ದುಂಡುಕ

ನಾವು ದಿನಾಲೂ ದುಂಡಾಗಿರುವ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು  ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾ ಇರುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬೈಕಿನ ಚಕ್ರಗಳು, ಊಟದ ತಟ್ಟೆಗಳು, ಡಬ್ಬಿಗಳು, 1-2 ರೂಪಾಯಿಯ ಚಿಲ್ಲರೆಗಳು, ಇವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ದುಂಡಾಕಾರವಾಗಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆ. ಅಷ್ಟೇ ಏಕೆ ನಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗುಡ್ಡೆಯಿಂದ ಹಿಡಿದು ಭೂಮಿ, ಸೂರ್ಯ, ಚಂದ್ರ ಎಲ್ಲವೂ ದುಂಡಗಿನ ಆಕಾರದಲ್ಲಿವೆ!.

cycle

 

 

 

roundbox

 

ದುಂಡಾಕಾರಗಳ ಮೂಲ ದುಂಡುಕದ (Circle) ಬಗ್ಗೆ  ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

  • ದುಂಡುಕವು ಚುಕ್ಕೆಗಳಿಂದಾದ ಒಂದು ತಿರುವುಗೆರೆಯಾಗಿದೆ.
  • ಇದೊಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ (planar) ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿ.
  • ದುಂಡುಕದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಚುಕ್ಕೆಗಳು, ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನಿಂದ ಸರಿ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ (Equidistance). ಈ ಸರಿದೂರವನ್ನು ದುಂಡಿ (radius) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

Main Image (optional)

ದುಂಡುಕದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗಗಳೆಂದರೆ,

ನಡು (Centre): ದುಂಡುಕದ ನಟ್ಟ ನಡುವಿನ ಭಾಗವಿದು.

ದುಂಡಗಲ (Diameter): ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಬದಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಗೆರೆಗೆ ದುಂಡಗಲ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ದುಂಡುಕದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ನಡುವೆ ಎಳೆಯಲು  ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಉದ್ದವಾದ ಗೆರೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯವೆಂದರೆ ದುಂಡಗಲವು (diameter), ದುಂಡಿಯ (radius) ಎರಡುಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ದುಂಡಳತೆ (Circumference): ದುಂಡುಕದ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ದುಂಡಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

main image

ದುಂಡುಕದ ಇತರ ಭಾಗಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ,

  • ಬದಿಗೆರೆ (Chord): ದುಂಡುಕದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಗೆರೆ ಇದು. ಗಮನಿಸಿ, ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ದುಂಡಗಲ ಕೂಡ ಒಂದು ಬದಿಗೆರೆ.
  • ಸೀಳುಗೆರೆ (Secant): ದುಂಡುಕವನ್ನು ಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಳಿ ಹೊರಗೆ ಹಾದು ಹೋಗುವ ಬದಿಗೆರೆಯನ್ನು ಸೀಳುಗೆರೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
  • ತಗಲುಗೆರೆ (Tangent): ದುಂಡುಕದ ಹೊರಗಿನ ಯಾವುದೇ ಬದಿಗೆ ತಗಲಿಕೊಂಡಿರುವ ಗೆರೆಯನ್ನು ತಗಲುಗೆರೆ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
  • ಕಮಾನು (Arc): ದುಂಡಳತೆಯ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ತುಣುಕನ್ನು ಕಮಾನು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
  • ದುಂಡುತುಣುಕು (Sector): ಎರಡು ದುಂಡಿಗಳು ಕಮಾನಿನ ಜೊತೆ ಸೇರುವ ಜಾಗವನ್ನು ದುಂಡುತುಣುಕು ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.
  • ಒಳತುಣುಕು (Segment): ನಡುವೊಂದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ದುಂಡುಕದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಒಳ ಭಾಗವನ್ನು ಒಳತುಣುಕು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

Image 1

Image 2

ಮೇಲಿನ ಭಾಗಗಳ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷತೆಗಳು ಹೀಗಿವೆ,

  • ಎರಡು ಬದಿಗೆರೆಗಳು (chords) ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನಿಂದ ಸರಿ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಉದ್ದವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನಿಂದ ಬದಿಗೆರೆಗೆ ಎಳೆದ ನೇರ‍ಡ್ಡ (perpendicular) ಗೆರೆಯು ಬದಿಗೆರೆಯನ್ನು ಸಮಪಾಲಾಗಿ ಇಬ್ಬಾಗಿಸುತ್ತದೆ
  • ದುಂಡಗಲವು (diameter) ದುಂಡುಕದ ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಬದಿಗೆರೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.
  • ದುಂಡುಕದ ತಗಲುಗೆರೆಗೆ (Tangent) ನೇರಡ್ಡವಾಗಿ ಎಳೆದ ಗೆರೆಯು ದುಂಡುಕದ ನಡುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಸರಿಪಾಲು ದುಂಡುಕ (Semi Circle): ದುಂಡುಕದ ಒಟ್ಟು ಹರವಿನ (Area) ಅರ್ಧಭಾಗವನ್ನು ಸರಿಪಾಲು ದುಂಡುಕ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ದುಂಡಳತೆಯೂ ಒಟ್ಟು ದುಂಡಳತೆಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

Image 3
ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ದುಂಡುಕದ ಭಾಗಗಳ ಅಳತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಅಳತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದಕ್ಕಿಂತ ಮುನ್ನ, ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹಲವೆಡೆ ಬಳಕೆಯಾಗುವ π (ಪೈ) ಬಗ್ಗೆ ಚುಟುಕಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ದುಂಡಳತೆಯನ್ನು (circumference) ದುಂಡಗಲದಿಂದ (diameter) ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಬೆಲೆಯನ್ನು π (ಪೈ) ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

 

π ಹಲವು ವಿಶೇಷತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ,

  • π ಒಂದು ನೆಲೆಬೆಲೆ (constant value). ಅಂದರೆ ದುಂಡುಕವು ಚಿಕ್ಕದು, ದೊಡ್ಡದು, ಯಾವುದೇ ಅಳತೆಯದ್ದಾಗಿರಲಿ π ಬೆಲೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
  • π ಒಂದು ಕಟ್ಟಲೆತಪ್ಪಿದ ನೆಲೆಬೆಲೆ (Irrational constant) ಅಂದರೆ ಇದರ ಬೆಲೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಅದರ ಪಾಲುಗಳು (fractions) ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದೇ ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತವೆ, 3.14159265358979323846264338… (ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಡೆ ಪಾಲುಗಳನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿ 3.142 ಬೆಲೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.)

ಈಗ ದುಂಡುಕದ ಭಾಗಗಳ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರತ್ತ ಮುನ್ನಡೆಯೋಣ,

1. ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆ (circumference) = C,  ದುಂಡಗಲ (diameter) = d  ಮತ್ತು ದುಂಡಿ (radius) = r ಎಂದಾಗಿರಲಿ

ಈ ಮುಂಚೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಂತೆ, π ಬೆಲೆಯು ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆಯನ್ನು (C) ದುಂಡಗಲದಿಂದ (d) ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಿಗುವ ಒಂದು ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ದುಂಡಿಯು (r) ದುಂಡಗಲದ (d) ಅರ್ಧದಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ,

π = c / d    … (1)

d = 2 * r    … (2)

ಹಾಗಾಗಿ ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಳತೆಯ ನಂಟು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ,

c = π * d     (ಸಾಟಿಕೆ 1 ರಿಂದ)

c = π * 2 * r    (ಸಾಟಿಕೆ  1 ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ)

c = 2πr = πd   (ಏಕೆಂದರೆ 2r = d)

ಅಂದರೆ,

ದುಂಡಳತೆ = 2 * π * ದುಂಡಿ = π * ದುಂಡಗಲ

ಉದಾ: Image 4 

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ದುಂಡಗಲ (d) =10 cm

ಹಾಗಾಗಿ, ದುಂಡಳತೆ (c) = π  * 10 = 3.142 * 10 = 31.42 cm

ಗಮನಿಸಿ, 10 cm ದುಂಡಗಲ ಹೊಂದಿರುವ  ಮೇಲಿನ ದುಂಡುಕವನ್ನು ಒಂದೆಡೆ ಕತ್ತರಿಸಿ, ಬಿಚ್ಚಿ ಹರಡಿದರೆ ಅದರ ಉದ್ದವು 31.42 cm ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

circuference_length

 2. ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆ:

ನಾವು ಅವರಿವರ ಜಮೀನು ಒಂದು ಎಕರೆ-ಎರಡು ಎಕರೆ ಇದೆ ಅಂತ ಕೇಳುತ್ತಿರುತ್ತೇವಲ್ಲವೇ, ಈ ಎಕರೆ (Acre), ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್, ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಎಂಬುವುದು ಜಾಗ ಹರಡಿಕೊಂಡ ಹರವು (Area), ಹಾಗೆಯೇ ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕೂಡ ಅಳೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಿಯನ್ನು r ಮತ್ತು ದುಂಡುಕದ ಒಟ್ಟು ಹರವನ್ನು(A) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಗಣಿತದ ನಂಟಿನಿಂದ ಅಳೆಯಬಹುದು,

A = π * r 2

ಉದಾಹರಣೆ:

area_circle

ದುಂಡಿ r = 2 m ಎಂದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಆಗ,

ದುಂಡುಕದ ಹರವು A = π * r = π * 2= 3.142 x 4= 12.57 m2

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಗಣಿತದ ನಂಟು, A = π * r 2 ನ್ನು  ಗೊತ್ತಿರುವ ಬೇರ‍ೆ ನಂಟುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಹಲವು ಬಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇಂತಹ ಒಂದು ಸುಲಭವಾದ ಬಗೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ದುಂಡುಕವನ್ನು 12 ಪಾಲು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ (ನಮಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗುವ ತರಹ ಇದನ್ನು ಪಾಲು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ 12 ಪಾಲು ಮಾಡಿದ್ದು ಉದಾಹರಣೆಯಷ್ಟೇ).

ದುಂಡುಕದ ದುಂಡಿಯನ್ನು r ಮತ್ತು ದುಂಡಳತೆ C ಎಂದು ತೆಗೆದು ಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image 6

(ಚಿತ್ರ 1)

ಈಗ ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ದುಂಡುಕದ ತುಣುಕು 1 ನ್ನುಇಬ್ಬಾಗಿಸಿ, ದೊರೆತ ತುಣುಕನ್ನು 13 ಎಂದು ಹೆಸರಿಸೋಣ.                                                                               Image 7                                                                                   (ಚಿತ್ರ 2)

ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿರುವ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಜೋಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

Image 8

(ಚಿತ್ರ 3)

ಜೋಡಿಸಿದ ನಂತರ ಅದು ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ಚಿತ್ರ 4 ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ನಾಲ್ನೇರಬದಿ (Rectangle) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

Image 9

(ಚಿತ್ರ 4)

ಚಿತ್ರ 4 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣುವ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ (Rectangle) ಎತ್ತರವು ದುಂಡಿ r ಆಗಿದೆ.

ದುಂಡಳತೆ C, ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಹಂಚಿಹೋಗಿದ್ದರಿಂದ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ ಅಗಲವು C/2 ಆಗಿದೆ.

ಅಗಲವನ್ನು ಎತ್ತರದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ ಹರವು ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ ನಾವು ದುಂಡಳತೆ (C) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಮೇಲೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದುಂಡುಕದ ಹರವಿನ ನಂಟನ್ನು ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ ಹರವು = ದುಂಡುಕದ ಹರವು =

= ಅಗಲ x ಎತ್ತರ = (C/2) * r = (2 πr / 2) * r   (ಏಕೆಂದರೆ  C = 2 πr)

ಹಾಗಾಗಿ,

ದುಂಡುಕದ ಹರವು (area of circle),  A = π * r2

ಈ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನೀವು ಕಾಗದದ ಹಾಳೆ ಇಲ್ಲವೇ ರಟ್ಟನ್ನು ದುಂಡಾಕಾರವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿಕೊಂಡು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು ಹಾಗೂ ದುಂಡುಕದ ಹರವಿನ (area) ಅಳತೆಯ ಜೊತೆ ದುಂಡುಕದ ತುಣುಕುಗಳಿಂದಾದ ನಾಲ್ನೇರಬದಿಯ (rectangle) ಹರವಿನ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ ನೋಡಬಹುದು.

ದುಂಡುಕದ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗಿದು ಗೊತ್ತಿರಲಿ:

  • ಮನುಷ್ಯ ಸಾವಿರಾರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದದ್ದು, ದುಂಡುಕದ ಅರಕೆಗೆ (research) ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು.
  • ಇಂಗ್ಲೀಶಿನ Circle (ಸರ್ಕಲ್) ಎಂಬ ಪದವು ಗ್ರೀಕಿನ krikos (ಕ್ರಿಕೋಸ್) ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಬಂದಿದೆ ಇದರ ಅರ್ಥ ’ಬಳೆ’ ಇಲ್ಲವೇ ’ದುಂಡು’ ಎಂದು.
  • ದುಂಡಾಕಾರವು ಕಲ್ಲುಯುಗದ ಕಾಲದಿಂದ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದೆ. ಕಲ್ಲುಯುಗದ ಹಲಾವಾರು ಸಲಕರೆಣೆಗಳು ಈ ಆಕಾರದಲ್ಲಿವೆ.
  • ಗ್ರೀಕಿನ ಬಾನರಿಗ ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ಪ್ಲೇಟೋ (ಕ್ರಿಸ್ತ ಮುನ್ನ 400) ಬರೆದ ಸವೆಂತ್ ಲೆಟರ್ (Seventh letter) ಹೊತ್ತಗೆಯಲ್ಲಿ ದುಂಡುಕದ ಬಗ್ಗೆ ಬಿಡಿಸಿ ಹೇಳಿದ್ದಾನೆ.
  • ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಮೂರನೇ ಹೊತ್ತಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ (Euclid’s elements) ದುಂಡುಕದ ಹುರುಳುಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ.
  • ಕ್ರಿಸ್ತ ಮುನ್ನ ಸುಮಾರು 200 ರಲ್ಲಿ ಬಾಳಿದ ಗ್ರೀಕಿನ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಎಂಬ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ ದುಂಡುಕದ ಕುರಿತು ಹಲವಾರು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾನೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ದುಂಡುಕದ ಹರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗೆಯು ಇಂತಹ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲೊಂದು.

(ಬರಹದ ಸೆಲೆಗಳು: jwilson.coe.uga.edu, wikipediamathsisfun.comperseus.tufts.edu)

(ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆಗಳು: mathsisfun.comwikipedia)

facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail
Bookmark the permalink.

455 Comments

  1. Pingback: viagra us

  2. Pingback: price of cialis

  3. Pingback: buy cialis online

  4. Pingback: otc cialis

  5. Pingback: Get viagra fast

  6. Pingback: Us pharmacy viagra

  7. Pingback: generic viagra sales

  8. Pingback: cialis prices

  9. Pingback: ciprofloxacin 500mg antibiotics walmart cost

  10. Pingback: cialis price

  11. Pingback: generic ventolin

  12. Pingback: cialis coupon walmart

  13. Pingback: can you buy naltrexone over the counter

  14. Pingback: where to buy cialis online

  15. Pingback: how much is cialis

  16. Pingback: generic viagra available

  17. Pingback: bimatoprost generic best price

  18. Pingback: cialis online pharmacy

  19. Pingback: buy tylenol

  20. Pingback: viagra 100mg

  21. Pingback: chloroquine online pharmacy

  22. Pingback: online pharmacy viagra

  23. Pingback: sildenafil

  24. Pingback: viagra for sale

  25. Pingback: male ed pills

  26. Pingback: top rated ed pills

  27. Pingback: otc ed pills

  28. Pingback: pharmacy online

  29. Pingback: Viagra or cialis

  30. Pingback: levitra price

  31. Pingback: vardenafil for sale

  32. Pingback: casino moons online casino

  33. Pingback: cialis tadalafil

  34. Pingback: best online casino for money

  35. Pingback: viagra generic name

  36. Pingback: casino online games for real money

  37. Pingback: buy viagra in us

  38. Pingback: bimatoprost ophthalmic solution cost

  39. Pingback: generic cialis 20mg

  40. Pingback: buy viagra lowest price

  41. Pingback: cheap geneirc viagra

  42. Pingback: buy chloroquine phosphate

  43. Pingback: sildenafil generic

  44. Pingback: buy viagra

  45. Pingback: viagra without a doctor prescription

  46. Pingback: viagra price

  47. Pingback: viagra online

  48. Pingback: generic viagra online

  49. Pingback: otc viagra

  50. Pingback: generic viagra

  51. Pingback: buy generic viagra from europe

  52. Pingback: generic propecia

  53. Pingback: buy viagra online

  54. Pingback: how to buy cheap viagra

  55. Pingback: cialis 20 mg

  56. Pingback: viagra tablets for sale

  57. Pingback: buy viagra online now

  58. Pingback: viagra

  59. Pingback: cheap sildenafil

  60. Pingback: cialis tablets australia

  61. Pingback: buy sildenafil

  62. Pingback: buy cheap sildenafil

  63. Pingback: buy generic viagra

  64. Pingback: liquid cialis

  65. Pingback: cialis coupon 2020

  66. Pingback: order viagra online

  67. Pingback: viagra alternative

  68. Pingback: buy viagra online

  69. Pingback: generic cialis

  70. Pingback: canadian drugs pharmacy

  71. Pingback: canadian pharmacy no prescription

  72. Pingback: viagra generic

  73. Pingback: viagra substitute

  74. Pingback: viagra

  75. Pingback: what is a viagra pill

  76. Pingback: buy cialis

  77. Pingback: buy cialis singapore

  78. Pingback: medications without a doctor's prescription

  79. Pingback: soft viagra

  80. Pingback: viagra

  81. Pingback: cialis side effects in men

  82. Pingback: sildenafil 100mg tablets

  83. Pingback: generic cialis at walmart

  84. Pingback: cialis spray

  85. Pingback: soft viagra tabs

  86. Pingback: generic cialis for sale

  87. Pingback: generic viagra available

  88. Pingback: buy cheap viagra

  89. Pingback: cialis without a doctor's prescription

  90. Pingback: canadian pharmacy viagra

  91. Pingback: free viagra samples

  92. Pingback: legal to buy prescription drugs from canada

  93. Pingback: viagra grapefruit interaction

  94. Pingback: generic cialis

  95. Pingback: vacuum pumps for ed

  96. Pingback: drug prices comparison

  97. Pingback: viagra online canada

  98. Pingback: amoxicillin where to get

  99. Pingback: viagra in hindi

  100. Pingback: payday loans direct lenders

  101. Pingback: erectile dysfunction viagra

  102. Pingback: cialis efectos secundarios

  103. Pingback: online pharmacy

  104. Pingback: cialis online

  105. Pingback: viagra sydney

  106. Pingback: thesiswritinghelpsjj.com

  107. Pingback: customessaywriterbyz.com

  108. Pingback: dissertation team

  109. Pingback: essay help websites

  110. Pingback: cheap viagra

  111. Pingback: top 10 essay writing services

  112. Pingback: help in writing a research paper

  113. Pingback: who can write my paper for me

  114. Pingback: writing a thesis paragraph

  115. Pingback: buy viagra online

  116. Pingback: canada drugs online

  117. Pingback: cheap generic drugs from india

  118. Pingback: help writing essays for college

  119. Pingback: buying ed pills online

  120. Pingback: best place to buy generic viagra online

  121. Pingback: viagra substitute

  122. Pingback: canadian drugs without prescription

  123. Pingback: zithromax over the counter

  124. Pingback: generic viagra canada

  125. Pingback: buy generic viagra

  126. Pingback: viagra cheap india

  127. Pingback: cheap erectile dysfunction pills online

  128. Pingback: professional pharmacy

  129. Pingback: buy Plaquenil

  130. Pingback: canada drug pharmacy

  131. Pingback: viagra dependency

  132. Pingback: canada drugs

  133. Pingback: buy cheap viagra

  134. Pingback: generic viagra online

  135. Pingback: viagra 100mg professional cheap

  136. Pingback: keflex antibiotic and methotrexate

  137. Pingback: zyrtec pill cost

  138. Pingback: zyrtec allergy eye drops

  139. Pingback: where to buy viagra

  140. Pingback: how much does viagra cost

  141. Pingback: buy cialis online free shipping

  142. Pingback: buy azithromycin zithromax

  143. Pingback: purchase viagra

  144. Pingback: buy amoxicillin online with paypal

  145. Pingback: best online canadian pharmacy

  146. Pingback: generic viagra

  147. Pingback: cialis 800

  148. Pingback: low cost cialis

  149. Pingback: generic cialis tadalafil

  150. Pingback: generic viagra india reviews

  151. Pingback: buy viagra very cheap

  152. Pingback: sildenafil 1000 mg

  153. Pingback: cheap generic viagra

  154. Pingback: is it legal to buy viagra in new york

  155. Pingback: buy cialis online

  156. Pingback: best buy for cialis 5 mg

  157. Pingback: 141generic2Exare

  158. Pingback: erectile dysfunction drug

  159. Pingback: yigekley

  160. Pingback: mens ed pills

  161. Pingback: ed pills that work

  162. Pingback: cheap erectile dysfunction pills online

  163. Pingback: what is the difference between viagra and cialis

  164. Pingback: cialis what to expect

  165. Pingback: wat is sildenafil 100mg

  166. Pingback: viagra cialis

  167. Pingback: wat doet viagra met je bloeddruk

  168. Pingback: how often can ivermectin sheep drench be used on a dog

  169. Pingback: zithromax didn't work when to start

  170. Pingback: furosemida

  171. Pingback: mechanism of action of viagra

  172. Pingback: cleocin online

  173. Pingback: order roxithromycin online

  174. Pingback: cefadroxil for sale

  175. Pingback: keflex generic

  176. Pingback: precio de cialis en farmacias espaГ±olas

  177. Pingback: buy cialis online no prescription

  178. Pingback: how much is viagra

  179. Pingback: tadalafil vs cialis

  180. Pingback: viagra en farmacia

  181. Pingback: viagra side effects

  182. Pingback: fda warning list cialis

  183. Pingback: cheap assignment writing service

  184. Pingback: how to write research methodology

  185. Pingback: write my essay online for cheap

  186. Pingback: college essay writing help

  187. Pingback: business management essay

  188. Pingback: generic pills for sale

  189. Pingback: buy viagra online canada

  190. Pingback: penicillin amoxicillin

  191. Pingback: furosemide purchase

  192. Pingback: azithromycin erythromycin

  193. Pingback: viagra price

  194. Pingback: viagra without a doctor prescription usa

  195. Pingback: ivermectin eye drops

  196. Pingback: albuterol brand name in india

  197. Pingback: where can i buy viagra over the counter

  198. Pingback: where can i purchase zithromax online

  199. Pingback: viagra without a doctor prescription usa

  200. Pingback: sinus infection doxycycline

  201. Pingback: purchase prednisolone online

  202. Pingback: clomid only pct

  203. Pingback: cvs pastillas priligy

  204. Pingback: diflucan adverse effects

  205. Pingback: synthroid administration

  206. Pingback: cheap ed pills from india

  207. Pingback: zithromax capsules 250mg

  208. Pingback: discount neurontin

  209. Pingback: write my essay generator

  210. Pingback: zithromax order online uk

  211. Pingback: propecia for sale

  212. Pingback: reliable source cialis

  213. Pingback: india pharmacy mail order

  214. Pingback: neurontin 400 milligram

  215. Pingback: metformin vomiting

  216. Pingback: paxil review

  217. Pingback: dosage for plaquenil

  218. Pingback: united pharmacy india

  219. Pingback: top erectile dysfunction pills

  220. Pingback: modafinil online pharmacy

  221. Pingback: viagra without a doctor prescription

  222. Pingback: clomid tablet

  223. Pingback: order amoxicillin online no prescription

  224. Pingback: metformin for sale no prescription

  225. Pingback: generic propecia for cheap without precscription

  226. Pingback: buy propecia tablets

  227. Pingback: canadian pharmaceuticals online safe

  228. Pingback: best erectile dysfunction pills

  229. Pingback: cialis sale 20mg

  230. Pingback: cost of furosemide 20mg

  231. Pingback: buy erection pills

  232. Pingback: online pharmacy group

  233. Pingback: buy cialis online in canada

  234. Pingback: rate canadian pharmacies

  235. Pingback: cialis tadalafil portugal

  236. Pingback: buy cialis 36 hour

  237. Pingback: buy cheap cialis uk

  238. Pingback: buy in miami

  239. Pingback: buy philippines

  240. Pingback: generic viagra 100mg

  241. Pingback: viagra and retinal vein occlusion

  242. Pingback: what year did tinder come out

  243. Pingback: payday loan yes brookfield

  244. Pingback: sildenafil vs viagra

  245. Pingback: 20mg for sale

  246. Pingback: lisinopril 20 mg tabs

  247. Pingback: 20mg for sale

  248. Pingback: how much is lisinopril 40 mg

  249. Pingback: buy cialis ebay

  250. Pingback: can you buy ativan over the counter in mexico

  251. Pingback: cialis vs viagra canadian pharmacy

  252. Pingback: generic cialis prices

  253. Pingback: cost of tadalafil without insurance

  254. Pingback: cost of tadalafil without insurance

  255. Pingback: how to get ciails without a doctor

  256. Pingback: buy cialis insurance

  257. Pingback: buy cheap cialis uk

  258. Pingback: taking cialis soft tabs

  259. Pingback: canadian online drugs

  260. Pingback: medications list

  261. Pingback: generic valtrex online without prescription

  262. Pingback: price of valtrex in india

  263. Pingback: 24 hour pharmacy

  264. Pingback: best drug for ed

  265. Pingback: buying pills online

  266. Pingback: how much is viagra

  267. Pingback: how much is viagra

  268. Pingback: buy amoxicillin over the counter uk

  269. Pingback: buy doxycycline

  270. Pingback: viagra online usa

  271. Pingback: viagra without a doctor prescription usa

  272. Pingback: ed treatments that really work

  273. Pingback: cheap erectile dysfunction pills online

  274. Pingback: erectile dysfunction medications

  275. Pingback: buy prescription drugs from india

  276. Pingback: stromectol generic

  277. Pingback: purchase ivermectin

  278. Pingback: hydroxychloroquine tablets ip 400 mg

  279. Pingback: hydroxychloroquine 200 mg price

  280. Pingback: dapoxetine for pe

  281. Pingback: where to buy stromectol online

  282. Pingback: stromectol ivermectin 3 mg

  283. Pingback: ivermectin 500ml

  284. Pingback: natural ed medications

  285. Pingback: hydroxychloroquine and kidney disease

  286. Pingback: drugs for ed

  287. Pingback: ed meds online

  288. Pingback: purchase hydroxychloroquine sulfate

  289. Pingback: mexican viagra

  290. Pingback: п»їviagra pills

  291. Pingback: buy viagra online usa

  292. Pingback: buy cialis doctor

  293. Pingback: buy cialis insurance

  294. Pingback: cialis online daily

  295. Pingback: hydroxychloroquine 400

  296. Pingback: hydroxychloroquine coronavirus

  297. Pingback: cost of generic hydroxychloroquine

  298. Pingback: what is cialis used for

  299. Pingback: oryginal cialis

  300. Pingback: hydroxychloroquine 200mg buy

  301. Pingback: lowest price viagra

  302. Pingback: viagra for sale ebay

  303. Pingback: but viagra with no prescription

  304. Pingback: canadian international pharmacy

  305. Pingback: how long does it take for cialis to peak?

  306. Pingback: chap viagra

  307. Pingback: zithromax capsules 250mg

  308. Pingback: zithromax 500mg price

  309. Pingback: zithromax capsules price

  310. Pingback: https://regcialist.com/

  311. Pingback: ebay official site generic ivermectil

  312. Pingback: stromectol buy uk

  313. Pingback: ivermectin generic cream

  314. Pingback: natural treatments for ed

  315. Pingback: hydroxychloroquine tablet ip 200 mg

  316. Pingback: plaquenil 200 mg prices

  317. Pingback: cialis generic cambodia

  318. Pingback: do you need a prescription for ivermectin

  319. Pingback: is expired priligy safe

  320. Pingback: which one is better viagra or cialis

  321. Pingback: cialis canada org doc

  322. Pingback: where can i buy prednisone online without a prescription

  323. Pingback: prednisone 40 mg tablet

  324. Pingback: does seroquel get you high

  325. Pingback: escitalopram what is a lethal dose

  326. Pingback: cheap ed pills from canada

  327. Pingback: best online pharmacies in canada

  328. Pingback: recommended canadian online pharmacies

  329. Pingback: viagra coupon

  330. Pingback: stromectol for wisdom tooth pain

  331. Pingback: ivermectin cost uk

  332. Pingback: natural viagra

  333. Pingback: viagra online prescription free

  334. Pingback: sertraline hcl 50 mg tab

  335. Pingback: plaquenil tired

  336. Pingback: order viagra online

  337. Pingback: cap deltasone 20mg

  338. Pingback: how to buy cialis

  339. Pingback: buy ed pills online

  340. Pingback: website

  341. Pingback: cialis 20mg daily

  342. Pingback: discount cialis online

  343. Pingback: cialis 20 mg film-coated tablets tadalafil

  344. Pingback: viagra for sale

  345. Pingback: viagragates.com

  346. Pingback: viagra for sale next day delivery

  347. Pingback: 1

  348. Pingback: where can i get cialis

  349. Pingback: viagra generic online

  350. Pingback: viagra sale boots chemist

  351. Pingback: cialis 5mg tadalafil

  352. Pingback: sildenafil online

  353. Pingback: best viagra pills uk

  354. Pingback: viagra 100mg pills

  355. Pingback: use of amoxil

  356. Pingback: viagra and cialis together

  357. Pingback: purchase viagra

  358. Pingback: buying clomid online

  359. Pingback: clomid online no prescription

  360. Pingback: clomiphene generic

  361. Pingback: 5mg propecia hair loss

  362. Pingback: ivermectin human

  363. Pingback: ivermectin lotion cost

  364. Pingback: viagra otc

  365. Pingback: pills like cialis

  366. Pingback: doxycycline without a prescription

  367. Pingback: prednisone brand name cost

  368. Pingback: doxycycline tablets

  369. Pingback: clavivermecta 12

  370. Pingback: cheap online cialis

  371. Pingback: stromectol ivermectin

  372. Pingback: cheap doxycycline online

  373. Pingback: viagra cost prescription

  374. Pingback: is ordering cialis online legal

  375. Pingback: online us pharmacy viagra

  376. Pingback: cialis online canada

  377. Pingback: cheap cialis in australia

  378. Pingback: ivermectin drug insert

  379. Pingback: stromectol ivermect

  380. Pingback: canadian pharmacy cialis no prescription

  381. Pingback: usa over the counter sildenafil

  382. Pingback: how much are cialis pills

  383. Pingback: where to get zithramax

  384. Pingback: mom gives son viagra

  385. Pingback: where to buy viagra in canada ny border

  386. Pingback: "picture of \"buy only american made viagra\""

  387. Pingback: ed pills cheap

  388. Pingback: tadalafil sale

  389. Pingback: best natural ed treatment

  390. Pingback: tadalafil tablet

  391. Pingback: side effects from zithromax

  392. Pingback: cialis

  393. Pingback: buy ed pills online

  394. Pingback: over the counter viagra

  395. Pingback: viagra canada buy without receipt

  396. Pingback: buy viagra online paypal

  397. Pingback: sildenafil

  398. Pingback: is lisinopril and accupril the same

  399. Pingback: over the counter ed pills at walmart

  400. Pingback: dapoxetine original buy

  401. Pingback: buy tamoxifen

  402. Pingback: nolvadex for pct

  403. Pingback: nolvadex gynecomastia

  404. Pingback: price of prednisone 5mg

  405. Pingback: prednisone daily

  406. Pingback: prednisone 5mg cost

  407. Pingback: ivermectin new zealand

  408. Pingback: ivermectin 10 ml

  409. Pingback: buy ivermectin cream

  410. Pingback: over the counter azithromycin cvs

  411. Pingback: prescription without a doctor's prescription

  412. Pingback: best canadian pharmacy online

  413. Pingback: the canadian drugstore

  414. Pingback: buy azithromycin over the counter

  415. Pingback: viagra buy in singapore

  416. Pingback: genuine viagra without a doctor prescription

  417. Pingback: prednisone pills cost

  418. Pingback: prednisone 20mg by mail order

  419. Pingback: prednisone 50 mg coupon

  420. Pingback: viagra gum

  421. Pingback: viagra generico

  422. Pingback: viagra cheap online

  423. Pingback: buy stromectol

  424. Pingback: cost of ivermectin lotion

  425. Pingback: stromectol uk

  426. Pingback: viagra bestellen

  427. Pingback: purchase amoxil

  428. Pingback: generic viagra overnight

  429. Pingback: lasix tabs

  430. Pingback: gabapentin 667

  431. Pingback: neurontin pills

  432. Pingback: plaquenil 200mg cost

  433. Pingback: plaquenil mexico

  434. Pingback: viagra naturel

  435. Pingback: prednisone rx

  436. Pingback: avana 50 mg

  437. Pingback: modafinil uk

  438. Pingback: stromectol xl

  439. Pingback: albuterol 5931057922

  440. Pingback: ventolin price us

  441. Pingback: viagra price

  442. Pingback: zithromax 200mg

  443. Pingback: zithromax pill

  444. Pingback: cvs viagra

  445. Pingback: buy furesimide

  446. Pingback: sildenafil buy over the counter

  447. Pingback: red viagra tablets

  448. Pingback: prednisone drugs

  449. Pingback: priligy tablets

  450. Pingback: provigil generic cost

  451. Pingback: viagra tablets uk

  452. Pingback: buy generic valtrex without prescription

  453. Pingback: valtrex daily use

  454. Pingback: valtrex rx where to buy

  455. Pingback: viagras

Comments are closed

  • ಹಂಚಿ

    facebooktwittergoogle_plusredditpinterestlinkedinmail