ನಾಲ್ಬದಿಗಳು (Quadrilaterals) ಭಾಗ-2

ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಬದಿಗಳು ಎಂದರೇನು, ಅವುಗಳ ಹಲವು ಬಗೆಗಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹಿರಿಮೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡೆವು. ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆದು ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ (Perimeter), ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು (Area), ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು(Angles) ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಬಗೆಯನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ ಹಾಗು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹಳಮೆಯನ್ನು (History of Quadrilaterals) ತಿಳಿಯೋಣ ಬನ್ನಿ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ, ಮೂಲೆ, ಹರವುಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

Picture21. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ (Perimeter of the Quadrilaterals):

ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

Image1 QuP2

ಮೇಲಿನ ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಆದರ ಬದಿಗಳು AD, DC, CB ಮತ್ತು BA ಆಗಿವೆ ಹಾಗು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ P ಆಗಿರಲಿ.

ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = AD + DC + CB + BA

 

ಉದಾಹರಣೆ 1 :  ಕೆಳಗಿನ ADCB ಗಾಳಿಪಟವನ್ನು (Kite) ತೆಗೆದ್ದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬದಿಗಳು AD = 2cm, DC = 4cm, CB = 4cm ಮತ್ತು BA = 2cm ಆಗಿವೆ ಹಾಗು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ P ಆಗಿರಲಿ.

Image2 QuP2ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = AD + DC + CB + BA = 2 + 4 + 4 + 2 = 12cm

ಗಾಳಿಪಟ ADCB ಸುತ್ತಳತೆ P = 12cm

 ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಹರಳಾಕೃತಿ (Rombus) ADCB ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಅದರ ಒಂದು ಬದಿ AB = 3cm ಆಗಿದೆ, ಹಾಗಾದರೆ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆಯೆಷ್ಟು?

Image3 QuP2ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ನಾವುಗಳು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಹರಳಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ,

AD = DC = CB = BA = 3cm.

ಸುತ್ತಳತೆ P = ಬದಿ1 + ಬದಿ2 + ಬದಿ3 + ಬದಿ4 = AD + DC + CB + BA = 3 + 3 + 3 + 3 = 12cm.

ಹರಳಾಕೃತಿ ADCB ಸುತ್ತಳತೆ P = 12cm.

 ಉದಾಹರಣೆ 3: ಕೆಳಗಿನ ಒಂದು ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿ (Tangential quadrilateral) ABCDಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರ ಬದಿಗಳು DA = 7cm, CD = 4.5cm, BC = 2.5cm ಆದಾಗ ಅದರ ಬದಿ AB ಯ ಉದ್ದವೆಷ್ಟು?

Image4 QuP2ಒಂದು ದುಂಡುಕದ (Circle) ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ತಗಲುಗೆರೆಗಳು (Tangent lines) ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಾಗ ಅದು ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಇನ್ನೊಂದು ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತ AD + BC = DC + AB.

ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿ (Tangential quadrilateral) ABCD  ಬದಿಗಳು DA = 7cm, CD = 4.5cm, BC = 2.5cm.

7 +  2.5 =  4.5 +AB

9.5 = 4.5 + AB

AB = 9.5 – 4.5 = 5cm

ತಗಲು ನಾಲ್ಬದಿ ABCD ಯಲ್ಲಿ  AB ಬದಿಯ ಉದ್ದ 5cm ಆಗಿದೆ.

 2. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ.

ಹೇಳಿಕೆ:ಯಾವುದೇ ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ”.

ತೋರಿಸಿಕೆ (Proofs):

Image5 QuP2ABCD ಎಂಬ ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ AC ಎಂಬ ಒಂದು ನಡುಗೆರೆಯನ್ನು (Bisector Line) ಎಳೆಯೋಣ

ನಡುಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಗುರುತಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ .

1 + 2 = A …… (i)

3 + 4 = C …… (ii)

ನಡುಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆದಾಗ ನಮಗೆ ABC  ಮತ್ತು ACD ಎಂಬ ಎರಡು ಮೂರ್ಬದಿಗಳು (Triangles) ಸಿಗುತ್ತದೆ.

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಯಾವುದೇ ಮೂರ್ಬದಿ ಒಳಮೂಲೆಯ ಮೊತ್ತವು 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.  

ABC ಯಲ್ಲಿ

2 + 4 + B = 180°

ACD ಯಲ್ಲಿ

1 + 3 + D = 180°

ABC ಮತ್ತು ACD ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿದಾಗ 2 + 4 + B + 1 + 3 + D = 360°  ಆಗುತ್ತದೆ.

(1 + 2) + B + (3 + 4) + D = 360°

A + B + C + D = 360°  [(i) ಮತ್ತು (ii) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ]

ಯಾವುದೇ ಸುಳುವಾದ ನಾಲ್ಬದಿಯ (Simple Quadrilateral) ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

 ಉದಾಹರಣೆ 1: ಕೆಳಗಡೆ WZYX ಎಂಬ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ  (Cyclic quadrilateral) ಮೂಲೆ WXY  = 106° ಮತ್ತು ಮೂಲೆ XYZ  = 87° ಆದಾಗ ಅದರ ಉಳಿದೆರಡು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

Image6 QuP2ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ತುದಿಗಳು (Vertices) ದುಂಡುಕದ ಮಯ್ಯನ್ನು (Circumference) ತಗಲಿದಾಗ ಅದು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಹಾಗು ಯಾವುದೇ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತ 180° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

WXY + YZW= XYZ+ ZWX= 180°

106° + YZW = 87° + ZWX = 180°

 YZW = 180° – 106° = 74° 

ZWX = 180° – 87° = 93° 

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಉಳಿದೆರಡು ಮೂಲೆಗಳು  YZW = 74° ಮತ್ತು ZWX = 93° ಆಗಿವೆ.

ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ WXY + YZW + XYZ+ ZWX = 106° + 74° +87° +93°  = 360° 

ಅಲ್ಲಿಗೆ ನಾವು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದಂತಾಯ್ತು.

 ಉದಾಹರಣೆ 2: BADC ಎಂಬ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ (Parallelogram) ಒಂದು ಮೂಲೆ ABC = 120°  ಆದಾಗ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Image7 QuP2ಯಾವುದೇ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎದುರು ಮೂಲೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ABC = CDA ಮತ್ತು DAB = BCD

ಇಲ್ಲಿ ABC =120°  ಆಗಿರುವುದರಿಂದ CDA = ABC =120°  ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವುಗಳು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಒಳಮೂಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 360° ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

 ABC + CDA + DAB + BCD =360°

120°  + 120°  + DAB + BCD =360°

DAB + BCD = 360° – 120° -120° = 120°

ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ  DAB = BCD ಆಗಿದೆ.

DAB+ DAB = 120° = 2 x DAB = 120°

DAB = 120°/2 = 60 ° ಮತ್ತು  BCD = DAB = 60°

BADC ಎಂಬ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಮೂಲೆಗಳು ABC  = 120° , CDA = 120° , DAB = 60° , BCD = 60°   ಆಗಿವೆ.

 3. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ (Area of Quadrilateral)

ನಾವು ಹಿಂದೆ ಚೌಕ ಎಂಬ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಚೌಕದ ಹರವಿನ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದೆವು, ಚೌಕದ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಹರವನ್ನು ಬದಿ x ಬದಿ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಆಯತದ ಹರವನ್ನು ಉದ್ದ x ಅಗಲ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬಗೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬದಿಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾಗ ಚೌಕ ಮತ್ತು ಆಯತದಂತೆ ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಗದು. ಹಾಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸರಿಹೋಗುವಂತೆ ಕೆಳಗಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Equation) ಅನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

Image8 QuP2ನಾಲ್ಬದಿ (Quadrilateral): ABCD

ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು (Diagonals): p,q

ಬದಿಗಳು: AD = d, DC = c, CB = b, BA = a

ಅರೆಸುತ್ತಳತೆ (Semi-Perimeter) s = 1/2 x (a + b + c + d ). 

ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಮೂಲೆ: θ

ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬಗೆಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳ ಬದಿಗಳು, ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲೆಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಆಯಾ ನಾಲ್ಬದಿಗೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಮೇಲಿನ ಸರಿಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು (Equation) ಸರಳವಾಗಿಸಿ ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಹಾಗು ಅವುಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಬಳಸೋಣ.

tableಉದಾಹರಣೆ 1: ABCD ಸಾಟಿ ಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯಲ್ಲಿ (Trapezoid) ಸಾಟಿಬದಿಗಳು (Parallel sides) b1 = 10cm, b2 = 8cm ಆಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರ h = 5cm ಆದಾಗ ಅದರ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 Image10 QuP2

ಸಾಟಿ ಬದಿಗಳು (Parallel side) b1 = 10cm, b2 = 8cm , ಎತ್ತರ h = 5cm

ಸಾಟಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು A = 1/2  x ಎತ್ತರ x (ಸಾಟಿಬದಿ1 + ಸಾಟಿಬದಿ2) = 1/2  x h x (b1 + b2)

A = 1/2  x 5 x (10 + 8) = 1/2  x 5 x (18) = 90/2 = 45 cm2

  ABCD ಸಾಟಿಇಬ್ಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು 45 cmಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಟ್ಟಡವು ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿದೆ (Parallelogram), ಅದರ ಒಂದು ಗೋಡೆಯ (wall) ಸಾಟಿಬದಿಯ ಬುಡವು (Parallel base) 25m  ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 15m ಆದಾಗ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಗೋಡೆಯ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

Image11 QuP2ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಟ್ಟಡದ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುವ ಗೋಡೆಯನ್ನು ABCD ಎಂದು ಗುರುತಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ,

ಸಾಟಿಬದಿಯ ಬುಡ BC = AD = 25m, ಎತ್ತರ = 15m.

ಸಾಟಿಬದಿಯ ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು A = ಬುಡ x ಎತ್ತರ = b x h.

A = 25 x 15 = 375 m2

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಟ್ಟಡದ ಸಾಟಿಬದಿ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಗಿರುವ ಗೋಡೆ ABCD ಹರವು 375 m2 ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಗಾಳಿಪಟದ ಎದುರು ತುದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಉದ್ದಗಳು AC = 2 ft ಮತ್ತು BD = 1.5 ft ಆಗಿವೆ, ಬಾನಂಗಳದಲ್ಲಿ ಹಾರುತ್ತಿರುವ ಈ ಅಂದವಾದ ಬಣ್ಣ ಬಣ್ಣದ ಗಾಳಿಪಟದ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

Image12 QuP2ಗಾಳಿಪಟವನ್ನು ABCD ಎಂದು ಗುರುತಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಗಾಳಿಪಟದ ಎದುರು ತುದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಉದ್ದಗಳು AC = d1 =2 ft ಮತ್ತು BD = d2 =1.5 ft ಅದರ ಮೂಲೆಗೆರೆಗಳಾಗಿವೆ (Diagonals).

ಗಾಳಿಪಟದ ಹರವು A = 1/2 x ಮೂಲೆಗೆರೆ1 x ಮೂಲೆಗೆರೆ2 = 1/2 x d1 x d2

A = 1/2 x d1 x d2 = 1/2 x 2 x 1.5 = 1.5 ft2

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅಂದವಾದ ಬಣ್ಣ ಬಣ್ಣದ ಗಾಳಿಪಟ ABCD ಹರವು 1.5 ftಆಗಿದೆ.

 ಉದಾಹರಣೆ 4:  ABCD ಎಂಬ ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ (Cyclic Quadrilateral) ಬದಿಗಳು AB = 3.5cm, BC = 3cm, CD = 2.5cm, DA = 1.5cm ಆಗಿವೆ, ಇದರ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Image13 QuP2ಒಂದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಎಲ್ಲಾ ತುದಿಗಳು (Vertices) ದುಂಡುಕದ ಮಯ್ಯನ್ನು (Circumference) ತಗಲಿದಾಗ ಅದು ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB = a = 3.5cm, BC = b = 3cm, CD = c = 2.5cm, DA = d = 1.5cm ಆಗಿವೆ.

ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು A = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d)

ಇಲ್ಲಿ s ಎಂಬುದು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಅರೆಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿದೆ (Semi-Perimeter), ಹಾಗು s = 1/2 x (a + b + c + d)

s = 1/2 x (3.5 + 3 + 2.5 + 1.5) = 10.5/2 = 5.25cm

A = ( s−a)(s−b)(s−c)(s−d) = (5.25 – 3.5)(5.25 − 3)(5.25 – 2.5)(5.25 – 1.5) = (1.75)(2.25)(2.75)(3.75)

A = 40.60546875 = 6.37225 cm 2

 ∴ ABCD ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವು 6.37225 cm 2 ಆಗಿದೆ.

 ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹಳಮೆ

  • ಸುಮಾರು 300 B.C ಹೊತ್ತಿನ ಗ್ರೀಕಿನ ಹೆಸರಾಂತ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ (Mathematician) ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯ ಹೊತ್ತಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಡಕದಲ್ಲಿ (Euclid’s Elements) ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

Image14 QuP2(ಯೂಕ್ಲಿಡ್)

  • ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ನರು (Babylonians) ಹಲವು ಬಗೆಯ ನಾಲ್ಬದಿಗಳ ಹರವನ್ನು (Area of Quadrilatreal) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತಿದ್ದರು.
  • ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪೆರೋ (Pharaoh) ಅರಸರು ಸುಮಾರು 2700 BC ಇಂದ 500 BC ಗಳವರೆಗೆ ಪಿರಮಿಡ್ಡುಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟಲು ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕಾರದ ಬುಡವನ್ನು (Quadrilateral Base) ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು,Image15 QuP2
  • ಉಜ್ಜಯಿನಿಯ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನು (~500 A.D) ದುಂಡುಸುತ್ತು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಹರವಿನ ( Area of Cyclic Quadrilateral) ಬಗ್ಗೆ ಅರಕೆಮಾಡಿದ್ದನು.
  • ಪೈತಾಗೋರಸ್ (500 B.C) ಒಬ್ಬ ಗ್ರೀಕಿನ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ. ಅವನು ತನ್ನ ಸರಿಮೂಲೆ ಮೂರ್ಬದಿಯ (Right Angle Triangle) ಕಟ್ಟಲೆಯನ್ನು ಒರೆಹಚ್ಚಲು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದ.

 ಚಟುವಟಿಕೆ:

ನೀವು ದಿನಾಲೂ ಕಾಣುವ ನಾಲ್ಬದಿಯಾಕರಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಯಾವ ಬಗೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿರಿ. ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ನಾಲ್ಬದಿಯ ಬಗೆಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

  (ಸೆಲೆಗಳು: socratic.org, thefamouspeople.com, cgm.cs.mcgill.ca, mathsisfun.com, wikipedia.org, geom.uiuc.edu, staff.argyll.epsb.ca)

facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail
Bookmark the permalink.

380 Comments

  1. Pingback: essayforme

  2. Pingback: Cialis daily

  3. Pingback: Viagra great britain

  4. Pingback: Cialis for sale

  5. Pingback: sfgjidfgn443 afeu23na7789 abdu23na7

  6. Pingback: tubepla.net download155 afeu23na4157 abdu23na9

  7. Pingback: download on mobile570 afeu23na9848 abdu23na87

  8. Pingback: 60wzzIstzS

  9. Pingback: hdmobilesex.me

  10. Pingback: buy tadalafil

  11. Pingback: schatshadowrank.mobi find out more here

  12. Pingback: schattopengine.mobi

  13. Pingback: xxxvipsearch.mobi click the following article wrz0N

  14. Pingback: click to continue

  15. Pingback: schatfreese.mobi visit the source

  16. Pingback: please click for source

  17. Pingback: pronbestrank.mobi

  18. Pingback: pronvipse.mobi as reported here Fyu

  19. Pingback: xxxbestrank.mobi

  20. Pingback: schatshadowengine.mobi

  21. Pingback: schatshadowrank.mobi please click for source

  22. Pingback: schatshadowrank.mobi

  23. Pingback: tophookupportal.mobi

  24. Pingback: fastfucksite.mobi article source ixjBP

  25. Pingback: fastsexportal.mobi i'll provide a link

  26. Pingback: fastfuckse.mobi click at this page UqJSC

  27. Pingback: topdatingse.mobi see more sNRAj

  28. Pingback: speedsexsite.mobi visit web page

  29. Pingback: fastsexsearch.mobi more information isg

  30. Pingback: topfucksearch.mobi

  31. Pingback: read an article

  32. Pingback: fastfuckportal.mobi click to continue

  33. Pingback: topsexportal.mobi

  34. Pingback: source

  35. Pingback: oklandbesthomesecurity.info

  36. Pingback: oklandbestsecuritysystems.info

  37. Pingback: oklandtophomeguard.info

  38. Pingback: continued here

  39. Pingback: oklandvipsecuritysystems.us more information LGtj

  40. Pingback: oklandvipsecuritysystems.us

  41. Pingback: oklandvipsecuritysystems.us taken from here

  42. Pingback: oklandtophomeguard.us visit the page

  43. Pingback: click to read more

  44. Pingback: oklandbestsecuritysystems.us here is the link

  45. Pingback: oklandviphomeguard.us

  46. Pingback: oklandviphomeguard.info click to find out more 0O5

  47. Pingback: youtube.com Coub

  48. Pingback: Generic cialis tadalafil

  49. Pingback: generic cialis tadalafil uk

  50. Pingback: tadalafil generic

  51. Pingback: cialis generic name

  52. Pingback: cialis generic

  53. Pingback: cialis generic availability

  54. Pingback: cialis generic availability 2018

  55. Pingback: cialis generic prices

  56. Pingback: cialis generic tadalafil

  57. Pingback: cialis generic pharmacy

  58. Pingback: levitra generic

  59. Pingback: sildenafil citrate

  60. Pingback: levofloxacin 750 mg

  61. Pingback: viagra 100mg

  62. Pingback: sildenafil 100mg

  63. Pingback: azithromycin 250 mg

  64. Pingback: augmentin 875 mg

  65. Pingback: amiodarone 200 mg

  66. Pingback: lipitor generic

  67. Pingback: simvastatin 20 mg

  68. Pingback: best price for viagra

  69. Pingback: diflucan 150 mg

  70. Pingback: levitra 20 mg

  71. Pingback: viagra pills

  72. Pingback: cialis 20mg tablets prices

  73. Pingback: levitra 20mg best price

  74. Pingback: biaxin generic

  75. Pingback: biaxin antibiotic

  76. Pingback: cost of biaxin antibiotic

  77. Pingback: biaxin coupon

  78. Pingback: biaxin coupons

  79. Pingback: fluoxetine hcl

  80. Pingback: fluoxetine 20 mg

  81. Pingback: prozac generic

  82. Pingback: prozac medication

  83. Pingback: fluoxetine 10 mg

  84. Pingback: alprostadil

  85. Pingback: alprostadil price

  86. Pingback: buy cialis

  87. Pingback: cialis oral jelly

  88. Pingback: 2018-2019

  89. Pingback: 2019

  90. Pingback: sildenafil 100mg coupon

  91. Pingback: cleantalkorg2.ru

  92. Pingback: a2019-2020

  93. Pingback: facebook

  94. Pingback: facebook1

  95. Pingback: javsearch.mobi

  96. Pingback: cialis

  97. Pingback: cialis coupon

  98. Pingback: cialis 20mg

  99. Pingback: levitra

  100. Pingback: generic cialis

  101. Pingback: cialis online

  102. Pingback: tadalafil 5mg

  103. Pingback: tadalafil 20mg

  104. Pingback: viagra tablets

  105. Pingback: sildenafil

  106. Pingback: tadalafil

  107. Pingback: cialis dosage

  108. Pingback: cialis prices

  109. Pingback: cialis tablets

  110. Pingback: viagra vs cialis

  111. Pingback: generic viagra

  112. Pingback: viagra connect

  113. Pingback: viagra without doctor prescription

  114. Pingback: viagra natural

  115. Pingback: buy prescription drugs without doctor

  116. Pingback: cialis vs viagra

  117. Pingback: tadalafil 20 mg

  118. Pingback: cialis 20 mg

  119. Pingback: cialis 5 mg

  120. Pingback: cialis pills

  121. Pingback: cheap cialis

  122. Pingback: cialis coupons

  123. Pingback: cialis canada

  124. Pingback: viagra

  125. Pingback: buy viagra

  126. Pingback: viagra online

  127. Pingback: viagra prices

  128. Pingback: viagra generic

  129. Pingback: generic viagra 100mg

  130. Pingback: viagra coupons

  131. Pingback: cheap viagra

  132. Pingback: generic viagra available

  133. Pingback: buy viagra online

  134. Pingback: viagra tablet

  135. Pingback: sildenafil 20 mg

  136. Pingback: sildenafil 100

  137. Pingback: buy biaxin

  138. Pingback: buy ceftin

  139. Pingback: buy chloromycetin

  140. Pingback: buy biaxin online

  141. Pingback: buy ceftin online

  142. Pingback: chloromycetin

  143. Pingback: buy cordarone

  144. Pingback: example.org.17

  145. Pingback: cialis 20mg generic

  146. Pingback: generic cialis 20mg

  147. Pingback: generic cialis available

  148. Pingback: generic cialis tadalafil

  149. Pingback: female viagra

  150. Pingback: sildenafil tablets

  151. Pingback: prednisone 20 mg

  152. Pingback: buy sildenafil

  153. Pingback: sildenafil generic

  154. Pingback: viagra doctor prescription

  155. Pingback: sildenafil 50 mg

  156. Pingback: sildenafil coupons

  157. Pingback: sildenafil 100 mg

  158. Pingback: sildenafil citrate 100mg

  159. Pingback: buy cialis online

  160. Pingback: cialis tadalafil

  161. Pingback: sildenafil citrate tablets

  162. Pingback: sildenafil citrate pricing

  163. Pingback: bactrim ds

  164. Pingback: ceftin antibiotic

  165. Pingback: cephalexin 500mg

  166. Pingback: ciprofloxacin 500mg

  167. Pingback: fluconazole 150 mg

  168. Pingback: levofloxacin 500 mg

  169. Pingback: cefdinir 300 mg

  170. Pingback: bactrim antibiotic

  171. Pingback: 100mg viagra without a doctor prescription

  172. Pingback: natural viagra

  173. Pingback: viagra on line

  174. Pingback: over the counter viagra

  175. Pingback: female viagra pills

  176. Pingback: viagra for men

  177. Pingback: viagra for women

  178. Pingback: viagra without a doctor prescription

  179. Pingback: viagra without a doctor prescription usa

  180. Pingback: viagra medicine online order

  181. Pingback: viagra without doctor prescription usa

  182. Pingback: cialis generico

  183. Pingback: cialis generika

  184. Pingback: tadalafila

  185. Pingback: amitriptyline or cymbalta for pain

  186. Pingback: baclofen and tylenol pm

  187. Pingback: difference sertraline and escitalopram

  188. Pingback: when taking prednisone can you split the dose

  189. Pingback: canadian pharmacy online

  190. Pingback: canada online pharmacies

  191. Pingback: Viagra 5 mg

  192. Pingback: cialis cost

  193. Pingback: Generic cialis

  194. Pingback: cialis cooupons

  195. Pingback: cialis free trial

  196. Pingback: atorvastatin

  197. Pingback: cymbalta

  198. Pingback: atorvastatin 10 mg

  199. Pingback: cymbalta dosage

  200. Pingback: cialis online pharmacy

  201. Pingback: atorvastatin 10mg

  202. Pingback: cymbalta for pain

  203. Pingback: cymbalta generic

  204. Pingback: levitra coupon

  205. Pingback: cymbalta medication

  206. Pingback: levitra dosage

  207. Pingback: cialis side effects

  208. Pingback: cymbalta reviews

  209. Pingback: cymbalta side effects

  210. Pingback: levitra vs viagra

  211. Pingback: cymbalta withdrawal

  212. Pingback: vardenafil

  213. Pingback: duloxetine

  214. Pingback: vardenafil 20 mg

  215. Pingback: duloxetine 20 mg

  216. Pingback: vardenafil 20mg

  217. Pingback: duloxetine hcl

  218. Pingback: duloxetine side effectss

  219. Pingback: duloxetine 60 mg

  220. Pingback: buy cialis generic tadalafil

  221. Pingback: augmentin

  222. Pingback: levaquin

  223. Pingback: augmentin 875

  224. Pingback: levaquin 500 mg

  225. Pingback: buy levitra

  226. Pingback: levaquin 750 mg

  227. Pingback: cheap levitra

  228. Pingback: buy levitra online

  229. Pingback: augmentin and alcohol

  230. Pingback: levaquin antibiotic

  231. Pingback: generic levitra

  232. Pingback: augmentin antibiotic

  233. Pingback: levaquin dosage

  234. Pingback: augmentin dosage

  235. Pingback: levaquin for uti

  236. Pingback: augmentin dose

  237. Pingback: levaquin lawsuit

  238. Pingback: augmentin for dogs

  239. Pingback: cialis 20mg tablet prices

  240. Pingback: levaquin renal dose

  241. Pingback: levitra 20mg

  242. Pingback: augmentin for uti

  243. Pingback: levitra cost

  244. Pingback: levaquin side effects

  245. Pingback: augmentin side effects

  246. Pingback: levaquin uses

  247. Pingback: augmentin uses

  248. Pingback: what is levaquin

  249. Pingback: augmentin vs amoxicillin

  250. Pingback: side effects augmentin

  251. Pingback: levitra online

  252. Pingback: what is augmentin

  253. Pingback: levitra prices

  254. Pingback: cialis pharmacy

  255. Pingback: levitra recviews

  256. Pingback: levitra side effects

  257. Pingback: levitra vs cialis

  258. Pingback: cialis tablets australia

  259. Pingback: cialis without a doctor prescription

  260. Pingback: vardenafil generic

  261. Pingback: vardenafil hcl 20mg

  262. Pingback: what is levitra

  263. Pingback: tadalafil without a doctor prescription

  264. Pingback: free cialis

  265. Pingback: 5mg cialis

  266. Pingback: free cialis coupon

  267. Pingback: cialis copay card

  268. Pingback: free cialis samples

  269. Pingback: cialis patent expiration

  270. Pingback: buying cialis online

  271. Pingback: generic cialis canada

  272. Pingback: canadian cialis

  273. Pingback: cialis coupons printable

  274. Pingback: cialis price

  275. Pingback: generic cialis reviews

  276. Pingback: canadian pharmacy cialis

  277. Pingback: cialis daily

  278. Pingback: cialis professional

  279. Pingback: cialis reviews

  280. Pingback: generic for cialis

  281. Pingback: cheap cialis generic

  282. Pingback: cialis dosage information

  283. Pingback: cialis samples

  284. Pingback: cheap generic cialis

  285. Pingback: cialis drug interactions

  286. Pingback: cialis saving card

  287. Pingback: liquid cialis

  288. Pingback: cialis for sale

  289. Pingback: marley generics cialis

  290. Pingback: cialis for women

  291. Pingback: cialis soft

  292. Pingback: natural cialis

  293. Pingback: cialis 5mg

  294. Pingback: no prescription cialis

  295. Pingback: cialis 5mg coupon

  296. Pingback: cialis from canada

  297. Pingback: cialis walmart

  298. Pingback: non prescription cialis

  299. Pingback: cialis wikipedia

  300. Pingback: online cialis

  301. Pingback: cialis generic canada

  302. Pingback: cialis without prescription

  303. Pingback: otc cialis

  304. Pingback: cialis and alcohol

  305. Pingback: cialis medication

  306. Pingback: cost of cialis

  307. Pingback: tadalista vs cialis

  308. Pingback: cialis black

  309. Pingback: cialis on line

  310. Pingback: discount cialis

  311. Pingback: buy viagra with no prescription

  312. Pingback: dutch women viagra

  313. Pingback: generic viagra online pharmacy

  314. Pingback: cialis over the counter at walmart

  315. Pingback: pfizer generic viagra

  316. Pingback: sildenafil 20 mg tablet vs viagra

  317. Pingback: sophia viagra

  318. Pingback: viagra dosage recommendations

  319. Pingback: viagra for sale

  320. Pingback: viagra online canada pharmacy

  321. Pingback: cialis generic tadalafil 10mg

  322. Pingback: cialis generic tadalafil 60mg

  323. Pingback: cialis generic tadalafil walmart

  324. Pingback: cialis generic tadalafil for sale

  325. Pingback: cialis generic tadalafil india

  326. Pingback: viagra sex

  327. Pingback: cialis prices 10mg

  328. Pingback: viagra side effects

  329. Pingback: cialis prices 100mg

  330. Pingback: viagra without a doctor prescription from canada

  331. Pingback: cialis prices 20mg

  332. Pingback: cialis prices 5mg

  333. Pingback: generic cialis tadalafil 20mg

  334. Pingback: cialis prices walmart

  335. Pingback: generic cialis pricing

  336. Pingback: best place to buy cialis online without script

  337. Pingback: generic viagra sildenafil citrate

  338. Pingback: buy cialis canada online

  339. Pingback: sildenafil 100mg tablets

  340. Pingback: buy cialis online without script

  341. Pingback: sildenafil 20 mg tablet

  342. Pingback: where can i buy cialis over the counter at walmart

  343. Pingback: where to buy cialis online safely

  344. Pingback: sildenafil citrate 20 mg

  345. Pingback: sildenafil dosage

  346. Pingback: sildenafil side effects

  347. Pingback: canadian viagra

  348. Pingback: cost of viagra

  349. Pingback: generic viagra prices

  350. Pingback: herbal viagra

  351. Pingback: marley generic viagra

  352. Pingback: online pharmacy viagra

  353. Pingback: online viagra

  354. Pingback: real viagra

  355. Pingback: viagra alternative

  356. Pingback: viagra cost

  357. Pingback: cialis vs levitra

  358. Pingback: viagra in action

  359. Pingback: viagra online pharmacy

  360. Pingback: generic cialis online

  361. Pingback: viagra pill

  362. Pingback: viagra price

  363. Pingback: levitra generic

  364. Pingback: viagra on line

  365. Pingback: viagra without doctor prescription

  366. Pingback: viagra generic

  367. Pingback: viagra prices

  368. Pingback: pharmacies shipping to usa

  369. Pingback: pharmacies shipping to usa

  370. Pingback: online pharmacies

  371. Pingback: pharmacy

  372. Pingback: canadian pharcharmy

  373. Pingback: cialis

  374. Pingback: buy cialis online

  375. Pingback: pharmacies shipping to usa

  376. Pingback: viagra online

  377. Pingback: viagra generic availability

  378. Pingback: cialis 20 mg best price

  379. Pingback: generic cialis at walmart

  380. Pingback: buy generic cialis

Comments are closed

  • ಹಂಚಿ

    facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail