ಪಾಲುಗಳು (fractions) – ಭಾಗ 2

ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳೆಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂರು ಬಗೆಗಳಾದ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳು, ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳು ಹಾಗು ಬೆರಕೆ ಪಾಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡೆವು, ಇನ್ನೂ ಮುಂದುವೆರೆದು ಅದರ ಮತ್ತಿತರ ಬಗೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

4. ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳು (Equivalent fractions):

ಯಾವುದೇ ಒಂದಿಷ್ಟು ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳನ್ನು ಎರಡು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ, ನಾಲ್ಕು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಮತ್ತು ಎಂಟು ಸರಿಪಾಲಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗು ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕದ ಅರ್ಧಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೋಡೋಣ.

(ಗಮನಿಸಿ: ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಾಗ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಅಥವಾ ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡಿದ್ದೇವೆ).

ಬಗೆ 1:
ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತೊಂದು ಪಾಲಿನ ಬೆಲೆ ಬಂದರೆ ಅವೆರೆಡು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗುತ್ತವೆ.

ಮೊದಲನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/2, ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗೆ 4 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (4×1)/(4×2) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 2/4, ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗೆ 2 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (2×2)/(2×4) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 4/8, ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗೆ 1 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (1×4)/(1×8) = 4/8 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮೂರು ದುಂಡುಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಹಾಗಾಗಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಎಲ್ಲಾ ಪಾಲುಗಳ ಬೆಲೆ 4/8 ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಿಯಾಯಿತು ಹಾಗು ಇಲ್ಲಿ ಎಂಟರಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಅಂದರೆ ಅರ್ಧಭಾಗ ಎಂದಾಯಿತು, ಹಾಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ದುಂಡುಕದ ಅರ್ಧ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

ಬಗೆ 2:

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಒಂದನೇ ಪಾಲು, ಪಾಲು1 = ಮೇಲೆಣಿ1/ಕೀಳೆಣಿ1 ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲು , ಪಾಲು2 = ಮೇಲೆಣಿ2/ಕೀಳೆಣಿ2 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗಳನ್ನು ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿದಾಗ ಮೊತ್ತ1= ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೀಳೆಣಿ2 , ಮೊತ್ತ 2= ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೀಳೆಣಿ1, ಮೊತ್ತ1 = ಮೊತ್ತ2 ಆದಾಗ ಅವುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಬಗೆಯನ್ನು ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ದುಂಡುಕಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡೋಣ.

ಪಾಲು 1/2 ಮತ್ತು 2/4 ಗಳ ಕೀಳೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ

(ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೀಳೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೀಳೆಣಿ1) 1 x 4 =4 ಮತ್ತು 2 x 2 =4

ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 4 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 1/2 ಮತ್ತು 2/4 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಪಾಲು 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಗಳ ಕೀಳೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ (ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೀಳೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೀಳೆಣಿ1) 2 x 8 =16 ಮತ್ತು 4 x 4 =16

ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 16 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಪಾಲು 1/2 ಮತ್ತು 4/8 ಗಳ ಕೀಳೆಣಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಬಗೆಯಂತೆ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ (ಮೇಲೆಣಿ1 x ಕೀಳೆಣಿ2 ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ2 x ಕೀಳೆಣಿ1) 1 x 8 =8 ಮತ್ತು 4 x 2 =8, ಇಲ್ಲಿ ಓರೇ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮೊತ್ತ 8 ನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ 1/2 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.
ಹಾಗಾಗಿ 1/2 , 2/4 ಮತ್ತು 4/8 ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ1:

ಒಂದೇ ಅಳತೆಯ ಮೂರು ಕಾಗದದ ತುಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿಬಣ್ಣವನ್ನು ಬಳಿಯಲಾಗಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾದ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಮೊದಲ ಬಗೆ1 ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಮೊದಲನೇ ಕಾಗದದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/3, ಮೇಲೆಣಿ ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗೆ 4 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (4×1)/(4×3) = 4/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 1/6, ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗೆ 2 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (2×1)/(2×6) = 2/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲು 3/12, ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗೆ 1 ನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ (1×3)/(1×12) = 3/12 ಆಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಗದದಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬೆಲೆಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬರುವುದರಿಂದ ಮೂರು ಕಾಗದದಗಳಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಹಾಗಾಗಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ಪಾಲುಗಳು ಸರಿ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲ.

ಚಟುವಟಿಕೆ2:

1/2, 2/3, 5/7, 6/18, 7/28, 9/4, 9/45, 7/2 ಪಾಲುಗಳಿಗೆ ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತಕ್ಕು ಪಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿ.

ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ (Numerator) ಮತ್ತು ಕೀಳೆಣಿಗಳಿಗೆ (Denominator) ಬಿಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (Whole number) ಗುಣಿಸಿ ಅದರ ಇನ್ನೊಂದು (Multiply) ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 5/7 = (2 x 5)/(2 x 7) = 10/14, ಆದ್ದರಿಂದ 5/7 ರ ಸರಿಬೆಲೆಯ ಪಾಲು 10/14.

ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೀಳೆಣಿಗಿಂತ (Denminator) ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದು ತಕ್ಕುದಾದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (Proper fraction).

ಪಾಲೆಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿಯು (Numerator) ಕೀಳೆಣಿಗಿಂತ (Denominator) ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ತಕ್ಕುದಲ್ಲದ ಪಾಲುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ (Improper fraction).

5. ಸರಿಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು (Like fractions):
ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಕೀಳೆಣಿಗಳು (Denominator) ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಿಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೂರು ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಚೌಕದ ಎರಡನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಿದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯೋಣ
• ಒಂದನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 1/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಎರಡನೇ ಚೌಕದ ಎರಡನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 2/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಮೂರನೇ ಚೌಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಕೆಂಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಲನ್ನು 3/4 ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.
• ಒಂದನೇ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಚೌಕಗಳ ಕೀಳೆಣಿಗಳು 4 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳು ಸರಿಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ.

6. ಹೋಲದ ಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು (Unlike fractions):
ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಕೀಳೆಣಿಗಳು (Denominator) ಬೇರೆ ಬೇರೆಯದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಹೋಲದ ಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೂರು ಆರ್ಬದಿಗಳ (Hexagonal) ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿರುವ ಪಾಲುಗಳು ಹೋಲದ ಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

• ಮೊದಲನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ಎರಡನೇ ಒಂದು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 1/2 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಎರಡನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ಮೂರನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 2/3 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಮೂರನೇ ಆರ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 3/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಆರ್ಬದಿಯ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾದ ಪಾಲುಗಳು 1/2, 2/3, 3/4, ಇಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳ ಕೀಳೆಣಿಗಳು 2, 3 ಮತ್ತು 4 ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳು ಹೋಲದ ಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾಗಿವೆ (Unlike Fractions).

ಚಟುವಟಿಕೆ: ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಎರಡು ದುಂಡುಕಗಳು (Circles) ಮತ್ತು ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಎರಡು ದುಂಡುಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ದುಂಡುಕ ಹೋಲದ ಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

• ಮೊದಲನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ಮೂರು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 3/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಎರಡನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ಏಳು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 7/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಮೂರನೇ ದುಂಡುಕದ ಎಂಟನೇ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 4/8 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಎರಡು ಪಾಲಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲನ್ನು 2/4 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
• ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲುಗಳು 3/8, 7/8, 4/8, 2/4. ಮೊದಲ ಮೂರು ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲಿನ ಕೀಳೆಣಿ 8 ಆಗಿದೆ, ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕದ ಬಣ್ಣದ ಪಾಲಿನ ಕೀಳೆಣಿ 4 ಆಗಿದ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹಸಿರು ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ನಾಲ್ಕನೇ ದುಂಡುಕವು ಹೋಲದ ಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:
ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಹೋಲದ ಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನು(Unlike fractions) ಕೊಟ್ಟಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಹೇಗೆಂದರೆ ಪಾಲುಗಳ ಕೀಳೆಣಿಗಳನ್ನು ಸರಿ ಕೀಳೆಣಿ ಗಳಾಗಿರುವಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಗುಣಿಸುವಾಗ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯಾ ಪಾಲುಗಳ ಮೇಲೆಣಿಗೂ ಕೂಡ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಕೀಳೆಣಿ ಆದಾಗ ಪಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದಿದಿಯೋ ಅದು ದೊಡ್ಡಪಾಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲೆಣಿ ಚಿಕ್ಕದಿದಿಯೋ ಅದು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು 5/6 ಮತ್ತು 4/5 ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಪಾಲು 5/6 = (5 x 5)/(6 x 5) = 25/30 ಮತ್ತು ಪಾಲು 4/5 = (4 x 6)/(5 x 6) = 24/30, ನಾವುಗಳು ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳ ಕೀಳೆಣಿಗಳು ಸರಿಬರುವಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಮೊದಲ ಪಾಲಿನ ಕೀಳೆಣಿ 6 ಕ್ಕೆ 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 30 ಆಯಿತು ಎರಡನೇ ಪಾಲಿನ ಕೀಳೆಣಿ 5 ಕ್ಕೆ 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 30 ಆಯಿತು, ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳು ಸರಿಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳಾದವು.

ಮೊದಲ ಪಾಲು 5/6 = 25/30 ನ್ನು ಎರಡನೇ ಪಾಲು 4/5 = 24/30 ಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಮೊದಲಿನ ಪಾಲಿನ ಮೇಲೆಣಿ ದೊಡ್ಡದಿದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಪಾಲು 5/6 = 25/30 ದೊಡ್ಡ ಪಾಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪಾಲು 4/5 = 24/30 ರಲ್ಲಿ ಮೇಲೆಣಿ ಎರಡನೇ ಪಾಲಿಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಿದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ಚಿಕ್ಕ ಪಾಲು.

ಚಟುವಟಿಕೆ: ಕೆಳಗಿನ ಜೊತೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡ ಪಾಲು ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
ಪಾಲುಗಳು
ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಸರಿಕೀಳೆಣಿ ಪಾಲುಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆದು ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು ಎಂದು ಹಿಡಿಯಬಹುದು

ಎಣಿಕೆಯ ಗೆರೆ ಎಳೆದು ಪಾಲುಗಳ ಹತ್ತಿರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:
• ಎರಡು ಪಾಲುಗಳ ಹತ್ತಿರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಗೆರೆ ಎಳೆದು ಅದರ ಮೇಲೆ ಪಾಲುಗಳ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
• ಎರಡು ಗೆರೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಡಬದಿಯಿಂದ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಪಾಲುಗಳ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.
• ಎರಡು ಗೆರೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಪಾಲು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದರ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/4, 1/2, 3/4 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದರ ಐದು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿ ಯಾವ ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿದಾಗ 1/4 ಮತ್ತು 1/5, 3/4 ಮತ್ತು 4/5 ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಒಂದರ ನಾಲ್ಕು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/4, 1/2, 3/4 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದರ ಐದು ಪಾಲುಗಳಾದ 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 ಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿ ಯಾವ ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಎರಡು ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಿದಾಗ 1/4 ಮತ್ತು 2/7, 1/2 ಮತ್ತು 4/7, 3/4 ಮತ್ತು 5/7 ಪಾಲುಗಳು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಮುಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಪಾಲುಗಳ ವಿಶೇಷತೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕೂಡುವುದು, ಕಳೆಯುವುದು, ಗುಣಿಸುವುದು ಭಾಗಿಸುವುದರ ಬಗ್ಗೆ ಹಾಗು ಪಾಲಿನ ಹಳಮೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ

(ಮಾಹಿತಿ ಸೆಲೆಗಳು:
 learnnext.com,  ask-math.com, metal.brightcookie.com, study.com/academy/, basic-math-explained.com, math-only-math.com, images.tutorvista.com, ilmoamal.org, ಐದನೇ ತರಗತಿಯ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ)