ದುಂಡುಕ

27/07/2016 ಅರಿಮೆ (Science), ಗಣಿತ

ನಾವು ದಿನಾಲೂ ದುಂಡಾಗಿರುವ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾ ಇರುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬೈಕಿನ ಚಕ್ರಗಳು, ಊಟದ ತಟ್ಟೆಗಳು, ಡಬ್ಬಿಗಳು, 1-2 ರೂಪಾಯಿಯ ಚಿಲ್ಲರೆಗಳು, ಇವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ದುಂಡಾಕಾರವಾಗಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆ. ಅಷ್ಟೇ ಏಕೆ ನಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗುಡ್ಡೆಯಿಂದ ಹಿಡಿದು ಭೂಮಿ, ಸೂರ್ಯ, ಚಂದ್ರ ಎಲ್ಲವೂ ದುಂಡಗಿನ ಆಕಾರದಲ್ಲಿವೆ!.

ದುಂಡಾಕಾರಗಳ ಮೂಲ ದುಂಡುಕದ (Circle) ಬಗ್ಗೆ ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ದುಂಡುಕವು ಚುಕ್ಕೆಗಳಿಂದಾದ ಒಂದು ತಿರುವುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ.
ಇದೊಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ (planar) ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿ.
ದುಂಡುಕದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಚುಕ್ಕೆಗಳು, ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನಿಂದ ಸರಿ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ (Equidistance). ಈ ಸರಿದೂರವನ್ನು ದುಂಡಿ (radius) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ದುಂಡುಕದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಗಳೆಂದರೆ,

ನಡು (Centre): ದುಂಡುಕದ ನಟ್ಟ ನಡುವಿನ ಭಾಗವಿದು.

ದುಂಡಗಲ (Diameter): ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಬದಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಗೆರೆಗೆ ದುಂಡಗಲ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ದುಂಡುಕದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ನಡುವೆ ಎಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಉದ್ದವಾದ ಗೆರೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯವೆಂದರೆ ದುಂಡಗಲವು (diameter), ದುಂಡಿಯ (radius) ಎರಡುಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ದುಂಡಳತೆ (Circumference): ದುಂಡುಕದ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ದುಂಡಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ದುಂಡುಕದ ಇತರ ಭಾಗಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ,

ಬದಿಗೆರೆ (Chord): ದುಂಡುಕದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಗೆರೆ ಇದು. ಗಮನಿಸಿ, ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ದುಂಡಗಲ ಕೂಡ ಒಂದು ಬದಿಗೆರೆ.
ಸೀಳುಗೆರೆ (Secant): ದುಂಡುಕವನ್ನು ಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಳಿ ಹೊರಗೆ ಹಾದು ಹೋಗುವ ಬದಿಗೆರೆಯನ್ನು ಸೀಳುಗೆರೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ತಗಲುಗೆರೆ (Tangent): ದುಂಡುಕದ ಹೊರಗಿನ ಯಾವುದೇ ಬದಿಗೆ ತಗಲಿಕೊಂಡಿರುವ ಗೆರೆಯನ್ನು ತಗಲುಗೆರೆ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
ಕಮಾನು (Arc): ದುಂಡಳತೆಯ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ತುಣುಕನ್ನು ಕಮಾನು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ದುಂಡುತುಣುಕು (Sector): ಎರಡು ದುಂಡಿಗಳು ಕಮಾನಿನ ಜೊತೆ ಸೇರುವ ಜಾಗವನ್ನು ದುಂಡುತುಣುಕು ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
ಒಳತುಣುಕು (Segment): ನಡುವೊಂದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ದುಂಡುಕದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಒಳ ಭಾಗವನ್ನು ಒಳತುಣುಕು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಮೇಲಿನ ಭಾಗಗಳ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷತೆಗಳು ಹೀಗಿವೆ,

ಎರಡು ಬದಿಗೆರೆಗಳು (chords) ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನಿಂದ ಸರಿ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಉದ್ದವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನಿಂದ ಬದಿಗೆರೆಗೆ ಎಳೆದ ನೇರ‍ಡ್ಡ (perpendicular) ಗೆರೆಯು ಬದಿಗೆರೆಯನ್ನು ಸಮಪಾಲಾಗಿ ಇಬ್ಬಾಗಿಸುತ್ತದೆ
ದುಂಡಗಲವು (diameter) ದುಂಡುಕದ ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಬದಿಗೆರೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ದುಂಡುಕದ ತಗಲುಗೆರೆಗೆ (Tangent) ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯು ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಸರಿಪಾಲು ದುಂಡುಕ (Semi Circle): ದುಂಡುಕದ ಒಟ್ಟು ಹರವಿನ (Area) ಅರ್ಧಭಾಗವನ್ನು ಸರಿಪಾಲು ದುಂಡುಕ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ದುಂಡಳತೆಯೂ ಒಟ್ಟು ದುಂಡಳತೆಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ದುಂಡುಕದ ಭಾಗಗಳ ಅಳತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಅಳತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದಕ್ಕಿಂತ ಮುನ್ನ, ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹಲವೆಡೆ ಬಳಕೆಯಾಗುವ π (ಪೈ) ಬಗ್ಗೆ ಚುಟುಕಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ದುಂಡಳತೆಯನ್ನು (circumference) ದುಂಡಗಲದಿಂದ (diameter) ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು π (ಪೈ) ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

π ಹಲವು ವಿಶೇಷತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ,

π ಒಂದು ನೆಲೆಬೆಲೆ (constant value). ಅಂದರೆ ದುಂಡುಕವು ಚಿಕ್ಕದು, ದೊಡ್ಡದು, ಯಾವುದೇ ಅಳತೆಯದ್ದಾಗಿರಲಿ π ಬೆಲೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
π ಒಂದು ಕಟ್ಟಲೆತಪ್ಪಿದ ನೆಲೆಬೆಲೆ (Irrational constant) ಅಂದರೆ ಇದರ ಬೆಲೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಅದರ ಪಾಲುಗಳು (fractions) ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದೇ ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತವೆ, 3.14159265358979323846264338… (ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಡೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿ 3.142 ಬೆಲೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.)

ಈಗ ದುಂಡುಕದ ಭಾಗಗಳ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರತ್ತ ಮುನ್ನಡೆಯೋಣ,

1. ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆ (circumference) = C, ದುಂಡಗಲ (diameter) = d ಮತ್ತು ದುಂಡಿ (radius) = r ಎಂದಾಗಿರಲಿ

ಈ ಮುಂಚೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಂತೆ, π ಬೆಲೆಯು ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆಯನ್ನು (C) ದುಂಡಗಲದಿಂದ (d) ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಿಗುವ ಒಂದು ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ದುಂಡಿಯು (r) ದುಂಡಗಲದ (d) ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ,

π = c / d … (1)

d = 2 * r … (2)

ಹಾಗಾಗಿ ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆಯ ನಂಟು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ,

c = π * d (ಸಾಟಿಕೆ 1 ರಿಂದ)

c = π * 2 * r (ಸಾಟಿಕೆ 1 ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ)

c = 2πr = πd (ಏಕೆಂದರೆ 2r = d)

ಅಂದರೆ,

ದುಂಡಳತೆ = 2 * π * ದುಂಡಿ = π * ದುಂಡಗಲ

ಉದಾ:

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ದುಂಡಗಲ (d) =10 cm

ಹಾಗಾಗಿ, ದುಂಡಳತೆ (c) = π * 10 = 3.142 * 10 = 31.42 cm

ಗಮನಿಸಿ, 10 cm ದುಂಡಗಲ ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲಿನ ದುಂಡುಕವನ್ನು ಒಂದೆಡೆ ಕತ್ತರಿಸಿ, ಬಿಚ್ಚಿ ಹರಡಿದರೆ ಅದರ ಉದ್ದವು 31.42 cm ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ನಾವು ಅವರಿವರ ಜಮೀನು ಒಂದು ಎಕರೆ-ಎರಡು ಎಕರೆ ಇದೆ ಅಂತ ಕೇಳುತ್ತಿರುತ್ತೇವಲ್ಲವೇ, ಈ ಎಕರೆ (Acre), ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್, ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಎಂಬುವುದು ಜಾಗ ಹರಡಿಕೊಂಡ ಹರವು (Area), ಹಾಗೆಯೇ ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕೂಡ ಅಳೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಿಯನ್ನು r ಮತ್ತು ದುಂಡುಕದ ಒಟ್ಟು ಹರವನ್ನು(A) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಗಣಿತದ ನಂಟಿನಿಂದ ಅಳೆಯಬಹುದು,

A = π * r ²

ಉದಾಹರಣೆ:

ದುಂಡಿ r = 2 m ಎಂದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಆಗ,

ದುಂಡುಕದ ಹರವು A = π * r ²= π * 2²= 3.142 x 4= 12.57 m²

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಗಣಿತದ ನಂಟು, A = π * r ² ನ್ನು ಗೊತ್ತಿರುವ ಬೇರ‍ೆ ನಂಟುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಹಲವು ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇಂತಹ ಒಂದು ಸುಲಭವಾದ ಬಗೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ದುಂಡುಕವನ್ನು 12 ಪಾಲು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ (ನಮಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗುವ ತರಹ ಇದನ್ನು ಪಾಲು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ 12 ಪಾಲು ಮಾಡಿದ್ದು ಉದಾಹರಣೆಯಷ್ಟೇ).

ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಿಯನ್ನು r ಮತ್ತು ದುಂಡಳತೆ C ಎಂದು ತೆಗೆದು ಕೊಳ್ಳೋಣ.

(ಚಿತ್ರ 1)

ಈಗ ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ದುಂಡುಕದ ತುಣುಕು 1 ನ್ನುಇಬ್ಬಾಗಿಸಿ, ದೊರೆತ ತುಣುಕನ್ನು 13 ಎಂದು ಹೆಸರಿಸೋಣ. (ಚಿತ್ರ 2)

ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿರುವ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಜೋಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

(ಚಿತ್ರ 3)

ಜೋಡಿಸಿದ ನಂತರ ಅದು ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ಚಿತ್ರ 4 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ನಾಲ್ನೇರಬದಿ (Rectangle) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

(ಚಿತ್ರ 4)

ಚಿತ್ರ 4 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣುವ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ (Rectangle) ಎತ್ತರವು ದುಂಡಿ r ಆಗಿದೆ.

ದುಂಡಳತೆ C, ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಹಂಚಿಹೋಗಿದ್ದರಿಂದ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ ಅಗಲವು C/2 ಆಗಿದೆ.

ಅಗಲವನ್ನು ಎತ್ತರದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ ಹರವು ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ ನಾವು ದುಂಡಳತೆ (C) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದುಂಡುಕದ ಹರವಿನ ನಂಟನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ ಹರವು = ದುಂಡುಕದ ಹರವು =

A = ಅಗಲ x ಎತ್ತರ = (C/2) * r = (2 πr / 2) * r (ಏಕೆಂದರೆ C = 2 πr)

ಹಾಗಾಗಿ,

ದುಂಡುಕದ ಹರವು (area of circle), A = π * r²

ಈ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನೀವು ಕಾಗದದ ಹಾಳೆ ಇಲ್ಲವೇ ರಟ್ಟನ್ನು ದುಂಡಾಕಾರವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿಕೊಂಡು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು ಹಾಗೂ ದುಂಡುಕದ ಹರವಿನ (area) ಅಳತೆಯ ಜೊತೆ ದುಂಡುಕದ ತುಣುಕುಗಳಿಂದಾದ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ (rectangle) ಹರವಿನ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಬಹುದು.

ದುಂಡುಕದ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗಿದು ಗೊತ್ತಿರಲಿ:

ಮನುಷ್ಯ ಸಾವಿರಾರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದದ್ದು, ದುಂಡುಕದ ಅರಕೆಗೆ (research) ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು.
ಇಂಗ್ಲೀಶಿನ Circle (ಸರ್ಕಲ್) ಎಂಬ ಪದವು ಗ್ರೀಕಿನ krikos (ಕ್ರಿಕೋಸ್) ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಬಂದಿದೆ ಇದರ ಅರ್ಥ ’ಬಳೆ’ ಇಲ್ಲವೇ ’ದುಂಡು’ ಎಂದು.
ದುಂಡಾಕಾರವು ಕಲ್ಲುಯುಗದ ಕಾಲದಿಂದ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದೆ. ಕಲ್ಲುಯುಗದ ಹಲಾವಾರು ಸಲಕರೆಣೆಗಳು ಈ ಆಕಾರದಲ್ಲಿವೆ.
ಗ್ರೀಕಿನ ಬಾನರಿಗ ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಪ್ಲೇಟೋ (ಕ್ರಿಸ್ತ ಮುನ್ನ 400) ಬರೆದ ಸವೆಂತ್ ಲೆಟರ್ (Seventh letter) ಹೊತ್ತಗೆಯಲ್ಲಿ ದುಂಡುಕದ ಬಗ್ಗೆ ಬಿಡಿಸಿ ಹೇಳಿದ್ದಾನೆ.
ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಮೂರನೇ ಹೊತ್ತಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ (Euclid’s elements) ದುಂಡುಕದ ಹುರುಳುಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ.
ಕ್ರಿಸ್ತ ಮುನ್ನ ಸುಮಾರು 200 ರಲ್ಲಿ ಬಾಳಿದ ಗ್ರೀಕಿನ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಎಂಬ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ದುಂಡುಕದ ಕುರಿತು ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾನೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆಯು ಇಂತಹ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲೊಂದು.

(ಬರಹದ ಸೆಲೆಗಳು: jwilson.coe.uga.edu, wikipedia, mathsisfun.com, perseus.tufts.edu)

(ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು: mathsisfun.com, wikipedia)