharmacy online

  163. Pingback: Buy cheap cialis

  164. Pingback: bitly.com

  165. Pingback: online meds for ed

  166. Pingback: viagra 100mg

  167. Pingback: viagra price

  168. Pingback: viagra generic

  169. Pingback: viagra coupon

  170. Pingback: Viagra or cialis

  171. Pingback: order vardenafil

  172. Pingback: vardenafil online

  173. Pingback: buy generic cialis

  174. Pingback: generic viagra online usa

  175. Pingback: buy cialis online without prescription

  176. Pingback: best online casinos that payout

  177. Pingback: buy generic viagra

  178. Pingback: rlowcostmd.com

  179. Pingback: online slots for real money

  180. Pingback: men over 50 viagra heart condition

  181. Pingback: viagra

  182. Pingback: careprost eyelash growth amazon

  183. Pingback: how long does cialis last

  184. Pingback: best generic viagra websites

  185. Pingback: movies-tekstmovies-tekst

  186. Pingback: payday loans

  187. Pingback: cialis coupon

  188. Pingback: payday advance

  189. Pingback: Zemlyane 2005 smotret onlajn

  190. Pingback: viagra cost

  191. Pingback: buy viagra from canada

  192. Pingback: online prescription for ed meds

  193. Pingback: generic viagra 20mg pills erections

  194. Pingback: pharmacy

  195. Pingback: cialis generic

  196. Pingback: cialis to buy

  197. Pingback: buy propecia

  198. Pingback: cbd products

  199. Pingback: 20 cialis

  200. Pingback: 500 hemp cbd oil for sale

  201. Pingback: buy hydroxychloroquine online

  202. Pingback: smotret onlajn besplatno v kachestve hd 1080

  203. Pingback: best cbd sales online

  204. Pingback: gusmeasu.com

  205. Pingback: movies-unhinged-film

  206. Pingback: malenkie-zhenshhiny-2020

  207. Pingback: dom 2

  208. Pingback: casino slots

  209. Pingback: zoom-psykholog

  210. Pingback: zoom-viber-skype

  211. Pingback: viagra without a doctor prescription

  212. Pingback: Vratar Galaktiki Film, 2020

  213. Pingback: Vratar

  214. Pingback: Cherkassy 2020

  215. Pingback: chernobyl-hbo-2019-1-sezon

  216. Pingback: best drugs for erectile dysfunction

  217. Pingback: moskva-psiholog

  218. Pingback: batmanapollo.ru

  219. Pingback: 323

  220. Pingback: 525

  221. Pingback: dom2-ru

  222. Pingback: Tenet Online

  223. Pingback: tadalafil

  224. Pingback: slot games

  225. Pingback: psy psy psy psy

  226. Pingback: cialis generic

  227. Pingback: cheap cialis canadian

  228. Pingback: krsmi.ru

  229. Pingback: cialis dose

  230. Pingback: viagra price

  231. Pingback: online viagra

  232. Pingback: like-v.ru

  233. Pingback: viagra for sale

  234. Pingback: viagra prescription

  235. Pingback: CFOSPUK

  236. Pingback: generic viagra price comparison

  237. Pingback: generic cialis legal

  238. Pingback: buy viagra 75mg

  239. Pingback: what does generic cialis look like

  240. Pingback: cialis effectiveness

  241. Pingback: best online pharmacy for viagra

  242. Pingback: akmeologiya

  243. Pingback: dizain cheloveka

  244. Pingback: human-design-hd

  245. Pingback: order viagra soft

  246. Pingback: batmanapollo

  247. Pingback: Buy viagra now

  248. Pingback: real viagra online

  249. Pingback: tsoy

  250. Pingback: viagra for sale toronto

  251. Pingback: 44548

  252. Pingback: 44549

  253. Pingback: hod-korolevy-2020

  254. Pingback: youtube viagra

  255. Pingback: HD

  256. Pingback: 158444

  257. Pingback: groznyy-serial-2020

  258. Pingback: india generic cialis

  259. Pingback: generic cialis

  260. Pingback: 38QvPmk

  261. Pingback: bitly.com/doctor-strange-hd

  262. Pingback: bitly.com/eternals-online

  263. Pingback: bitly.com/maior-grom

  264. Pingback: dzhonuikfilm4

  265. Pingback: bitly.com/batman20212022

  266. Pingback: bitly.com/venom-2-smotret-onlajn

  267. Pingback: bitly.com/nevremyaumirat

  268. Pingback: bitly.com/kingsmankingsman

  269. Pingback: bitly.com/3zaklyatie3

  270. Pingback: bitly.com/1dreykfilm

  271. Pingback: bitly.com/topgunmavericktopgun

  272. Pingback: viagra thailand

  273. Pingback: bitly.com/flash2022

  274. Pingback: bitly.com/fantasticheskietvari3

  275. Pingback: cheap essay service

  276. Pingback: college application essay writing help

  277. Pingback: best site to buy research paper

  278. Pingback: custom essay writing company

  279. Pingback: dissertation binding service

  280. Pingback: thesis topics in education

  281. Pingback: who will write my paper for me

  282. Pingback: thesis writing services uk

  283. Pingback: 1444

  284. Pingback: law essay writing service

  285. Pingback: how to use viagra for best results

  286. Pingback: female viagra sildenafil

  287. Pingback: no prescription online pharmacy

  288. Pingback: viagra 3 day delivery

  289. Pingback: viagra price in india

  290. Pingback: join vk

  291. Pingback: vk login

  292. Pingback: buy tadalafil or cialis while in canada

  293. Pingback: viagra generic online

  294. Pingback: svaty—7—sezon

  295. Pingback: svaty 7 sezon

  296. Pingback: svaty 7

  297. Pingback: safest and most reliable pharmacy to buy cialis

  298. Pingback: buy viagra fast shipping

  299. Pingback: buy generic viagra online safely

  300. Pingback: 141genericExare

  301. Pingback: buy online cialis canadian pharmacy

  302. Pingback: tik tok

  303. Pingback: wtgteoih

  304. Pingback: when do you take cialis

  305. Pingback: what is the difference between viagra and cialis

  306. Pingback: sildenafil waar kopen

  307. Pingback: hoe kom je aan viagra

  308. Pingback: how to make ivermectin cream

  309. Pingback: where to buy zithromax online

  310. Pingback: viagra line

  311. Pingback: comprar cialis contrareembolso 24 horas

  312. Pingback: cialis pill

  313. Pingback: viagra canada

  314. Pingback: compra viagra generico

  315. Pingback: viagra alcohol

  316. Pingback: reliable essay writing service

  317. Pingback: research topics to write about

  318. Pingback: is write my essay online reviews

  319. Pingback: help me with my americanah essay

  320. Pingback: why i want to study business essay

  321. Pingback: clubhouse invite

  322. Pingback: augmentin online

  323. Pingback: buy furosemide tablets online uk

  324. Pingback: azithromycin 1000

  325. Pingback: stromectol medication

  326. Pingback: ventolin otc canada

  327. Pingback: img

  328. Pingback: img1

  329. Pingback: doxycycline expiration

  330. Pingback: prednisolone steroids

  331. Pingback: clomid for twins

  332. Pingback: wikipedia priligy

  333. Pingback: does diflucan work

  334. Pingback: synthroid after eating

  335. Pingback: dissertation writing software

  336. Pingback: how to write a phd thesis

  337. Pingback: 666

  338. Pingback: custom law essays

  339. Pingback: propecia acne

  340. Pingback: neurontin for anxiety

  341. Pingback: metformin insomnia

  342. Pingback: paxil erectile dysfunction

  343. Pingback: coronavirus plaquenil dosage

  344. Pingback: The Revenant

  345. Pingback: 00-tv.com

  346. Pingback: 2021

  347. Pingback: D4

  348. Pingback: 777

  349. Pingback: canada drugs online pharmacy

  350. Pingback: cialis 20mg usa

  351. Pingback: furosemide 50 mg tablets

  352. Pingback: link

  353. Pingback: buy cialis online viagra

  354. Pingback: Zakhar Berkut hd

  355. Pingback: 4569987

  356. Pingback: 20mg for sale

  357. Pingback: news news news

  358. Pingback: instant cash advance sammamish

  359. Pingback: psy

  360. Pingback: psy2022

  361. Pingback: projectio-freid

  362. Pingback: levitra retina

  363. Pingback: Best guy Tinder profiles

  364. Pingback: cash in advance beaumont

  365. Pingback: how much does viagra cost per pill

  366. Pingback: kinoteatrzarya.ru

  367. Pingback: topvideos

  368. Pingback: video

  369. Pingback: buy cheap uk

  370. Pingback: buy cheap uk

  371. Pingback: afisha-kinoteatrov.ru

  372. Pingback: Ukrainskie-serialy

  373. Pingback: site

  374. Pingback: purchase cialis online cheap

  375. Pingback: generic cialis when will it be available

  376. Pingback: cialis overnight shipping

  377. Pingback: ativan buy canada

  378. Pingback: top

  379. Pingback: canadian pharmacy medications

  380. Pingback: cialis 2019

  381. Pingback: viagra cost

  382. Pingback: soderzhanki-3-sezon-2021.online

  383. Pingback: tadalafil generic mexico

  384. Pingback: cialis pills price

  385. Pingback: viagra gel

  386. Pingback: viagra free samples

  387. Pingback: is gabapentin addictive

  388. Pingback: levitra daily use

  389. Pingback: viagra from canada

  390. Pingback: podolsk-region.ru

  391. Pingback: amlodipine and viagra

  392. Pingback: atorvastatin interactions

  393. Pingback: meloxicam and ibuprofen

  394. Pingback: metoprolol tartrate

  395. Pingback: losartan dosage

  396. Pingback: spedra versus viagra

  397. Pingback: cialis 500

  398. Pingback: vardenafil cost

  399. Pingback: interactions for duloxetine

  400. Pingback: prednisone depression

  401. Pingback: amitriptyline overdose

  402. Pingback: duloxetine hcl dr

  403. Pingback: hydrochlorothiazide

  404. Pingback: metformin 500

  405. Pingback: mirtazapine 30 mg

  406. Pingback: wellbutrin uses

  407. Pingback: buspirone dosage

  408. Pingback: citalopram brand name

  409. Pingback: zanaflex capsules

  410. Pingback: bupropion hcl sr

  411. Pingback: voltaren arthritis pain

  412. Pingback: clonidine uses

  413. Pingback: finasteride results

  414. Pingback: carvedilol side effects

  415. Pingback: metronidazole

  416. Pingback: blogery_i_dorogi

  417. Pingback: prescription for cialis

  418. Pingback: 30 mg sildenafil

  419. Pingback: tadalafil 10mg daily

  420. Pingback: super viagra

  421. Pingback: buy levitra canadian pharmacy

  422. Pingback: acyclovir cost uk

  423. Pingback: amoxicillin

  424. Pingback: donepezil brand

  425. Pingback: amoxicillin 500 mg

  426. Pingback: azithromycin online

  427. Pingback: interactions for cefdinir

  428. Pingback: keflex generic name

  429. Pingback: erythromycin prices

  430. Pingback: azithromycin buy

  431. Pingback: define cialis

  432. Pingback: cialis 20mg india price

  433. Pingback: walmart cialis pharmacy

  434. Pingback: viagra patent

  435. Pingback: sildenafil 100mg india

  436. Pingback: is priligy sold over the counter

  437. Pingback: cialis pharmacy australia

  438. Pingback: vardenafil generic india

  439. Pingback: cheap viagra

  440. Pingback: cost of hydroxychloroquine 200mg

  441. Pingback: cialis 40mg india

  442. Pingback: cialis 10mg sale

  443. Pingback: where to get sildenafil

  444. Pingback: sildenafil fast shipping

  445. Pingback: watermelon viagra

  446. Pingback: viagra super active

  447. Pingback: viagra sales usa

  448. Pingback: viagra cream

  449. Pingback: norvasc 5 mg tablet

  450. Pingback: tadalafil india generic

  451. Pingback: hydroxychloroquine how to buy

  452. Pingback: metformin contraindications

  453. Pingback: cialis substitute

  454. Pingback: amoxicillin without a prescription

  455. Pingback: doxycycline monohydrate

  456. Pingback: lasix 80 mg

  457. Pingback: xenical generic

  458. Pingback: dapoxetine tablets price

  459. Pingback: finasteride prostate

  460. Pingback: careprost korea

  461. Pingback: clomid and femara

  462. Pingback: diflucan dosing oral thrush

  463. Pingback: domperidone fda approved

  464. Pingback: nolvadex serm

  465. Pingback: what is prednisolone sodium

  466. Pingback: is naltrexone addictive

  467. Pingback: hydroxychloroquine 1% amazon

  468. Pingback: valacyclovir side effects kidney

  469. Pingback: compare remdesivir and hydroxychloroquine

  470. Pingback: methocarbamol to tizanidine

  471. Pingback: tadalafil troche

  472. Pingback: ciprofloxacin side effeccts

  473. Pingback: cialis coupon 2019

  474. Pingback: tadalafil generic online

  475. Pingback: tadalafil tablets ip

  476. Pingback: tadalafil soft tabs

  477. Pingback: viagra samples

  478. Pingback: sildenafil citrate 50mg

  479. Pingback: viagra daily

  480. Pingback: hydroxychloroquine 200 mg mexico

  481. Pingback: best online pet pharmacy

  482. Pingback: cialis free trial voucher 2019

  483. Pingback: medstore online pharmacy

  484. Pingback: how can i get viagra

  485. Pingback: how much does viagra cost at walgreens

  486. Pingback: coupon for viagra

  487. Pingback: regcialist.com

  488. Pingback: is generic ivermectil available in usa

  489. Pingback: priligy generic drug

  490. Pingback: ic stromectol

  491. Pingback: amlodipine overdose death

  492. Pingback: sildenafil citrate 50mg

  493. Pingback: prozac withdrawal symptoms

  494. Pingback: what is the brand name for omeprazole

  495. Pingback: get cialis

  496. Pingback: quetiapine side effects long term

  497. Pingback: cheap viagra online

  498. Pingback: how long does it take for lyrica to start working

  499. Pingback: lexapro and buspar

  500. Pingback: online viagra prescription

  501. Pingback: hydrochlorothiazide dosages

  502. Pingback: atorvastatin max dose

  503. Pingback: purchase viagra

  504. Pingback: ivermectin suspension

  505. Pingback: viagra coupon

  506. Pingback: sertraline 50 mg reviews

  507. Pingback: viagra canada

  508. Pingback: viagra online prescription free

  509. Pingback: cialis soft

  510. Pingback: can i stop escitalopram or do i have to wean myself off??

  511. Pingback: where can i purchase cialis

  512. Pingback: cheap cialis

  513. Pingback: deltasone for ear

  514. Pingback: where to buy cialis pills

  515. Pingback: viagra online generic

  516. Pingback: can you buy viagra at walgreens

  517. Pingback: hydroxychloroquine dispersible tablets

  518. Pingback: buy cialis melbourne

  519. Pingback: 1

  520. Pingback: duloxetine dr vs duloxetine hcl

  521. Pingback: generic viagra online

  522. Pingback: cheap generic viagra online

  523. Pingback: cheapest 20 mg cialis

  524. Pingback: cheap generic cialis

  525. Pingback: viagra online prescription

  526. Pingback: sildenafil prices

  527. Pingback: sildenafil online nz

  528. Pingback: amoxicillin for pid

  529. Pingback: buy cheap ivermectin

  530. Pingback: cialis price cvs

  531. Pingback: viagra 100mg

  532. Pingback: buy propecia and rogaine

  533. Pingback: generic viagra

  534. Pingback: online pharmacies for generic ivermectin

  535. Pingback: cialis erection pills

  536. Pingback: 6 prednisone

  537. Pingback: female viagra pills

  538. Pingback: order cialis online without prescription

  539. Pingback: liquid ivermectin for poultry

  540. Pingback: female viagra online pharmacy

  541. Pingback: viagra 100mg uk price

  542. Pingback: generic tadalafil canada

  543. Pingback: buy viagra no rx

  544. Pingback: ivermectin 12 mg tablets

  545. Pingback: ivermectin pour on for humans

  546. Pingback: ivermectin for dogs

  547. Pingback: ivermectin covid 19 uptodate

  548. Pingback: cialis erectile dysfunction

  549. Pingback: zithramax 250 mg

  550. Pingback: generic viagra best buys

  551. Pingback: generic for viagra?

  552. Pingback: cialis with daxopretine

  553. Pingback: cialis price

  554. Pingback: 3 day z pack

  555. Pingback: viagra sale new york

  556. Pingback: buy viagra in belgium

  557. Pingback: what is the generic for cialis

  558. Pingback: best generic viagra brand

  559. Pingback: erectile dysfunction pills

  560. Pingback: sildenafil 50mg

  561. Pingback: lisinopril develop cough

  562. Pingback: viagra prices

  563. Pingback: best dapoxetine tablets in india

  564. Pingback: buy azithromycin over the counter

  565. Pingback: over the counter meds similar to a zpack

  566. Pingback: viagra buy toronto

  567. Pingback: viagra cock

  568. Pingback: purchase viagra without prescription

  569. Pingback: where to buy viagra without doctors

  570. Pingback: viagra bestellen

  571. Pingback: female viagra pill

  572. Pingback: viagra alternative

  573. Pingback: amoxicillin 775 mg

  574. Pingback: viagra pills for men

  575. Pingback: lasix 120 mg daily

  576. Pingback: buy furosemide 20 mg

  577. Pingback: neurontin medicine

  578. Pingback: plaquenil sulfate

  579. Pingback: prednisone 20mg pills

  580. Pingback: prednisone buying

  581. Pingback: viagra triangle chicago

  582. Pingback: priligy online

  583. Pingback: buy provigil canada

  584. Pingback: modafinil 200

  585. Pingback: ivermectin cream cost

  586. Pingback: ivermectin virus

  587. Pingback: albuterol sulfate

  588. Pingback: cost of zithromax

  589. Pingback: can you purchase sildenafil over the counter

  590. Pingback: what is zithromax

  591. Pingback: whats viagra

  592. Pingback: gabapentin 214

  593. Pingback: alternatives to viagra

  594. Pingback: buying cialis online

  595. Pingback: ventolin canada

  596. Pingback: viagra price

  597. Pingback: cialis medication price

  598. Pingback: canadian viagra

Comments are closed

  • ಹಂಚಿ

    facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail