ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಹಲಬದಿಗಳು ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಹಲಬದಿಯ ಹಲವು ಬಗೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡೆವು, ಈಗ ಹಲಬದಿಗಳ ಮೂಲೆ (Angle), ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter) ಮತ್ತು ಹರವನ್ನು (Area) ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಬಗೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.
ಹಲಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter of a polygon):
ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾಗಿದೆ.
- ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಒಂದು ABCDE ಐದ್ಬದಿಯನ್ನು (Pentagon) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಐದ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ P ಆಗಿರಲಿ, ಬದಿ1 = AB, ಬದಿ2 = BC, ಬದಿ3 = CD, ಬದಿ4 = DE, ಬದಿ5 = EA ಆದಾಗ
ಐದ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1+ ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 + ಬದಿ5 = AB + BC + CD + DE + EA ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
- ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಆರುಬದಿಯುಳ್ಳ ABCDEF ಎಂಬ ಒಂದು ತಗ್ಗು ಹಲಬದಿಯನ್ನು (Concave Polygon) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.
ಆರುಬದಿಯುಳ್ಳ ABCDEF ಈ ತಗ್ಗು ಹಲಬದಿಯಲ್ಲಿ AB = 8cm, BC = 5cm, CD = 7cm, ED = 3cm, EF = 12cm, FA = 10cm ಆಗಿವೆ, ಸುತ್ತಳತೆ P ಆಗಿರಲಿ.
∴ ಆರುಬದಿಯುಳ್ಳ ABCDEF ಹಲಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 8 + 5 + 7 + 3 + 12 + 10 = 45 cm ಆಗಿದೆ.
- ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಯ ಬದಿಗಳು n ಆದಾಗ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + …+ …+ ಬದಿn-1 + ಬದಿn ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಅದನ್ನು ಇನ್ನು ಸುಳುವಾಗಿ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ i = 1,2,3……n, n ಎಂಬುವುದು ಹಲಬದಿಯು ಎಷ್ಟು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುವುದನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ.
- ಒಂದು ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯು (Simple Polygon) ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯಾದಾಗ (Regular Polygon) ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು P= n x s = ಒಟ್ಟು ಬದಿಗಳು x ಒಂದು ಬದಿಯ ಅಳತೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
ಇಲ್ಲಿ n -> ಒಟ್ಟು ಬದಿಗಳು.
s -> ಒಂದು ಬದಿಯ ಅಳತೆ.
ಹಲಬದಿಯ ಒಳ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು (Interior Angles) ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಬಗೆ:
- ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು (n − 2) π C ಆಗಿರುತ್ತದೆ,
ಇಲ್ಲಿ c ಗುರುತು ರೇಡಿಯನ್ಸ್ (Radians) ಅನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು ರೇಡಿಯನ್ ಅನ್ನು 1c ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
1c ನ ಬೆಲೆ 180°/π ಆಗಿರುತ್ತದೆ,
∴ π C = 180° ಆಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ π = 3.14159 ಆಗಿದೆ.
∴ ಹಲಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು (n − 2) × 180° ಎಂದು ಸುಳುವಾಗಿ ಬರೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಇಲ್ಲಿ n ಎಷ್ಟು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುವುದಾಗಿದೆ.
ಹಲಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ ವನ್ನು ತಿಳಿಸುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯು (Equation) ಉಬ್ಬು ಹಲಬದಿ (Convex Polygon) ಮತ್ತು ತಗ್ಗು ಹಲಬದಿಗೂ (Concave Polygon) ಸರಿಹೊಂದುತ್ತುದೆ.
- ಒಂದು ಹಲಬದಿಯು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯಾದಾಗ (Regular Polygon) ಅದರ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಮೂಲೆಯು 180° – 360°/n ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ n ಎಷ್ಟು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುವುದಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ1: ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ABCD ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು (Quadrilateral) ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಇದರ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವೇನು?
ನಾವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು (n − 2) × 180° ಆಗಿದೆ,
ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯೆಂದರೆ ಅದು ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ n = 4 ಆಗುತ್ತದೆ.
∴ ABCD ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ ∠BAD + ∠ADC + ∠DCB + ∠CBA = (n − 2) × 180° = (4 – 2) x 180° = 2 x 180 = 360° ಆಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ2: ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ಸಾಟಿ ಹನ್ನೆರಡುಬದಿಯನ್ನು(Regular Dodecagon) ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಇದರ ಒಳ ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವೇನು ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಮೂಲೆಯ ಬೆಲೆಯೇನು ?
ನಾವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಹಲಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು (n − 2) × 180° ಆಗಿದೆ,
ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವು ಹನ್ನೆರಡು ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಆಕಾರವಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ n = 12 ಆಗುತ್ತದೆ.
∴ ಸಾಟಿ ಹನ್ನೆರಡುಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ = (n − 2) × 180° = (12 – 2) x 180° = 1800° ಆಗಿದೆ.
ಈ ಹನ್ನೆರಡುಬದಿಯು(Dodecagon) ಒಂದು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯಾಗಿದೆ (Regular Polygon), ಅಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ (Equilateral) ಹಾಗು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ (Equiangular).
ನಾವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಂತೆ ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ (Regular Polygon) ಒಂದು ಮೂಲೆಯು 180° – 360°/n ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
∴ ಸಾಟಿ ಹನ್ನೆರಡುಬದಿಯ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಮೂಲೆ = 180° – 360°/n = 180°- 360°/12 = 180° – 30° = 150°ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3: ಒಂದು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಯಾವುದೇ ಮೂಲೆಯು 162° ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಈ ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯು ಎಷ್ಟು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಯಾವುದೇ ಮೂಲೆಯು 162° ಆಗಿದೆ.
ನಾವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಂತೆ ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ (Regular Polygon) ಒಂದು ಮೂಲೆಯು 180° – 360°/n ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಒಂದು ಮೂಲೆ = 180° – 360°/n = 162°, ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುವುದು ಅದರ ಒಟ್ಟು ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಿಡಿಸೋಣ
180° – 162° = 360°/n
18° = 360°/n
n = 360°/18 = 20
∴ ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಒಂದು ಮೂಲೆ 162° ಆದಾಗ ಅದು 20 ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯನ್ನು ಇಪ್ಪತ್ತುಬದಿ (Icosagon) ಆಕಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.
ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಬಗೆ (Area of a Polygon):
ಮೂರ್ಬದಿ ಆಕಾರವು ಮೂರು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆಯತ, ಚೌಕ ಇವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ನಾಲ್ಕುಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಇವುಗಳ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ, ಆದರೆ ಇವುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬದಿ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಒಂದು ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಹಾಗಾಗಿ ಚುಕ್ಕೆಗುರುತಿನ ಏರ್ಪಾಡನ್ನು (coordinate system) ಬಳಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಗಳಿಗೆ ಒಗ್ಗುವಂತೆ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು.
- n: ಬದಿಗಳು
- x,y: ಹಲಬದಿಯ ತುದಿಗಳ ಚುಕ್ಕೆಗುರುತುಗಳು (Coordinates of polygon vertices)
- k: 1, 2, 3, 4, …, n-1, n
- ಇಲ್ಲಿ ಹರವು ಕಳೆಯುವ ಗುರುತನ್ನು (Negative Symbol) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕೂಡು ಗುರುತಿಗೆ(Positive Symbol) ಮಾರ್ಪಾಟು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅದಕ್ಕೆ ದಿಟಬೆಲೆ ಗುರುತನ್ನು(absolute value/modulus/real number) ಬಳಸಬೇಕು,
- ಉದಾಹರೆಣೆಗೆ -6 -> |6| -> 6, ಹಾಗಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಗೆ । । ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ
ಕೇಳ್ವಿ 1: ಒಂದು ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಇಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (equation) ಬಳಸಬೇಕೇ?
ಉತ್ತರ: ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಬದಿ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಒಂದು ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಮೂರ್ಬದಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ ಆಕಾರಗಳು ಕಡಿಮೆ ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬೇರೆ ಬಗೆಯಾಗಿ ಅವುಗಳ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಮೂರ್ಬದಿಗಳ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಬರಹವನ್ನು ಓದಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಬರಹವನ್ನು ಓದಿ.
ಕೇಳ್ವಿ 2: ಒಂದು ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯು (Simple Polygon) ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯಾದಾಗ (Regular Polygon) ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕೇ ?
ಉತ್ತರ: ಒಂದು ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯಾದಾಗ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (Equilateral) ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳು ಒಂದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು(Equiangular) ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಕೂಡ.
ಆ ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯ ಬದಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹದು.
- ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಕಾರಗಳು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಗಳಾಗಿವೆ (Regular Polygons).
- ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಹರವು A = 1/2 x (pa) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಇಲ್ಲಿ p à ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter)
a à ನೇರಡ್ಡನಡುಗೆರೆ (Apothem)
ಹರವನ್ನು A = 1/2 x (pa) = 1/2 x (nsa) ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಸುತ್ತಳತೆ P= n x s = ಒಟ್ಟು ಬದಿಗಳು x ಒಂದು ಬದಿಯ ಅಳತೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ನೇರಡ್ಡನಡುಗೆರೆ (Apothem) ಎಂದರೆ ಒಂದು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ನಡುವಿಂದ ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಎಳೆದ ಗೆರೆ.
- ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಒಂದು ಸಾಟಿ ಎಂಟ್ಬದಿಯನ್ನು (Octagon) ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಹರವಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Equation of area of regular polygon) ಕೆಳಗಿನಂತೆ ತೋರಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 1: ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಚೌಕದ ಹರವು ಬದಿ x ಬದಿ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.
ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳು (n=4) ಒಂದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
∴ ED = DG = GF = FE = s
ಚೌಕದ ನೇರಡ್ಡನಡುಗೆರೆಯ ಉದ್ದವು (length of apothem) ಚೌಕದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಅರೆಪಾಲಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.
∴ ನೇರಡ್ಡನಡುಗೆರೆ a = s/2
ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ
A = 1/2 x (pa) = 1/2 x (nsa) = 1/2 x (ಒಟ್ಟು ಬದಿಗಳು x ಬದಿಯ ಉದ್ದ x ನೇರಡ್ಡನಡುಗೆರೆಯ ಉದ್ದ)
∴ A = 1/2 x 4 x s x s/2 =2 x s x s/2 = s x s = ಬದಿ x ಬದಿ ಆಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2: ಒಂದು ಸಾಟಿ ಐದ್ಬದಿಯ (Regular Pentagon) ಬದಿಗಳು 7 cm ಆಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನೇರಡ್ಡನಡುಗೆರೆ 4.81734 cm ಆದಾಗ ಅದರ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಸಾಟಿ ಐದ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳು (n=5) ಒಂದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
ಸಾಟಿ ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ.
A = 1/2 x (pa) = 1/2 x (nsa) = 1/2 x (ಒಟ್ಟು ಬದಿಗಳು x ಬದಿಯ ಉದ್ದ x ನೇರಡ್ಡನಡುಗೆರೆಯ ಉದ್ದ)
∴ A = 1/2 x (5 x 7 x 4.81734) = 1/2 x (168.6069) = 84.30345 cm.
∴ ಸಾಟಿ ಐದ್ಬದಿಯ ಹರವು A = 84.30345 cm.
ಉದಾಹರಣೆ 3: ಒಂದು ಸಾಟಿಯಲ್ಲದ ಹಲಬದಿ P1P2P3P4P5 ಯನ್ನು ಚುಕ್ಕೆಗುರುತಿನ ಏರ್ಪಾಟಿನಲ್ಲಿ (coordinate system) ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗುರುತಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಹಲಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
- ಸಾಟಿಯಲ್ಲದ ಹಲಬದಿಯ ತುದಿಗಳನ್ನು(Vertices) ಚುಕ್ಕೆಗುರುತಿನ ಏರ್ಪಾಟಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ
- ಈ ಚುಕ್ಕೆಗುರುತುಗಳು(Coordinates) ಹೀಗಿವೆ P1(3,4), P2(5,11), P3(12,8), P4(9,5) ಮತ್ತು P5(5,6).
- ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಹಲಬದಿಯು ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯಾಗಿದೆ (Simple Polygon) ಮತ್ತು ಸಾಟಿಯಲ್ಲದ ಹಲಬದಿಯಾಗಿದೆ (Irregular Polygon)
- ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಸುಳುವಾದ ಹಲಬದಿಯ (Simple polygon) ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆ (Equation).
P = { P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),P5(x5,y5)} = {P1(3,4),P2(5,11),P3(12,8),P4(9,5) P5(5,6)} ಎಂದು ಹೊಂದಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಹರವಿನ ಬೆಲೆ ಕಳೆಯುವ ಗುರುತನ್ನು (Negative Symbol) ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, । । (Real/Absolute number symbol) ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ.
ಚಟುವಟಿಕೆ: ನಮ್ಮ ದಿನ ನಿತ್ಯದ ಬದುಕಿನಲ್ಲಿ ಕಾಣುವ ಎಲ್ಲಾ ಹಲಬದಿ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಯಾವ ಯಾವ ಬಗೆಯ ಹಲಬದಿಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ (ಹಿಂದಿನ ಬರಹ ಹಲಬದಿಗಳು –ಭಾಗ 1 ನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು)
(ಸೆಲೆಗಳು: dummies.com/education, easycalculation.com, math.blogoverflow.com, wikipedia.org)







Pingback: buy Mu Legend Zen
Pingback: Cheap Mu Legend Zen for sale
Pingback: topfuck123gals.mobi view more
Pingback: newtube sirius193 abdu23na8222 abdu23na21
Pingback: newtube sirius930 abdu23na3832 abdu23na20
Pingback: oninmera1975.wikidot.com follow this post oDp
Pingback: tubepla728 afeu23na9534 abdu23na27
Pingback: sfgjidfgn169 afeu23na122 abdu23na19
Pingback: newtube tube planet559 afeu23na2595 abdu23na63
Pingback: 473sjznN8x8
Pingback: hdmobilesex.me
Pingback: xxxbestrank.mobi provided link
Pingback: read completely
Pingback: learn more here
Pingback: schatshadowengine.mobi visit the page
Pingback: adultshadowengine.mobi click at this page
Pingback: xxxvipsearch.mobi this web page NlgWo0
Pingback: pronshadowengine.mobi just click for source
Pingback: pronbestrank.mobi go to the page Hpx
Pingback: pronbestrank.mobi
Pingback: pronbestrank.mobi link yDP
Pingback: find out more
Pingback: schatshadowrank.mobi taken from here
Pingback: topsexportal.mobi more on this page vbyt
Pingback: fastsexportal.mobi
Pingback: read further
Pingback: fastfuckportal.mobi link 1IL7
Pingback: topfucksearch.mobi link to a continuation
Pingback: topdatingse.mobi
Pingback: speedsexsite.mobi click to read more fGo
Pingback: fastfucksite.mobi
Pingback: tophookupportal.mobi click to go
Pingback: fastsexsearch.mobi click for details
Pingback: oklandbestsecuritysystems.us visit web page ScF6i
Pingback: oklandvipsecuritysystems.us
Pingback: oklandviphomeguard.info
Pingback: oklandtophomeguard.info here IVOpp
Pingback: oklandviphomeguard.us
Pingback: oklandbestsecuritysystems.info i provide a link gQE
Pingback: oklandtophomeguard.us visit the source
Pingback: oklandbesthomesecurity.info taken from here
Pingback: oklandviphomesecurity.us read oukS
Pingback: read further
Pingback: youtube.com
Pingback: ABrand
Pingback: 2018-2019
Pingback: 2019
Pingback: cleantalkorg2.ru
Pingback: a2019-2020
Pingback: facebook
Pingback: facebook1
Pingback: javsearch.mobi
Pingback: free bitcoin cash
Pingback: we-b-tv.com
Pingback: hs;br
Pingback: tureckie_serialy_na_russkom_jazyke
Pingback: tureckie_serialy
Pingback: serialy
Pingback: 00-tv.com
Pingback: +1+
Pingback: æóêè+2+ñåðèÿ
Pingback: Ñìîòðåòü ñåðèàëû îíëàéí âñå ñåðèè ïîäðÿä
Pingback: Ñìîòðåòü âñå ñåðèè ïîäðÿä
Pingback: watch
Pingback: âûòîïêà âîñêà
Pingback: ++++++
Pingback: HD-720
Pingback: guardians+of+the+galaxy+2
Pingback: strong woman do bong soon
Pingback: my id is gangnam beauty
Pingback: guardians of the galaxy vol 2
Pingback: 2020
Pingback: kpop+star+season+6+ep+9
Pingback: Video
Pingback: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pingback: wwin-tv.com
Pingback: movies
Pingback: Watch TV Shows
Pingback: Kinokrad 2019 Kinokrad Hd
Pingback: Kinokrad
Pingback: filmy-kinokrad
Pingback: kinokrad-2019
Pingback: filmy-2019-kinokrad
Pingback: serial
Pingback: cerialest.ru
Pingback: dorama hdrezka
Pingback: movies hdrezka
Pingback: HDrezka
Pingback: kinosmotretonline
Pingback: LostFilm HD 720
Pingback: trustedmdstorefy.com
Pingback: bofilm ñåðèàë
Pingback: bofilm
Pingback: 1 seriya
Pingback: Êîíñóëüòàöèÿ ïñèõîëîãà
Pingback: topedstoreusa.com
Pingback: hqcialismht.com
Pingback: viagramdtrustser.com
Pingback: 4serial.com
Pingback: See-Season-1
Pingback: Evil-Season-1
Pingback: Evil-Season-2
Pingback: Evil-Season-3
Pingback: Evil-Season-4
Pingback: Dollface-Season-1
Pingback: Queer-Eye-We-re-in-Japan-Season-1
Pingback: nileriver
Pingback: cupooftea
Pingback: serial 2020
Pingback: Dailymotion
Pingback: Watch+movies+2020
Pingback: genfio.com
Pingback: serial-video-film-online
Pingback: tvrv.ru
Pingback: 1plus1serial.site
Pingback: #1plus1
Pingback: 1plus1
Pingback: Watch Movies Online
Pingback: Film
Pingback: Film 2020
Pingback: Film 2021
Pingback: Top 10 Best
Pingback: watch online TV LIVE
Pingback: human design
Pingback: dizajn cheloveka
Pingback: human-design-space
Pingback: koma 2020
Pingback: The-Gentlemen
Pingback: led-2
Pingback: pod-vodoi
Pingback: vk 2020
Pingback: parazity-oskar-2020
Pingback: human design human design
Pingback: DSmlka
Pingback: viagra
Pingback: viagra online
Pingback: +
Pingback: ¯jak Son³k
Pingback: astrolog
Pingback: film-kalashnikov-watch
Pingback: generic cialis
Pingback: cialis 20mg
Pingback: kinoxaxru.ru
Pingback: viagra
Pingback: generic viagra
Pingback: viagra online
Pingback: pobachennya u vegas
Pingback: Proshanie so Stalinym
Pingback: buy cialis
Pingback: strelcov 2020
Pingback: film t-34
Pingback: online pharmacy
Pingback: canadian pharmacy
Pingback: buy viagra
Pingback: sildenafil citrate
Pingback: cialis
Pingback: cialis
Pingback: generic cialis
Pingback: psiholog
Pingback: cialis online
Pingback: psyhelp_on_line
Pingback: coronavirus
Pingback: viagra pills
Pingback: PSYCHOSOCIAL
Pingback: cialis pills
Pingback: Buy discount viagra
Pingback: viagra in australia
Pingback: cialis for sale
Pingback: Cherekasi film 2020
Pingback: viagra cialis
Pingback: viagra cialis
Pingback: generic cialis canada
Pingback: Buy viagra from canada
Pingback: film doktor_liza
Pingback: djoker onlajn
Pingback: generic ventolin
Pingback: generic viagra
Pingback: buy viagra online
Pingback: real viagra for sale online
Pingback: cialis without prescription
Pingback: cipro without a doctor prescription
Pingback: gidonline-filmix.ru
Pingback: koronavirus-v-ukraine-doktor-komarovskiy
Pingback: viagra pills
Pingback: buy real cialis online
Pingback: buy naltrexone
Pingback: cialis online canada
Pingback: cialis 5 mg
Pingback: careprost online mail-order pharmacies
Pingback: cialis black
Pingback: viagra suppliers
Pingback: tylenol 500 mg ebay
Pingback: chloroquine brand name
Pingback: viagra 50mg
Pingback: viagra 50mg
Pingback: viagra generic
Pingback: Canada Pharmacy
Pingback: erection pills viagra online
Pingback: erection pills viagra online
Pingback: best erectile dysfunction pills
Pingback: online canadian pharmacy
Pingback: t.me/psyhell
Pingback: Ïñèõîëîã îíëàéí
Pingback: canadian online pharmacy
Pingback: generic cialis
Pingback: bitly.com
Pingback: viagra 100mg
Pingback: viagra price
Pingback: viagra generic
Pingback: viagra coupon
Pingback: cialis generic
Pingback: levitra pills
Pingback: levitra usa
Pingback: generic vardenafil online
Pingback: when does viagra become generic
Pingback: casino moons online casino
Pingback: cialis trial pack
Pingback: free slots
Pingback: viagra prices
Pingback: rlowcostmd.com
Pingback: best slots to play online
Pingback: real money online casinos usa
Pingback: cheap tadalafil
Pingback: viagra 10mg 20mg
Pingback: instant loans
Pingback: price of lumigan 0.01% 2.5 oz bottle
Pingback: cialis without a doctor prescription usa
Pingback: cash advance online
Pingback: movies-tekstmovies-tekst
Pingback: loan online
Pingback: viagra cost
Pingback: Zemlyane 2005 smotret onlajn
Pingback: compare prices viagra generic 100mg
Pingback: generic cialis
Pingback: cialis generic
Pingback: 5 mg cialis
Pingback: pharmacy
Pingback: cialis generic
Pingback: buy cialis
Pingback: generic for cialis
Pingback: buy cialis
Pingback: viagra prescription
Pingback: buy chloroquine phosphate
Pingback: smotret onlajn besplatno v kachestve hd 1080
Pingback: casino online slots
Pingback: online casino usa real money
Pingback: gusmeasu.com
Pingback: movies-unhinged-film
Pingback: malenkie-zhenshhiny-2020
Pingback: dom 2
Pingback: real money casino online
Pingback: online casinos real money
Pingback: zoom-psykholog
Pingback: zoom-viber-skype
Pingback: generic for viagra
Pingback: cheap viagra
Pingback: Vratar Galaktiki Film, 2020
Pingback: buy viagra online usa
Pingback: order viagra online
Pingback: Vratar
Pingback: Cherkassy 2020
Pingback: chernobyl-hbo-2019-1-sezon
Pingback: viagra alternative
Pingback: cialis buy online
Pingback: moskva-psiholog
Pingback: viagra pills
Pingback: batmanapollo.ru
Pingback: sildenafil vs tadalafil
Pingback: buy viagra pills
Pingback: viagra vs cialis
Pingback: online viagra
Pingback: 323
Pingback: 525
Pingback: tadalafil cialis
Pingback: dom2-ru
Pingback: online casino games
Pingback: Tenet Online
Pingback: casino slot games
Pingback: is it possible for me to buy viagra from canada
Pingback: can i buy viagra over the counter in france
Pingback: psy psy psy psy
Pingback: viagra
Pingback: cialis 20mg
Pingback: buy genuine viagra online
Pingback: buy sildenafil
Pingback: viagra
Pingback: cheap cialis tablets
Pingback: krsmi.ru
Pingback: generic viagra pills
Pingback: buy sildenafil online
Pingback: viagra buy
Pingback: canadian pharmacy cialis
Pingback: generic cialis
Pingback: viagra cheap
Pingback: rxtrust pharm
Pingback: viagra price
Pingback: buy sildenafil
Pingback: like-v.ru
Pingback: buy generic drugs without prescription
Pingback: anchor
Pingback: medicine without dr prescription
Pingback: non prescription viagra
Pingback: viagra without doctor prescription
Pingback: shop pharmacie
Pingback: CFOSPUK
Pingback: MAMprEj
Pingback: online cialis
Pingback: generic viagra at walmart
Pingback: cheap tadalafil
Pingback: cialis manufacturer
Pingback: drugs without doctor script
Pingback: viagra price in delhi
Pingback: cialis soft tabs no prescription
Pingback: generic viagra
Pingback: cialis coupons
Pingback: buy cialis uk
Pingback: female viagra pills
Pingback: generic viagra buy uk
Pingback: akmeologiya
Pingback: dizain cheloveka
Pingback: human-design-hd
Pingback: cialis
Pingback: www.viagra.com
Pingback: viagra no doctor prescription
Pingback: cat antibiotics without pet prescription
Pingback: Google
Pingback: cheap ed pills
Pingback: Cheap Erection Pills
Pingback: viagra 10 pills
Pingback: generic cialis
Pingback: College kenya
Pingback: strong herbal incense for sale
Pingback: Buy Lorazepam 2.5 mg online
Pingback: batmanapollo
Pingback: brazzers
Pingback: prescription drugs without doctor approval
Pingback: film
Pingback: Real viagra online
Pingback: compra viagra online
Pingback: best canadian online pharmacy
Pingback: viagra for blood pressure control
Pingback: T-Shirt Printing Kent
Pingback: tsoy
Pingback: sildenafil viagra
Pingback: about canada
Pingback: buy viagra on line
Pingback: cialis 100 mg strength
Pingback: buying amoxicillin online
Pingback: female viagra prank
Pingback: contextual backlinks
Pingback: stendra vs viagra
Pingback: generic viagra 100mg
Pingback: bitcoin wallet
Pingback: sildenafil and alcohol
Pingback: real viagra online pharmacy
Pingback: how to use cialis
Pingback: sildenafil
Pingback: instant online payday loans
Pingback: female viagra pills
Pingback: 44548
Pingback: 44549
Pingback: cost of cialis
Pingback: hod-korolevy-2020
Pingback: what is female viagra
Pingback: coupons for viagra
Pingback: generic viagra sale
Pingback: atorvastatin preg
Pingback: HD
Pingback: Buy Adderall Capsules
Pingback: parrot for sale
Pingback: 158444
Pingback: better than viagra
Pingback: Viagra alternative
Pingback: levitra online
Pingback: groznyy-serial-2020
Pingback: Buy Atarax 25mg online
Pingback: viagra cheap
Pingback: cialis 10mg or 20mg
Pingback: Buy cheap viagra internet
Pingback: custom essays essay help
Pingback: cialis online
Pingback: 38QvPmk
Pingback: bitly.com/doctor-strange-hd
Pingback: bitly.com/eternals-online
Pingback: VOITURE AMERICAINE 2020
Pingback: bitly.com/maior-grom
Pingback: matrica-film
Pingback: dzhonuikfilm4
Pingback: bitly.com/batman20212022
Pingback: bitly.com/venom-2-smotret-onlajn
Pingback: bitly.com/nevremyaumirat
Pingback: bitly.com/kingsmankingsman
Pingback: bitly.com/3zaklyatie3
Pingback: bitly.com/1dreykfilm
Pingback: bitly.com/topgunmavericktopgun
Pingback: bitly.com/flash2022
Pingback: bitly.com/fantasticheskietvari3
Pingback: viagra amsterdam
Pingback: https://writemypaperbuyhrd.com
Pingback: thesiswritinghelpsjj.com
Pingback: custom essay writing company
Pingback: online dissertation writing
Pingback: essays on the help
Pingback: buy runtz online
Pingback: mba essay services
Pingback: online pharmacy viagra
Pingback: thesis proposal writing service
Pingback: custom research paper
Pingback: BUY MEXICAN SOMA PILLS
Pingback: Best price for generic viagra
Pingback: how to use a realistic dildo
Pingback: 우리카지노
Pingback: 퍼스트카지노
Pingback: viagra for sale
Pingback: cloud accounting singapore
Pingback: ed meds online without doctor prescription
Pingback: 1444
Pingback: cialis 20 mg
Pingback: cheap Prednisone
Pingback: is there sulfa in augmentin
Pingback: levitra dosage
Pingback: is viagra safe to take
Pingback: cause of ed
Pingback: viagra mistake
Pingback: Jungle boys SunSet Sherbert
Pingback: allery reaction to cephalexin
Pingback: buy cialis
Pingback: Buy DMT Online bitcoin
Pingback: ciprofloxacin hcl precautions
Pingback: oxybutynin uses
Pingback: buy real viagra online
Pingback: viagra cost
Pingback: viagra vs cialis
Pingback: tizanidine with alcohol
Pingback: 샌즈카지노
Pingback: canadian pharmacies online
Pingback: 메리트카지노
Pingback: aripiprazole partial agonist properties
Pingback: allopurinol classification
Pingback: zithromax generic cost
Pingback: amiodarone florinef interaction
Pingback: 코인카지노
Pingback: Growing magic mushrooms
Pingback: cheap generic viagra
Pingback: audiobooks in Russian online
Pingback: is amitriptyline
Pingback: cocaine for sale
Pingback: sme loan singapore
Pingback: generic viagra
Pingback: amlodipine besylate 10 mg side effects
Pingback: amoxicillin stomach pain
Pingback: viagra by mail go
Pingback: خرید ممبر تلگرام
Pingback: ed meds
Pingback: abilify add on only
Pingback: walmart pharmacy price check
Pingback: private detectives agency in spaini
Pingback: private investigators spain
Pingback: atorvastatin webmd
Pingback: Gelato Strain
Pingback: azithromycin package insert
Pingback: buy Aciclovir
Pingback: baclofen hot flashes
Pingback: Lisa Ann Porn
Pingback: fda approved canadian online pharmacies
Pingback: buy viagra in singapore
Pingback: canadian pharmacy
Pingback: baclofen pump support doctors bedford tx
Pingback: Women’s Crocodile Leather Patterned Shoulder Bag
Pingback: bupropion hcl xl 150 mg
Pingback: viagra
Pingback: t shirt printing
Pingback: Hindistan Cevizi Yağı Yüz
Pingback: buspar dose
Pingback: Mink Eyelashes Set
Pingback: False Eyelashes Set
Pingback: Soft Faux Mink Individual Lashes
Pingback: Professional Make up Tool Set
Pingback: Colorful Waterproof Silicone Face Cleansing Brush
Pingback: Reusable Natural 3D Mink Eyelashes
Pingback: Waterproof Eyebrow Pen
Pingback: Makeup Brushes 12 pcs Set
Pingback: buspar and indomethacin
Pingback: Professional Champagne Color Makeup Brushes
Pingback: Soft Makeup Brushes
Pingback: Champagne Makeup Brushes Set
Pingback: Waterproof Strong Eyelash Glue
Pingback: Natural Soft Mink Eyelashes
Pingback: Nail Polish Remover Wipes
Pingback: Magnetic False Eyelashes and Eyeliner Set
Pingback: Professional Ceramic Hair Curler
Pingback: cbd and carvedilol
Pingback: Mink Magnetic Eyelashes
Pingback: Colorful Nail Art Dotting Pens Set
Pingback: Women’s Mink 3D Faux Eyelashes Set 5 Pcs
Pingback: viagra
Pingback: Eyeshadow Palette Makeup
Pingback: celebrex heart
Pingback: cheap viagra
Pingback: Sosyal Bilgiler Konu Anlatýmý
Pingback: citalopram 10mg
Pingback: buy viagra for cheap
Pingback: Women’s Aloe Lip Balm
Pingback: Waterproof Lipstick Set
Pingback: viagra prank
Pingback: Flower Nail Stickers
Pingback: UV LED Nail Gel
Pingback: amoxicillin for sale online
Pingback: Anti-aging Face Steamer
Pingback: Disposable Eyelash Brushes 50 pcs Set
Pingback: Waterproof Shimmer Lipstick
Pingback: Elegant Pearls Hairband for Women
Pingback: where to buy amoxicillin
Pingback: vardenafil dosage
Pingback: Goat Hair Eye Makeup Brushes 15 Pcs Set
Pingback: Double-headed Gradient Color Nail Art Brush
Pingback: Metal Alligator Hair Clips
Pingback: Disposable Lipgloss Brush Set
Pingback: 3D Soft Wispy Mink Hair False Eyelashes Set
Pingback: Y Shaped Facial Massage Roller
Pingback: Aluminium Foil Nail Polish Remover
Pingback: join vk
Pingback: vk login
Pingback: Disposable Eyelash Brushes
Pingback: Crystal Nail Art Brushes
Pingback: mom slips son viagra
Pingback: benadryl 50 mg capsules
Pingback: zyrtec 20mg
Pingback: viagra 6 free sample
Pingback: mail order viagra
Pingback: cheap generic viagra
Pingback: female cialis experience
Pingback: buy viagra online canada
Pingback: why no generic viagra yet
Pingback: cialis and diabetes
Pingback: buy cialis otc pharmacies
Pingback: can you buy zithromax over the counter
Pingback: money order viagra
Pingback: amoxicillin 250 mg price in india
Pingback: svaty7sezon
Pingback: svaty 7 sezon
Pingback: svaty 7
Pingback: nytimes
Pingback: cialis daily 5mg
Pingback: norwaytoday
Pingback: canadian pharmacy reviews
Pingback: viagra definition
Pingback: dutchnews
Pingback: buy sildenafil
Pingback: cphpost
Pingback: aftonbladet
Pingback: cialis black box warning
Pingback: spiegel
Pingback: cialis purchase canada
Pingback: generic cialis
Pingback: postimees
Pingback: cialis 20 mg
Pingback: lemonde
Pingback: mens viagra
Pingback: gayhub
Pingback: generic cialis express delivery
Pingback: medications without a doctor's prescription
Pingback: helsinkitimes
Pingback: 1xbet mobi
Pingback: self cumming dildo
Pingback: icelandreview
Pingback: anal ease
Pingback: thesouthafrican
Pingback: mature porn
Pingback: موقع كورة
Pingback: how to enjoy g spot sex toys
Pingback: اغانى
Pingback: Japanese Porn Land
Pingback: Trans Hub Porn
Pingback: best deals on genaric viagra
Pingback: xvideo2
Pingback: sildenafil uk pharmacy
Pingback: Percocet for sale
Pingback: can amoxicillin cause constipation
Pingback: azithromycin tablets 250 mg
Pingback: is there cannobis in celebrex
Pingback: does keflex help sinus infection
Pingback: how to buy viagra generico
Pingback: cymbalta assistance
Pingback: cheap generic viagra
Pingback: Ragdoll kittens for sale
Pingback: GayHub
Pingback: English bulldog puppies for sale
Pingback: does amoxicillin treat uti
Pingback: hindu kush strain for sale
Pingback: 141genericExare
Pingback: cialis free trial voucher 2021
Pingback: cheap cialis
Pingback: Mining
Pingback: lajwdwgc
Pingback: Twink Gay Porn
Pingback: MILF Porn
Pingback: tik tok
Pingback: medicine for impotence
Pingback: how much does azithromycin cost
Pingback: Mountain bike clothing
Pingback: medicine for erectile
Pingback: Digital Marketing Services
Pingback: yiscwwwr
Pingback: best ed pills non prescription
Pingback: how to cure ed
Pingback: celebrex generic name
Pingback: is cephalexin broad spectrum
Pingback: how long does viagra stay in your blood
Pingback: best kratom vendors
Pingback: how can i buy viagra without seeing a doctor
Pingback: waar kan ik cialis kopen
Pingback: wanneer helpt viagra
Pingback: duloxetine for neuropathy
Pingback: how long for ivermectin toxicity to start in dogs
Pingback: viagra for sale
Pingback: how long for azithromycin to cure chlamydia
Pingback: lasix 100mg
Pingback: viagra available in delhi
Pingback: AutoGuard Tires
Pingback: HARDCORE OG DANK VAPES
Pingback: 샌즈카지노
Pingback: 우리카지노
Pingback: buy bactrim generic
Pingback: 메리트카지노
Pingback: 퍼스트카지노
Pingback: 코인카지노
Pingback: THC Cartridge
Pingback: minocycline generic
Pingback: augmentin tablets
Pingback: 100 mg sildenafil
Pingback: order stromectol online
Pingback: click here
Pingback: anaimmi
Pingback: best cbd oil
Pingback: voyage en cargo
Pingback: cbd oil for anxiety
Pingback: cialis 5 mg precio en farmacia espaГ±a
Pingback: best cbd gummies
Pingback: best cbd oil for dogs
Pingback: cialis
Pingback: best cbd for dogs
Pingback: best cbd oil for dogs
Pingback: viagra over the counter usa
Pingback: workouts to get better at sex
Pingback: best cbd gummies
Pingback: Sphynx Kittens for sale
Pingback: p spot toy
Pingback: house to rent singapore
Pingback: when will cialis go generic
Pingback: red maeng da kratom
Pingback: green maeng da kratom
Pingback: legitimate cialis by mail
Pingback: white maeng da kratom
Pingback: viagra
Pingback: working visa
Pingback: viagra fedex
Pingback: buy instagram followers
Pingback: cbd for sale
Pingback: write essay service
Pingback: who can write my research paper
Pingback: virtual card buy for online shopping
Pingback: how to write an essay about my hero
Pingback: help writing an essay for college
Pingback: apa essay for business ethics
Pingback: 레플리카 사이트
Pingback: Alpine Star Strain
Pingback: مزاداتي
Pingback: clubhouse invite
Pingback: BUY PERCOCET TABLETS ONLINE