ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು?

ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ (Mathematics) ಅಥವಾ ಗಣಿತವನ್ನು ಒಂದನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Algebra) ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಲಿಯುವ ಬಗೆಯನ್ನು ಏಳನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ, ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆದು ಹತ್ತನೇ ತರಗತಿಯವರೆಗೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗಣಿತದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಶಾಲೆಯ ಕಲಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆಯಾಯ್ತು, ಇನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ (Fields of science) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು ?

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂಬುವುದು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಲ್ಲಿ (Equation)  ಬರಿಗೆಗಳು (Letters) ಮತ್ತು ಹಲವು ಗುರುತುಗಳನ್ನು (Symbols) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಕೆ ಮತ್ತು ಬೆಲೆಯನ್ನು (numbers and quantities/values) ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದು.

ಇನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ,

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂಬುವುದು ಬರಿಗೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು.

ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬರಿಗೆಗಳನ್ನು (Letters/ ಅಕ್ಷರ) ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ x,y,z,a,b,c,d,α,β, , , ಇಲ್ಲಿ ಗುರುತುಗಳೆಂದರೆ ಕೂಡು (+), ಕಳೆ (-), ಭಾಗಿಸು (/), ಗುಣಿಸು (*, x), ಸರಿ (=) ಹಾಗು ಇತರೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳು. ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಬರಿಗೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುವುದನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಏಕೆ ಕಲಿಯಬೇಕು ಎಂಬುವುದನ್ನು ಮೊದಲು ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂಬುವುದು ದಿನದ ಬದುಕಿನ ಹಲವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ನೆರವಾಗುತ್ತದೆ:

ನಾವುಗಳು ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲಾ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾ ಇರುತ್ತೇವೆ, ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿಸಿದರೆ ನಮಗೆ ಒಂದಿಷ್ಟು ತಲೆಬಿಸಿ ತಪ್ಪುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲವೇ? :-)  ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿಕೆಳಗಿನ ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ನೀವು ಒಂದು ವಾರದಲ್ಲಿ ಶನಿವಾರ 2 ಲೀಟರ್ ಹಾಲು ಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಭಾನುವಾರ 3 ಲೀಟರ್ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಐದು ದಿನವೂ 1 ಲೀಟರ್ ಹಾಲು ಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಒಂದು ಲೀಟರ್ ಹಾಲಿನ ಬೆಲೆ 30 ರೂಪಾಯಿಗಳು ಆಗಿರಲಿ, ಹಾಗಾದರೆ ಒಂಬತ್ತು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲಿನ ಮೊತ್ತವೆಷ್ಟು?.

Image1 ALG

ಮೊದಲನೇ ವಾರದಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲು = ಶನಿವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಭಾನುವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಉಳಿದ ಐದು ದಿನಗಳು ಕೊಂಡ ಹಾಲು = 2 + 3 + 5 x 1 = 2 + 3 + 5 = 10 ಲೀಟರ್ ಗಳು.

ಎರಡು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲು = ಎರಡು ಶನಿವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಎರಡು  ಭಾನುವಾರ ಕೊಂಡ ಹಾಲು + ಐದು ದಿನಗಳಂತೆ ಎರಡು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲು = 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 5 x 1 = 4 +6 + 10 = 20 ಲೀಟರ್ ಗಳು.

ಹೀಗೆ ಹಲವು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಒಟ್ಟು ಹಾಲು = 2n+3n + 5n x 1 = 10n ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬ ಬರಿಗೆಯು (Letter/Alphabet) ಮಾರ್ಪುಕವಾಗಿದೆ (Variable), ಅಂದರೆ ಅದು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯಾಗಿರದೇ, ಮಾರ್ಪಾಟು ಹೊಂದುವಂತಹ ಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ. ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ವಾರಗಳನ್ನು n ಗೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ10 ಎಂಬುವುದು ಒಡಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ (Coefficient).

ಒಂಬತ್ತು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಹಾಲನ್ನು n = 9 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, 10n = 10 x 9 = 90 ಲೀಟರ್ ಗಳು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

∴ ಒಂಬತ್ತು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಂಡ ಒಟ್ಟು ಹಾಲಿನ ಬೆಲೆ = 90 x 30 = 2700 ರೂಪಾಯಿಗಳು.

 ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ X ಬರಿಗೆಯನ್ನು (Letter) ತೋರಿಸಲು ನಮಗೆ 4 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.

Image2 ALG

ಅದೇ ರೀತಿ XXನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4 + 4 = 8 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು XXXನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4 + 4 + 4 = 12  ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಹೀಗೆ ಒಂದಿಷ್ಟು X ಬರಿಗೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4 + 4 + 4 + 4 …..+ 4 = 4n  ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ XXXXXXXರಲ್ಲಿ ಏಳು X ಬರಿಗೆಗಳಿವೆ, ಹೀಗಾಗಿ XXXXXXX ನ್ನು ತೋರಿಸಲು 4n ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Algebraic Equation) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಮಗೆ 4 x 7 = 28 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

Image3 ALG

4n ರಲ್ಲಿ 4 ಎಂಬುದು ಒಂದು ಬರಿಗೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಬೇಕಾದ ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು, “n ಬರಿಗೆ (Letter) ಎಂಬುದು ಎಷ್ಟು ಸಲ ನಾವು X ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು, 4n ಎಂಬುದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ X ಬರಿಗೆಗಳಿಗೆ ಬೇಕಾದ ಒಟ್ಟು ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು.

-> 4 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು    -> 4n = 4 x 7 = 28 ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಗಳು

ಸೂಚನೆ: 4n  ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು(equation) ಒಂದೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿದೆ (Linear equation) ಮುಂದೆ ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅರಿಯಲು:

ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ತಿಳಿಯುವುದಕ್ಕೂ ಈ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಗೂ ಏನಪ್ಪಾ ನಂಟು ಅಂದ್ಕೊಂಡ್ಬಿಟ್ರಾ!?

ಬನ್ನಿ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ತಿಳಿಯೋಣ!

ಉದಾಹರಣೆ 3: ನೀವು 2 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರವಿದ್ದೀರಿ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ ಹಾಗು ನೀವು ಒಂದು ಕಲ್ಲನ್ನು 14 m/s ವೇಗದಲ್ಲಿ ಎಸೆಯುತ್ತೀರ, ಆ ಕಲ್ಲು ನೆಲಕ್ಕೆ ಬೀಳಲು ಎಷ್ಟು ಹೊತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ?

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿದುಬರುವುದೇನೆಂದರೆ ನಮ್ಮ ನೆಲದ ರಾಶಿಸೆಳೆತವು g =9.8 m/s2 ರಷ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎಸೆದ ವಸ್ತುವು ತಲುಪುವ ಎತ್ತರವನ್ನು h = h1 + ut 1/2(gt2) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದಾಗಿದೆ. ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ h1 = ನಿಮ್ಮ ಎತ್ತರ = 2 m, u = ಎಸೆದ ಮೊದಲ ವೇಗ (Initial velocity) = 14 m/s, ಕಲ್ಲು ನೆಲಕ್ಕೆ ಬೀಳುವಾಗ ಎತ್ತರ h = 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Equation) h = h1 + ut 1/2(gt2) ಯನ್ನು 0 = 2 + 14t 1/2(9.8 t2 ) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು

2 + 14t -1/2(9.8 t2 ) = 2 + 14t -4.9 t2  =  0 ಈ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ ನಮಗೆ t= 3.058 seconds ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಸೆದ ಕಲ್ಲು ನೆಲವನ್ನು ತಲುಪಲು 3.058 ಸೆಕೆಂಡ್‍ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು!

ಸೂಚನೆ: 2 + 14t -4.9 t2  ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು(equation) ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿದೆ (Quadratic equation) ಮುಂದೆ ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಹಾಗು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ಬಗೆಯನ್ನು ಮುಂದಿನ ಬರಹಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

 ಗಣಿತದ ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು (Higher Education) ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿಯಲು:

ನಾವು ಯಾವುದೇ ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಮೊದಲಹಂತದ ಅರಿವು ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲೇ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದರೆ ನಂತರದ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಕಲಿಕೆಯು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೆರೆಯರಿಮೆ (Geometry) ಮತ್ತು ಅಂಕೆಯರಿಮೆಯಲ್ಲಿ (Arithmetic) ಕೂಡ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ 1 ರಿಂದ n ವರೆಗೆ ಎಣಿಯನ್ನು(ಅಂಕೆ) ಸುಲಭವಾಗಿ ಕೂಡಲು S =  (n2+n)/2 ಎಂಬ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು(Algebraic Equation) ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುವುದು ಮಾರ್ಪುಕವಾಗಿದೆ (Variable), ಅಂದರೆ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಅಂಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಾವು 1 ರಿಂದ 100 ರ ವರೆಗೆ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಕೂಡೋಣ, ಇಲ್ಲಿ S ಎಂಬುವುದು ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ

S = (n2+n)/2  = (1002 +100)/2 = (10000+100)/2 = (10100)/2 = 5050 ಆಗಿದೆ.

ಗಣಿತದ ಹಲವಾರು ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು:

ಯಾವುದೇ ಅರಿಮೆಯ ಅರಕೆಗಳು(ಸಂಶೋಧನೆಗಳು) ಹೊಸತನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತವೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳು ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಅರಕೆಯಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಬಳಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಭೂಮಿಯ ಮತ್ತು ಅದರ  ಸುತ್ತ ತಿರುಗುತ್ತಿರುವ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲಿನ ಬಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹೀಗೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Algebraic Equation) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಲ (Force) F = GMm1/(R+h)2 

M = ನೆಲದ ರಾಶಿ

 m2 = ವಸ್ತುವಿನ ರಾಶಿ

G = ನೆಲೆಬೆಲೆ (Constant)

R = ನೆಲದ ದುಂಡಿ (Radius of Earth)

h = ನೆಲದ ಮೇಲ್ಮಯ್ಯಿಂದ ಅದರ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುತ್ತಿರುವ ವಸ್ತುವಿನ ನಡುವಿರುವ ದೂರ.

 ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಅಂಶಗಳು:

 1. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು (Algebraic Expression):

 Image4 ALG

ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(equation) 3x2 2xy + 6  ನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಏರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಎಳೆ ಎಳೆಯಾಗಿ ತಿಳಿಯೋಣ.

ಮಾರ್ಪುಕ (Variables): ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯಲ್ಲಿ (equation) ಮಾರ್ಪಡುವ ಅಥವಾ ಬದಲಾಗುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬರಿಗೆಗೆ (Letters) ಮಾರ್ಪುಕ ಎಂದು ಕರೆಯುವರು.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ  ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ  3x2 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಗಳು ಮಾರ್ಪುಕಗಳಾಗಿವೆ. ಮಾರ್ಪುಕವೆನ್ನುವುದು ತಿಳಿಯದ ಬೆಲೆ (Unknown Value) ಅಥವಾ ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬೆಲೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ ಬೆಂಕಿಕಡ್ಡಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದ್ದೇವಲ್ಲವೇ, ಅಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ 4n ಅಲ್ಲಿ n ಎಂಬುವುದು ಮಾರ್ಪುಕವಾಗಿದೆ.

ಒಡಬೆಲೆ (Coefficient): ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಪುಕಗಳ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಇರುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಒಡಬೆಲೆ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ  ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ 3x2 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ x2   ಮಾರ್ಪುಕದ ಒಡನೆ ಇರುವ ಬೆಲೆ 3  ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು xy ಮಾರ್ಪುಕಗಳ ಒಡನೆ ಇರುವ ಬೆಲೆ 2 ಆಗಿದೆ. ಒಡಬೆಲೆಯು ಇಡಿಯಂಕೆ (whole number) ಅಥವಾ ಪಾಲುಗಳು (fractions) ಆಗಬಹುದು. ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ 1.5x2 – (2/3)xy + 8 , ಇಲ್ಲಿ ಒಡಬೆಲೆಗಳು 1.5  ಮತ್ತು 2/3 ಆಗಿವೆ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ (Algebraic Term): ಯಾವುದೇ ಒಡಬೆಲೆ(Coefficient) ಮತ್ತು ಮಾರ್ಪುಕದ(Variables) ಜೊತೆಯನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x2 – 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ 3x2  ಮತ್ತು 2xy ಎಂಬುದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳಾಗಿವೆ.

 ನೆಲೆಬೆಲೆ (Constant) :  ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಪುಕಗಳಿಲ್ಲದ (Without Variables) ಮತ್ತು ಬದಲಾಗದ ನೆಲೆಸಿರುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು (Constant Value) ನೆಲೆಬೆಲೆ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x2 – 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ 6  ಎಂಬುವುದು ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ. ನೆಲೆಬೆಲೆಯು ಇಡಿಯಂಕೆ (whole number) ಅಥವಾ ಪಾಲುಗಳು (fractions) ಆಗಬಹುದು. ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ 6x2 – 3.33xy + 7.8  ಇಲ್ಲಿ ನೆಲೆಬೆಲೆ 7.8 ಆಗಿವೆ. ನೆಲೆಬೆಲೆಯನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ನೆಲೆಬೆಲೆಪದ (Algebraic Constant Term) ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು.

ಎಣಿಕೆಬಳಕ (Mathematical Operator): ಯಾವುದೇ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳನ್ನು (Algebraic Terms) ಕೂಡಲು, ಕಳೆಯಲು, ಪಾಲುಮಾಡಲು(ಭಾಗಿಸು), ಪೆಚ್ಚಿಸಲು(ಗುಣಿಸು) ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳಾದ (Mathematical Operators) –, +, x, ÷ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ, 3x2 – 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ – ಮತ್ತು + ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿರುವುದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

 ಏರ್ಮಡಿ (Power/Exponent): ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಪುಕದ ತಲೆಯ ಬಲ ಬದಿಯ ಬೆಲೆಯು (Right top Value) ಏರ್ಮಡಿ ಆಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಏರ್ಮಡಿಯು ಮಾರ್ಪುಕವನ್ನು ಹಲಮಡಿಸುತ್ತದೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x2 – 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ (Algebraic Term) 3x2 ದಲ್ಲಿರುವ ಮಾರ್ಪುಕದ ತಲೆಯೆಣಿ 2 ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ x2  ನ್ನು (x) ಗುಣಿಸು (x)  ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Algebraic Expression):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ (equation) ಎಲ್ಲಾ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳು (Algebraic Terms), ನೆಲೆಬೆಲೆಗಳು (Constants)  ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳನ್ನು (Operators) ಒಟ್ಟಾಗಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ ಅದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x2 – 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ 3x2  ಮತ್ತು 2xy ಎಂಬುದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳಾಗಿವೆ, – ಮತ್ತು + ಎಣಿಕೆಬಳಕಗಳಾಗಿವೆ ಹಾಗು 6  ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾಗಿದೆ, ಇವೆಲ್ಲವನ್ನು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ ಎನ್ನಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ 3x2 2xy + 6  ಎಂಬುದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಇನ್ನು ಸುಳುವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ,

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ = ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ1 (- ಅಥವಾ +)ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ2 (- ಅಥವಾ +) …… (- ಅಥವಾ +) ನೆಲೆಬೆಲೆಗಳು.

ಪಟ್ಟುಕ (Factors): ಒಂದು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದದ ಪಟ್ಟನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟುಕ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಮಾರ್ಪುಕಗಳು (Variables) ಮತ್ತು ಒಡಬೆಲೆಗಳು(Coefficients) ಪಟ್ಟುಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 3x2 – 2xy + 6  ಯಲ್ಲಿ 3x2  ನ ಪಟ್ಟುಕಗಳು 3, x, x ಮತ್ತು 2xy ನ  ಪಟ್ಟುಕಗಳು 2,x,y ಆಗಿವೆ. ನೆಲೆಬೆಲೆಯನ್ನು ಕೂಡ ಪಟ್ಟುಕಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ನೆಲೆಬೆಲೆಯಾದ 6 ನ್ನು 2, 3 ಎಂದು ಪಟ್ಟುಕಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ1:  ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Algebraic Expression) 5x2 + 7xy – 10 ನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರೆದು ಅದರ ಅಡಕಗಳನ್ನು(ಅಂಶಗಳನ್ನು) ಗುರುತಿಸಿ.

5x2 + 7xy – 10 ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬಿಡಿಸಿ ಗುರುತಿಸೋಣ.

Image5 ALG

 1. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಬಗೆಗಳು (Types of algebraic Expression)

ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಒಂಟಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Monomial Algebraic Expressions).

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವನ್ನು(Single Term) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಒಂಟಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 4y2  ನ್ನುತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಮೇಲೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದ (Algebraic Term) ಎಂದರೇನು ಅಂತ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, 4y2  ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಅಥವಾ ಒಂಟಿ (Mononomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು ಒಂದು ಅಥವಾ ಒಂಟಿ (Mononomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿವೆ.

5m4n, 2ax/3y, k5, 10ab3

ಎರಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Binomial Algebraic Expressions):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಎರಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 5y2 + 2x ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, 5y2 + 2x ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು 5y2  ಮತ್ತು  2x ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಎರಡು (Binomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಮೂರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Trinomial Algebraic Expressions):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಮೂರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 6y3 + 2xy + 1.5x ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, 6y3 + 2xy + 1.5x ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ಮೂರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು 6y3 , 2xy  ಮತ್ತು 1.5x ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಮೂರು (Trinomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ.

ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆ (Polynomial Algebraic Expressions):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಹಲವು ಎಂಬುವುದು ಒಂಟಿ (Monomial), ಎರಡು (Binomial), ಮೂರು (Trinomial) ಹಾಗು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (ಸಮೀಕರಣ) 5x3 + 6xy + 3y + 4.5x ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, 5x3 + 6xy + 3y + 4.5x ನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅದರಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಪದಗಳು 5x3, 6xy, 3y   ಮತ್ತು 4.5x ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ(Polynomial Algebraic Equation).

ಉದಾಹರಣೆ2: ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ (Algebraic Terms) ಪದಗಳು ಹಲವು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Algebraic Expressions).

4y2  –> ಒಂಟಿ (Monomial) ಮತ್ತು ಹಲವು (Polynomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ ಕೂಡ.

5y2 + 2x –> ಎರಡು (Binomial) ಮತ್ತು ಹಲವು (Polynomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ ಕೂಡ.

6y3 + 2xy + 1.5x  –> ಮೂರು (Trinomial) ಮತ್ತು ಹಲವು (Polynomial) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯಾಗಿದೆ ಕೂಡ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆಗಳು (Types of algebraic equations):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಗೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳನ್ನೆಲ್ಲಾ ಸೇರಿಸಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಮಟ್ಟ (Degree): ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಅದರ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿಯೊಂದಿಗೆ (Highest Exponent or Power)  ಅಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಈ ಅಳವನ್ನು ಮಟ್ಟ ಅಥವಾ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಮಟ್ಟ (Degree of an equation) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಬಗೆಯನ್ನು ನೋಡಬಹದು.

ಯಾವುದೇ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಹಲವೇರ್ಮಡಿ(Polynomial) ಎಂದು ಕರೆಯಬೇಕಾದಲ್ಲಿ ಅದರ ಏರ್ಮಡಿಯ(Exponent) ಮಟ್ಟ 0, 1, 2,3 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಇಡಿಯಂಕೆ (whole number) ಆಗಿರಲೇಬೇಕು , ಏರ್ಮಡಿಯು ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಕಮ್ಮಿ ಇದ್ದರೆ (Negative Number) ಅದು ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಹಲವು ಬಗೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಈ ಕೆಳಕಂಡ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ತಿಳಿಯೋಣ.

1. ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Polynomial Equation):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations) ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಮಟ್ಟ (Degree) ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು
1. ಹಲವೇರ್ಮಡಿ  ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ
(Polynomial Equation)
P(x) = 0, ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು. ಹಲಮಟ್ಟ
(Any Degree)
ಇಲ್ಲಿ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಏರ್ಮಡಿಯನ್ನು (Exponent) ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ, ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.
1.1 ಒಂದೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ
(Linear Equations)
ax + b = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0 1 2x + 3 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 1 ಆಗಿದೆ
1.2 ಎರಡೇರ್ಮಡಿ
(Quadratic Equations)
ax2 + bx + c = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0 2 x2 + 3x – 6 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 2 ಆಗಿದೆ
1.3 ಮೂರೇರ್ಮಡಿ
(Cubic Equations)
ax3 + bx2 + cx + d = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0 3 4X3 + 5x2 – 7x +8 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 3 ಆಗಿದೆ
1.4 ನಾಲ್ಕೇರ್ಮಡಿ
(Quartic Equations)
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0 4 7X4 – 3x3 + 4x2 – 2x +9 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent)
4 ಆಗಿದೆ
1.5 ಸರಿ-ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ

(Biquadratic Equations)

ax4 + bx2 + c = 0, ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0, t = x2 ಎಂದು ಹೊಂದಿಸಿ
ಬರೆದಾಗ at2 + bt + c ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಎರಡೇರ್ಮಡಿ(Quadratic Equations) ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ ಸಿಕ್ಕಿತು.
2 5x4 + 3x2 +7 = 0, ಇಲ್ಲಿ xನ ಏರ್ಮಡಿಗಳು 4 ಮತ್ತು 2 ಆಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೆಸವೆಣಿಕೆ ಏರ್ಮಡಿ (Odd number exponent) ಕಂಡುಬರುವದಿಲ್ಲ, ಇದನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸಿ ಬರೆದಾಗ  5t2 + 3t + 7 ನಲ್ಲಿ “t” ಯ ಹಿರಿದಾದ ಏರ್ಮಡಿ (Highest exponent) 2 ಆಗಿದೆ.

 

2. ಸುಳುವಾಗಿಸಬಲ್ಲ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Rational Polynomial Equation):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations) ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಮಟ್ಟ

(Degree)

ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು
2. ಸುಳುವಾಗಿಸಬಲ್ಲ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Rational Polynomial Equation) P(x)/Q(x) = 0, ಇಲ್ಲಿ P(x) ಮತ್ತು Q(x) ಹಲವೇರ್ಮಡಿ
ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation)
ಹಲಮಟ್ಟ
(Any Degree)
6x3/(1+ x2 ) + 2x/(3+ X4) = 0 ಈ ರೀತಿಯ  ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಸುಳುವಾಗಿಸಿ ಬರೆಯಬಹುದಾಗಿದೆ,
ಸುಳುವಾಗಿಸಿದ ನಂತರ ಇವುಗಳು ಯಾವುದೇ ಏರ್ಮಡಿಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ 6x3/(1+ x2 ) ಮತ್ತು 2x/(3+ X4) ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation).

3. ಸುಳುವಲ್ಲದ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Irrational Polynomial Equation):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations) ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಮಟ್ಟ (Degree) ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು
3. ಸುಳುವಲ್ಲದ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ
(Irrational Polynomial Equation)
p(x)/ (Q(x))1/n = 0, ಇಲ್ಲಿ P(x) ಮತ್ತು Q(x) ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation), n ಎಂಬುದು ಹಲಮಡಿ ಬೇರಾಗಿದೆ(nth root). ಹಲಮಟ್ಟ
(Any Degree)
8x3/(1+ x2 ) + √(2x/ (9+ X8)) = 0,ಈ ರೀತಿಯ  ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಅಷ್ಟು ಸುಳುವಾಗಿ ಬರೆಯಲು
ಬರುವುದಿಲ್ಲ ಹಾಗು ಇವುಗಳು ಯಾವುದೇ ಏರ್ಮಡಿಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ 8x3/(1+ x2 )
ಮತ್ತು √(2x/ (9+ X8))  ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ (Polynomial Equation).

4. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಮೀರಿದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು (Transcendental Equations):

ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬಗೆ (Types of Equations) ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ ಮಟ್ಟ (Degree) ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಹುರುಳು
4. ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಮೀರಿದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳು
( Transcendental Equations)
P(x) ಮತ್ತು Q(x) à ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ
(Polynomial Equation) 1.ಏರ್ಮಡಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(Equation of exponential algebraic expressions):P(x)Q(x
2.ಇಳಿಮಡಿ(inverse exponentiation) ಅಥವಾ ಲಾಗರಿದಮಿಕ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(Equations of logarithmic Algebraic Expressions): log(P(x)) 3. ಮುಕ್ಕೋನದರಿಮೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ(Equation of Trigonometric algebraic expressions):Cos(P(x)), Sin(P(x)), tan(P(x))
ಹಲಮಟ್ಟ
(Any Degree)
1.ಏರ್ಮಡಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ: (2+x)(1+x)
2.ಇಳಿಮಡಿ(inverse exponentiation)ಅಥವಾ ಲಾಗರಿದಮಿಕ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಪದಕಂತೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ: log(3+x)
3.ಮುಕ್ಕೋನದರಿಮೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ: Cos(1+x), Sin(3+x), tan(4+x) ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 1+x, 2+x, 3+x, 4+x  ಗಳು ಒಂದೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಹಲವೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

 ಉದಾಹರಣೆ1: ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿರುವ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

Image7 Algebraic Expressions Examples Saved from PPT format PNG

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಬಳಕೆಯ ಬಗೆಗಳು:

 ಕಲಿಕೆಯೇರ್ಪಾಡನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು.

1. ಮೊದಲ ಹಂತದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಸುಳುವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Elementary Algebra)

ಸುಮಾರು ಏಳನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಹತ್ತನೇ ತರಗತಿಯವರೆಗೆ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಕಲಿಸಬಹುದಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ.

2. ಸುಳುವಲ್ಲದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಮೇಲು ಹಂತದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Higher Level Algebra)

ಮೇಲು ಹಂತದ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಯಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಹಲವು ಅರಿಮೆಗಳಲ್ಲಿ (Field of science) ಬಳಸಬಹುದಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ. ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಹಲವು ಕವಲುಗಳಾದ ಗೆರೆಯರಿಮೆ (Geometry), ಅಂಕೆಯರಿಮೆ(Arithmetic), ಮಾರ್ಪಡುವಿಕೆ (Differentiation), ಕೂಡಿಕೆ (Integration), ಒಗ್ಗೂಡಿಕೆಯರಿಮೆ (Combinatorics), ಹಿಡಿತದ ಕಟ್ಟಳೆ (Control theory) ಹಾಗು ಇನ್ನಿತರ ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳಾದ(Field of science) ಬಿಡಿ ಕಟ್ಟಲೆ (Quantum theory), ಬಿಡಿ ಕದಲರಿಮೆ(Quantum mechanics), ಕಾವರಿಮೆ (Thermodynamics), ಹೋಲು ಕಟ್ಟಲೆ (Relativity) ಹಾಗು ಇನ್ನಿತರ ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಬಳಕೆಯ ಮೇಲೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹಲವು ಬಗೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಕಂಡ ಬಗೆಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

1. ಸುಳುವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Elementary Algebra):

ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತವನ್ನು ತಿಳಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಸುಳುವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಆಯವಿಲ್ಲದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Abstract algebra):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಗುಂಪರಿಮೆ (group theory), ಉಂಗುರ (Rings) , ನೆರಕೆ (Sets), ಅಣಿಮಣೆ(Matrix) ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ (Fields of mathematics) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3. ಒಮ್ಮಟ್ಟವಾದ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Linear Algebra):

ಈ ಬಗೆಯ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯನ್ನು ಒಂದೆರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Linear equation), ಅಣಿಮಣೆ (Matrix) ಮತ್ತು ತೂಗೆಡೆಗಳ (Vectors) ಕಲೆತವನ್ನು (Calculation) ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Computer Algebra):

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿಎಸಗುಬಗೆ (Algorithms) ಮತ್ತು ಹಮ್ಮುಗಾರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ (Programming)  ಬಳಸುವ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಬಗೆಯನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹದು.

5) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಗೆರೆಯರಿಮೆ (Algebraic Geometry):

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಗೆರೆಯರಿಮೆಯು ಹಲವು ಬಗೆಯ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅರಕೆಮಾಡಲು, ಗೆರೆಯರಿಮೆಯ ಸುಳುವಲ್ಲದ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು (Complex Geometric problems) ಬಗೆಹರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಬಗೆಯಾಗಿದೆ

6). ನಂಟಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ (Relational Algebra):

ನಂಟಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಂಟಿನ ನೆರೆತಿಳಿಹದ (Relational Database) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಬಗೆಯಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಗುಂಪುಕಟ್ಟಳೆ (Group theory), ನೆರಕೆ(Sets), ನಂಟರಿಮೆ(Relation), ಕೇಳ್ವಿ ಎಣ್ಣುಕನುಡಿ (Query Language) ಗಳನ್ನು ಈ ಬಗೆಯ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಹಳಮೆ:

  • ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು (Babylonians) ಬರಿಗೆಯಣಿಕೆಯ ಕಲೆತವನ್ನು(Calculation) ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು, ಇದಕ್ಕೆ ಕುರುಹಾಗಿ 1800 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಬಳಕೆಮಾಡಿದ ಸ್ಟ್ರಾಸ್ಬರ್ಗ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೆಟ್ (Strassburg tablet Inscription) ಮತ್ತು ಲಿಂಪ್ಟನ್322 (Plimpton 322) ಎಂಬ ಮಣ್ಣುಗಟ್ಟಿ ಬರಹ (Clay Tablet Inscription) ಸಿಕ್ಕಿರುತ್ತದೆ.

Image8 ALG

  • ಬರ್ಲಿನ್ ಪ್ಯಾಪಿರಸ್ 6619 (ಈಗಿನ ಹೆಸರು) ಎಂಬ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ನಡು ಅರಸೊತ್ತಿಗೆಯ(Middle Kingdom: 2055 B.C-1650 B.C) ಬರಹವು ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳ (Quadratic Equation) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
  • 800 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಬೌದಾಯನನ ಸುಲಭ ಸೂತ್ರವು ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳ (Quadratic Equation) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
  • 300 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಡಕದಲ್ಲಿ (Euclids Elemets) ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು (Quadratic Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
  • 100 B.C ಜಿಯುಜಾಂಗ್ ಸುವಾನ್ಶು (Jiuzhang suanshu) ಎಂಬ ಚೀನಿಯರ ಬರಹವು ಒಂದೇರ್ಮಡಿ (Linear), ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳ(Quadratic Equation) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
  • 100 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ(Mathematician) ಹೆರೋ(Hero/Heron) ಕಳೆತದೆಣಿಯ ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸೆಲೆಯ (Square root of negative number) ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆ ಮಾಡಿದ್ದನು.
  • 200 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಗ್ರೀಕ್ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಡಯೋಪಾಂಟಸ್ (Diophantus) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Algebraic Equation) ಮತ್ತು ಎಣಿಕಟ್ಟಳೆ (Number Theory) ಬಗ್ಗೆ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ ಅರಿತ್ಮೆಟಿಕಾದಲ್ಲಿ (Arithmetica) ತಿಳಿಸಿದ್ದನು.
  • 500 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಉಜ್ಜಯಿನಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನು ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು (Quadratic Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿದ್ದನು.
  • 800 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪರ್ಶಿಯಾದ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಅಲ್- ಕ್ವಾರಿಜ್ಮಿ (Al-Khwarizmi) ಒಂದೇರ್ಮಡಿ (Linear), ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು (Quadratic Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಹಲವಾರು ಇಟ್ಟಳ/ರಚನೆ (Fundamental of algebraic structure) ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತಾನೆ. ಅವನನ್ನು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ತಂದೆ (Father of Algebra) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

Image9 ALG (1)

  • ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತೇ?, ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾ (Algebra) ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಅಲ್- ಕ್ವಾರಿಜ್ಮಿ ಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಪುಸ್ತಕ ಅಲ್-ಕಿತಾಬ್ ಅಲ್-ಜಬರ್ ವಾ-ಅಲ್- ಮುಕಾಬಲ (Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala)ದಿಂದ ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ!. ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾಕ್ಕೆ ಮೊದಲಿಗಿದ್ದ ಹೆಸರು ಅಲ್-ಜಾಬ್ರ್ (Al-Jabr), ನಂತರದಲ್ಲಿ ಯೂರೋಪಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗರು ಅಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಎಂದು ಕರೆದರು. ‘ತುಂಡಾದ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಮರು ಸೇರಿಸುವುದು’ ಎಂಬುವುದು ಅಲ್-ಜಾಬ್ರ್ ಪದದ ಹುರುಳು.
  • 1000 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪರ್ಶಿಯಾದ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಅಬು ಸಹಲ್ ಅಲ್-ಕುಹಿ (Abū Sahl al-Qūhī) ಹಲವೇರ್ಮಡಿಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Polynomial Equation) ಬಗೆಹರಿಸುವ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ.
  • 1200 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಕರ್ನಾಟಕದ ವಿಜಯಪುರದ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯನು ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಎರಡೇರ್ಮಡಿ ಸೆಲೆಯನ್ನು (Two types of square root) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ.
  • 1200 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಇಟಲಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಪಿಬೊನಾಕಿ (Leonardo Fibonacci) ಹಲವಾರು ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗಳನ್ನು ತನ್ನದೇಯಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸುತ್ತಾನೆ.
  • 1540-1603 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪ್ರಾನ್ಸಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಪ್ರಾನ್ಸಿಸ್ಕಸ್ ವಿಯೆಸ್ಟಾ (Franciscus Vieta) ಎರ್ಮಡಿಗಳನ್ನು (Exponent) ಗುರುತಿಸಲು ಹಲವಾರು ಗುರುತುಗಳನ್ನು (Symbols) ಬಳಸುತ್ತಾನೆ.
  • 1596 -1650 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಪ್ರಾನ್ಸಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ರೇನ್ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ (René Descartes) ಅರಿವುಮೀರಿದೆಣಿಯ (Imaginary Number i = √-1) ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲಬಾರಿಗೆ ದೊಡ್ಡಮಟ್ಟದ ಹಲವು ಅರಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾನೆ.
  • 1777-1855 A.D ಹೊತ್ತಿನ ಜರ್ಮನಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಕಾರ್ಲ್ ಪ್ರೀಡ್ರಿಚ್ ಗಾಸ್ (Carl Friedrich Gauss) ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಅಡಿಪಾಯದ ಕಟ್ಟಳೆ (Fundamental theorem of algebra)ಯ ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆಮಾಡುತ್ತಾನೆ.
  • 20 ನೂರರ ಹೊತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಬರಿಗೆಯೆಣಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಹಲವಾರು ಅರಕೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ನಡೆಯುತ್ತಲೇ ಇವೆ!.

(ಸೆಲೆಗಳು: study.comtutorvista.comvitutor.commath-only-math.combyjus.comen.wikipedia.org, 8. 7th standard Mathematics text book, Karnataka state syllabus, tutorial.math.lamar.edumath.stackexchange.com)

 

 

facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail
Bookmark the permalink.
  • ಹಂಚಿ

    facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail